偶交族置换
Even-Intersecting Families of Permutations
- Department of Mathematics and Statistics, IISER Kolkata, India（印度加尔各答印度科学教育与研究所数学与统计系）
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AI总结：
本文研究偶交置换族的最大大小，对偶数 n 改进指数因子，对奇数 n 给出构造，并渐近匹配已知上界。
AI中文摘要：
$S_n$ 中的一个置换族被称为偶交族，如果任意两个不同的成员在偶数个位置上一致。设 $M(n)$ 表示这样的族的最大大小。对于偶数 $n$，我们证明 $$n!!\leq M(n)\leq e^{\frac{n}{2}+o(n)}n!!,$$ 将 Cameron、Deza 和 Frankl (1987) 的定理所得到的界改进了一个指数因子。这个问题可以被视为集合系统经典 Eventown 问题的置换类比。对于奇数 $n$，我们给出一个构造，得到 $M(n)\geq n^2/4$。我们进一步扩展这个构造，得到 $$ M(n)\geq\bigl(n-\sqrt{n-1}\bigr)^2,$$ 当 $n=(q+1)^2+1$ 且 $q$ 为奇素数幂时。后一个界渐近地匹配 Cameron、Deza 和 Frankl 得到的上界 $M(n)\leq(n-1)^2+1$。
英文摘要：
A family of permutations in $S_n$ is called even-intersecting if every two distinct members agree in an even number of positions. Let $M(n)$ denote the maximum size of such a family. For even $n$, we prove that $$n!!\leq M(n)\leq e^{\frac{n}{2}+o(n)}n!!,$$ improving the bound obtained from a theorem of Cameron, Deza and Frankl (1987) by an exponential factor. This problem may be viewed as a permutation analogue of the classical Eventown problem for set systems. For odd $n$, we give a construction yielding $M(n)\geq n^2/4$. We further extend this construction to obtain $$ M(n)\geq\bigl(n-\sqrt{n-1}\bigr)^2 ,$$ whenever $n=(q+1)^2+1$ and $q$ is an odd prime power. The latter bound asymptotically matches the upper bound $M(n)\leq(n-1)^2+1$ obtained by Cameron, Deza and Frankl.
