Chvátal's conjecture for downsets of small rank
研究有限集的子集相交系统的出发点是基本的观察，即有限集[n]={1，. n}，记为2 ^{[n]}，至多为2 ^{n-1}，其中一个极值结构是由[n]的所有子集组成的族，包含一个固定元素，称为星。Chvátal的一个长期猜想旨在将这个简单的观察推广到2 ^{[n]}的所有下集。本文证明了这个猜想对所有的下集，其中每个子集最多包含3个元素。
2017-03-01 math.CO
Chen and Chvátal's Conjecture in tournaments
在这项工作中，我们提出了一个版本的所谓的陈和Chvátal的猜想的有向图。有向图D的一条线由一个序偶（u，v）定义，其中u和v是D的两个不同的顶点，作为所有顶点w的集合，使得u，v，w属于D中包含从u到v的最短有向路径的最短有向路径。我们研究的Chen和Chvátal猜想的版本指出，如果前面的选项都不成立，那么D中不同直线的数量至少是它的顶点数量。我们的主要结果是：直径为3的完全二部图的任何竞赛图和任何定向图都满足这个猜想。
2019-12-02 math.CO
Sperner's Theorem and a Problem of Erdos-Katona-Kleitman
极值集合论的一个中心结果是1928年著名的Sperner定理，它给出了不包含2-链的[n]子集的最大族的大小。Erdos将这个定理推广到确定没有k链的最大族。Erdos和Katona，其次是Kleitman，问有多少链必须出现在家庭的大小大于相应的极值界限。在1966年，Kleitman解决了这个问题的2-链，表明这样的链的数量是最小化，通过采取集尽可能接近中间水平。此外，他还证明了对于所有k-链，极值族都是相同的。本文在这个问题上取得了初步的进展，我们对至多为$k+1$中间能级的族证明了Kleitman猜想.我们还描述了所有的极值配置。
2013-04-23 math.CO
Improved lower bound towards Chen-Chvátal conjecture
针对Chen-Chvátal猜想，证明无直线含所有点的度量空间中直线数至少为Ω(n²/³)，改进了一般度量空间Ω(√n)和连通图生成度量空间Ω(n⁴/⁷)的下界。
2024-12-07 math.CO
Chvátal-Erdős condition for pancyclicity
一个$n$ -顶点图是哈密尔顿图，如果它包含一个覆盖它所有顶点的圈，如果它包含从$3$到$n$的所有长度的圈，它是泛圈的。一个著名的邦迪元猜想指出，每一个非平凡的条件意味着哈密尔顿性也意味着泛圈性（可能有几个例外的图）。我们证明了每个具有$κ(G) > (1+o(1)) α(G)$的图$G$都是泛圈图。这扩展了著名的Chvátal-Erdós条件的哈密顿性，并渐近证明了一个$30$岁的猜想杰克逊和Ordaz。
2023-01-24 math.CO
A new class of graphs that satisfies the Chen-Chvátal Conjecture
一个著名的组合定理说，平面上的一组n个非共线点确定至少n条不同的线。Chen和Chvátal证明了这个定理可以推广到度量空间，并给出了线的适当定义。在这项工作中，我们证明了一个稍微强的版本的陈和Chvátal猜想的一个家庭的图包含弦图和距离遗传图。
2016-06-20 cs.DM math.CO
Improvement on the Erdős-Kleitman conjecture via the KKL theorem
Capital Normal University（首都师范大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）
本文通过连接Kahn, Kalai和Linial关于布尔函数影响的基石结果，改进了Erdős-Kleitman猜想的下界，提出新的更紧的下限表达式。
2026-03-19 math.CO
A solution to Frankl and Kupavskii's conjecture concerning Erdős-Kleitman matching problem
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文证明了对于固定m≥3和足够大的s，e((m+1)s−ℓ,s)的极值族为P(m,s,ℓ;L)，并验证了Frankl-Kupavskii猜想。对于m=3，确定了ℓ的完整范围，扩展了Kupavskii和Sokolov的定理。
2026-05-12 math.CO
Bisplit graphs satisfy the Chen-Chvátal conjecture
本文证明了bisplit图满足Chen-Chvátal猜想，即其度量空间存在通用直线或直线数不少于顶点数。
2019-05-23 cs.DM math.CO
A Chvátal-type codegree condition for Hamiltonian cycles in $k$-uniform hypergraphs
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文为$k$-一致超图中的紧哈密顿圈建立了渐近Chvátal型共度准则，允许小度被大度补偿，加强Dirac型定理并证实Schülke猜想。
2026-09-09 math.CO
A Safe Computational Framework for Integer Programming applied to Chvátal's Conjecture
我们描述了一个通用的和安全的计算框架，提供整数规划结果的确定性程度所需的机器辅助证明的数学定理。在其核心，该框架依赖于一个合理的分支和绑定证书产生的确切的整数规划求解器，SCIP，以规避浮点舍入错误，目前在大多数国家的最先进的混合整数规划求解器。所得到的证书是自包含的，并且存在检查器软件，其可以独立于用于产生证书的整数规划求解器来验证其正确性。这可以防止复杂求解器软件中可能出现的编程错误。这种方法的可行性进行了测试，将其应用到有限的情况下Chvátal的猜想，一个长期存在的极值组合学的开放问题。我们特别注意使用Coq形式证明助手来验证这个特定问题的输入的正确性。因此，我们能够提供第一个机器辅助证明，Chvátal的猜想持有的所有downset，其工会集包含7个元素或更少。
2020-09-21 math.CO math.OC
The Chen-Chvátal conjecture for metric spaces induced by distance-hereditary graphs
德布鲁因和埃尔德斯定理的一个特例断言，平面上任何非共线的$n$点集至少确定$n$不同的直线。Chen和Chvátal将这一结果推广到任意有限度量空间，并给出了度量空间中直线的特殊定义。本文证明了由连通距离遗传图诱导的度量空间的距离遗传性--一个图$G$称为距离遗传的，如果在$G$的任一连通诱导子图$H$中两个顶点$u$和$v$之间的距离等于在$G$中两个顶点$u$和$v$之间的距离.
2014-07-06 cs.DM math.CO math.MG
On a combinatorial problem of Erdos, Kleitman and Lemke
在本文中，我们研究了一个组合问题，起源于以下猜想的Erdos和Lemke：给定任何序列的n个因子的n，允许重复，存在一个子序列的元素是总和为n。这个猜想由Kleitman和Lemke证明，他们随后将原问题扩展到有限阿贝尔群框架下的零和不变量问题。建筑等早期的作品由阿隆和Dubiner和作者，我们的主要定理给出了一个新的上界为这一不变的一般情况下，并提供其权利的数量级。
2012-08-12 math.CO math.GR math.NT
On Kahn's flow conjecture
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文证明了Kahn的流猜想，该猜想是Chvátal关于下集最大相交子族猜想的强化形式，解决了该领域的核心问题。
2026-09-22 math.CO
On the number of union-free families
一个集合族是无并集的，如果族中没有三个不同的集合使得其中两个集合的并集等于第三个集合。Kleitman证明了每一个无并集的族的规模至多为$(1+o(1))\binom{n}{n/2}$。后来，Burosch-Demetrovics-Katona-Kleitman-Sapozhenko要求的数字$α(n)$这样的家庭，他们证明，$2^{\binom{n}{n/2}}\leq α(n) \leq 2^{2\sqrt{2}\binom{n}{n/2}(1+o(1))}$。他们证明，常数$2\sqrt{2}$可以从右手边的指数中删除。我们证明了他们的猜想制定一个新的容器型定理的根超图。
2016-01-14 math.CO
Degree sequence condition for Hamiltonicity in tough graphs
Auburn University（奥本大学）
本文证明了关于t-坚固图存在哈密顿回路的猜想，解决了t≥4的情况，通过两个新结果实现了证明。
2025-12-19 math.CO
A near-linear Chvátal--Erdős condition for Hamilton cycles in digraphs
South China Normal University（华南师范大学）；Nankai University（南开大学）
针对 Jackson 和 Ordaz 关于有向图哈密顿圈的猜想，本文证明了近线性上界 $f_2(a)=O(a(\log a)^4/(\log\log a)^2)$，并否证了其泛圈性猜想。
2026-10-08 math.CO
The Junta Method for Hypergraphs and the Erdős-Chvátal Simplex Conjecture
极超图理论中的许多问题要求确定$k$ -一致超图在$n$顶点上的最大尺寸，该$k$ -一致超图不包含固定超图$H$的“扩大”副本$H^+$。这些问题包括著名的问题，如Erdens-Sós“禁止一个交叉点”问题和Frankl-Füredi“特殊单纯形”问题。我们提出了一个一般的方法来解决这些问题，使用一个“junta近似方法”，源于布尔函数的分析。我们证明了任何$H^+$ -free超图本质上是包含在一个“junta”-一个超图确定的少数顶点-这也是$H^+$ -free，这有效地减少了极值问题，一个更容易的问题juntas。使用这种方法，我们得到，为所有$C<k<n/C$，一个完整的解决方案的极值问题的一大类$H$的，其中包括上述问题，并解决了他们的一个大的新的参数集。我们还将我们的方法应用于1974年的Erdens-Chvátal单纯形猜想，该猜想断言对于任何$d < k \leq \frac{d}{d+1}n$，不包含$d$ -单纯形的$k$ -均匀族的最大大小（即，具有空交集的$d+1$集合，使得它们中的任何$d$相交）是${{n-1}\choose{k-1}}$。我们证明了对所有$d$和$k$的猜想，提供了$n>n_0(d)$。
2021-08-11 math.CO math.PR
A proof of Chvátal's conjecture via a sharp correlation inequality
Nankai University（南开大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Shandong University（山东大学）
本文通过证明一个尖锐的相关不等式，证明了Chvátal关于遗传族最大相交子族为星的猜想，并给出了其相关性表述。
2026-09-17 math.CO math.FA math.PR
New Extremal Ranges and Constructions of the Erdős--Kleitman Problem
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文从埃尔多斯匹配猜想视角出发，研究了确定e(n,s)的最大家族问题，证明了对于固定m≥3，存在常数β_m和δ_m，当s足够大时，e(sm+c,s)的极值族为特定形式，且对m=3确定了渐进行为。
2026-06-23 math.CO
Extremal Families for the Erdős--Kleitman Problem: The Missing Constructions
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文针对Erdős–Kleitman问题，构造了1≤k≤m−1时的无穷多新极值族，验证了Frankl–Kupavskii元猜想，并对相关结果进行了定量扩展。
2026-09-01 math.CO
Two problems on matchings in set families - in the footsteps of Erdős and Kleitman
如果不存在满足$|F_1\cup\ldots\cup F_s|\le q.$的成对不相交的$F_1\in \mathcal F_1,\ldots, F_s\in\mathcal F_s$，则族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_s\subset 2^{[n]}$称为$q$依赖的.我们确定所有值$n\ge q,s\ge 2$的$\max |\mathcal F_1|+\ldots +|\mathcal F_s| $.这个结果是Kleitman的一个重要经典结果的推广。著名的Erd \H os Matching Conjecture提出了一个没有$s$两两不相交集的家族$\mathcal F\subset {[n]\choose k}$的最大尺寸。50多年后，它的全面解决仍然遥遥无期。本文在较宽的范围内，特别是对于$n\ge (2+o(1))sk$和$o(1)$仅依赖于$s$的情形，给出了Erdsps匹配猜想的Hilton-Milner型稳定性定理.这是一个相当大的改进的经典结果由于Bollobás，Daykin和Erdés。我们应用我们的结果推进以下反拉姆齐型问题，由Özkahya和Young提出。令$ar(n,k,s)$是颜色的最小数目$x$，使得在具有$x$（非空）颜色的$[n]$的$k$元素子集的任何着色中，存在大小为$s$的\textit{rai…
2018-10-15 cs.DM math.CO
A complete solution of the Erdős-Kleitman matching problem for $n\le 3s$
本文解决了 $n\le 3s$ 的 Erdős-Kleitman 匹配问题，通过分析 2- 和 3- 元集合的平衡，确定了极值族的四种类型。
2025-11-26 cs.DM math.CO
Partition-free families of sets
令$m(n)$表示不包含两个不相交集合及其并集的子集族的最大大小。1968年，Kleitman证明了$m(n) = {n\choose m+1}+\ldots +{n\choose 2m+1}$如果$n=3m+1$。证明了Kleitman的猜想，对$n=3m$和$n=3m+2$建立了同样的等式，并确定了所有的极值族.与$n=3m+1$的情形不同，极值族不是唯一的。这是我们的证明相对困难的一个貌似合理的原因。我们也彻底解决了几个家庭的问题。
2017-06-01 cs.DM math.CO
Perfect matchings in down-sets
在本文中，我们表明，给定两个下集（单纯复形）有一个匹配，它们之间的匹配，匹配不相交的集，并覆盖较小的两个下集。这个结果推广了Berge在1980年前后的一个未发表的结果。这个结果对于交交族和Chvátal猜想有很好的推论。更具体地说，我们证明了Chvátal猜想对于覆盖数为$2$的相交族是成立的.一个族$\mathcal F\subset 2^{[n]}$是交并（IU），如果对于任何$A,B\in\mathcal F$，我们有$1\le |A\cap B|\le n-1$。利用上述结果，我们得到了IU-族的几个精确的乘积型和和型结果。
2022-01-11 cs.DM math.CO
Stability through non-shadows
本文研究了具有限制交集的族，对大n以更强形式证明了Snevily猜想，并获得了Kleitman等周不等式等相关稳定性结果，其核心贡献是利用非阴影为经典线性代数方法引入了新变化。
2023-06-25 math.CO
A strengthening of a degree sequence condition for Hamiltonicity in tough graphs
本文推广Chvátal的经典结果，验证了Hoàng提出的哈密顿性度序列猜想在所有t≥4的t-坚韧图中成立，证明基于此前建立的t≥4的坚韧度闭包引理，同时指出该引理在t=1时不成立。
2025-03-18 math.CO
Second-order bounds on correlations between increasing families
Harris相关不等式指出布尔超立方体上的任何两个单调函数是正相关的。Talagrand \cite{Talcorr}开始了一系列的工作，以寻找定量版本的这一事实，提供了一个下界的相关性方面的影响的职能。一个著名的猜想Chvátal \cite{Chvatal}被Friedgut，Kahn，Kalai和Keller \cite{FKKK}发现等价于某种加强塔拉格兰德的界限，当其中一个函数是对映函数时成立（因此是$g(x) = 1-g(-x)$）。出于这一猜想，我们加强了一些这些界限的估计，也涉及到二阶傅里叶系数的功能。特别是，我们表明，由于Talagrand和由于凯勒，Mossel和森\cite{KMS14}的界限，对数因子可以取代其平方根时的功能是对映的。我们的证明遵循一个不同的路线比在文献中，并在高斯设置进行分析。
2019-12-25 math.CO math.FA math.PR
Graph generated union-closed families of sets
设G是一个顶点为V，边为E的图.设F是由E生成的并闭集族。则F是V的没有孤立点的子集族。定理：有一条边e属于E，使得|{U属于F|属于你的|=< 1/2 |F|。这等价于下面的断言：如果H是由最大度为2的集合族生成的并闭族，则存在一个$x$，使得|（属于H）|x属于u|> 1/2 |H|。这是并闭集猜想的一个特例。为了正确理解这一结果，本文对并闭集猜想的研究进行了简要的概述。给出了图生成集族定理的一个强证明。这个证明依赖于F的局部性质的分析和Kleitman引理的应用。许多证明适用于任意的并闭族，并且可以用来获得|{U属于F|属于你的|/ |F|。
1994-09-16 math.CO
Families with no $s$ pairwise disjoint sets
对于整数$n\ge s\ge 2$，令$e(n,s)$表示$|\mathcal F|,$的最大值，其中$\mathcal F$是$n$元素集的子集族，并且$\mathcal F$不包含$s$成对不相交的成员.半个世纪前，Kleitman解决了Erd \H os的猜想，确定了所有$m,s\ge 1$的$e(sm-1,s)$和$e(sm,s)$。这些年来，在一般情况下取得的进展很少。本文提出了一个关于$1<l<s$的$e(sm-l,m)$的值的一般猜想，并证明了它对$s>s_0(l,m).$的有效性。对于$l=2$，我们确定了所有$s\ge 5.$的$e(sm-2,m)$的值。
2017-10-18 cs.DM math.CO
$\mathcal{L}$-intersecting or Configuration Forbidden Families on Set Systems and Vector Spaces over Finite Fields
本文推导了有限域向量空间中相交$k$-Sperner族大小的紧上界，建立了子集族与子空间族在$\mathcal{L}$-相交或配置禁用性质上界的一般关系，并据此推广了Erdős匹配与单纯形猜想，推翻了Ihringer的相关猜想。
2024-04-30 math.CO
Families of Sets with Intersecting Clusters
如果联合$A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_d$至多包含$c<d$的$k$ -子集$A_1, A_2, ..., A_d$的族称为$(d, c)$ -簇.令$\mathcal{F}$为$k$族-$n$ -元素集的子集。证明了对于$k \geq 2$和$n \geq k+2$，如果$\mathcal{F}$的每个$(k, 2)$ -簇相交，则$\mathcal{F}$不含$(k-1)$ -维单形.这导致了一个肯定的答案Mubayi的猜想$d=k$的基础上Chvátal的单纯形定理。我们还表明，对于任何$d$满足$3 \leq d \leq k$和$n \geq \frac{dk}{d-1}$，如果每个$(d, {d+1\over 2})$ -集群是相交的，那么只有当$ \mathcal{F}$是一个完整的明星，$|\mathcal{F}|\leq {{n-1} \choose {k-1}}$与平等。这个结果是Frankl定理和Mubayi定理的推广。
2009-04-24 math.CO
Intersection theorems for uniform subfamilies of hereditary families
本文研究遗传族均匀子族的交问题，改进了Borg猜想中相交与t-相交情形下n的界，证明满足特定n的下界时遗传族第k层的最大t-相交子族为含固定t元集的集合族，并给出稳定性结果。
2023-11-03 math.CO
Erdős-Ko-Rado Theorems for Paths in Graphs
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文研究图中长度-r路径族的1-相交和s-相交性质，证明太阳图和theta图满足EKR性质，并给出Hilton-Milner型结果和横贯数结论。
2026-06-19 math.CO
