Longest and shortest cycles in random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\{1, \ldots, n\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们研究了当$P(n,m)$.更准确地说，我们确定的最长和最短的周期在$P(n,m)$的临界范围内时，$m=n/2+o(n)$的长度的渐近顺序。此外，我们还描述了当$n^{2/3}\ll m-n/2\ll n$在弱超临界状态下$P(n,m)$的嵌段结构。
2021-04-30 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random graph
本文讨论了稀疏随机图$G_{n,p},p=c/n$的最长圈的长度。$c$常数。我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$f(c)$使得$L_n(c)/n\to f(c)$ a.s.函数$f(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$k$中的多项式。我们只能明确给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。我们立即看到，最长路径的长度也渐近于$f(c)n$ w. h. p。
2020-01-09 math.CO
Chords of longest cycles passing through a specified small set
本文研究经过指定小集合的最长圈的弦，推广Thomassen和Zhang的相关结果，证明了2-连通立方图、最小度≥4的3-连通图及3-连通平面图中满足特定条件的最长圈必含弦，并扩展了Li和Liu的结果。
2025-02-15 math.CO
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
2020-04-17 math.CO
An improved upper bound on the length of the longest cycle of a supercritical random graph
本文改进了Luczak关于随机图G（n，M）在“超临界相”中最长圈长度的上界，其中M=n/2+s，s=o（n），但n^{2/3}=o（s）.新的上界是（6.958+o（1））s^2/n，当n接近无穷大时概率为1-o（1）。设c=1+2s/n，G（n，p）与G（n，M）之间的等价性意味着G（n，p）的相同结果，其中p=c/n，c接近1，c-1 = omega（n^{-1/3}）.
2009-07-20 math.CO
All longest cycles intersect in partial 3-trees
我们证明了所有的最长圈相交于2-连通部分3-树。
2021-03-09 cs.DM math.CO
Proof of a conjecture of Voss on bridges of longest cycles
本文通过将问题归约为圈覆盖问题，完整证明了Voss关于2-连通图最长圈中树状重叠的互不相交桥总长度至多为圈长一半的猜想。
2025-09-08 math.CO
A scaling limit for the length of the longest cycle in a sparse random digraph
讨论了稀疏随机有向图$D_{n,p},p=c/n$中最长有向圈的长度$\vec{L}_{c,n}$，其中$c$为$c$常数.我们证明了对于大的$c$，存在一个函数$\vec{f}(c)$使得$\vec{L}_{c,n}/n\to \vec{f}(c)$ a.s.函数$\vec{f}(c)=1-\sum_{k=1}^\infty p_k(c)e^{-kc}$，其中$p_k$是$c$中的多项式。我们只能显式地给出值$p_1,p_2$，尽管我们原则上可以计算任何$p_k$。
2020-01-17 math.CO
Intersections of longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
针对顶点传递图和高度连通图中最长圈交集问题，提出纯组合方法强化现有界，证明k-连通图中最长圈交集顶点数达Ω(k^(2/3))，解决Babai问题并引入新构造方法。
2025-08-24 math.CO
Longest Induced Cycles on Cayley Graphs
本文研究了酉Cayley图$X_n = Cay(\mathbb Z_n; U_n)$的最长诱导圈的长度，其中$U_n$是$\mathbb Z_n$的单位群.使用剩余模的素数划分$n$，我们介绍了一个表示的顶点，减少了一个纯粹的组合问题比较字符串的符号。这种表示使我们能够证明，每个素数划分$n$的多重性，甚至每个素数的值（如果足够大）对$X_n$中最长诱导循环的长度没有影响。我们还看到，如果$n$有$r$不同的素因子，$X_n$总是包含一个长度为$2^r+2$的诱导循环，从而提高了Berrealitia和Giudici的$r \ln r$界。此外，我们推广我们的结果$X_n$的完全$k_i$ -部图的合取，其中$k_i$不需要是有限的，也酉凯莱图的任何商的戴德金整环。
2004-12-08 math.CO
Intersecting longest paths in chordal graphs
我们考虑弦图中与每条最长路径相交所需的最小顶点集的大小。这样的集合被称为最长路径断面。证明了若$ω(G)$是弦图$G$的团数，则存在至多$4\lceil\frac{ω(G)}{5}\rceil$阶的断面.我们还考虑了类似的问题，最长的周期，并表明，如果$G$是一个2-连通弦图，然后有一个横截相交的所有最长的周期的顺序至多$2\lceil\frac{ω(G)}{3}\rceil$。
2020-12-14 math.CO
Transversals of Longest Cycles in Partial $k$-Trees and Chordal Graphs
设$lct(G)$是2-连通图$G$中与每个最长圈相交的顶点集的最小基数。我们表明，$lct(G)\leq k-1$，如果$G$是一个部分$k$树和$lct(G)\leq \max \{1, {ω(G){-}3}\}$，如果$G$是弦，其中$ω(G)$是在$G$的最大团的基数。这些结果意味着所有的最长圈都相交于2-连通系列平行图和3-树。
2019-12-27 cs.DM math.CO
An approximation algorithm for the longest cycle problem in solid grid graphs
虽然实格图的哈密尔顿性是多项式时间可判定的，但这类图的最长圈问题的复杂性仍然是一个未知数。本文通过提出一个线性时间常数因子近似算法，证明了实网格图中的最长圈问题在APX中。更准确地说，我们的算法找到一个周期的长度至少为$\frac{2n}{3}+1$在2-连接$n$ -节点的固体网格图。关键词：最长圈，哈密尔顿圈，近似算法，立体网格图。
2015-02-25 cs.DM cs.DS math.CO
Regular graphs with few longest cycles
出于工作的Haythorpe，Alassen和作者表明，存在一个积极的常数$c$，使有一个无限的家庭4-经常4-连通图，每个包含确切的$c$哈密尔顿周期。我们补充这一点，证明了同样的结论适用于平面4-正则3-连通图，虽然它不适用于平面4-正则4-连通图的Brinkmann和Van Cleemput的结果，它适用于4-正则图的连通度2与常数$144 < c$，我们相信是最小的所有哈密尔顿4-正则图的足够大的顺序。然后证明了对每个非负整数$k$，在$26 + 6k$顶点上存在一个5-正则图，该图具有$2^{k+10} \cdot 3^{k+3}$ Hamilton圈，从而否定了Haythorpe的一个猜想.证明了对每一个$d \ge 3$，都存在一个无限族的最小度为$d$的Hamilton 3-连通图，其Hamilton圈数有界.证明了如果3-正则图$G$有唯一的最长圈$C$，则$G - E(C)$的至少两个分支在$C$上有奇数个顶点，并且存在恰好有两个这样的分支的3-正则图.
2022-01-27 math.CO
Improved asymptotic upper bounds for the minimum number of pairwise distinct longest cycles in regular graphs
本文改进正则哈密顿图中两两不同最长圈数量的渐近上界，证明 Haythorpe 猜想在渐近意义上不成立，并证明非哈密顿 2-连通正则图的该不变量可被常数界定。
2023-10-26 math.CO
An improved lower bound on the length of the longest cycle in random graphs
本文给出了二项随机图$G(n,(1+ε)/n)$的最长圈长度的一个新的下界，该图对所有$ε=ε(n)$都成立w.h.p.，使得$ε^3n\to \infty$ .在$ε\leq ε_0$的情况下，对于某个足够小的常数$ε_0$，该界限等于$1.581ε^2n$，其改进了Luczak给出的$4ε^2n/3$的当前最佳下界。
2022-08-14 cs.DS math.CO
Decomposing various graphs into short even-length cycles
证明了在满足明显的必要条件、每个圈的长度至多为最小部分的大小、最长圈至多为第二长圈的三倍的情况下，完全二部图可以分解为任意指定长度的圈。然后，我们使用这个结果得到的结果不完整的甚至循环系统的孔和分解的完整的多部图成周期的均匀甚至长度。
2012-04-16 math.CO
Longest cycles and Dirac-type results in highly connected graphs
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Nankai University（南开大学）
本文证明了Bondy关于k连通图中最长圈外路径长度不超过k-1的猜想对所有足够大的图成立，并给出了一个Dirac型定理以给出k连通图中最长圈长度的下界。
2026-06-02 math.CO
Longest cycles in sparse random digraphs
稀疏随机图和有向图中的长路和长圈是20世纪80年代研究的热点。Frieze在1986年证明了具有$p=c/n$的随机图$\cG(n,p)$在除最多$(1+ε)ce^{-c}n$点外的所有点上都有高概率的圈，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$ .由于顶点的度为1，因此对未覆盖顶点的数量的估计基本上是紧的。然而，对于随机有向图$\cD(n,p)$，没有严格的结果是已知的，最佳估计是远离相应下界的$c/2$的因子。在这项工作中，我们关闭了这个差距，并表明，随机有向图$\cD(n,p)$与$p=c/n$有一个圈包含所有，但$(2+ε)e^{-c}n$顶点w.h.p.，其中$ε=ε(c)\to 0$为$c\to\infty$。这本质上是紧的，因为w.h.p.这样的随机有向图包含具有零入度或出度的$(2e^{-c}-o(1))n$顶点。
2011-02-15 math.CO
On two conjectures about the intersection of longest paths and cycles
本文研究k-连通图中最长圈与最长路径的相交猜想，证明最长圈公共顶点数下界并在特定参数范围证实Smith猜想，还通过归约关联两类猜想并在特定k范围验证Hippchen猜想。
2023-10-05 cs.DM math.CO
On longest non-Hamiltonian Cycles in Digraphs with the Conditions of Bang-Jensen, Gutin and Li
设$D$是$n\geq 4$上的强有向图.在[2，J. Graph Theory 22（2）（1996）181-187）]中，J. Bang-Jensen，G. Gutin和H. Li证明了如下定理：如果对每对具有公共内邻点的不邻顶点$x, y$，（*）$d(x)+d(y)\geq 2n-1$和$min \{d(x), d(y)\}\geq n-1$，或对每对具有公共内邻点或公共外邻点的不邻顶点$x, y$，（**）$min \{d^+(x)+ d^-(y),d^-(x)+ d^+(y)\}\geq n$，则$D$是Hamilton的.本文证明了：（i）若$D$满足条件（*）且$D$的最小半度至少为2，或（ii）若$D$不是有向圈且满足条件（**），则要么$D$包含一个长为$n-1$的圈，要么$n$是偶数且$D$同构于完全二部有向图或同构于完全二部有向图减一条弧.
2012-09-20 math.CO
Bounding the distance among longest paths in a connected graph
很容易看出，在一个连通图中，任何两条最长的路都有一个公共顶点。当k>=7时，Skupien在[7]中得到了一个连通图，其中某些k条最长路没有公共点，但每k-1条最长路都有公共点.连通图中的3条最长路是否有公共顶点，以及4、5、6条最长路是否有公共顶点，这一点还不清楚.在[5]中，作者给出了连通图中3条最长路之间距离的一个上界.在本文中，我们给出了一个类似的上界之间的距离4最长的道路和k最长的道路，在一般情况下。
2018-05-03 math.CO
Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs
我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。
2012-02-13 math.CO
An Improved Bound for Smith's Longest Cycles Conjecture via a Forbidden Subdivision
Columbia University（哥伦比亚大学）
本研究针对k≥2的k-连通图的Smith最长圈猜想，结合拉姆齐理论细化与计算机搜索，将其边界从Ω(k^(2/3))改进至Ω(k^(8/11))。
2026-09-01 cs.DM math.CO
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
2023-02-28 math.CO
Longest Paths in Circular Arc Graphs
正如Rautenbach和Sereni（arXiv：1302.5503）所观察到的那样，Balister等人的定理证明存在差距（圆弧图中的最长路径，Combin.可能吧计算：13，No. 3，311-317（2004）），其指出连通圆弧图中所有最长路径的交集是非空的。在本文中，我们缩小了这一差距。
2013-12-11 math.CO
Decomposing $K_{u+w}-K_u$ into cycles of various lengths
证明了在满足明显的必要条件下，带洞的完全图$K_{u+w}-K_u$可分解为任意长度的圈，每个圈的长度至多为$\min(u,w)$，且最长圈的长度至多为第二长圈的3倍.这推广了现有的结果分解成均匀长度的周期的完全图与洞，并补充工作分解成周期的任意指定长度的完全图，完全多重图和完全多部图。
2016-03-12 math.CO
Every longest circuit of a 3-connected, $K_{3,3}$-minor free graph has a chord
Carsten Schlassen证明了3-连通图中的每一个最长圈都有弦.我们证明了猜想的图没有$K_{3,3}$子，从而为可平面图。
2008-03-31 math.CO
On the intersection of two longest paths in $k$-connected graphs
本文证明了$k$连通图中每对最长路至少相交于$(8k-n+2)/5$顶点。我们还证明了，在一个4-连通图中，每对最长路至少相交于四个顶点。这证实了Hippchen关于$k$ -连通图当$k\leq 4$或$k\geq (n-2)/3$ .
2020-08-05 math.CO
A Note on Grünbaum's Conjecture about Longest Cycles and Paths
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息学部）；School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis & Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文研究了Grünbau关于最长环和路径猜想的空集问题，通过建立图类的最大度数上界，证明了在特定条件下这些图类为空，支持了Grünbau的猜想。
2026-02-23 math.CO
Minimal graph in which the intersection of two longest paths is not a separator
本文证明了对于一个具有$n\le 10$个顶点的连通单图$G$，以及$G$中的两条最长路$C$和$D$，顶点集$V(C)\cap V(D)$的交是一个分离子.这表明，以前用$n=11$找到的图，其中两条最长路径的顶点集$V(C)\cap V(D)$的交集的补是连通的，是最小的。
2021-05-25 math.CO
Nonempty intersection of longest paths in $2K_2$-free graphs
1966年，Gallai提出了一个问题：在一个连通图中，是否所有的最长路都有一个公共顶点。反例表明，这是不正确的一般。然而，Gallai的问题对于某些著名的连通图类是肯定的，例如分裂图、区间图、圆弧图、外平面图和串-平行图。一个图是$2K_2$ -free的，如果它不包含两个独立的边作为诱导子图.本文证明了在非空无$2K_2$图中，每个最大度的顶点是所有最长路的公共点。我们的结果意味着在一个非空的$2K_2$ -free图中所有的最长路都有一个非空的交集。特别地，当分裂图是$2K_2$ -free图时，给出了分裂图的结果的一个新的证明.
2016-11-18 math.CO
Any Three Longest Paths In A Connected Graph Has A Common Vertex
本文解决了1995年英国组合数学会议提出的问题，证明了连通图中任意三条最长路径必有一个公共顶点。
2024-05-06 math.CO
Transversals of Longest Paths and Cycles
设G是n阶图。设lpt（G）是G的顶点集X的最小基数，使得X与G的每条最长路相交，并类似地对圈而不是路定义lct（G）.本文证明了：当G是连通图时，lpt（G）\leq ceiling（n/4-n^{2/3}/90），当G是2-连通图时，lct（G）\leq ceiling（n/3-n^{2/3}/36），当G是连通圆弧图时，\lpt（G）\leq 3.我们的界限lct（G）改进了早先的结果，Rumassen和我们的界限圆弧图涉及到早先的声明Balister \emph{et al.}的参数包含一个差距。此外，我们还证明了可平面图和有界树宽图的lpt（G）的上界。
2013-02-22 cs.DM math.CO
Longest Cycle above Erdős-Gallai Bound
1959年，Erdés和Gallai证明了平均顶点度为ad（G）\geq 2的图G中存在一个长度至少为ad（G）的圈.我们给出了一个算法，对k个\geq 0，时间2^{O（k）} n^{O（1）}判定一个2-连通n-顶点图G是否包含一个长度至少为ad（G）+k的圈.这解决了几篇论文中明确提到的一个公开问题。我们的算法的主要成分是新的图论结果有趣的自己。
2022-02-07 cs.DM cs.DS math.CO
Bi-traceable graphs, the intersection of three longest paths and Hippchen's conjecture
设$P,Q$是简单图中的最长路。我们分析了$P\cup Q\setminus (V(P)\cap V(Q))$的组件之间的可能的连接，并介绍了一个双可追踪图的概念。我们使用的结果为所有可能的配置的交点时，$\#V(P)\cap V(Q)\le 5$为了证明，如果三个最长的路径$P,Q,R$的交集是空的，然后$\#(V(P)\cap V(Q))\ge 6$。证明了Hippchen关于$k\le 6$的猜想：如果图$G$对于$k\le 6$是$k$ -连通的，且$P$和$Q$是$G$中的最长路，则有$\#(V(P)\cap V(Q))\ge 6$ .
2021-05-25 math.CO
Dominating cycles and forbidden pairs containing a path of order 5
一个圈是一个图是控制的，如果图的每条边都与圈的一个顶点关联。本文研究了一类保证控制圈存在的禁止对的刻画，得到了以下两个结果：（1）每个$2$ -连通无$\{P_{5}, K_{4}^{-}\}$图都含有一个最长的控制圈. (ii)每一个$2$ -连通无$\{P_{5}, W^{*}\}$图都含有一个最长圈，它是控制圈.这里，$P_{5}$是$5$阶的路径，$K_{4}^{-}$是从$4$阶的完全图通过去除一个边而获得的图，而$W^{*}$是从两个三角形和一个边通过识别每个三角形中的一个顶点而获得的图。
2015-02-10 math.CO
Large cycles in 4-connected graphs
对于具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图$G$，要么含有长度至少为$4δ-κ-4$的圈，要么$G$中的最长圈是控制圈.
2009-06-27 math.CO
Small hitting sets for longest paths and cycles
该研究受经典图论问题与猜想启发，运用结构图论方法，改进了图中击中所有最长路径、最长环的最小顶点集规模的相关界，并推进了顶点传递图中路径与环最大长度的猜想研究。
2025-08-04 math.CO
Longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
本文证明了关于最长圈的新引理，改进了顶点传递图中最长圈长度下界至Ω(n^(13/21))，以及r-连通图中任意两个最长圈相交顶点数下界至Ω(r^(5/8))，推进了三个古老猜想的研究。
2025-10-28 cs.DM math.CO
Nonempty Intersection of Longest Paths in Series-Parallel Graphs
Gallai在1966年提出了一个问题：在一个连通图中，是否所有的最长路都有非空的交集。这是不正确的一般和各种反例已经发现。然而，Gallai的问题的答案是肯定的几个著名的类的图，例如连接outerplanar图，连接分裂图，和2-树。如果图不包含$K_4$作为子图，则该图是串并联的。串并行图也称为部分2-树，是2-树的任意子图。我们提出了一个证明，每一个连通的串并联图有一个顶点，是共同的所有最长的道路。由于2-树是最大的串联平行图，和外平面图也是串联平行的，我们的结果捕获这两个类在一个证明，并加强他们的一个更大的一类图。我们还描述了如何在线性时间中找到这个顶点。
2015-03-05 math.CO
A note on the distribution of the sum of lengths of the initial longest increasing sequences in cycles of random permutations
本文研究随机排列各循环中 ILIS 长度之和 $s_n$，在 Mansour 的期望与方差结果基础上，证明其适当归一化后随 $n\to\infty$ 弱收敛至标准正态分布。
2025-09-30 math.CO
A Degree Condition for Dominating Cycles in $t$-tough Graphs with $t>1$
设$G$是一个$t$ -坚韧图，其序为$n$，最小度为$δ$，且有$t>1$ .证明了如果$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.
2012-01-07 math.CO
A New Approach Towards a Conjecture on Intersecting Three Longest Paths
1966年，T. Gallai问是否每一个连通图有一个顶点，出现在所有最长的路径。从那时起，这一问题就引起了人们的广泛关注，并在这方面做了大量的工作。这一领域的一个重要的开放性问题是问在一个连通图中是否有任意三条最长路包含一个公共顶点。据确认，对这一问题的回答是肯定的。本文针对连通图中最长路径之间的距离提出了一种新的方法，并沿着这一思想对猜想做出了实质性的进展。
2015-07-27 math.CO
Long paths and cycles in random subgraphs of graphs with large minimum degree
对于图$G$和图$p\in [0,1]$，设$G_p$是由图$G$通过以概率$1-p$相互独立地删除每条边而产生的。随机图模型$(K_n)_p$无疑是研究最多的随机图模型，也称为$G(n,p)$ -模型。我们发现，几个结果的最长路径/周期的长度自然地转化为$G_p$，如果$G$是一个任意的最小度至少$n-1$图。对于一个常数$c$，我们表明，渐近几乎肯定的最长路径的长度至少是$(1-(1+ε(c))ce^{-c})n$为某些功能$ε(c)\to 0$ $c\to \infty$，和最长的周期的长度是至少$(1-O(c^{- \frac{1}{5}}))n$。第一个结果是渐近最佳可能的。这推广了$G(n,p)$ -模型中关于随机图的最长路/圈长度的几个已知结果.
2015-12-15 math.CO math.PR
My Research Visiting Card in Hamiltonian Graph Theory
我们提出了18个确切的类似物的六个著名的基本定理（由于狄拉克，纳什-威廉姆斯和荣格）在哈密顿图理论提供替代组合物的图形不变量。在定理1-3中，我们分别用最小度$δ$，连通度$κ$和参数$\bar{p}$，$\bar{c}$（$G\backslash C$中的最长路和最长圈的长度）给出了图$G$的最长圈长度$C$的三个下界.这些界限在涉及$\bar{p}$和$\bar{c}$作为参数的区域中没有类似物。在定理11和12中，我们给出了广义圈的两个Dirac型结果，包括一些基本结果（关于Hamilton和控制圈）作为特例。连通性不变量$κ$作为参数出现在一些基本结果和它们的精确类似物中（定理3-10）按以下时间顺序：1972（Chvátal和Erdös），1981年a（Nikoghosyan），1981年b（Nikoghosyan），1985年a（Nikoghosyan），1985年b（Nikoghosyan），2000（Nikoghosyan），2005（Lu，Liu，Tian），2009（Nikoghosyan），2009a（Yamashita），2009b（Yamashita），2011a（Nikoghosyan），2011b（Nikoghosyan）.
2012-04-09 math.CO
Nonempty intersection of longest paths in graphs without forbidden pairs
1966年，Gallai提出了一个问题：在一个连通图中，是否所有的最长路径都有一个非空的交集。这个问题的答案一般是不正确的，已经找到了各种反例.然而，对于许多著名的图类，如分裂图，串联平行图，和$2K_2$-free图，有一个肯定的解决方案Gallai的问题.在所有支持Gallai问题的图类中，几乎所有的图类在一定条件下都是Hamilton的。这一观察促使我们调查Gallai的问题，在图中是“接近”的哈密顿性质。设$\{R,S\}$是一对连通图。特别地，在本文中，我们证明了Gallai的问题是肯定的，所有连接$\{R,S\}$-免费的图，使每个2-连接$\{R,S\}$-免费的图是哈密尔顿。这些对$\{R,S\}$在20世纪90年代被完全表征。
2019-07-30 math.CO
A Lower Bound for the Circumference Involving Connectivity
设$G$是一个图，$C$是$G$中的最长圈，$\overline{p}$，$\overline{c}$分别是$G\backslash C$中的最长路和最长圈的长度.几乎所有的周长下限都基于一个标准的过程：在$G$中选择一个初始循环$C_0$，并试图通过$G\backslash C_0$的结构和与$\overline{p}$、$\overline{c}$和连接$κ$密切相关的$G\backslash C_0$和$G\backslash C_0$之间的连接来扩大它。实际上，在该过程的结果中获得的每个下界在某种程度上或与$κ$、$\overline{p}$、$\overline{c}$相关，但以$κ$、$\overline{p}$、$\overline{c}$的各种特定值的形式，并且主要问题是将这些不变量作为参数包含到这样的界中。本文给出了包含$δ$、$κ$和$\overline{c}$的周长的一个下界，并且这个下界随着$δ$、$κ$和$\overline{c}$的增加而增加.
2009-07-15 math.CO
Bound vertices of longest paths between two vertices in cubic graphs
本文针对Zhan关于k-连通图中两顶点间最长路径含至少k-1个内部绑定顶点的猜想，证明其对2-连通立方图成立，还证明相邻顶点情形下对3-连通立方图成立，进而推导出3-连通立方图最长圈至少有两条弦，推广并加强了Thomassen的相关结果。
2025-04-16 math.CO
Relative Length of Long Paths and Cycles in Graphs
对于图$G$，$n$表示$G$的阶，$p$表示$G$中最长路的阶，而$c$表示最长圈的阶。我们证明了如果$G$是一个2-连通图，使得对于所有独立顶点的三元组$x,y,z$，$d(x)+d(y)+d(z)\ge p+2$，则$c\ge p-1$。这改进了Nash-Williams（在最小度$δ$和阶$n$方面）、Bondy（在度和$σ_{3}$和阶$n$方面）以及Enomoto、Heuvel、Kaneko和Saito（在度和$σ_3$、阶$n$和相对长度$diff(G)=p-c$方面）的结果。
2014-07-01 math.CO
Non-empty intersection of longest paths in $P_5$-free and claw-free graphs
针对最长路径公共顶点的Gallai族判定问题，本文刻画了大小≤5的图H使得无爪且不含H的图为Gallai族，同时证明不含P5且不含三角形、paw或diamond的图为Gallai族，两项结果均具构造性。
2024-09-11 math.CO
Intersection of Longest Cycle and Largest Bond in 3-Connected Graphs
本文证明了在特定条件下的3-连通图中，最长圈必定与最大键相交，并研究了广义Petersen图的余谱。
2023-10-24 cs.DM math.CO
A Note on Large Cycles in Graphs Around Conjectures of Bondy and Jung
给出了任意k-连通图（k= 1，2，.）中广义圈（包括Hamilton圈和控制圈作为特例）的两个新的充分条件.证明了Bondy（1980）著名猜想的正确性，其某些变体显著地改进了给定假设所期望的结果。类似地，对于Jung（2001）提出的反向假设，建立了周长（最长循环的长度）的两个新的下界。
2022-11-26 math.CO
Long Directed Cycles in Vertex-Transitive Digraphs
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
在图论与群论交叉领域，寻找顶点传递图和有向图中的哈密顿圈是经典问题。本文构造无限多个最长有向圈遗漏至少\(n/12\)个顶点的连通顶点传递有向图，证实相关猜想，还将有向圈长度下限从\(\Omega(n^{1/3})\)提高到\(\Omega(\sqrt n)\) 。
2026-08-20 math.CO
