No Hilton-Milner type results for linear groups of degree two
有限可迁置换群$G\leq \operatorname{Sym}(Ω)$的置换集合$\mathcal{F}$是\emph{intersecting}，如果$\mathcal{F}$的任何元素对在$Ω$的元素上一致。如果$G$的交集的大小至多为点稳定子的数量级，则我们说$G$具有\emph{EKR property}。此外，只要$G$具有EKR性质，并且任何最大尺寸的交集是$G$的点稳定子的陪集，$G$就具有\emph{strict-EKR}性质。已知作用在$Ω_q := \mathbb{F}_q^2\setminus\{0\}$上的置换群$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$具有EKR性质，但由于超平面的稳定子是一个极大交集，因此不具有严格EKR性质.本文证明了当$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$作用于$Ω_q$时，Hilton-Milner型结果不成立.精确地说，证明了$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_q)$的最大交集具有最大尺寸.结果证明了$\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_{q})$的完全Erdens-Ko-Rado定理。
2021-11-10 math.CO
All $3$-transitive groups satisfy the strict-EKR property
本文研究了3-传递群中相交集的结构，证明了AGL(n,2)满足严格EKR性质及其稳定性，从而证实了所有3-传递群均满足严格EKR性质的猜想。
2023-11-21 math.CO
Partial covering arrays and a generalized Erdos-Ko-Rado property
经典的Erd \H os-Ko-Rado定理指出，如果$k\le\floor{n/2}$，则$[n]=\{0,1,...,n\}$的最大的成对相交$k$ -子集族的大小为${{n-1}\choose{k-1}}$。满足这种两两相交性质的$k$子集族称为EKR族。我们推广的EKR属性，并提供渐近下界的最大家庭${\cal A}$的$k$ -子集的$[n]$，满足以下属性的大小：对于每个$A,B,C\in{\cal A}$，每个四个集合$A\cap B\cap C;A\cap B\cap C^C; A\cap B^C\cap C; A^C\cap B\cap C$是非空的。这种广义EKR（GEKR）属性的动机，建议推广，并与固定重量3覆盖阵列的比较。我们的技术是概率性的。
2005-12-06 math.CO
Characterization of Weak EKR Groups and Intersection Densities with Prescribed Point Stabilizers
University of Primorska, UP FAMNIT and UP IAM（波希米亚大学，UP FAMNIT 和 UP IAM）
本文刻画弱EKR群的性质，建立相关准则，还解决公开问题，证明对指定有限群H和整数n≥m，存在对应传递置换群的交集密度为n/m。
2026-08-20 math.CO math.GR
An EKR Theorem for the Cartesian Product of Complete Graphs
本文通过扩展 Katona 圈方法，证明了完全图笛卡尔积在特定参数范围内满足 r-EKR 性质，从而验证了 Holroyd-Talbot 猜想对这类良覆盖图成立。
2025-09-16 math.CO
Erdős-Ko-Rado results for the general linear group, the special linear group and the affine general linear group
本文证明了一般线性群$\gl{q}$和特殊线性群$\slg{q}$同时具有EKR性质和EKR-模性质.这是使用代数方法完成的;找到了该组的乱序图的加权邻接矩阵，并将霍夫曼比率界应用于该矩阵。我们还考虑了群$\agl{q}$和$\PGL(2,q)$中的2-交集。
2021-10-18 math.CO
Maximum Intersecting Families of Permutations
Cameron和Ku首先证明了群$G=Sym(n)$具有严格的EKR性质。然后Godsil和Meagher提出了一个完全不同的证明这一事实使用一些代数性质的对称群。用类似的方法证明了一般射影线性群$PGL(2,q)$具有严格的EKR性质，它在射影线$\mathbb{P}_q$上的自然作用。本文的主要目的是正式介绍这种方法，我们称之为模方法，并表明这提供了一个标准的方法来证明其他置换群的Erdos-Ko-Rado定理。在证明各种群的Erdos-Ko-Rado定理的同时，利用这种方法证明了某些置换群具有严格的EKR性质。我们还将表明，这种方法可以是有用的，在一些凯莱图的最大独立集的特征。为了解释模方法，我们需要一些来自群的表示论的事实，特别是对称群。我们将为读者提供足够水平的背景知识，包括表示论、图论和关于图的线性代数事实。
2013-11-29 math.CO
Probabilistic Extensions of the Erd\H os-Ko-Rado Property
经典的Erd \H os-Ko-Rado（EKR）定理指出，如果我们从一个固定大小的集合（n（n > 2k））中选择一个子集族，每个子集的大小为（k），那么最大可能的成对相交族的大小为（t ={n-1 \choose k-1}）。本文考虑随机选择的大小为t=t_n的族具有EKR性质（两两非空交）的概率，即$n$和$k=k_n$趋于无穷大，后者以特定的速率趋于无穷大.当$t$变大时，EKR性质不太可能发生，而当$t$变小时，EKR性质以高概率满足。我们使用Janson不等式推导出$t$的阈值。使用斯坦-陈方法，我们表明，分布的$X_0$，定义为不相交的子集对在我们的家庭，可以近似的泊松分布。我们扩展我们的结果，以产生类似的结论$X_i$，重叠的子集对的数量正好在$i$元素。最后，我们表明，联合分布$(X_0, X_1, ..., X_b)$可以近似为一个多维泊松向量与独立的组件。
2005-09-16 math.CO math.PR
On Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs I
一个集合族是相交的，如果没有两个成员是不相交的，并且具有Erdens-Ko-Rado性质（或者是EKR），如果它的每个最大相交子族都有非空交集。用$\mathcal{H}_k(n,p)$表示随机族，其中每个$k$ -$\{1\dots n\}$的子集以概率$p$存在，与其他选择无关。首先由Balogh，Bohman和Mubayi研究的问题是：\[ \mbox{for what $p=p(n,k)$ is $\mathcal{H}_k(n,p)$ likely to be EKR?} \]这里，对于固定的$c<1/4$和$k< \sqrt{cn\log n}$，我们给出了这个问题的精确答案，表征了那些序列$p=p(n,k)$，其中$$ \Pr(\mathcal{H}_k(n,p) \textrm{ is EKR}) \rightarrow 1 \textrm{ as } n\rightarrow \infty. $$
2014-12-16 math.CO
Very Well-Covered Graphs with the Erdős-Ko-Rado Property
本文研究非常良覆盖图的Erdős-Ko-Rado性质，证明悬挂完全图在n≥2r时是r-EKR，并确定了悬挂路径图中使r-star达到最大规模的顶点。
2022-03-14 math.CO
On maximum intersecting sets in direct and wreath product of groups
对于作用在集合$V$上的置换群$G$，如果对于每对元素$g,h\in I$，存在$v \in V$使得$g(v) = h(v)$，则称$G$的子集$I$是交集。传递置换群$G$的交密度$ρ(G)$是商$|I|/|G_v|$的最大值，其中$G_v$是点$v\in V$的稳定子，并且$I$在$G$中的所有交集上运行。如果$G_v$是$G$中的最大交集，则称$G$具有Erdens-Ko-Rado（EKR）-性质，而且，如果$G$中的每个最大尺寸的交集都是点稳定子的陪集，则称$G$具有严格EKR-性质. $G$中的交集与所谓的乱序图$Γ_G$中的独立集重合，乱序图定义为$G$上的Cayley图，其连接集由所有乱序组成，即$G$的不动点自由元素。本文对Meagher，Razafimahatratra和Spiga在[J. Combin.理论Ser.A180（2021），105390]，证明。证明使用群的直积。研究了群的直积和圈积的最大交集问题以及这些群积的（严格）EKR性质。此外，还对文献中出现的一些错误进行了修正。
2021-08-09 math.CO
The Erdős-Ko-Rado property of trees of depth two
如果集合族中的任何两个集合相交，则集合族是相交的。给定图$G$和整数$r\geq 1$，令$\mathcal{I}^{(r)}(G)$表示$G$的大小为$r$的独立集族。对于$G$的顶点$v$，令$\mathcal{I}^{(r)}_v(G)$表示包含$v$的大小为$r$的独立集的族。这个家族被称为$r$ -星。如果没有相交的$ \mathcal{I}^{(r)}(G)$子族大于最大的$r$ -星，则称$G$为$r$ -EKR.令$k, n, r \geq 1$和令$T(n, k)$是深度为2的树，其中根具有度$n$，并且根的每个邻居具有相同数量的邻居$k + 1$。对于每一个$k \geq 2$，我们表明，$T(n, k)$是$r$ -EKR，如果$2r \leq n$，扩展Borg和Feghali，约翰逊和托马斯的结果，谁考虑的情况下$k = 1$。
2019-07-10 math.CO
A new measure of robustness of Erdős--Ko--Rado Theorems on permutation groups
本文提出以 derangement 图中本身为 Cayley 图的子图的极值性质，衡量置换群上 EKR 定理的稳健性，并给出多类群的相关结果。
2025-02-20 math.CO
Compression and Erdos-Ko-Rado graphs
对于图G和整数r \geq 1，我们用I^{（r）}（G）表示G的独立r-集的集合。如果v是\in V（G），则I_v^{（r）}（G）是所有包含v的独立r-集的集合。一个图G称为r-EKR，对于r是\geq 1，当且仅当没有相交族A \subseteq I^{（r）}（G）大于max_{v\in V(G)}| I^{（r）}_v（G）|.已知有各种图具有此性质：n阶\geq 2 r的空图（这是著名的Erdos-Ko-Rado定理），对于t \geq 2，K_t的至少r个副本的任何不相交并，以及任何圈。在本文中，我们将展示如何通过压缩证明技术，这些结果可以扩展到其他类的图。特别地，我们证明了至少r个完全图的不交并是r-EKR，其中每个图的阶数至少为2。我们还表明，道路是r-EKR的所有r \geq 1。
2003-07-04 math.CO
Intersection density of transitive groups with cyclic point stabilizers
对于作用在集合$V$上的置换群$G$，如果对于每对元素$g,h\in \mathcal{F}$，存在$v \in V$使得$g(v) = h(v)$，则称$G$的子集$\mathcal{F}$是交集。传递置换群$G$的交密度$ρ(G)$是商$|\mathcal{F}|/|G_v|$的最大值，其中$G_v$是点$v\in V$的稳定子，并且$\mathcal{F}$在$G$中的所有交集上运行。如果$G_v$是$G$中的最大交集，则称$G$具有EKR性质。本文研究了具有素数阶点稳定器的可迁置换群，重点研究了不具有EKR-性质的2阶和3阶点稳定器。其中，给出了具有交密度为$4/3$的$3$阶点稳定子的传递置换群的无限族和具有交密度为任意大的$3$阶点稳定子的传递置换群的无限族的构造.
2022-01-26 math.CO
Erdös-Ko-Rado theorems for chordal and bipartite graphs
由Holroyd、Spencer和Talbot提出的Erdös-Ko-Rado定理的一个较新的推广，以下面的方式定义了图的Erdös-Ko-Rado性质：对于图G和一个正整数r，称G是r-EKR，如果所有大小为r的独立点集的族中没有相交子族大于最大星，本文证明了：如果G是弦图的不交并，且至少包含一个单点，则G是r-EKR，如果$r$，其中μ（G）是极大独立集的最小尺寸.我们还将证明完全图链的Erdös-Ko-Rado结果，完全图是一类通过将路径的边爆破成完全图而得到的弦图。我们还考虑了梯形图和树的类似问题，并证明了这些图的初步结果。
2009-07-15 math.CO
Robustness of Erdős--Ko--Rado theorems on permutations and perfect matchings
该研究探讨排列与完美匹配的错位排列图随机生成子图的EKR型性质，证明其独立数等于原图独立数存在尖锐阈值概率，还得到了完美匹配顶点集上稀疏布尔函数的FKN型定理。
2024-06-22 math.CO
Certain graphs with exactly one irreducible $T$-module with endpoint $1$, which is thin: the pseudo-distance-regularized case
设$Γ$表示有限简单连通图.固定$Γ$的一个不是叶的顶点$x$，用$T=T(x)$表示$Γ$关于$x$的特威利格代数。假设具有端点$0$的唯一不可约$T$ -模块是瘦的，或者等价地，$Γ$是围绕$x$的伪距离正则的。我们考虑$Γ$在同构下有唯一的不可约$T$ -模，其端点为$1$，并且这个$T$ -模是瘦的.本文的主要结果是此属性的组合特征。
2023-01-24 math.CO
Simple SL(n)-Modules with Normal Closures of Maximal Torus Orbits
设$T$是群SL（n）中的对角矩阵的子群。本文的目的是寻找所有有限维单有理SL（n）-模$V$，使其具有以下性质：对每个点$v\in V$，其$T$ -轨道的闭包$\bar{Tv}$是正规仿射簇.此外，对任何不具有此性质的SL（n）-模，构造了一个具有非正规闭包的$T$ -轨道.这个证明是纯组合的：它处理简单SL（n）-模的权集。针对权重集中的每个子集检查饱和度属性。
2008-06-12 math.AG math.CO
When the extension property does not hold
证明了模字母表上线性码的一个完全扩张定理和对称化的重量合成。结果表明，对于具有非循环基柱的模字母表，关于任意权函数的扩张性质不成立。
2015-12-17 cs.IT math.CO math.IT
Simple Modules of Exceptional Groups with Normal Closures of Maximal Torus Orbits
设G是例外单代数群，T是G中的一个极大环面.本文对每个这样的G，我们找到了所有的单有理G-模V，它具有以下性质：对V中的每个向量v，它的T-轨道的闭包是正规仿射簇。对于所有不具有此性质的G-模，我们给出了一个具有非正规闭包的T-轨道。为了解决这个问题，我们使用一个组合标准的正规性制定的一个简单的G-模的权重。本文继续第二作者的两篇论文，其中解决了经典线性群的相同问题。
2011-05-23 math.AG math.CO
Annihilator Multiplication Modules: Ring Characterizations and Constructions
Hoseo University（湖西大学）；Marmara University（马尔马拉大学）
本文刻画了忠实模或所有模为零化子乘法模的环（分别为拟Frobenius环和Artin主理想环），并给出约化环上的等价条件、长度界及具体构造，揭示了该性质与环结构及模理论的深刻联系。
2026-09-16 math.AC math.CO
Cohen-Macaulay Property of pinched Veronese Rings
本文利用无平方因子复形的约化同调，研究了Pinched Veronese环的贝蒂数.我们的特点，当这些环是科恩-麦考利和我们的研究的形状的Betti表捏Veronese在两个变量。作为一个副产品，我们获得的信息，这种环的线性。此外，在最后一节中，我们计算了Veronese模的标准模。
2018-02-14 math.AC math.CO
