A comment on Ryser's conjecture for intersecting hypergraphs
设$τ(\mathcal{H})$为超图$\mathcal{H}$的覆盖数，$ν(\mathcal{H})$为超图的匹配数. Ryser证明了每个$r$ -部超图$\mathcal{H}$满足不等式$τ(\mathcal{H}) \leq (r-1) ν(\mathcal{H})$ .这个猜想是开放的所有$r \ge 4$。对于交超图，即具有$ν(\mathcal{H})=1$的超图，Ryser猜想归结为$τ(\mathcal{H}) \leq r-1$。即使这个猜想是非常困难的，是开放的所有$ r \ge 6$。对于无穷多个$r$，有$r$ -部超图与$τ(\mathcal{H})=r-1$相交的例子，证明了对这样的$r$猜想的严密性.然而，所有先前已知的构造都不是最佳的，因为它们使用太多的边。如果交叉$r$ -部超图的覆盖数尽可能大，那么它的稀疏性有多大，即$τ(\mathcal{H}) \ge r-1$？本文解决了$r \le 5$的这一问题，给出了$r=6$的一个几乎最优构造，证明了任何具有$τ(H) \ge r-1$的$r$ -部交超图必至少有$(3-\frac{1}{\sqrt{18}})r(1-o(1)) \approx 2.764r(1-o(1))$边，并猜想存在具有$Θ(r)$边的构造.
2007-09-20 math.CO
On Ryser's Conjecture for Linear Intersecting Multipartite Hypergraphs
Ryser证明了对于$r$ -部超图的$τ\le(r-1)ν$，其中$τ$是覆盖数，$ν$是匹配数.我们证明了这个猜想$r\le9$的特殊情况下的线性相交超图，换句话说，每对线恰好在一个顶点。Aharoni制定了一个更强的版本Ryser的猜想，其中规定，每个$r$ -部超图应该有一个覆盖的大小$(r-1)ν$的一个特定的形式。利用$r=13$和$ν=1$给出了Aharoni猜想的一个反例.我们还报告了一些计算结果。对于$r=7$，我们发现没有线性相交超图达到Ryser猜想中的等式$τ=r-1$，尽管非线性的例子是已知的。我们展示了交叉的非线性的例子实现平等的$r\in\{9,13,17\}$。另外，我们还发现$r=8$是$r$的最小值，使得存在一个线性交$r$ -部超图，它达到$τ=r-1$，并且不同构于一个射影平面的子超图.
2015-09-29 math.CO
Every longest circuit of a 3-connected, $K_{3,3}$-minor free graph has a chord
Carsten Schlassen证明了3-连通图中的每一个最长圈都有弦.我们证明了猜想的图没有$K_{3,3}$子，从而为可平面图。
2008-03-31 math.CO
On Chen's conjecture for the log-concavity of the longest increasing subsequence distribution
Suzhou University of Science and Technology（苏州科技大学）
本文证明当$n\ge 10^{10^{65}}$时，关于最长递增子序列分布对数凹性的Chen猜想成立，证明结合了Gessel行列式公式、Tracy-Widom密度估计等方法。
2026-10-14 math.CO
On Ryser's conjecture for t-intersecting and degree-bounded hypergraphs
一个著名的猜想（通常称为Ryser猜想），出现在他的学生J. R.~ Henderson [15]指出，对于一个$r$ -一致$r$ -部超图$\mathcal{H}$，不等式$τ(\mathcal{H})\le(r-1)\cdot ν(\mathcal{H})$总是成立.这个猜想是广泛开放的，除了在$r=2$的情况下，当它等价于K \H Onig的定理[18]，并在$r=3$的情况下，这是由Aharoni在2001年[3]证明。本文研究了Ryser猜想的一些特殊情况。首先，研究最多的特殊情况是当$\mathcal{H}$相交时。即使对于这种特殊情况，也没有太多的了解：这个猜想在[10，21]中只对$r\le 5$证明了。对于$r>5$，它也是广泛开放的。推广了相交超图的猜想，我们猜想如下。如果$r$ -均匀$r$ -部超图$\mathcal{H}$是$t$ -相交的（即，每两个超边至少在$t<r$顶点处相交），则$τ(\mathcal{H})\le r-t$。我们证明了这个猜想的情况$t> r/4$。Gyárfás [10]证明了Ryser关于相交超图的猜想等价于说$r$ -边着色完全图的顶点可以被$r-1$单色分量覆盖。出于这个配方，我们研究了什么分数的顶点可以覆盖的$r$单色组件的\emph{different}颜色的$r$ -边着色完全图。我们证明了这个问题的一个严格界。最…
2017-12-09 math.CO
Intersecting families, cross-intersecting families, and a proof of a conjecture of Feghali, Johnson and Thomas
如果$\mathcal{A}$中的每两个集合相交，则称集合族$\mathcal{A}$相交。如果$\mathcal{A}$中的每个集合与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉相交。对于正整数$n$，设$[n] = \{1, \dots, n\}$和$\mathcal{S}_n = \{A \subseteq [n] \colon 1 \in A\}$。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理，证明了如果$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是$[n]$的子集的非空交叉族，$\mathcal{A}$是交叉的，并且$a_0, a_1, \dots, a_n, b_0, b_1, \dots, b_n$是非负实数，使得对于每个$i \leq n/2$，$a_i + b_i \geq a_{n-i} + b_{n-i}$和$a_{n-i} \geq b_i$，则\[\sum_{A \in \mathcal{A}} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{B}} b_{|B|} \leq \sum_{A \in \mathcal{S}_n} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{S}_n} b_{|B|}.\]对于图$G$和整数$r$，令${\math…
2017-06-17 math.CO
Ryser's Conjecture for $t$-intersecting hypergraphs
一个著名的猜想，通常归因于Ryser，指出一个$r$ -部$r$ -一致超图的覆盖数至多是它的匹配数的$r - 1$倍。尽管付出了相当大的努力，特别是在交叉的情况下，这个猜想仍然是开放的，激发了对原始猜想的变体的追求。最近，Bustamante和Stein以及Király和Tóthmérész在超图是$t$ -相交的假设下考虑了这个问题，证明了这样一个超图$\mathcal{H}$的覆盖数$τ(\mathcal{H})$至多是$r - t$。在这些论文中，证明了这个猜想对$r \leq 4t-1$是正确的，但也证明了它不需要是尖锐的;当$r = 5$和$t = 2$时，人们有$τ(\mathcal{H}) \leq 2$。我们在两个方向上扩展这些结果。首先，对于所有的$t \geq 2$和$r \leq 3t-1$，我们证明了这些超图的覆盖数的一个紧上界，表明它们实际上满足$τ(\mathcal{H}) \leq \lfloor(r - t)/2 \rfloor + 1$。其次，我们扩大了$t$的范围，该猜想是真的，表明它适用于所有的$r \leq \frac{36}{7}t-5$。我们还介绍了这个主题的几个相关的变化。由于我们的紧界，我们解决了问题的$k$明智$t$ -相交超图，所有的$k \geq 3$和$t \geq 1$。进一步给出了严格$t$ -交超图的覆盖数和$t$ -…
2020-11-27 math.CO
Proof of a conjecture of Voss on bridges of longest cycles
本文通过将问题归约为圈覆盖问题，完整证明了Voss关于2-连通图最长圈中树状重叠的互不相交桥总长度至多为圈长一半的猜想。
2025-09-08 math.CO
Longest increasing subsequences and log concavity
令$π$是$[n]=\{1,\dots,n\}$的置换，并且用$\ell(π)$表示$π$的最长递增子序列的长度。令$\ell_{n,k}$为$[n]$与$\ell(π)=k$的排列数$π$。Chen证明了序列$\ell_{n,1},\ell_{n,2},\dots,\ell_{n,n}$对每个固定的正整数$n$都是对数凹的.我们猜想，同样是真的，如果一个是限制考虑对合，我们表明，这两个aceturtures密切相关。我们还证明了各种类似物，这些acetutures关于排列的输出tableaux下的罗宾逊-申斯特算法有一定的形状。此外，我们提出了一个证明Deift的极限分布的一部分是对数凹的。讨论了各种其他配置。
2015-11-27 math.CO
Chords of longest cycles in graphs with large circumferences
本文证明了对于具有大周长的图，Thomassen 和 Harvey 关于最长圈弦的猜想均成立，并推广至包含线性森林的最长圈情形。
2025-11-05 math.CO
A note on hypergraphs without non-trivial intersecting subgraphs
一个超图$\mathcal{F}$是非平凡相交的，如果它的每两条边都有一个非空交，但$\mathcal{F}$的所有边都不包含顶点. Mubayi和Verstraëte证明了对于每个$k \ge d+1 \ge 3$和$n \ge (d+1)n/d$，每个$k$ -图$\mathcal{H}$在$n$顶点上不具有大小为$d+1$的非平凡相交子图，至多包含$\binom{n-1}{k-1}$边.他们证实，相同的结论适用于所有$d \ge k \ge 4$和足够大的$n$。我们通过证明一个更强有力的陈述来证实他们的猜想。他们还证明，对于$m \ge 4$和足够大的$n$，在$n$顶点上的$3$ -图的最大尺寸是由某些Steiner系统实现的，该图没有尺寸为$3m+1$的非平凡相交子图.我们给出了一个具有更多边的构造，表明他们的猜想一般是不成立的。
2020-07-21 math.CO
Intersecting extremal constructions in Ryser's Conjecture for r-partite hypergraphs
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r-1$倍。这个猜想只对$r\leq 3$成立。对于交超图，Ryser猜想归结为：每个$r$ -部交超图的边都能被$r-1$顶点覆盖。这个猜想的特殊情况只在$r \leq 5$中得到了证明。研究在Ryser猜想中是极值的超图，即顶点覆盖数恰好是匹配数的$r-1$倍的超图是一个有趣的问题。很少有已知的结构这样的图。对于大$r$，唯一已知的构造来自投影平面，并且仅当$r-1$是素数幂时才存在。Mansour、Song和Yuster研究了一个超图的边数是如何满足Ryser猜想的极值的。他们定义$f(r)$为最小整数，使得存在一个$r$ -部交超图$\mathcal{H}$，它有$τ({\mathcal{H}}) = r -1$和$f(r)$边.结果显示，$f(3) = 3, f(4) = 6$、$f(5) = 9$和$12\leq f(6)\leq 15$。在本文中，我们专注于$r=6$和7。我们表明，$f(6)=13$改善以前的界限。我们还表明，$f(7)\leq 22$，给出了第一个已知的极端超图的$r=7$情况下的Ryser猜想。这些结果是由Aharoni、Barat和Wanless独立获得的。
2014-09-17 math.CO
Log-concavity and q-Log-convexity Conjectures on the Longest Increasing Subsequences of Permutations
令$π$为[n]={1，2，.，n}，使得$π$的最长递增序列的长度等于k，并且令$M_{2n, k}$是[2n]上具有交叉数k的匹配的数目。定义$P_n(x)= \sum_k P_{n,k}x^k$和$M_{2n}(x)=\sum_{k} M_{2n,k}x^k$。本文给出了多项式$P_n(x)$和$M_{2n}(x)$的对数凸性和q对数凸性的一些证明。我们还引入了$\infty$ -q-log-凸性和$\infty$ -q-log-凸性的概念，以及关于$\infty$ -q-log-凸性或$\infty$ -q-log-凸性的高阶对数凸性的概念.提出了Boros-Moll多项式的$\infty$ -q-log-凸性的一个猜想。似乎$M_{2n}(x)$是关于$\infty$ -q-log-凸性的任意阶对数-凹的。
2008-06-22 math.CO
Alon's conjecture on intersecting families of graphs
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
本文证明了 $P_4$-相交图族的大小上界，解决了 Alon 的猜想，并刻画了渐近密度为 $1/2$ 的相交族对应的图类为星森林。
2026-10-06 math.CO
On Hamilton cycles in graphs defined by intersecting set systems
本文综述了Lovász关于连通顶点传递图哈密顿圈猜想的解决，聚焦于相交集合系统定义的图，概述了证明中的多种关键要素。
2023-11-14 math.CO
Schur positivity and log-concavity related to longest increasing subsequences
Chen提出了一个关于对称群的生成函数关于置换的最长递增序列长度的对数增长的猜想。受陈的对数-代数猜想的启发，博纳、拉克纳和萨根进一步研究了类似的问题，将整个对称群限制在它的某些子集上。他们通过使用钩长公式获得了这些子集的相应生成函数的对数。本文通过建立某些对称函数的Schur正性，推广并证明了他们的结果。这也使我们能够提出一个新的方法来陈的原始猜想。
2017-03-19 math.CO
A note on extremal intersecting linear Ryser systems
Ryser的一个著名猜想指出，任何$r$ -partite集系统的横截数至多为$r-1$乘以它们的匹配数。这个猜想只在一般情况下对$r\leq3$成立，如果集合系统是相交的，对$r\leq5$成立，如果相交的集合系统是线性的，对$r\leq9$成立。本文讨论相交$r$ -部线性系统的Ryser猜想，即如果$τ$是相交$r$ -部线性系统的横截数，则Ryser猜想表明$τ\leq r-1$ .如果这个猜想是真的，这是已知的$r$是尖锐的，其中存在一个投影平面的顺序$r-1$。也有相当大的努力，以找到交叉$r$ -partite集系统的横截数是$r-1$。本文证明了：若$r\geq4$是偶数，则有$f_l(r)\geq3(r-2)+1$，其中$f_l(r)$是横截数为$r-1$的相交$r$ -部线性系统的最小线数.对于$r$的一些小值，该下限给出了$f_l(r)$的精确值。证明了任何$r$ -particular线性系统满足$τ\leq r-1$，如果$ν_2\leq r$对所有$r\geq3$奇整数，$ν_2\leq r-1$对所有$r\geq4$偶整数，其中$ν_2$是线的子集$R\subseteq\mathcal{L}$的最大基数，使得$R$的每个不同元素的三元组没有公共点.
2021-08-02 math.CO
Intersecting Families of Perfect Matchings
$K_{2n}$的完美匹配族是$t$ - $intersecting$，如果任何两个成员共享$t$或多个边。我们证明了任何$t \in \mathbb{N}$，每一个$t$交叉家庭的完美匹配的大小不大于$(2(n-t) - 1)!!$足够大的$n$，并平等保持当且仅当家庭是由所有完美匹配，包含一个固定的一组$t$不相交的边缘。这是Godsil和Meagher猜想的渐近版本，可以看作是Ellis，Friedgut和Pilpel证明的Deza-Frankl猜想的非二分类似物。
2018-11-15 math.CO
Average length of the longest $k$-alternating subsequence
我们证明了Drew Armstrong关于$k$ -排列的交替子序列的平均最大长度的猜想。$k=1$案例是理查德·斯坦利的一个著名结果。
2015-02-05 math.CO
Intersecting faces of a simplicial complex via algebraic shifting
一个集合族$\mathcal{A}$是{ \it $t$ -intersecting}，如果在$\mathcal{A}$中的每一对集合的交集的基数至少是$t$，并且是一个{ \it $r$ -family}，如果在$\mathcal{A}$中的每一个集合都有基数$r$。一个著名的Erdens、Ko和Rado定理界定了$n$ -元素集的子集的$t$ -相交$r$ -族的基数，或者等价地界定了具有$n$顶点的单形的$(r-1)$ -维面的基数。作为Erdens-Ko-Rado定理的推广，Borg提出了一个关于任意单纯复形的$t$ -相交$r$ -族面的大小的猜想。他证明了他对移位复形的猜想。本文在Woodroofe工作的基础上给出了这个结果的一个新的证明。利用代数移位证明了Borg猜想在序列Cohen-Macaulay $i$ -near-cone（$t=i$）情形下的有效性.
2012-02-23 math.CO
Triangle-Intersecting Families of Graphs
一个图族F称为三角形相交的，如果对F中的任意两个图G，H，G和H的交包含一个三角形。Simonovits和Sos在1976年的一个猜想指出，在一个固定的n个顶点的集合上的最大的三角形相交图族是通过固定一个特定的三角形并取所有包含它的图，得到一个大小为（1/8）2^{n choose 2}的图族。我们证明了这个猜想和一些推广（例如，我们证明了同样是真的奇循环相交的家庭，我们得到最好的可能界限的大小家庭根据不同的，不一定是统一的，措施）。我们还得到了稳定性结果，表明几乎最大的三角形相交的家庭有近似相同的结构。
2012-10-08 math.CO
On Dirac's Conjecture
设$G$是一个2连通图，$l$是$G$中最长路的长度，$c$是$G$中最长圈的周长. 1952年，狄拉克证明了$c>\sqrt{2l}$，并证明了$c\ge 2\sqrt{l}$。在本文中，我们提出了更一般的尖锐的界限$l$和长度$m$的葡萄藤上的最长路径$G$包括狄拉克猜想作为推论：如果$c=m+y+2$（一般，$c\ge m+y+2$）为一些整数$y\ge 0$，然后$c\ge\sqrt{4l+(y+1)^2}$，如果$m$是奇数;和$c\ge\sqrt{4l+(y+1)^2-1}$，如果$m$是偶数。
2016-04-04 math.CO
On sum-intersecting families of positive integers
本文研究 {1,…,n} 上任意两子集交集均含 x+y=z 的和相交族规模，猜想上界为 2^n/4，并证明了 0.32·2^n 的上界。
2023-04-27 math.CO
On a conjecture of Tokushige for cross-$t$-intersecting families
本文针对极值集合论中交叉t-相交族的最大规模乘积问题，证明了满足特定参数条件时的乘积上界及等号成立条件，证实了Tokushige提出的t≥3时的相关猜想。
2024-10-30 math.CO
Bound vertices of longest paths between two vertices in cubic graphs
本文针对Zhan关于k-连通图中两顶点间最长路径含至少k-1个内部绑定顶点的猜想，证明其对2-连通立方图成立，还证明相邻顶点情形下对3-连通立方图成立，进而推导出3-连通立方图最长圈至少有两条弦，推广并加强了Thomassen的相关结果。
2025-04-16 math.CO
On two conjectures about the intersection of longest paths and cycles
本文研究k-连通图中最长圈与最长路径的相交猜想，证明最长圈公共顶点数下界并在特定参数范围证实Smith猜想，还通过归约关联两类猜想并在特定k范围验证Hippchen猜想。
2023-10-05 cs.DM math.CO
A proof of a Frankl-Kupavskii conjecture on intersecting families
本文证明了 Frankl-Kupavskii 关于同时为 (3,1)-wise 和 (2,3)-wise 相交族的猜想，并确定了所有 n 下的精确最大族大小。
2023-05-09 math.CO
Improvements on Hippchen's Conjecture
设$G$是$n$上的$k$ -连通图. Hippchen猜想指出，$G$中的两条最长路径至少共享$k$顶点。Gutiérrez最近证明了$k\leq 4$或$k\geq \frac{n-2}{3}$时的猜想。我们改进的结果，即，我们表明，两个最长的路径在$G$共享至少$k$顶点时，$k=5$或$k\geq \frac{n+2}{5}$。这完全解决了古铁雷斯的两个问题。
2020-11-18 math.CO
$K_4$-intersecting families of graphs
Ellis、Filmus和Friedgut证明了Simonovits和Sós的一个古老猜想，证明了$n$顶点上的三角形相交图族的最大尺寸至多为$2^{\binom{n}{2} - 3}$，并且对于包含某个固定三角形的图族是相等的。他们强调，他们的结果扩展到交叉交叉的家庭，以及$K_t$交叉的家庭。我们证明了$t \in \{3,4\}$的这些结构，表明如果$\mathcal F_1$和$\mathcal F_2$是$n$标记顶点上的图族，使得对于任何$G_1 \in \mathcal F_1$和$G_2 \in \mathcal F_2$，$G_1 \cap G_2$包含$K_t$，则$\lvert \mathcal F_1 \rvert \lvert \mathcal F_2 \rvert \le 4^{\binom{n}{2} - \binom{t}{2}}$具有相等性当且仅当$\mathcal F_1 = \mathcal F_2$由包含某些固定$K_t$的所有图组成。我们还建立了稳定性结果。更一般地说，“$G_1 \cap G_2$包含一个$K_t$“可以被替换为“$G_1$和$G_2$同意一个非$(t-1)$可着色图.”"
2021-04-01 math.CO
A Note on Grünbaum's Conjecture about Longest Cycles and Paths
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息学部）；School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis & Applications (Ministry of Education), Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院，非线性分析与应用教育部重点实验室）
本文研究了Grünbau关于最长环和路径猜想的空集问题，通过建立图类的最大度数上界，证明了在特定条件下这些图类为空，支持了Grünbau的猜想。
2026-02-23 math.CO
Covers in Partitioned Intersecting Hypergraphs
给定一个整数$r$和一个带有$\sum_{i \le p} a_i=r$的正数向量$\vec{a}=(a_1, \ldots ,a_p)$，一个$r$ -均匀超图$H$称为$\vec{a}$ -可分的，如果$V(H)=\bigcup_{i \le p}V_i$，其中集合$V_i$是不相交的，并且$|e \cap V_i|=a_i$对所有$e \in H,~~i \le p$都是.一个$\vec{1}$ -分块超图称为$r$ -分图.令$t(\vec{a})$是在所有相交的$\vec{a}$ -划分超图$H$上，$H$的覆盖的最小尺寸的最大值。Ryser的一个著名猜想是$t(\vec{1})\le r-1$。Tuza解释说，如果$r>2$，则$t(\vec{a})=r$对于每两个分量向量$\vec{a}=(a,b)$。我们证明了这个猜想时，$a\neq b$，也为$\vec{a}=(2,2)$和$\vec{a}=(4,4)$。
2015-01-01 math.CO
2-intersecting permutations
本文研究了$2$ -点态和$2$ -集态相交置换的Erdens-Ko-Rado性质。如果存在$\{1,2,\dots,n\}$的$t$ -子集$S$使得$S^σ= S^τ$，则两个排列$σ,τ\in Sym(n)$是$t$ -集相交的.如果对于每个$s\in S$，$s^σ= s^τ$，那么我们说$σ$和$τ$是$t$ -逐点相交的。我们说$Sym(n)$有$t$ -setwise（分别）。$t$ -逐点）相交性质，如果对于$t$的任何族$\mathcal{F}$-逐集（分别$t$ -逐点）交叉排列，$|\mathcal{F}| \leq (n-t)!t!$（分别$|\mathcal{F}| \leq (n-t)!$）。Ellis（《Setwise Intersecting Families of Permutation》）{ Journal of Combinatorial Theory，Series A}，119（4）：825-849，2012.]），证明了当$n$相对于$t$足够大时，$Sym(n)$具有$t$ -集交性质。Ellis还指出，这个结果对所有$n \geq t$都成立。Ellis，Friedgut and Pilpel [Ellis，David，Ehud Friedgut，and Haran Pilpel.“交叉排列的家族。《美国数学学会杂志》24（3）：649…
2020-04-30 math.CO
On the intersection of two longest paths in $k$-connected graphs
本文证明了$k$连通图中每对最长路至少相交于$(8k-n+2)/5$顶点。我们还证明了，在一个4-连通图中，每对最长路至少相交于四个顶点。这证实了Hippchen关于$k$ -连通图当$k\leq 4$或$k\geq (n-2)/3$ .
2020-08-05 math.CO
Snevily's Conjecture about $\mathcal{L}$-intersecting Families on Set Systems and its Analogue on Vector Spaces
本文研究集合系统的$\mathcal{L}$-相交族问题，证明了当$n$满足特定下界时Snevily猜想成立，并将结论推广到有限域上向量空间的子空间相交族情形。
2024-03-07 math.CO
Longest cycles and Dirac-type results in highly connected graphs
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Nankai University（南开大学）
本文证明了Bondy关于k连通图中最长圈外路径长度不超过k-1的猜想对所有足够大的图成立，并给出了一个Dirac型定理以给出k连通图中最长圈长度的下界。
2026-06-02 math.CO
A conjecture implying Thomassen's chord conjecture in graph theory
本文提出一个蕴含 Thomassen 弦猜想的新猜想，涉及 k-连通图中最长路径的界顶点，并提供支持证据和特例分析，以探索该著名未解问题的周边环境。
2024-02-07 math.CO
An Improved Bound for Smith's Longest Cycles Conjecture via a Forbidden Subdivision
Columbia University（哥伦比亚大学）
本研究针对k≥2的k-连通图的Smith最长圈猜想，结合拉姆齐理论细化与计算机搜索，将其边界从Ω(k^(2/3))改进至Ω(k^(8/11))。
2026-09-01 cs.DM math.CO
Proof of Frankl's conjecture on cross-intersecting families
本文证明了Frankl关于交叉相交族基数上界的猜想，通过建立受限全集下的交叉相交族定理，并推导出类似结果。
2025-05-10 math.CO
Non-intersecting Ryser hypergraphs
Ryser的一个著名猜想指出，每个$r$ -部超图的顶点覆盖数至多为匹配数的$r - 1$倍.近年来，满足这个限制的超图，称为$r$ -Ryser超图，得到了广泛的研究。最近Haxell，Narins和Szabó证明了所有具有匹配数$ν> 1$的$3$-Ryser超图本质上是通过取相交$3$ -Ryser超图的$ν$不相交副本得到的.阿布Khazneh表明，这样的特点是假的$r = 4$通过计算机生成的例子，$4$ -Ryser超图与$ν= 2$的顶点集不能被划分为两个集，使我们有一个相交的$4$ -Ryser超图的每一个这些部分。在这里，我们构造了新的无限族的$r$ -Ryser超图，对于任何给定的匹配数$ν> 1$，不包含两个顶点不相交相交的$r$ -Ryser子超图.
2019-10-28 math.CO
Intersecting Families of Separated Sets
证明了Holroyd和Johnson的一个猜想，即Erdos-Ko-Rado定理的一个类似定理对k-分离集成立.特别是，这决定了由Schrijver确定的Kneser图的顶点临界子图的独立数，即分离集的集合。
2002-11-20 math.CO
Acyclic edge coloring conjecture is true on planar graphs without intersecting triangles
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。Fiam{\displaystyle Fiam}ik（1978）和Alon，Sudakov and Zaks（2001）提出的无圈边着色猜想指出：每个具有最大度$Δ$的简单图都是无圈边$(Δ+ 2)$ -可着色的。尽管有许多里程碑，猜想仍然开放，即使是平面图。本文肯定地证实了关于不含相交三角形的平面图的猜想。我们这样做的第一个显示，放电的方法，每一个平面图没有相交的三角形必须至少有一个指定的六个群体的局部结构，然后证明了猜想的concursoring某些边缘在每个这样的局部结构和归纳的边缘数的图形。
2020-05-13 cs.DM math.CO
On Kleitman's Conjecture
本文通过离散上同调和凸优化技术，重新表述并研究了Kleitman关于最大相交子族向量的猜想。
2026-09-15 math.CO
Asymptotic upper bounds on the shades of t-intersecting families
本文研究了[n]的k-子集的t-相交族的m-阴影，并对它们的基数的最优上界进行了猜想。这个猜想推广了被Ahlswede-Khachatrian证明为真的Frankl的一般猜想。由此我们推出了[2 m]的k（m）-子集的t（m）-相交族的m-阴影基数的精确渐近上界，当m ->无穷大时.也被认为是一个推广到交叉T相交的家庭。
2008-08-11 math.CO math.LO
On cross-intersecting families of independent sets in graphs
令A_1，.，A_k是n元集合的子集族的集合。我们说这个集合是交叉相交的，如果对于任何i，j在[k]中，i不等于j，A在A_i中，B在A_j中，意味着A和B的交集是非空的。本文考虑Hilton的一个定理，它给出了均匀相交子族基数和的一个最佳可能的上界.我们制定一个图论模拟希尔顿的交叉定理，类似于一个开发的Holroyd，斯宾塞和塔尔博特的埃尔多斯-科-拉多定理。特别是，我们建立在Borg和领导者的结果，签署集和证明一个定理的一致交叉相交的子族的独立顶点子集的不相交的联合完全图。我们继续得到一个结果，一类更大的图，即弦图，并提出一个猜想，所有的图。最后，我们证明了这个猜想的循环的n个顶点。
2010-10-05 math.CO
A note on Erdös-Faber-Lovász Conjecture and edge coloring of complete graphs
一个线性超图是相交的，如果任意两个不同的边恰好有一个公共顶点，一个$n$ -拟簇是一个相交的线性超图，它的$n$边最多包含$n$顶点，并且每个顶点至少包含在两条边中. Erdös-Faber-Lovász猜想指出任何$n$ -拟簇的色数至多为$n$。本文利用完全图的一种特殊的边染色证明了一个新的无限类$n$ -拟簇猜想的正确性。
2016-05-11 math.CO
On the number of digons in arrangements of pairwise intersecting circles
本文证明了 Grünbaum 于1972年提出的长期猜想，即平面上任意由 $n$ 个两两相交圆构成的简单排列中最多有 $2n-2$ 个二角形。
2024-06-04 cs.CG math.CO
Intersections of longest cycles in vertex-transitive and highly connected graphs
针对顶点传递图和高度连通图中最长圈交集问题，提出纯组合方法强化现有界，证明k-连通图中最长圈交集顶点数达Ω(k^(2/3))，解决Babai问题并引入新构造方法。
2025-08-24 math.CO
A relaxation of the Bordeaux Conjecture
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是$3$ -可着色的.本文证明了任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是（2，0，0）-可着色的.
2015-04-06 math.CO
Chvátal's conjecture for downsets of small rank
研究有限集的子集相交系统的出发点是基本的观察，即有限集[n]={1，. n}，记为2 ^{[n]}，至多为2 ^{n-1}，其中一个极值结构是由[n]的所有子集组成的族，包含一个固定元素，称为星。Chvátal的一个长期猜想旨在将这个简单的观察推广到2 ^{[n]}的所有下集。本文证明了这个猜想对所有的下集，其中每个子集最多包含3个元素。
2017-03-01 math.CO
$\mathcal{L}$-intersecting or Configuration Forbidden Families on Set Systems and Vector Spaces over Finite Fields
本文推导了有限域向量空间中相交$k$-Sperner族大小的紧上界，建立了子集族与子空间族在$\mathcal{L}$-相交或配置禁用性质上界的一般关系，并据此推广了Erdős匹配与单纯形猜想，推翻了Ihringer的相关猜想。
2024-04-30 math.CO
Counterexamples to the Balogh-Linz-Patkós Conjecture
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University（华中师范大学数学与统计学院）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息学部）
研究t-相交k-Sperner集系，给出明确构造，其规模在无穷多个n值上超过猜想的固定星型构造，从而反驳了Balogh-Linz-Patkós猜想。
2026-07-07 math.CO
Longest cycles in 3-connected hypergraphs and bipartite graphs
在超图的语言中，我们的主要结果是一个Dirac-type界：我们证明了每个具有$ δ(H)\geq \max\{|V(H)|, \frac{|E(H)|+10}{4}\}$的$3$ -连通超图$H$有一个Hamilton Berge圈。这是尖锐和完善的猜想杰克逊从1981年（在语言的二部图）。我们的证明是在二部图的语言，因为每个超图的关联图是二部的。
2020-04-17 math.CO
Hypergraphs of bounded disjointness
一个$k$ -一致超图是$s$ -几乎相交的，如果它的每一条边与其它$s$边恰好不相交. Gerbner，Lemons，Palmer，Patkós和Szécsi证明了对每个$k$和$s>s_0(k)$，每个$k$ -一致$s$ -几乎相交超图至多有$(s+1)\binom{2k-2}{k-1}$边.我们证明了这个猜想的一个加强版本，并确定了极值图。我们也给出了一些相关的结果和图形。
2013-09-19 math.CO
Diversity of uniform intersecting families
如果族$\mathcal F\subset 2^{[n]}$的任何两个集合相交，则该族称为相交族。给定一个相交族，它的多样性是不通过基集的最流行元素的集合的数量。Peter Frankl提出了如下猜想：对于$n> 3k>0$，任何相交的家族$\mathcal F\subset {[n]\choose k}$最多有${n-3\choose k-2}$的多样性。这对于以下“三选二”系列是严格的：$\{F\in {[n]\choose k}: |F\cap [3]|\ge 2\}$。本文对$n\ge ck$证明了这个猜想，其中$c$是与$n$和$k$无关的常数.在最后一节中，我们讨论了$2k<n<3k$的情况，并证明了一个自然推广的Frankl猜想不成立。
2018-06-29 cs.DM math.CO
