A note on the Erdös-Faber-Lovász Conjecture: quasigroups and complete digraphs
简单图$G$的分解是一对$(G,P)$，其中$P$是$G$的一组子图，它划分$G$的边，使得$G$的每条边恰好属于$P$中的一个子图。如果$P$的元素是导出子图，则分解记为$[G,P]$。分解$(G,P)$的$k$-$P$-着色是一个满射函数，它将来自$k$ -颜色集合的颜色分配给$G$的边，使得$H\in P$的所有边具有相同的颜色，并且如果$H_1,H_2\in P$具有$V(H_1)\cap V(H_2)\neq\emptyset$，则$E(H_1)$和$E(H_2)$具有不同的颜色。分解$(G,P)$的\emph{chromatic index} $χ'((G,P))$是存在$(G,P)$的$k$-$P$-着色的最小数$k$.著名的Erdös-Faber-Lovász猜想指出任何分解$[K_n,P]$满足$χ'([K_n,P])\leq n$。我们利用拟群和完全有向图给出了一个新的族的分解，满足猜想。
2016-09-21 math.CO
On Erdos-Faber-Lovasz Conjecture
1972年，Erdös-Faber- Lovász（EFL）证明了，如果$\textbf{H}$是一个线性超图，它由基数为$n$的$n$边组成，那么可以用$n$色对顶点着色，使得没有两个相同颜色的顶点在同一条边上。1978年，Deza，Erdös和Frankl给出了图的一个等价版本：设$G= \bigcup_{i=1}^{n} A_i$表示一个图，它有$n$完全图$A_1, A_2,$ $ \dots , A_n$，每个完全图恰好有$n$顶点，且每对完全图至多有一个公共顶点，则$G$的色数是$n$。$G$中顶点$v$的团度$d^K(v)$由$d^K(v) = |\{A_i: v \in V(A_i), 1 \leq i \leq n\}|$给出。本文利用$G$的团$A_i$的交矩阵和$G$的顶点团度，给出了满足Erdös-Faber- Lovász猜想假设的图的着色方法.同时，对某些图类给出了猜想的理论证明。特别是，我们表明：1。如果$G$是一个满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）至多有团度大于1的$\sqrt{n}$点，则$G$是$n$ -可着色的. 2.如果$G$是满足猜想1.2的假设的图，并且每个$A_i$（$1 \leq i \leq n$）最多有团度大于或等于$d$（$2\leq d \leq n$）的$\left \lcei…
2017-01-17 math.CO
Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for line graphs of multigraphs
在本文中，我们证明了一个增强版本的Erdens-Lovász Tihany猜想的线图的多重图。也就是说，对于每个图$G$，其色数$χ(G)$大于它的团数$ω(G)$，并且对于非负整数$\ell$，任何两个整数$s,t \geq 3.5\ell+2$具有$s+t = χ(G)+1$，存在顶点集$V(G)$的一个划分$(S,T)$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t+\ell$。特别地，当$\ell=1$时，我们可以对任何$s,t\geq4$获得相同的结果。当$\ell=0$ .
2022-03-31 math.CO
Enhancing the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for graphs with independence number two
令$s\ge2$和$t\ge2$为整数。一个图$G$是$(s,t)$ - \emph{splittable}，如果$V(G)$可以被划分成两个集合$S$和$T$，使得$χ(G[S])\geq s$和$χ(G[T])\geq t$。著名的Erdens-Lovász Tihany猜想从1968年开始指出，每个图$G$的色数$χ(G)=s+t-1$大于它的团数$ω(G)$是$(s,t)$ -可裂的。本文证明了独立数为2的图的Erdens-Lovász Tihany猜想的一个增强版本。也就是说，对于每个具有$χ(G)=s+t-1>ω(G)+1$的图$G$是$(s,t+1)$ -可分裂的。有例子表明，这一结果是最好的可能。
2020-08-18 math.CO
On the Erdös-Lovász Tihany Conjecture for Claw-Free Graphs
1968年，Erdös和Lovász证明了：对每个图$G$和所有整数$s,t\geq 2$使得$s+t-1=χ(G) > ω(G)$，存在$G$的顶点集的一个划分$(S,T)$使得$χ(G|S)\geq s$和$χ(G|T)\geq t$ .对于一般的图，只有当$s$和$t$都很小时猜想才成立.近年来，对稳定数为2的图\cite{quasi-line}、线图\cite{line}和拟线图\cite{quasi-line}等几类特殊的图证明了该猜想。本文研究了无爪图的猜想，并给出了一些进展。
2013-09-04 math.CO
Erdős-Lovász Tihany Conjecture for graphs with forbidden holes
图中的洞是长度至少为$4$的诱导圈。令$s\ge2$和$t\ge2$为整数。一个图$G$是$(s,t)$ -可分裂的，如果$V(G)$可以被划分成两个集合$S$和$T$，使得$χ(G[S ]) \ge s$和$χ(G[T ]) \ge t$ . 1968年著名的Erdens-Lovász Tihany猜想指出，每个具有$ω(G) < χ(G) = s + t - 1$的图$G$是$(s,t)$ -可分裂的。这个猜想是困难的，很少有相关的结果是已知的。然而，它已被证明是真实的线图，拟线图，图与独立数$2$。本文证明了每个具有$α(G)\ge3$，$ω(G) < χ(G) = s + t - 1$且在$4$和$2α(G)-1$之间没有洞的图$G$是$(s,t)$ -可裂的，其中$α(G)$表示图$G$的独立数.
2018-05-27 math.CO
An Improved Lower Bound for the Erdős-Lovász Cover Number Problem
Princeton University（普林斯顿大学）
本文通过初等方法证明$g(r)\ge 3r-4$，并利用Kahn的小余度超图边着色定理改进为$g(r)\ge (61/20-o(1))r$，这是约五十年来首次改进Erdős-Lovász下界。
2026-07-30 math.CO
Some Cases of the Erdős-Lovász Tihany Conjecture for Claw-free Graphs
本文针对无爪图研究 Erdős-Lovász Tihany 猜想，在含有 $K_s$ 的条件下分别证明了 $t \leq s+2$ 和 $t \leq 4s-3$ 两类情形成立，并证明了无爪图在数对 $(3,10)$ 上的猜想。
2024-07-04 math.CO
A resolution of Erdős Problem #190 via Erdős-Lovász, BCT, and Baker-Harman-Pintz
本文利用Erdős-Lovász、BCT和Baker-Harman-Pintz定理，证明了H(k)^{1/k}/k随着k增长而趋于无穷，解决了Erdős-Graham问题的正向方向。
2026-04-22 math.CO
The Lovász-Cherkassky theorem in infinite graphs
本文在无限图背景下，将Lovász-Cherkassky定理推广到“内欧拉”设置中边不相交$ T $-路径的打包问题，延续Erdős-Menger猜想的无限推广思路。
2023-11-11 math.CO
The Erdős-Lovász Tihany Conjecture holds for all even-hole-free graphs
University of Central Florida（中佛罗里达大学）
研究满足特定条件的图的可拆分性，核心方法是证明不含\(C_4\)且每个诱导子图有双单纯顶点的图是\((s,t)\)-可拆分的，结合相关结果，主要贡献是证明埃尔德什 - 洛瓦兹蒂哈尼猜想对所有不含偶洞的图成立。
2026-07-23 math.CO
Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erdős-Lovász theme revisited
Erdés和Lovász注意到具有最大覆盖数的$r$ -一致相交超图$H$，即$τ(H)=r$，必须至少有$\frac{8}{3}r-3$条边. 45年来，这个下限没有任何改善。我们试图通过研究一些小的案例来理解原因，看看真相是否非常接近这个简单的界限。用$q(r)$表示交$r$ -一致超图的最小边数.已知$q(3)=6$和$q(4)=9$。我们得到了以下新结果：一致性4的极值例子是唯一的。有点令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于均匀性5，$q(5)=13$，我们发现了3个例子，它们都不是已知的图。我们同时使用理论论证和计算机搜索。在埃尔德什和洛瓦什的足迹，我们还考虑了特殊情况下，当超图是一个有限的射影平面的一部分。我们确定了$r\in \{3,4,5,6\}$的确切答案。对于均匀性6，存在唯一的极值示例。在一个相关的问题中，我们试图寻找具有最大覆盖数的$2$ -交$r$ -一致超图，即$τ(H)=r-1$ .一个无限族的例子是取一个$(2r-2)$ -顶点集的所有可能的$r$ -集。还有一个几何候选者：双平面。这些是使用$λ=2$的对称2-设计。我们确定，只有3个双平面的18个已知的例子是极值。
2020-11-09 math.CO
Linear Hypergraph Edge Coloring
基于超图的Erdos-FaberLovasz猜想，我们研究了线性超图的边着色问题。特别是，我们能够增加类的超图EFL是真的。
2016-03-16 math.CO
Defect and transference versions of the Alon-Frankl-Lovasz theorem
University of Toronto（多伦多大学）；Universität Passau（帕绍大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出了阿隆-弗兰克尔-洛瓦茨定理的缺陷和传递版本，通过随机超图的染色分析，证明了在特定条件下存在近似大小的单色匹配。
2026-02-20 math.CO
Fourier analysis on finite groups and the Lovász theta-number of Cayley graphs
我们应用傅里叶分析在有限群上得到Cayley图的Lovász θ-数的简化公式。我们把这些公式用于检查几个情况下的猜想埃利斯，Friedgut和皮尔佩尔在最近的文章证明了一个版本的Erdens-Ko-Rado定理$k$交叉家庭的排列。我们还引入了$k$ -交叉置换族的概念的$q$ -模拟，并通过计算机验证了相应的Erdens-Ko-Rado断言的几种情况。
2013-07-22 math.CO math.OC
A new minimal chordal completion
本文给出了图$G$的一个极小弦完备图$G^*$，它满足不等式$ω(G^*) - ω(G) \le i(G)$，该不等式是关于图$G$的非弦指数$i(G)$的.在弦完备化的基础上，我们部分解决了Hadwiger猜想和Erdens-Faber-Lovász猜想，并通过在已知的$χ$ -有界图类中加入具有有界非弦指数的图族来扩展它.
2018-10-11 math.CO
On an Erdős--Lov'asz problem: 3-critical 3-graphs of minimum degree 7
Tsinghua University（清华大学）
本文解决了埃尔多斯-洛瓦茨问题，构造了一个3-均匀超图，其最小度数为7且满足特定临界条件。
2025-12-31 cs.DM math.CO
The intersection spectrum of 3-chromatic intersecting hypergraphs
对于超图$H$，定义其交谱$I(H)$为不同边$E,F\in E(H)$的所有交大小$|E\cap F|$的集合。在1973年的开创性论文中，埃尔德什和洛瓦兹引入了局部引理，他们问道：$k$ -均匀$3$ -色相交超图的交谱必须有多大？他们证明了这样的超图必须至少有三个交叉尺寸，并证明了交叉谱的尺寸随着$k$而趋于无穷大。尽管这个问题多年来被Erdens和其他研究人员多次重申，但三个交叉口大小的下界到现在为止已经显著地经受住了任何改进。本文通过证明至少存在$k^{1/2-o(1)}$交的大小，证明了Erdens-Lovász猜想的强形式.我们的证明包括一个微妙的相互作用之间的拉姆齐型参数和密度增量的方法。
2020-10-26 math.CO
On the linear intersection number of graphs
著名的Erdos，Faber和Lovasz猜想可以表述如下：任意v点上的线性超图的色指数至多为v。我们将引入图的线性相交数，并利用这个数给出猜想的另一种表述。最后，证明了关于线性相交数的第一个结果。例如，我们将确定所有具有最大线性相交数的图，给定图的边数。
2003-05-05 math.CO
The Lovász-Cherkassky theorem in countable graphs
Lovász和Cherkassky在20世纪70年代独立地发现，如果$ G $是一个有限图，具有给定的终端顶点集合$ T $，使得$ G $是内欧拉的，那么连接$ T $中不同顶点的边不相交路径的最大数量是$ \sum_{t\in T}λ(t, T-t) $，其中$λ$是局部边连通度函数。在Lovász-Cherkassky定理中，边不相交的$ T $ -路系统的最优性可以通过门格尔定理证明某些截集的存在性。Aharoni和Berger对门格尔定理的无限推广（早期被称为Erdens-Menger猜想）以及Nash-Williams对无限欧拉图的刻画使得有可能以结构化的方式将该定理推广到无限图。本文的目的是制定这一推广，并证明它的可数图。
2021-12-13 math.CO
On a generalized Erdős-Rademacher problem
图的三角形覆盖数是指所有三角形中的顶点的最小数目。给定正整数$s,t$和一个具有$\lfloor n^2/4 \rfloor +t$边和三角形覆盖数$s$的$n$ -顶点图$G$，我们（对于大的$n$）确定了$G$中三角形最小数目的精确界，并描述了极值结构.对于更大尺寸的团和色临界图也证明了类似的结果。这扩展了Rademacher、Erd \H os和Lovász-Simonovits的经典工作，他们的结果只适用于$s \le t$。我们的结果也解决了两个萧和Katona。我们证明了其中之一，并给出了一个反例，证明了另一个猜想的修改版本。
2020-05-14 math.CO
Vertex-flames in countable rooted digraphs preserving an Erdős-Menger separation for each vertex
由Lovász的一个定理得出，如果$ D $是一个有$ r\in V(D) $的有限有向图，则存在$ D $的一个生成子有向图$ E $，使得对于每个顶点$ v\neq r $，以下量相等：$ D $中从$ r $到$ v $的局部连通度，$ E $中从$ r $到$ v $的局部连通度，以及$ E $中$ v $的入度。在无限组合学中，基数往往是一个过于粗糙的度量，以获得深入的结果，它更富有成效的是捕捉结构性质，而不仅仅是某些数量之间的等式。最著名的例子是门格尔定理对无限有向图的推广。我们以这种精神推广了上面Lovász的结果。我们的主要结果是：每一个可数的$ r $-根有向图$ D $都有一个生成子有向图$ E $，它具有以下性质.对于每个$ v\neq r $，$ E $包含内部不相交的$ r\rightarrow v $路径的系统$ \mathcal{R}_v $，使得$ E $中的$ v $的进入边缘恰好是$ \mathcal{R}_v $中的路径的最后边缘。此外，路径系统$ \mathcal{R}_v $在$ D $中是"大"的，在Erdens-Menger意义上，即，可以从$ \mathcal{R}_{v} $中的每条路径中选择边或内部顶点，以这样的方式，得到的集合将$ D $中的$ v $与$ r $分开。
2019-11-06 math.CO
About dependence of the number of edges and vertices in hypergraph clique with chromatic number 3
1973年，P. Erdens和L. Lovász注意到，任何边是两两相交的超图都有色数2或3。在第一种情况下，这样的超图可以有任意数量的边。然而，埃尔德什和洛瓦兹证明了在第二种情况下，边的数量是有界的。例如，如果一个超图是$ n $ -均匀的，有成对相交的边，并且有色数3，那么它的边数不超过$ n^n $。最近D Cherkashin改进了这个界限（参见\cite{Ch}）。本文在$n$ -一致超图的顶点数由具有某些$ m = m(n) $的$ n^m $从上有界的情况下，进一步改进了它。
2011-10-08 math.CO
Coloring cross-intersecting families
相交和交叉相交的家庭通常出现在极值组合的静脉埃尔德{ \H o} s-Ko-Rado定理。另一方面，P。Erd{ \H o}s和L.~ Lov{á}sz在著名的论文~ \cite{EL}中提出了交叉族的着色问题，作为对一类特殊超图的经典超图着色问题的限制。本文讨论了交叉相交族的着色问题。
2017-07-14 math.CO
On stability of the Erdős-Rademacher Problem
Mantel定理指出每个有$\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor +t$边的$n$ -顶点图，其中$t>0$包含一个三角形。确定这样的图中三角形的最小数目的问题通常被称为Erdens-Rademacher问题。Lovász和Simonovits证明了在每个图中至少有$t\lfloor n/2 \rfloor$三角形。Katona和Xiao在没有覆盖所有三角形的$s-1$顶点的附加条件下考虑了同样的问题。他们解决了$t=1$和$s=2$的案件。解决了他们的猜想，当$n$足够大时，我们确定了每个固定的$s$和$t$对的最小三角形个数.此外，解决了Katona和Xiao的另一个猜想，我们将理论推广到考虑团而不是三角形。
2021-06-11 math.CO
Linear Hypergraph List Edge Coloring - Generalizations of the EFL Conjecture to List Coloring
受超图的Erdens-Faber-Lovász（EFL）猜想的启发，研究了线性超图的列表边染色问题.本文讨论了线性超图的列表边染色的几个定理，它们推广了图的EFL和Vizing定理。例如，我们猜想在秩为3的线性超图中，列表边的色数至多为最大度的2倍加1。我们证明了，对于足够大的固定秩和足够大的度，该定理成立。
2017-01-03 math.CO
On the generalized Erdős--Kneser conjecture: proofs and reductions
Alon、Frankl和Lovász证明了Erdés的一个猜想，即至少需要$\lceil \frac{n-r(k-1)}{r-1} \rceil$颜色来着色$\{1, \dots, n\}$的$k$ -子集，使得具有相同颜色的$k$ -子集的任何$r$都不成对不相交。Sarkaria考虑了这个问题的一个推广，其中需要$s$ -wise而不是成对相交。他声称证明了一个广义的Erdés-Kneser猜想建立了一个下界的颜色，减少到Erdés '原来的猜想${s = 2}$。兰格和齐格勒指出，只要$r$不是素数，他的证明就会失败。这里我们对每一个$r$建立了这个广义的Erdens-Kneser猜想，只要$s$不太接近$r$ .我们的结果包括早期的结果，但显着更一般。我们讨论了我们的结果的关系，Ziegler和Abyazi萨尼和Alishahi的代数，并证明了后者在几种情况下。
2017-12-10 math.CO
On the maximum number of points in a maximal intersecting family of finite sets
保罗·埃尔德什和拉斯洛·洛瓦兹在一篇具有里程碑意义的文章中证明，对于任何正整数$k$，直到同构，只有1000个最大相交的$k-$集族（最大$k-$团）。因此，他们提出的问题，确定或估计的最大数目$N(k)$的点，在这样的家庭。并通过实例证明了$N(k)\geq2k-2+\frac{1}{2}\binom{2k-2}{k-1}$ .很久以后，Zsolt Tuza通过证明渐近$N(k)$至多是这个下界的$4$倍，证明了这个界在乘法常数下是最佳可能的。在本文中，我们通过证明渐近$N(k)$最多是$3$倍的Erdens-Lovász下界来减少上界之间的差距。从推测上说，本文得到的显式上界只是下界的两倍。
2014-02-28 math.CO
Clique Minors in Double-critical Graphs
一个连通$t$ -色图$G$是\dfn{double-critical}，如果$G \backslash\{u, v\}$对每条边$uv\in E(G)$都是$(t-2)$ -可着色的.一个长期存在的猜想Erdans和Lovász的完全图是唯一的双临界$t$ -色图仍然开放的所有$t\ge6$。鉴于Erdés和Lovász猜想难以解决，并受到著名的Hadwiger猜想的启发，Kawarabayashi，Pedersen和Toft提出了一个较弱的猜想，即每个双临界$t$ -色图都包含一个$K_t$子图，并验证了他们对$t\le7$的猜想。Albar和Gonçalves最近证明了每个双临界$8$ -色图都包含一个$K_8$子图，并且他们的证明是计算机辅助的。本文证明了对于所有的$t\le9$，每个双临界$t$ -色图都含有一个$K_t$子图。我们对$t\le8$的证明更短并且不需要计算机。
2017-10-16 math.CO
The Berge-Füredi conjecture on the chromatic index of hypergraphs with large hyperedges
本文围绕与超图着色相关的两个猜想（Vizing定理的超图推广、Erdős-Faber-Lovász猜想），研究一类特殊均匀线性超图并建立其若干性质，推进Berge-Füredi猜想相关研究。
2024-03-11 math.CO
A new asymptotic enumeration technique: the Lovasz Local Lemma
我们之前的论文应用了Lovász局部引理的不平衡版本，该引理允许负依赖图从$m$ -元素集到$n$ -元素集的随机注入空间。同样，在$K_{n,m}$中的随机匹配空间也是如此。现在，我们展示如何将引用的Lovász局部引理应用于$K_{2n}$中的随机匹配空间。我们还证明了紧的上限，渐近匹配的下限给出的Lovász局部引理。作为结果，我们对$d$ -正则图的计数结果给出了新的证明.紧上界可以修改为$K_{n,m}$中的匹配空间，在那里它们产生作为置换和拉丁矩形计数问题的应用渐近公式。该方法的强度通过一个新结果得到了证明：用度序列或二分度序列和围长对图进行计数。作为另一个应用，我们给出了Erd \H os的经典概率结果的一个新的证明，该结果证明了具有任意大围长和色数的图的存在性.如果度序列满足一些较弱的条件，则几乎所有具有该度序列和指定围长的图都具有高的色数。
2014-02-23 math.CO
Some remarks on even-hole-free graphs
一个图的一个顶点是双单纯的，如果它的邻点集是两个团的并;一个图是拟线的，如果每个顶点都是双单纯的。Chudnovsky和Seymour最近的一个结果断言，每个非空偶无洞图都有一个双单顶点。Hadwiger猜想和Erdens-Lovász Tihany猜想都被证明对拟线图是正确的，但对偶无洞图是开放的。本文证明了对所有的$k\ge7$，每个不含$K_k$子图的偶无洞图都是$(2k-5)$ -可着色的;每个含$ω(G)<χ(G)=s+t-1$的偶无洞图$G$满足Erdens-Lovász Tihany猜想，只要$ t\ge s> χ(G)/3$ .进一步证明了每一个具有$ω(G)\le 8$的$9$ -色图$G$都有一个$K_4\cup K_6$子图.我们的证明在很大程度上依赖于Chudnovsky和Seymour关于偶无洞图的结构结果。
2021-06-23 math.CO
Graph and hypergraph colouring via nibble methods: A survey
本文提供了一个调查的方法，结果和开放的问题，图和超图着色，特别强调半随机的“蚕食”的方法。我们还给出了最近的埃尔德什-费伯-洛瓦兹猜想的证明的一些方面的详细草图。
2021-11-16 cs.DM math.CO
About Berge-Füredi's conjecture on the chromatic index of hypergraphs
本文在反秩或最大度的特定条件下证明了超图边染色数的Berge-Füredi猜想上界，并为Erdős-Faber-Lovász猜想提供了精确信息。
2024-03-14 math.CO
A note on the transversal size of a series of families constructed over Cycle Graph
Paul Erdés和László Lovász通过一个例子证明了存在一个具有近似$(e-1)k!$块的极大交$k-$集族. László Lovász解释说，他们的例子是最有名的例子，它有最大数量的块。后来被推翻了。但对这些例子的追求直到今天仍然有效。本文通过计算在圈图上构造的一系列均匀相交族的横向尺寸，给出了一个具有多个$(\frac{k}{2})^{k-1}$（近似）块的例子.
2015-01-09 math.CO
The large deviation principle for the Erdős-Rényi random graph
当一个罕见事件发生时，Erdos-Renyi图是什么样子的？本文通过在适当的拓扑结构下建立大偏差原理，回答了p固定且n趋于无穷大时的这个问题。主要结果的公式化和证明利用了Lovasz及其合著者的图极限理论的最新发展和图论中的Szemeredi正则引理。作为一般原理的一个基本应用，我们求出了G（n，p）中三角形个数的大偏差。令人惊讶的是，即使是这个简单的例子也产生了有趣的双相变。
2011-04-04 math.CO math.PR
A note on extremal constructions for the Erdős--Rademacher problem
本文针对Erdős–Rademacher问题，显式给出了Lovász与Simonovits猜想预测的$r$-团最小数量，并修正了Pikhurko与Razborov的猜想，提出$r\ge 4$且$n$充分大时的极值图集合。
2024-10-07 math.CO
Orthonormal representations of $H$-free graphs
设$x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}^d$为单位向量，使得在任意三个单位向量中存在正交对。$n$作为$d$的函数可以有多大，以及$x_1 + \ldots + x_n$的长度可以有多大？这两个著名的问题的答案，提出了埃尔德什和Lovász，是密切相关的标准正交表示的三角形自由图，特别是其Lovász $\vartheta$ -功能和最小半定秩。本文研究了一般$H$ -free图的这些参数。特别地，我们证明了对于某些二部图$H$，在所有无$H$的图$G$上，$H$的图兰数与$\vartheta \left( \overline{G} \right)$的最大值之间存在联系.
2020-01-22 math.CO
Edge-coloring linear hypergraphs with medium-sized edges
针对线性超图，受EFL猜想启发，证明了当边大小在$i$到$C_{i,ε}\sqrt{n}$之间时，可用$(1+ε)n/(i-1)$种颜色进行列表边染色，且对$n$的依赖最优。
2018-11-07 math.CO
A note on the double-critical graph conjecture
一个连通的$n$-色图$G$是双临界的，如果对于$G$的所有边$xy$，图$G-x-y$是$(n-2)$-色的. 1966年Erd \H os和Lovász证明了唯一的双临界$n$-色图是$K_n$。这个猜想对于$n \ge 6.$仍然没有解决。在这篇短文中，我们对色数为$6$的无爪图$G$验证了这个猜想。
2016-04-18 math.CO
The exact minimum number of triangles in graphs of given order and size
一个给定阶数和大小的图中三角形的最小数目是多少？动机早期的结果曼特尔和图兰，拉德马赫解决了第一个非平凡的情况下，这个问题在1941年。这个问题在1955年被埃尔德什重新提出，现在被称为埃尔德什-拉德马赫问题。在引起广泛关注之后，它在2008年由Razborov的一项重大突破中渐近解决。本文给出了边密度在~ $1$之外有界的所有大型图的精确解，在此范围内证实了Lovász和Simonovits在1975年提出的一个猜想.此外，我们给出了极图的描述。
2020-04-24 math.CO
About maximal number of edges in hypergraph-clique with chromatic number 3
设$ H = (V,E) $是一个超图。超图$ H = (V,E) $的色数是指在$ V $中画出所有顶点所需的最小颜色数$χ(H)$，使得任意边$ e \in E $至少包含两个不同颜色的顶点.最后，如果一个超图的边是两两相交的，则称它构成一个团。1973年Erdés和Lovász注意到如果一个$n$ -一致超图$ H = (V,E) $形成一个团，那么$ χ(H) \in \{2,3\} $。他们生产了下列数量。$$ M(n) = \max \{|E|: \exists {\rm an} n-{\rm uniform} {\rm clique} H = (V,E) {\rm with} χ(H) = 3\}. $$显然，这样的定义在$ χ(H) = 2 $的情况下没有意义。定理1（P. Erdos，L. Lovasz}不平等持有$$ n!(e-1) \le M(n) \le n^n. $$在过去的35年里，几乎没有什么比这更好的了。同时，Lovasz引入了另一个量$ r(n) $，r（n）= \max \{ |E|：~ \exists { \rm an} ~ n-{ \rm uniform} ~ { \rm clique} ~ H =（V，E）~ { \rm s. t.} ~ τ（H）= n\}，$$ where $ τ(H) $ is the {\it covering nu…
2011-07-10 math.CO
Solution to a problem of Erdős on the chromatic index of hypergraphs with bounded codegree
本文解决了 Erdős 关于有界共度超图色指标的问题，证明最大度至多为 (1-o(1))tn 且最大共度至多为 t 的 n 顶点超图色指标至多为 tn，并刻画了取等时的极值结构。
2024-10-19 math.CO
Some unsolved problems on cycles
Hajos猜想$n$顶点上的简单偶图至多可分解为$(n-1)/2$圈（见L. Lovasz，关于图的覆盖，在：P. Erdos，G.O.H. Katona（Eds.），Theory of Graphs，Academic Press，New York，1968，pp. 231 - 236）。设$f(n)$是一个图在$n$顶点上的最大边数，其中没有两个圈具有相同的长度。P.Erdos提出了确定$f(n)$的问题（见J.A.邦迪和苏联。Murty，图论及其应用（Macmillan，New York，1976），p.247，问题11）.给定一个图$H$，一个有$n$顶点但不包含$H$作为子图的图的最大边数是多少？这个数记为$ex(n,H)$，称为图兰数。P.Erdos证明存在正常数$c$，使得$ex(n,C_{2k})\geq cn^{1+1/k}$（参见P.Erdos，Some unsolved problems in graph theory and组合分析，Combinatorial Mathematics and its Applications（Proc.Conf.，Oxford，1969），pp. 97 - 109，Academic Press，London，1971）。本文综述了有关这些问题的一些研究成果以及与之相关的一些理论。我们不认为Hajós猜想是正确的。
2013-06-12 math.CO
Erdos-Hajnal conjecture for graphs with bounded VC-dimension
图的Vapnik-Chervonenkis维数（简称VC维数）定义为集合系统由其顶点邻域所诱导的VC维数。我们证明了每个VC维数有界的$n$ -顶点图都包含一个大小至少为$e^{(\log n)^{1 - o(1)}}$的团或独立集。对VC维的依赖性隐藏在$o(1)$项中。这提高了一般的下界，$e^{c\sqrt{\log n}}$，由于Erdos和Hajnal，这是有效的，在满足任何固定的非平凡的遗传性质的图类。我们的结果几乎是最优的，几乎匹配著名的Erdos-Hajnal猜想，根据该猜想，人们总是可以找到一个集团或一个独立的集的大小至少为$e^{Ω(\log n)}$。我们的结果部分地解释了为什么大多数几何交图出现在离散和计算几何有非常有利的拉姆齐型性质。我们的主要工具是由Lovász-Szegedy和Alon-Fischer-Newman发现的划分结果，该结果被称为具有有界VC-维数的图的“超强正则引理”。我们将这个引理推广到$k$ -一致超图，证明了在图的设置下，划分的部分数可以取为$(1/\varepsilon)^{O(d)}$，从而改进了原来的$(1/\varepsilon)^{O(d^2)}$的界.我们表明，这个界是紧的指数的一个绝对常数因子。此外，我们给出了一个$O(n^k)$的时间算法找到一个分区满足要求。最后，我们建立了具有有界VC-维数的图的Ramsey-Tu…
2017-10-10 math.CO
Intersecting hypergraphs with large cover number
针对Erdős和Lovász提出的r-一致相交超图最小边数问题的推广（受Bollobás问题启发的空间约束版本），本文渐近解决了该问题，精度达指数中n/r的对数因子。
2025-04-14 math.CO
An upper bound for the size of a $k$-uniform intersecting family with covering number $k$
令$r(k)$表示具有覆盖数$k$的$k$ -均匀相交族中的最大边数. Erdos和Lovász证明了$ \lfloor k! (e-1) \rfloor \leq r(k) \leq k^k.$ Frankl、Ota和Tokushige将下界改进为$r(k) \geq \left( k/2 \right)^{k-1}$，Tuza将上界改进为$r(k) \leq (1-e^{-1}+o(1))k^k$。我们确定$ r(k) \leq (1 + o(1)) k^{k-1}$。
2016-04-16 math.CO
Monomial invariants applied to graph coloring
这篇文章建立在三个主要观点之上。首先，对于一类单项理想，证明了理想的重数等于其余维数的实现数（这是一个直观的概念，我们稍后定义）。其次，对任意图G，构造了一个单项式理想M_G，并证明了G的色数等于M_G的余维数。最后，对于一类图，我们给出了一个计算图G的色多项式的公式，该多项式是在图G的色数上，根据图G的余维数和重数来计算的.特别地，该公式适用于所有满足Erdos-Faber-Lovász猜想的图。
2019-10-10 math.AC math.CO
A spectral Lovász-Simonovits theorem
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
本文提出谱Lovász-Simonovits定理，研究图的谱半径与三角形数量的关系，证明了在特定条件下图中三角形数量的下限，并探讨了谱稳定性问题。
2026-03-18 math.CO
The minimum degree of minimal Ramsey graphs for cliques
本文证明了图$G$的最小度为$s_r(K_k) = O(k^5 r^{5/2})$，其中$s_r(K_k)$是Burr，Erdés和Lovász在1976年引入的Ramsey参数，它使得$G$的边的任何$r$ -着色都包含单色$K_k$，而$G$的真子图都不具有这一性质.在我们的证明中使用的建设依赖于一组理论模型的广义四边形介绍了坎特在1980年。
2022-10-21 math.CO
Double-critical graphs and complete minors
一个连通$k$ -色图$G$是双临界的，如果对$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.唯一已知的双临界$k$ -色图是完全$k$ -图$K_k$ .猜想，没有其他双重临界图是一个特殊的情况下，猜想从1966年，由于埃尔德什和Lovász。这一猜想在$k \leq 5$中得到了验证。我们证明了对于$k=6$和$k=7$，任何非完全双临界$k$ -色图都是6-连通的，并且有$K_k$作为子图.
2008-10-17 math.CO
On some topological and combinatorial lower bounds on chromatic number of Kneser type hyper graphs
本文证明了Erdös关于某些Kneser型超图的色数的一个猜想的推广。对于具有$n\ge rk$和$2\le s\le r$的整数$n,k,r,s$，$r$ -一致广义Kneser超图$\mbox{KG}^r_s(n,k)$以$\{1,\dots,n\}$的所有$k$ -子集为顶点集，以$s$-空交的$k$ -子集的所有多集$\{A_1,\dots, A_r\}$为边集. Kneser \cite{K}在1955年考虑了$r=s=2$的情况，在那里他证明了它的色数是$n-2(k-1)$。1978年，Lovász \cite{L}最终证明了这一点。在1973年，Erdös考虑了$r>2$和$s=2$的情况，他证明了它的色数是$\left\lceil\frac{n-r(k-1)}{r-1}\right\rceil$。这个猜想是由Alon，Frankl和Lovász \cite{AFL}在1986年证明的。的情况下，$s>2$，被认为是由Sarkaria \cite{S}在1990年，他声称证明了一个下界，其色数推广所有以前的结果。不幸的是，Lange和Ziegler \cite{Z'}在2006年发现了Sarkaria关于$r$的素因子个数的归纳方法中的一个错误，并且Sarkaria的证明仅在$s$小于$r$或$s=2$的最小素因子时才有效。本文利用Ziegler \cite{Z}和M…
2020-10-07 math.AT math.CO
Erdős-Gyárfás problem for partially ordered sets
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Academy of Plateau Science and Sustainability, and School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学高原科学与可持续发展学院、数学与统计学院）
本文研究了布尔晶格的强着色问题，证明了有限偏序集可嵌入布尔晶格，并利用对称洛vasz局部引理给出了着色数的上界，同时通过极值估计和计数方法给出了下界。
2026-05-13 math.CO
A new upper bound on the minimum degree of minimal Ramsey graphs
本研究针对Burr等人1976年提出的Ramsey参数$s_r(K_k)$，证明了$s_r(K_{k+1})$的新上界为$O(k^3 r^3 \log^3 k)$，推进了极小Ramsey图最小度的相关理论研究。
2024-07-10 math.CO
