通过一个尖锐的相关不等式证明Chvátal猜想
A proof of Chvátal's conjecture via a sharp correlation inequality
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本文通过证明一个尖锐的相关不等式，证明了Chvátal关于遗传族最大相交子族为星的猜想，并给出了其相关性表述。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了Chvátal于1972年提出的猜想：有限集合子集的每个遗传族都有一个最大的相交子族，且该子族是一个星。更一般地，我们证明了递增布尔函数$f,g:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$的一个尖锐相关不等式。记$g^*(x)=1-g(1-x)$，我们证明$$ \sum_{\varnothing\ne S\subseteq[n]}\hat{g}(S)^2\max_{i\in S}\mathrm{Inf}_i[f]\le\frac{2\mathrm{Cov}(f,g)\mathrm{Cov}(f,g^*)}{\mathrm{Cov}(f,g)+\mathrm{Cov}(f,g^*)}. $$当$g$是对径的，即$g=g^*$时，这得出$\mathrm{Cov}(f,g)\ge\frac{1}{4}\min_{i\in[n]}\mathrm{Inf}_i[f]$，即Friedgut、Kahn、Kalai和Keller给出的Chvátal猜想的相关性表述。
英文摘要
We prove Chvátal's conjecture, posed in 1972: every hereditary family of subsets of a finite set has a largest intersecting subfamily that is a star. More generally, we prove a sharp correlation inequality for increasing Boolean functions $f,g:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$. Writing $g^*(x)=1-g(1-x)$, we show that $$ \sum_{\varnothing\ne S\subseteq[n]}\hat{g}(S)^2\max_{i\in S}\mathrm{Inf}_i[f]\le\frac{2\mathrm{Cov}(f,g)\mathrm{Cov}(f,g^*)}{\mathrm{Cov}(f,g)+\mathrm{Cov}(f,g^*)}. $$ When $g$ is antipodal, that is, $g=g^*$, this yields $\mathrm{Cov}(f,g)\ge\frac{1}{4}\min_{i\in[n]}\mathrm{Inf}_i[f]$, the correlation formulation of Chvátal's conjecture due to Friedgut, Kahn, Kalai and Keller.
发表机构
- Nankai University（南开大学）
- Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
- Shandong University（山东大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
