发表机构
Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Education), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（数学与复杂系统教育部重点实验室，北京师范大学数学科学学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文用纯组合方法证明了置换交叉t-相交族的尖锐稳定性定理，推广了Ellis定理并解决了其猜想，给出了Hilton-Milner-Frankl定理的乘积版本，线性依赖最优。
AI 中文摘要
我们通过纯组合证明获得了若干关于置换的交定理。两个族 $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq S_n$ 称为交叉 $t$-相交的，如果每个 $\sigma\in\mathcal{F}$ 和 $\tau\in\mathcal{G}$ 至少在 $t$ 个点上一致。一个 $t$-余集是 $t$ 个点的稳定化子的一个余集。$S_n$ 的一个子集是非平凡的，如果它不包含在任何 $t$-余集中。令 $d_m$ 表示第 $m$ 个错排数。我们证明，对于所有 $t\geq1$ 和 $n\geq400t$，每一对交叉 $t$-相交族 $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq S_n$ 满足以下条件：(i) 如果 $\mathcal{F}\cup\mathcal{G}$ 是非平凡的，则 $|\mathcal{F}||\mathcal{G}|\leq((n-t)!-d_{n-t}-d_{n-t-1})((n-t)!+t)$。(ii) 如果 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 都是非平凡的，则 $|\mathcal{F}||\mathcal{G}|\leq((n-t)!-d_{n-t}-d_{n-t-1}+t)^2$。(iii) 如果 $t\geq2$，则对于某个 $t$-余集 $\mathcal{C}$，有 $\min\{|\mathcal{F}\setminus\mathcal{C}|,|\mathcal{G}\setminus\mathcal{C}|\}\leq t((n-t-1)!-(n-t-2)!)$。我们还刻画了所有极值配置。第一个结果将 Ellis (2011) 的一个定理推广到指数级更宽的范围，并加强了 Keller, Lifshitz, Minzer 和 Sheinfeld (2024) 的稳定性定理；第二个给出了经典的 Hilton--Milner--Frankl 定理对于置换的乘积版本；第三个以更强的形式解决了 Ellis (2011) 的一个猜想中剩余的 $t\geq2$ 情形。在所有三个结果中，对 $t$ 的线性依赖本质上是最优的。我们的证明基于 Kupavskii 和 Zakharov 引入的传播近似方法，以及本文作者开发的处理交叉 $t$-相交问题的一种方法，并进行了若干必要的改进。作为我们方法的一个应用，我们证明了交错群的 Hilton--Milner--Frankl 定理的乘积版本。
英文摘要
Two families $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq S_n$ are cross $t$-intersecting if every $σ\in\mathcal{F}$ and $τ\in\mathcal{G}$ agree on at least $t$ points. A $t$-coset is a coset of the stabilizer of $t$ points. A subset of $S_n$ is non-trivial if it is not contained in any $t$-coset. Let $d_m$ denote the $m$-th derangement number. We prove that, for all $t\geq1$ and $n\geq400t$, every pair of cross $t$-intersecting families $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq S_n$ satisfies the following: (i) $|\mathcal{F}||\mathcal{G}|\leq((n-t)!-d_{n-t}-d_{n-t-1})((n-t)!+t)$ if $\mathcal{F}\cup\mathcal{G}$ is non-trivial. (ii) $|\mathcal{F}||\mathcal{G}|\leq((n-t)!-d_{n-t}-d_{n-t-1}+t)^2$ if both $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ are non-trivial. (iii) $\min\{|\mathcal{F}\setminus\mathcal{C}|,|\mathcal{G}\setminus\mathcal{C}|\}\leq t((n-t-1)!-(n-t-2)!)$ for some $t$-coset $\mathcal{C}$ if $t\geq2$. We also characterize all extremal configurations. The first result extends a theorem of Ellis (2011) to an exponentially wider range and sharpens the stability theorem of Keller, Lifshitz, Minzer and Sheinfeld (2024); the second gives a product version of the classical Hilton--Milner--Frankl theorem for permutations; and the third settles the remaining cases $t\geq2$ of a conjecture of Ellis (2011) in a stronger form. In all three results, the linear dependence on $t$ is essentially optimal. Our proofs are based on the spread approximation method introduced by Kupavskii and Zakharov and on an approach to cross $t$-intersection problems developed by the present authors, with several essential refinements. As an application of our approach, we prove a product version of the Hilton--Milner--Frankl theorem for the alternating group.
