A new proof of the Erdős-Ko-Rado theorem for intersecting families of permutations
设S（n）是n个点上的对称群。S（n）的子集S是相交的，如果对于S中的任意一对排列π，σ，存在{1，.，n}，使得π（i）=σ（i）。Deza和Frankl \cite{MR0439648}证明了：如果S（n）的子集S相交，则|S| \leq（n-1）！此外，Cameron和Ku \cite{MR2009400}表明，满足这个界限的唯一集合是一个点的稳定子的陪集。在本文中，我们给出了一个非常不同的证明这个相同的结果。
2007-10-10 math.CO
The exact bound for the Erdős-Ko-Rado theorem for $t$-cycle-intersecting permutations
在本文中，我们采用了Ahlswede和Khachatrian在证明完整Erdos-Ko-Rado定理时使用的技术来表明，如果$n \geq 2t+1$，则任何成对的$t$ -循环相交排列族的基数小于或等于$(n-t)!$。此外，唯一能达到这个大小的族是$t$点的稳定子，也就是说，由共有$t$ 1-圈的所有排列组成的族。这是一个加强以前的结果Ku和Renshaw和支持最近的猜想埃利斯，Friedgut和Pilpel关于相应的限制$t$交叉家庭的排列。
2013-03-01 math.CO
Stability for t-intersecting families of permutations
一个置换族（\mathcal{A} \subset S_{n}）称为（t）- \textit{intersecting}，如果（\mathcal{A}）中的任何两个置换至少在（t）点上一致，即对于任何（σ，π \in \mathcal{A}），（|\{i \in [n]：σ（i）=π（i）\}| \geq t）。Friedgut，Pilpel和作者最近证明了：当（n）足够大时，（t）-相交族（\mathcal{A} \subset S_{n}）的大小至多为（（n-t）！），当（\mathcal{A}）是（t）点的稳定子的陪集（简称“（t）-陪集”）时，等式成立，证明了Deza和Frankl的一个猜想.在这里，我们首先获得了（t）-相交置换族的粗略稳定性结果，即对于任何（t \in \mathbb{N}）和任何正常数（c），如果（\mathcal{A} \subset S_{n}）是大小至少为（c（n-t）！）的（t）-相交置换族，则存在包含（\mathcal{A}）的所有但至多（O（1/n））-分数的（t）-陪集。我们用它来证明一个精确的稳定性结果：对于（n）足够大，依赖于（t），如果（\mathcal{A} \subset S_{n}）是不包含在（t）-陪集内的（t）-相交族，则（\mathcal{A}）至多与家族\mathcal{D} & = & \{σ \in S_{n}：σ…
2009-08-19 math.CO
Intersecting generalised permutations
对于任何具有$r \leq \min\{k,n\}$的正整数$k,r,n$，令$\mathcal{P}_{k,r,n}$是所有集合$\{(x_1,y_1), \dots, (x_r,y_r)\}$的族，使得$x_1, \dots, x_r$是$[k] = \{1, \dots, k\}$的不同元素，并且$y_1, \dots, y_r$是$[n]$的不同元素。家族$\mathcal{P}_{n,n,n}$和$\mathcal{P}_{n,r,n}$分别描述了$[n]$的排列和$r$-$[n]$的部分排列。如果$k \leq n$，则$\mathcal{P}_{k,k,n}$描述$[n]$的$k$元素子集的排列。一个集合族$\mathcal{A}$称为相交的，如果$\mathcal{A}$的每两个成员相交。本文用Katona的优美循环方法证明了许多作者的Erdens-Ko-Rado型结果的推广：$\mathcal{P}_{k,r,n}$的任何相交子族$\mathcal{A}$的大小至多为${k-1 \choose r-1}\frac{(n-1)!}{(n-r)!}$，且达到上界的充要条件是对某些$a \in [k]$和$b \in [n]$有$\mathcal{A} = \{A \in \mathcal{P}_{k,r,n} \colon (a,b) \in A\}$.
2014-03-10 math.CO
Extremal $t$-intersecting Families of Permutations for Large $t$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究大 $t$ 下最大 $t$-相交置换族的分类，通过改进 Kupavskii 的 spread 近似技术，将结论适用范围扩展到 $t\leq n-n^{5/7+\varepsilon}$。
2026-05-25 math.CO
On $t$-Intersecting Families of Permutations
本文利用全局函数超压缩性证明排列 $t$-交族的大小界与稳定性结构，在 $n\geq c_0t$ 时证实 Deza–Frankl 和 Cameron 猜想，并推广至伪随机族。
2023-07-17 math.CO
Intersecting families of permutations with a fixed number of cycles
本文研究固定循环数的置换集合Sym(n,k)中最大相交族的结构，证明k≤n^0.25时最大相交族为星族，还给出非中心相交族大小的稳定性界并在多对数范围得到渐近紧的结果，建立了对应的Erdős–Ko–Rado定理及稳定性版本。
2026-08-21 math.CO
Erdős-Ko-Rado theorems on the weak Bruhat lattice}
设${\mathscr L}=(X,\preceq)$为格。对于${\cal P}\subseteq X$，我们说${\cal P}$是$t$ -{ \it相交}，如果${\sf rank}(x\wedge y)\ge t$对于所有$x,y\in{\cal P}$。Erdés、Ko和Rado的开创性定理描述了有限集的子集格中的最大相交${\cal P}$，并附加了${\cal P}$包含在格的一个水平内的条件。Erdens-Ko-Rado定理已被广泛研究并推广到其他对象和格。在本文中，我们专注于交叉家庭的置换定义相对于弱Bruhat格。在这种情况下，我们证明了类似物的某些极值结果相交集系统。特别地，我们给出了Bruhat格中的最大交叉置换族的一个特征。我们还刻画了最大交叉家庭的排列内的$r^{\textrm{th}}$水平的Bruhat格的大小$n$的排列，只要$n$是大的相对于$r$。
2019-04-02 math.CO
Maximum Intersecting Families of Permutations
Cameron和Ku首先证明了群$G=Sym(n)$具有严格的EKR性质。然后Godsil和Meagher提出了一个完全不同的证明这一事实使用一些代数性质的对称群。用类似的方法证明了一般射影线性群$PGL(2,q)$具有严格的EKR性质，它在射影线$\mathbb{P}_q$上的自然作用。本文的主要目的是正式介绍这种方法，我们称之为模方法，并表明这提供了一个标准的方法来证明其他置换群的Erdos-Ko-Rado定理。在证明各种群的Erdos-Ko-Rado定理的同时，利用这种方法证明了某些置换群具有严格的EKR性质。我们还将表明，这种方法可以是有用的，在一些凯莱图的最大独立集的特征。为了解释模方法，我们需要一些来自群的表示论的事实，特别是对称群。我们将为读者提供足够水平的背景知识，包括表示论、图论和关于图的线性代数事实。
2013-11-29 math.CO
Intersecting families of discrete structures are typically trivial
交叉结构的研究是极值组合学的核心。如果$\mathcal{F}$中的任何两个排列在某些$t$索引上一致，则排列族$\mathcal{F} \subset S_n$是\emph{$t$-intersecting}，如果$\mathcal{F}$中的所有排列在相同的$t$索引上一致，则排列族是\emph{trivial}。一个$k$ -一致超图是\emph{$t$-intersecting}，如果它的任意两条边有共同的$t$顶点，如果它的所有边共享相同的$t$顶点，则它是\emph{trivial}.基本问题是确定相交族可以有多大。Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于$n$相对于$t$足够大，在$S_n$中最大的$t$相交族是平凡族.经典的Erdens-Ko-Rado定理表明，当$n$较大时，最大的$t$ -相交$k$ -一致超图也是平凡的.我们确定的\emph{typical}结构的$t$ -相交的家庭，扩展这些结果表明，几乎所有的相交家庭是平凡的。我们还获得了这些极值结果的稀疏类似物，表明它们在随机设置中成立。我们的证明使用Bollobás集对不等式来限制最大相交族的数量，然后可以将其与已知的稳定性定理相结合。对于向量空间，我们也得到了类似的结果。
2015-01-09 math.CO
Even-Intersecting Families of Permutations
Department of Mathematics and Statistics, IISER Kolkata, India（印度加尔各答印度科学教育与研究所数学与统计系）
本文研究偶交置换族的最大大小，对偶数 n 改进指数因子，对奇数 n 给出构造，并渐近匹配已知上界。
2026-09-21 math.CO
Erdős-Ko-Rado-type problem for hypergraph matchings
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学网络与数据科学数学理论与分析河北省重点实验室）；School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）；Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
研究完全\(r\)部\(r\)均匀超图中\(k\)匹配的\(t\)相交族问题，用两种方法确定其最大规模并刻画极值族，一种借助排列的\(t\)相交族结果得定理，另一种基于\(t\)覆盖法进行补充刻画。
2026-07-17 math.CO
A note on the maximum diversity of intersecting families in the symmetric group
Taiyuan University of Technology（太原理工大学）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
本文利用spread approximation方法证明，对于n≥500，对称群中交集族的多样性最大为(n-3)(n-3)!。
2026-01-01 math.CO
On maximum intersecting sets in direct and wreath product of groups
对于作用在集合$V$上的置换群$G$，如果对于每对元素$g,h\in I$，存在$v \in V$使得$g(v) = h(v)$，则称$G$的子集$I$是交集。传递置换群$G$的交密度$ρ(G)$是商$|I|/|G_v|$的最大值，其中$G_v$是点$v\in V$的稳定子，并且$I$在$G$中的所有交集上运行。如果$G_v$是$G$中的最大交集，则称$G$具有Erdens-Ko-Rado（EKR）-性质，而且，如果$G$中的每个最大尺寸的交集都是点稳定子的陪集，则称$G$具有严格EKR-性质. $G$中的交集与所谓的乱序图$Γ_G$中的独立集重合，乱序图定义为$G$上的Cayley图，其连接集由所有乱序组成，即$G$的不动点自由元素。本文对Meagher，Razafimahatratra和Spiga在[J. Combin.理论Ser.A180（2021），105390]，证明。证明使用群的直积。研究了群的直积和圈积的最大交集问题以及这些群积的（严格）EKR性质。此外，还对文献中出现的一些错误进行了修正。
2021-08-09 math.CO
Intersecting Families of Permutations
如果$I$中的任何两个排列至少在$k$点上一致，则称排列集合$I \subset S_n$是{ \em k-相交}。我们证明了对于任何$k \in \mathbb{N}$，如果$n$是足够大的依赖于$k$，那么最大的$k$相交子集的$S_n$是陪集的稳定器的$k$点，证明了一个猜想Deza和Frankl。我们还证明了一个类似的结果，关于$k$ -交叉相交的子集。我们的证明是基于特征值技术和对称群的表示论。
2017-07-07 math.CO math.RT
The maximum $t$-diversity of $t$-intersecting families of permutations
School of Mathematical Sciences, Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）；School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究对称群中 $t$-相交族的稳定性，确定了 $t$-多样性和星形 $t$-多样性的最佳上界，并刻画了极值结构。
2026-09-14 math.CO
The Erdős-Ko-Rado property for some permutation groups
如果对于组$G \leq Sym(n)$中的任何一对置换$π,σ$，存在$i \in \{1,2,\dots,n\}$使得$π(i) = σ(i)$，则该组$G \leq Sym(n)$中的子集相交。如果一个点的稳定子是一个群中的最大交集，我们称这个群具有Erdens-Ko-Rado（EKR）性质。此外，如果群中每个最大尺寸的交集是点的稳定子或点的稳定子的陪集，则群具有严格EKR性质。本文研究了几类置换群，并确定了它们是否具有EKR性质或严格EKR性质。首先证明了所有循环群都具有严格EKR性质。其次，我们证明了所有的二面体群和弗罗贝尼乌斯群都具有EKR性质，并刻画了哪些群具有严格的EKR性质。进一步证明了如果一个外直和或一个内直和中的所有群都具有EKR（或严格EKR）性质，则乘积也具有EKR性质.最后证明了具有EKR性质的两个群的圈积也具有EKR性质。
2013-11-27 math.CO
No Hilton-Milner type results for linear groups of degree two
有限可迁置换群$G\leq \operatorname{Sym}(Ω)$的置换集合$\mathcal{F}$是\emph{intersecting}，如果$\mathcal{F}$的任何元素对在$Ω$的元素上一致。如果$G$的交集的大小至多为点稳定子的数量级，则我们说$G$具有\emph{EKR property}。此外，只要$G$具有EKR性质，并且任何最大尺寸的交集是$G$的点稳定子的陪集，$G$就具有\emph{strict-EKR}性质。已知作用在$Ω_q := \mathbb{F}_q^2\setminus\{0\}$上的置换群$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$具有EKR性质，但由于超平面的稳定子是一个极大交集，因此不具有严格EKR性质.本文证明了当$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$作用于$Ω_q$时，Hilton-Milner型结果不成立.精确地说，证明了$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$的最大交集具有最大尺寸.结果证明了$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_{q})$的完全Erdens-Ko-Rado定理。
2021-11-10 math.CO
Intersection density of transitive groups of certain degrees
作用在集合$V$上的置换群$G$的两个元素$g$和$h$被称为相交，如果对于某个$v \in V$有$g(v) = h(v)$。更一般地，如果${\cal F}$的每对元素相交，则$G$的子集${\cal F}$是相交集合。传递置换群$G$的交集密度$ρ(G)$是商$|{\cal F}|/|G_v|$的最大值，其中${\cal F}$在$G$中的所有交集上运行，并且$G_v$是$v\in V$的稳定子。本文确定了2次素数的传递群的交密度，并证明了它是$1$或$2$ .此外，还证明了素幂度的传递群的交密度为$1$。
2021-04-10 math.CO
On intersection density of transitive groups of degree a product of two odd primes
作用在集合$V$上的置换群$G$的两个元素$g$和$h$被称为相交，如果对于某个$v \in V$有$g(v) = h(v)$。更一般地，如果${\cal F}$的每对元素相交，则$G$的子集${\cal F}$是相交集合。传递置换群$G$的交密度$ρ(G)$是商$|{\cal F}|/|G_v|$的最大值，其中$G_v$是$v\in V$的稳定子，并且${\cal F}$在$G$中的所有交集上运行。研究了$pq$度的传递群的交密度，其中$p>q$为奇素数.特别地，证明了关于每个这样的群的交密度等于$1$的猜想（在[J.~组合Theory，Ser. A 180（2021），105390]）通过构造一族度为$pq$（块大小为$q$）的非本原置换群而被证伪，其中$p=(q^k-1)/(q-1)$，其交密度等于$q$ .该构造在很大程度上依赖于域$\mathbb{F}_q$上的某些等距循环码$[p,k]_q$，其码字具有严格小于$p$的汉明权重。
2021-07-20 math.CO
Erdős-Ko-Rado problems for permutation groups
本文研究了本原和拟本原置换群中的交集。设$G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$是可迁置换群，${S}$是交集.以前的结果表明，如果$G$是2-传递的或Frobenius群，则$|{S}|\leqslant|G_ω|$（对于某些$ω\in Ω$）。此外，对于某些2-传递群，$|{S}|=|G_ω|$当且仅当${S}$是稳定子的陪集.在本文中，我们证明了这些陈述是远离真理的一般传递群。特别地，我们证明了在本原群的情况下，甚至不存在绝对常数$c$使得$|{S}|\leqslant c|G_ω|$ .在$G$是同构于$\mathrm{PSL(2,p)}$的本原置换群的情况下，刻画了$G$的交集子群.我们还证明了，如果$G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$是一个素数幂次置换群，则对任何交集$S$，我们有$|S|\leq |G_ω|$（对某些$ω\in Ω$）.这证明了\cite{MRS}中的一个猜想的一部分。
2021-01-16 math.CO math.GR
Frankl's diversity theorem for permutations
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Saint-Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（因诺波利斯大学）
本文研究了排列上的弗兰克尔多样性定理，扩展了希尔顿-米勒定理到排列情形，并在大n条件下证明了其类似结果。
2026-02-12 cs.DM math.CO
Intersecting principal Bruhat ideals and grades of simple modules
证明了关于Bruhat阶的对称群的关联代数上的布尔置换所标单模的阶由Lusztig的a-函数给出.我们的论点是组合的，并包括两个主要的阶理想的交集时，至少有一个置换是布尔的描述。在我们的工作中的一个重要对象是一个减少的字写为最小许多连续整数运行，我们的论点的一个步骤表明，这个最小的数量是等于第二行的长度排列的形状下的罗宾逊-申斯特对应。我们还证明了上述关联代数上的单模是完全模当且仅当其指数是抛物子群的最长元。
2022-02-15 math.CO math.RT
Approximation by juntas in the symmetric group, and forbidden intersection problems
如果$\mathcal{F}$中的任何两个排列至少在$t$点上一致，则称排列族$\mathcal{F} \subset S_{n}$是$t$-相交的。如果在$\mathcal{F}$中没有两个排列在$t-1$点上完全一致，则称之为$(t-1)$ -无交集。如果$S,T \subset \{1,2,\ldots,n\}$与$|S|=|T|$，并且$π: S \to T$是一个双射，则$S_n$中的$π$ -星是$S_n$中所有在所有$S$上与$π$一致的排列的族。一个$s$ -星是一个$π$ -星，使得$π$是大小为$s$的集合之间的双射。Friedgut和皮尔佩尔，并独立的第一作者，表明，如果$\mathcal{F} \subset S_n$是$t$交叉，$n$是足够大的$t$，然后$|\mathcal{F}| \leq (n-t)!$ ;这证明了一个猜想的Deza和弗兰克尔从1977年。只有当$\mathcal{F}$是$t$ -星时，相等才成立。在本文中，我们给出了一个更“鲁棒”的证明加强的Deza-Frankl猜想，即，如果$n$是足够大的依赖于$t$，和$\mathcal{F} \subset S_n$是$(t-1)$ -交免费，那么$|\mathcal{F} \leq (n-t)!$，与平等只有当$\mathcal{F}$是一个$t$ -星。我们的证明的主要成分是一个“j…
2019-12-19 math.CO
All $2$-transitive groups have the EKR-module property
证明了2-传递群具有EKR-模性质。这个性质给出了群中置换的最大交集的一个特征。具体地说，2-传递群中任意极大交集的特征向量是点的稳定子及其陪集的特征向量的线性组合。我们还考虑了2-传递群的乱序图何时是连通的以及最大交集何时是子群或子群的陪集。
2022-07-12 math.CO
Sharp stability for cross $t$-intersecting families of permutations in the linear range
Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Education), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（数学与复杂系统教育部重点实验室，北京师范大学数学科学学院）
本文用纯组合方法证明了置换交叉t-相交族的尖锐稳定性定理，推广了Ellis定理并解决了其猜想，给出了Hilton-Milner-Frankl定理的乘积版本，线性依赖最优。
2026-09-18 math.CO
An Eventown Result for Permutations
University of Memphis（孟菲斯大学）
本文研究了排列族的偶环相交性质，证明了其最大规模为 $2^{n-1}$，并验证了关于对称群最大反转族的猜想。
2026-01-18 cs.DM math.CO math.GR
Intersecting subsets in finite permutation groups
本文研究了拟本原置换群中相交子集的大小问题，证明了其可任意大于点稳定子阶数，猜想上界为 $O(|G_ω||Ω|^{1\over2})$ 并以 Suzuki 群为例给出证明与紧致性验证。
2024-12-26 math.CO math.GR
All $3$-transitive groups satisfy the strict-EKR property
本文研究了3-传递群中相交集的结构，证明了AGL(n,2)满足严格EKR性质及其稳定性，从而证实了所有3-传递群均满足严格EKR性质的猜想。
2023-11-21 math.CO
On the EKR Module property
本文针对置换群的EKR定理推广问题，围绕K. Meagher提出的EKR-模性质，构造了多类满足该性质的无限置换族群，证明了满足该性质的置换群具有丰富多样性。
2024-04-16 math.CO
The Erdős-Ko-Rado property for some 2-transitive groups
Sym（n）的群G的子集是相交的，如果对于任何一对排列$i$，在{1，2，.，n}，使得$π(i) = σ(i)$ .用代数方法证明了Sym（n），Alt（n）和PGL（2，q）中的最大交集恰好是点稳定子的陪集。在本文中，我们展示了如何这种方法可以更普遍地适用于许多2-传递群。然后，我们将此方法应用于Mathieu群和所有度不超过20的2-可迁群。
2013-08-02 math.CO
A Proof of the Cameron-Ku conjecture
一个置换族A \subset S_n称为相交的，如果A中的任意两个置换在某点一致，即对于任意σ，π \in A，存在某个i使得σ（i）=π（i）。Deza和Frankl证明，对于这样的一个家族，|A| <=（n-1）！。Cameron和Ku证明，如果等式成立，则对于某些i和j，A = {σ \in S_{n}：σ（i）=j}。他们证明了这个结果的“稳定性”版本，即存在一个常数c < 1，使得如果A \subset S_{n}是一个大小至少为c（n-1）的相交族，则存在i和j使得A中的每个置换将i映射到j（我们称这样的族为“中心的”）。他们还提出了更强的“Hilton-Milner”型猜想，即对于n个\geq 6，如果A \subset S_{n}是非中心相交族，则A不可能大于族C = {σ \in S_{n}：σ（1）=1，σ（i）=i \textrm{for some} i > 2} \cup {（12）}，其大小为（1-1/e+o（1））（n-1）！。我们证明了稳定性猜想，也Hilton-Milner型猜想n充分大。我们的证明利用了S_{n}的经典表示论。我们的关键工具之一将是交叉交叉排列族的极值结果，即对于n个\geq 4，如果A，B \subset S_{n}交叉交叉，则|A| |B| \leq（（n-1）！）^ {2}中的选项。这是一个猜想的领导人，它最近证明了n足够大的…
2011-04-14 math.CO math.GR math.RT
Fourier analysis on finite groups and the Lovász theta-number of Cayley graphs
我们应用傅里叶分析在有限群上得到Cayley图的Lovász θ-数的简化公式。我们把这些公式用于检查几个情况下的猜想埃利斯，Friedgut和皮尔佩尔在最近的文章证明了一个版本的Erdens-Ko-Rado定理$k$交叉家庭的排列。我们还引入了$k$ -交叉置换族的概念的$q$ -模拟，并通过计算机验证了相应的Erdens-Ko-Rado断言的几种情况。
2013-07-22 math.CO math.OC
A Complete Intersection Theorem for Large Permutation Groups
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Saint-Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（因诺波利斯大学）；Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
证明对于足够大的n和任意t，Sn中t-相交族的最大大小由固定点族达到，解决了Deza-Frankl相交问题。
2026-07-02 cs.DM math.CO
Permutation groups, partition lattices and block structures
School of Mathematics, University of Bristol（布里斯托大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）
本文研究置换群、划分格与块结构的性质，探讨具有OB和PB性质的群及其在wreath积中的嵌入问题。
2025-10-19 math.CO math.GR math.ST
An almost complete $t$-intersection theorem for permutations
本文在 $n>(1+ε)t$ 且 $n$ 充分大时确定最大 $t$-相交置换族的大小并证明尖锐稳定性，解决并验证了多个长期猜想，方法是改进 spread approximations。
2024-05-13 cs.DM math.CO
