Structure and properties of large intersecting families
如果一个$n$ -元素集的任何两个子集相交，我们说这个$k$ -子集族是相交的。本文研究了大交族的性质和结构。我们证明了一个结论性的版本Frankl定理相交的家庭有界的最大程度。这个定理，连同它的推广到交叉相交的家庭，加强了由弗兰克尔，弗兰克尔和Tokushige，Kupavskii和Zakharov和其他人得到的结果。我们研究了大相交族的结构，得到了一些非常一般的结构定理，推广了Han和Kohayakawa，以及Kostochka和Mubayi的结果。我们还得到了70年代提出的相交族的一些经典问题的推广。本文推广了Frankl的一个旧结果，在该结果中，他确定了$n>n_0(k)$的覆盖数为$3$的最大相交$k$ -集族的规模和结构.对于$n>Ck$，我们得到了相同的结果，其中$C$是一个绝对常数。最后，我们得到一个类似的扩展以下问题的Erd \H OS，罗斯柴尔德和Szémeredi：什么是最大的交叉家庭，其中没有元素包含在超过一个$c$ -比例的集合，为不同的值$c$。
2018-10-01 cs.DM math.CO
Fractional L-intersecting families
设$L = \{\frac{a_1}{b_1}, \ldots , \frac{a_s}{b_s}\}$，其中对于每个$i \in [s]$，$\frac{a_i}{b_i} \in [0,1)$是不可约分数。令$\mathcal{F} = \{A_1, \ldots , A_m\}$是$[n]$的子集族。我们说$\mathcal{F}$是\emph{fractional $L$-intersecting family}，如果对于每个不同的$i,j \in [m]$，存在一个$\frac{a}{b} \in L$，使得$|A_i \cap A_j| \in \{ \frac{a}{b}|A_i|, \frac{a}{b} |A_j|\}$。本文引入并研究了分数阶$L$ -交族的概念.
2018-03-13 cs.DM math.CO
Uniform s-cross-intersecting families
本文研究了经典的Erdens-Ko-Rado定理中的一个问题，该定理指出：任何两个集合相交的集合$[n] = \{1,\ldots,n\}$的任何$k$ -元子集族的基数至多为${n-1\choose k-1}$ .我们说两个非空族是$\mathcal A, \mathcal B\subset {[n]\choose k}$是{ \it $s$ -cross-intersecting}，如果对于任何$A\in\mathcal A,B\in \mathcal B$我们有$|A\cap B|\ge s$。本文对所有的$n$确定了最大值$|\mathcal A|+|\mathcal B|$。这推广了Hilton和Milner的结果，他们确定了非空$1$ -交叉相交族的$|\mathcal A|+|\mathcal B|$的最大值。
2017-01-15 cs.DM math.CO
Fractional cross intersecting families
令$\mathcal{A}=\{A_{1},...,A_{p}\}$和$\mathcal{B}=\{B_{1},...,B_{q}\}$是$[n]$的两个子集族，使得对于每个$i\in [p]$和$j\in [q]$，有$|A_{i}\cap B_{j}|= \frac{c}{d}|B_{j}|$，其中$\frac{c}{d}\in [0,1]$是不可约分数。我们称这样的族为“$\frac{c}{d}$ -交叉相交族”。在本文中，我们找到了一个紧的上界的产品$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$和特点的情况下，当这个界达到$\frac{c}{d}=\frac{1}{2}$。此外，我们发现一个紧的上限时，$\mathcal{B}$是$k$ -均匀的$|\mathcal{A}||\mathcal{B}|$和特征，为所有的$\frac{c}{d}$，当达到这个界限的情况下。
2019-03-05 cs.DM math.CO
Note on the diversity of intersecting families
设$n=2k+1$与$k\geq3$为奇数。本文给出了两个多样性大于$\sum_{i=k+1}^{2k} \binom {2k}{i}$的相交族，从而反驳了Huang的一个猜想.
2019-03-07 math.CO
Intersecting families with covering number $3$
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Saint-Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（伊诺波利斯大学）
本文研究了覆盖数为3的相交族，确定了当k≥100且n>2k时，相同族在最大相交族问题中的极值性。
2025-11-25 cs.DM math.CO
Modular and fractional L-intersecting families of vector spaces
在本文的第一部分中，我们证明了一个定理，它是[Alon，Babai，Suzuki，J. Combin.理论系列A，1991]。它也是[Frankl and Graham，European J. Combin. #19985;在某些情况下。在本文的第二部分，我们证明了$q$ -类似的结果最近的概念称为\emph{fractional $L$-intersecting family}的家庭的子空间的一个给定的向量空间。我们利用上述定理得到了这类族的基数的一般上界。在某些特殊情况下，我们对这个一般上界作了改进.
2020-06-04 cs.DM math.CO
When are stars the largest cross intersecting families?
给出了恒星是最大交叉相交族的充要条件。
2019-09-04 math.CO
Coloring cross-intersecting families
相交和交叉相交的家庭通常出现在极值组合的静脉埃尔德{ \H o} s-Ko-Rado定理。另一方面，P。Erd{ \H o}s和L.~ Lov{á}sz在著名的论文~ \cite{EL}中提出了交叉族的着色问题，作为对一类特殊超图的经典超图着色问题的限制。本文讨论了交叉相交族的着色问题。
2017-07-14 math.CO
Application of hypergraph Hoffman's bound to intersecting families
利用Filmus-Golubev-Lifshitz方法对超图的独立数进行了界化，解决了关于有偏测度的多重相交族的一些问题.在其他结果中，我们得到的措施版本的Erdos-Ko-Rado定理多相交的家庭的稳定性结果。
2021-12-15 math.CO
Best possible bounds on the number of distinct differences in intersecting families
对于族$\mathcal F$，让$\mathcal D(\mathcal F)$代表可以表示为$F\setminus G$的所有集合的族，其中$F,G\in \mathcal F$。如果族$\mathcal F$中的任何两个集合具有非空交集，则该族相交。在本文中，我们研究了以下问题：什么是$|\mathcal D(\mathcal F)|$相交家庭的$k$ -元素集的最大值？Frankl指出，当$\mathcal F$是包含固定元素的所有集合的族时，达到最大值。我们表明，如果$n \ge 50k\ln k$和$k \ge 50$。同时，我们给出了$n< 4k$的一个反例。
2022-08-10 cs.DM math.CO
Non-trivial intersecting families for finite affine spaces
郭和徐确定了最大规模的交叉家庭在有限的仿射空间，并表明，任何家庭达到最大规模必须是平凡的。本文刻画了具有最大尺寸的非平凡相交族。
2020-04-24 math.CO
Extremal $t$-intersecting families for direct products
本文利用移位技术研究了基集被分成若干部分的直积的$t$ -交族。假设每一部分的大小是足够大的，我们确定所有的极值$t$ -相交的直积的家庭。我们还证明了在一定条件下，Katona引入的更一般的族的每个最大的$t$ -相交子族都是平凡的.
2020-03-31 math.CO
On the Erdos-Ko-Rado Theorem and the Bollobas Theorem for t-intersecting families
如果任何两个成员至少有$t$共同元素，则家族$\mathcal{F}$为$t$ - $\it{intersecting}$。Erd \H os，Ko和Rado证明了，如果$n\geq n_0(k,t)$，大小为$k$的子集的$t$相交族的最大大小等于$ {{n-t} \choose {k-t}}$.阿隆，艾登尼安，黄认为家庭推广相交的家庭，并证明了相同的界限。本文通过考虑族对所有$t \geq 1$推广$t$ -交族，加强了他们的结果。2004年，Talbot将Bollobás的两族定理推广到$t$ -相交族。本文用概率方法证明了Talbot结果的一个小推广。
2014-11-18 math.CO
Degree versions of theorems on intersecting families via stability
一个$n$ -元素集的子集族的匹配数是成对不相交集的最大数目。具有匹配数$1$的族称为相交族。著名的Erd \H os-Ko-Rado定理确定了$k$ -集的最大相交族的大小。它的推广到具有较大匹配数的族，称为埃尔德什匹配猜想，仍然对广泛的参数开放。在本文中，我们解决的程度版本的两个定理。更精确地说，我们给出了Erdens-Ko-Rado定理和Hilton-Milner定理的度和$t$ -度版本，推广了Huang和Zhao，以及Frankl，Han，Huang和Zhao的结果.我们还扩大了范围内的程度版本的Erdenses匹配猜想举行。
2019-05-20 cs.DM math.CO
Partitioning all $k$-subsets into $r$-wise intersecting families
令$r \geq 2$、$n$和$k$是满足$k \leq \frac{r-1}{r}n$的整数。在这篇笔记的arXiv原始版本中，我们提出了一个猜想，即$n$ -集的所有$k$ -子集的族不能被划分为少于$\lceil n-\frac{r}{r-1}(k-1) \rceil$ $r$ -wise相交族。我们注意到，如果为真，这是紧的所有值的参数，该情况下$r=2$是Kneser的猜想，证明了Lovász，并观察到，断言也成立提供$r$是一个素数或幂的$2$。我们最近了解到，然而，断言的猜想的所有值的参数如下最近的结果Azarpendar和贾法里\cite{AJ}。
2021-09-24 cs.DM math.CO
A size-sensitive inequality for cross-intersecting families
$n$ -集合的$k$ -子集的两个族$\mathcal A$和$\mathcal B$被称为交叉相交的，如果$A\cap B\ne\emptyset$对于所有$A\in \mathcal A, B\in \mathcal B $。加强了经典的Erd \H os-Ko-Rado定理，Pyber证明了$|\mathcal A||\mathcal B|\le {n-1\choose k-1}^2$对$n\ge 2k$成立。在本文中，我们锐化这个不等式。我们证明了，假设$|\mathcal B|\ge {n-1\choose k-1}+{n-i\choose k-i+1}$为一些$3\le i\le k+1$强不等式$$|\mathcal A||\mathcal B|\le \Bigl({n-1\choose k-1}+{n-i\choose k-i+1}\Bigr)\Bigl({n-1\choose k-1}-{n-i\choose k-1}\Bigr)$$举行。这些不平等是最好的。
2017-01-15 cs.DM math.CO
A note on strongly and totally chain intersecting families
Bernáth和Gerbner在2007年引入了$(p,q)$ -链相交的$n$ -元素基础集合的子集族。它们具有这样的性质：对于任何$p$链$A_1\subsetneq A_2\subsetneq \dots \subsetneq A_p$和$q$链$B_1\subsetneq B_2\subsetneq \dots \subsetneq B_q$，我们都有$A_p\cap B_q\neq \emptyset$ . Bernáth和Gerbner确定了这些家族的最大基数。他们还介绍了强$(p,q)$ -链相交的家庭，其中$A_p\cap B_1\neq \emptyset$和完全$(p,q)$ -链相交的家庭，其中$A_1\cap B_1\neq \emptyset$ .他们得到了这类族的最大基数的一些部分结果。我们通过确定强$(p,q)$ -链相交的家庭的最大基数，如果$n$是足够大的，并通过确定完全$(2,2)$ -链相交的家庭的最大基数来扩展这些结果。
2023-02-10 math.CO
Multi-part cross-intersecting families
设$\mathcal{A}\subseteq{[n]\choose a}$和$\mathcal{B}\subseteq{[n]\choose b}$是$[n]$的两个子集族，如果$A\cap B\neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal{A}$，$B\in\mathcal{B}$，则称$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$交叉。本文研究了多部件环境下的相交族。通过刻画点传递图及其直积的独立集，确定了最大尺寸多部相交图族的尺寸和结构。这推广了Hilton和Frankl-Tohushige关于单部分环境中交叉相交族的结果。
2019-07-28 math.CO
Intersection theorems for $\{0,\pm 1\}$-vectors and $s$-cross-intersecting families
本文研究了经典Erd \H os-Ko-Rado定理的两个推广方向，该定理指出：集合$[n] = \{1,\ldots,n\}$中任何两个集合相交的$k$ -元子集的任何族，基数至多为${n-1\choose k-1}$ .本文的第一部分研究了$\{0,\pm 1\}$ -向量族。用$\mathcal L_k$表示来自$\{0,\pm 1\}^n$的所有载体$\mathbf v$家族，使得$\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle = k$。对于任何$k$，大多数$l$和足够大的$n$，我们确定家族$\mathcal V\subset \mathcal L_k$的最大大小，使得对于任何$\mathbf v,\mathbf w\in \mathcal V$，我们有$\langle \mathbf v,\mathbf w\rangle\ge l$。我们发现一些确切的值，这个功能的所有$n$的小值$k$。在本文的第二部分中，我们研究了交叉相交的家庭对。我们说两个家族是$\mathcal A, \mathcal B$是\textit{$s$-cross-intersecting}，如果对于任何$A\in\mathcal A,B\in \mathcal B$，我们有$|A\cap B|\ge s$。我们也说集合族$\mathcal A$是{ \it $t$ -相交}…
2019-05-29 cs.DM math.CO
Structural results for conditionally intersecting families and some applications
设$k\ge d\ge 3$为固定值。设$\mathcal{F}$是$[n]$上的$k$ -一致族.则$\mathcal{F}$是$(d,s)$ -条件交的，如果它不包含具有至多$s$和空交的并集的$d$集.回答Frankl的一个问题，我们给出了$(d,s)$与$s\ge 2k+d-3$有条件相交的族和$(k,2k)$有条件相交的族的一些结构结果.作为我们的结构结果的应用，我们给出了$[n]$上的$k$ -一致族的大小的上界的一些新的证明。(a)$(d,2k+d-3)$ -与$n\ge 3k^5$有条件交叉的家族。(b)$(k,2k)$ -与$n\ge k^2/(k-1)$有条件相交的族。(c)非相交$(3,2k)$ -与$n\ge 3k\binom{2k}{k}$有条件相交的族。我们对$(c)$的结果证实了Mammoliti和Britz对$d=3$的猜想。
2020-05-15 math.CO
Simple Algebraic Proofs of Uniqueness for Erdős-Ko-Rado Theorems
我们给出了几个Erdens-Ko-Rado结果的唯一性的简单代数证明，即，经典相交族是唯一最大的相交族。使用这些技术，我们的特点是最大的部分2相交的家庭完美超匹配，解决最近的猜想Meagher，Shirazi，和史蒂文斯。
2022-01-08 cs.DM math.CO
Sharp results concerning disjoint cross-intersecting families
对于$n$元素集$X$，让$\binom{X}{k}$是它的所有$k$子集的集合.如果$A\cap B \neq \emptyset$对所有$A\in\mathcal A$、$B\in\mathcal B$成立，则两个集合族$\mathcal A$和$\mathcal B$称为交叉相交的。令$f(n,k)$表示$\min\{|\mathcal A|, |\mathcal B|\}$的最大值，其中最大值是在{\em不相交}、交叉相交的族$\mathcal A, \mathcal B\subset\binom{[n]}{k}$的所有对上取得的。让PDMATHAMBMZ。我们证明了$f(n,k)=\left\lfloor\frac12\binom{n-1}{k-1}\right\rfloor$本质上当且仅当$n>ck^2$（cf.定理~1.4对于精确陈述）。令$f^*(n,k)$表示在$\mathcal A$和$\mathcal B$的所有成员的交集为空的附加限制下的相同最大值。对于$k\ge5$和$n\ge k^3$，我们证明了$f^*(n,k)=\left\lfloor\frac12\left(\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-2k}{k-1}\right)\right\rfloor+1$和对$n$的限制本质上是尖锐的（参见。定理~5.4）。
2019-05-20 cs.DM math.CO
The structure of large non-trivial t-intersecting families for finite sets
本文给出了有限集上的极大非平凡一致$t$ -交大规模族的结构。在$t=1$的特殊情况下，我们的结果在2017年得到了Kostochka和Mubayi的结果。
2020-11-14 math.CO
Intersecting families of sets and permutations: a survey
如果$\mathcal{A}$中的任何两个集合至少有$t$公共元素，则集合族$\mathcal{A}$称为\emph{$t$-intersecting}。极值集合论中的一个中心问题是确定给定族$\mathcal{F}$的最大$t$相交子族的大小或结构。本文综述了各种重要的$\mathcal{F}$族$\mathcal{F}$，即幂集、幂集水平、遗传族、符号集族、标号集族和置换族的已知结果、结构和未解决的问题。我们还提供了一些已知结果的扩展和后果。
2011-06-30 math.CO
Non-trivial $t$-intersecting families for vector spaces
设$V$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$n$维向量空间.本文描述了$V$的大尺寸$k$维子空间的极大非平凡$t$ -交族的结构。我们还确定了具有最大尺寸的非平凡$t$ -相交族。在特殊情况下，当$t=1$，我们的结果产生了著名的Hilton-Milner定理的向量空间。
2020-07-23 math.CO
Most Probably Intersecting Hypergraphs
著名的Erdens-Ko-Rado定理表明，对于$n \ge 2k$，$[n]$上的最大相交$k$ -一致集族具有大小$\binom{n-1}{k-1}$。很自然地会问，离相交的大集合族必须有多远。Katona，Katona和Katona引入了最可能相交族的概念，最大化随机子族相交的概率。研究了$k$ -一致集族的最可能相交问题。我们提供了一个粗略的结构表征的最有可能相交的家庭，并为家庭的特定大小，表明初始段的字典顺序是最佳的。
2014-10-26 math.CO
The structure of large intersecting families
一个集合是{ \em相交}的，如果每两个成员有非空交集。本文描述了$n$ -集的$r$ -集的相交族的结构，该$n$ -集的大小比Erd \H os-Ko-Rado定理给出的最大值${n-1 \choose r-1}$小得多.特别是，这扩展了Hilton-Milner定理的非平凡相交的家庭，并回答了最近的问题，韩和Kohayakawa大$n$。在$r=3$的情况下，我们描述的结构，所有相交的家庭超过10个边缘。我们还证明了鄂尔多斯匹配问题的稳定性结果。我们的简短证明是简单的应用程序的三角洲系统的方法介绍和广泛使用的弗兰克尔自1977年以来。
2016-02-05 math.CO
The maximum sum of sizes of cross-intersecting families of subsets of a set
集合的集合称为族。两个集合族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉相交的，如果$\mathcal{A}$的每个成员都与$\mathcal{B}$的每个成员相交。对于任何两个整数$n$和$k$，以及$1 \leq k \leq n$，令${[n] \choose \leq k}$表示至多具有$k$元素的$[n] = \{1, \dots, n\}$子集族。证明了如果$\mathcal{A}$是${[n] \choose \leq r}$的非空子族，$\mathcal{B}$是${[n] \choose \leq s}$的非空子族，$r \leq s$，并且$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是交叉相交的，那么\[|\mathcal{A}| + |\mathcal{B}| \leq 1 + \sum_{i=1}^s \left({n \choose i} - {n-r \choose i} \right),\]和等式成立，如果$\mathcal{A} = \{[r]\}$和$\mathcal{B}$是${[n] \choose \leq s}$中与$[r]$相交的集合族.
2021-01-22 cs.DM math.CO
$r$-wise fractional $L$-intersecting family
设$L = \{\frac{a_1}{b_1}, \ldots , \frac{a_s}{b_s}\}$，其中对于每个$i \in [s]$，$\frac{a_i}{b_i} \in [0,1)$是不可约分数。令$\mathcal{F} = \{A_1, \ldots , A_m\}$是$[n]$的子集族。我们说$\mathcal{F}$是\emph{r-wise fractional $L$-intersecting family}，如果对于每个不同的$i_1,i_2, \ldots,i_r \in [m]$，存在一个$\frac{a}{b} \in L$，使得$|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \ldots \cap A_{i_r}| \in \{ \frac{a}{b}|A_{i_1}|, \frac{a}{b} |A_{i_2}|,\ldots, \frac{a}{b} |A_{i_r}| \}$。本文引入并研究了r-分式$L$ -相交族的概念。这是在[Niranjan et.al，Fractional $L$ -intersecting families，The Electronic Journal of Combinatorics，2019]中研究的分数$L$ -相交族概念的推广。
2021-08-11 cs.DM math.CO
A note on distinct differences in $t$-intersecting families
对于$\{1,2,\ldots,n\}$的子集的家族$\mathcal{F}$，令$\mathcal{D}(\mathcal{F}) = \{F\setminus G: F, G \in \mathcal{F}\}$是$\mathcal{F}$的所有（按集合）差异的集合。族$\mathcal{F}$称为$t$ -相交族，如果对于某个正整数$t$和任意两个成员$F, G \in \mathcal{F}$，我们有$|F\cap G| \geq t$ .如果$t=1$，则族$\mathcal{F}$简称为相交。最近，Frankl证明了交叉族$\mathcal{F}$的$\mathcal{D}(\mathcal{F})$的规模的一个上界.本文将Frankl的结果推广到$t$ -交族.
2022-11-08 math.CO
Diversity
给定一个族$\mathcal F\subset 2^{[n]}$，它的多样性是不包含具有最高度的元素的集合的数量。多样性的概念已被证明是非常有用的上下文中的$k$ -均匀相交的家庭。在本文中，我们研究（不同的概念）多样性的背景下，其他极值集合论问题。本文的主要结果之一是一个尖锐的稳定性结果交叉交叉家庭的多样性，稍微更一般，尖锐的稳定性Kruskal-Katona定理。
2018-11-02 cs.DM math.CO
The profile polytope of non-trivial intersecting families
$n$元素集的子集的族$\mathcal{F}$的轮廓向量是$(f_0,f_1, \ldots, f_n)$，其中$f_i$表示$\mathcal{F}$的$i$元素成员的数目.本文确定了非平凡相交族的轮廓向量集的极值点。
2022-03-10 math.CO
Triangle-intersecting families on eight vertices
Simonovits和Sós证明了$n$顶点上的三角形相交图族的最大尺寸是$2^{\binom{n}{2}-3}$。他们的猜想最近已被证明使用谱方法。我们提供了一个基本的证明的特殊情况下，$8$顶点使用分区参数。
2011-02-09 math.CO
Idealness of $k$-wise intersecting families
如果每个$k$成员都有一个公共元素，但没有元素属于所有成员，则称为\emph{$k$-wise intersecting}。我们推测，对于某个整数$k\geq 4$，每个$k$ -wise相交杂波是非理想的。作为我们的猜想的证据，我们证明它为$k=4$的类的二进制杂波。我们证明的两个关键要素是Jaeger的图的$8$ -流定理，和Seymour的二进制拟阵的电路性质的总和的特征。作为我们猜想的进一步证据，我们还注意到它来自于西摩1975年未发表的猜想。我们还讨论了连接的色数的混乱，射影几何的两个元素的领域，统一的周期覆盖图，和四分之一整数包装的价值为2理想的混乱。
2020-10-03 cs.DM math.CO
A remark on the paper "Properties of intersecting families of ordered sets" by O. Einstein
O.爱因斯坦（2008）证明了有限集和子空间的有序集的相交族的Bollobás型定理。不幸的是，我们报告说，证明定理的有序集的子空间有一个错误。我们证明了两个较弱的变体。
2017-11-20 math.CO
On the maximum of the sum of the sizes of non-trivial cross-intersecting families
我们考虑标准n-集的k-子集族。两个族F，G称为交交，如果F的每个成员与G的每个成员都有非空交。如果一个族的所有成员的交集都是空的，那么这个族被称为非平凡族。假设F和G是非平凡的且相交的，我们确定了|F| + |G|的最大值.为了证明所谓的移位技术的加强版本被引入。对于不同一致性的族，相应的问题也得到了解决。
2022-09-05 math.CO
Triangle-Intersecting Families of Graphs
一个图族F称为三角形相交的，如果对F中的任意两个图G，H，G和H的交包含一个三角形。Simonovits和Sos在1976年的一个猜想指出，在一个固定的n个顶点的集合上的最大的三角形相交图族是通过固定一个特定的三角形并取所有包含它的图，得到一个大小为（1/8）2^{n choose 2}的图族。我们证明了这个猜想和一些推广（例如，我们证明了同样是真的奇循环相交的家庭，我们得到最好的可能界限的大小家庭根据不同的，不一定是统一的，措施）。我们还得到了稳定性结果，表明几乎最大的三角形相交的家庭有近似相同的结构。
2012-10-08 math.CO
Probably Intersecting Families are Not Nested
众所周知，一个n元集合的子集的相交族最多可以包含2^（n-1）个集合。人们自然会想，一个规模大于大于2^（n-1）的族的相交能有多“接近”。Katona、Katona和Katona提出了“最可能相交的族”的概念。假设X是一个族，0<p<1。设X（p）是通过以概率p独立地选择X中的每个集合而形成的（随机）族。如果族X使X（p）在所有大小为|X|的族上相交的概率最大化，则族X是“最可能相交的”。Katona，Katona和Katona证明了存在一个嵌套序列，该序列由每种可能大小的最可能相交的家族组成。我们表明，这一猜想是假的p的每一个值，只要n是足够大的。
2011-08-29 math.CO
$r$-cross $t$-intersecting families via necessary intersection points
给定整数$r\geq 2$和$n,t\geq 1$，我们称之为族$\mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_r\subseteq\mathscr{P}([n])$ $r$ -交叉$t$ -交叉，如果对于所有的$F_i\in\mathcal{F}_i$，$i\in[r]$，我们有$\vert\bigcap_{i\in[r]}F_i\vert\geq t$。我们得到一个强有力的推广经典的Hilton-Milner定理交叉相交的家庭。特别是，我们确定的最大值$\sum_{j\in [r]}\vert\mathcal{F}_j\vert$的$r$交叉$t$交叉的家庭的情况下，当这些是$k$ -均匀的家庭或任意的子家庭的$\mathscr{P}([n])$。这些结果以前只在某些特殊情况下得到过证明。我们获得上述定理的实例，认为一个更一般的结果，$r$ -交叉$t$ -相交的家庭措施。这也为可能混合均匀性$k_1,\ldots,k_r$的族提供了最大值$\sum_{j\in [r]}\vert\mathcal{F}_j\vert$。
2020-11-29 math.CO
On generating sets of left-compressed intersecting families
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science（科学大学数学与计算机科学学院）；Vietnam National University（越南国立大学）；University of Management and Technology（管理与技术大学）
本文构造由生成集生成的左压缩族，给出其为相交族的条件，提供构造方法，并与Bond定理比较，最后研究极大左压缩相交族的生成元。
2025-10-27 math.CO
A comment on Intersecting Families of Permutations
Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于足够大的$n$，一个$t$ -相交的置换族至多包含$(n-t)!$置换.他们的主要定理还指出，等式只对$t$ -陪集成立。我们表明，他们的证明极值家庭的特征是错误的。然而，表征来自埃利斯的一篇论文，正如埃利斯，弗里德古特和皮尔佩尔已经提到的那样。
2017-06-30 math.CO
Cross $t$-intersecting families for finite affine spaces
用$\mathscr{M}(k,n)$表示$AG(n,\mathbb{F}_q)$中所有$k$ -单位的集合。令$\mathscr{F}_1\subset\mathscr{M}(k_1,n)$和$\mathscr{F}_2\subset\mathscr{M}(k_2,n)$对于任何$F_1\in\mathscr{F}_1$和$F_2\in\mathscr{F}_2$满足$\dim(F_1\cap F_2)\ge t$。我们说他们是交叉$t$ -交叉家庭。此外，我们说他们是平凡的，如果他们的每个成员包含一个固定的$t$ -单位在$AG(n,\mathbb{F}_q)$。本文证明了具有最大尺寸积的交叉$t$ -相交族是平凡的.我们还描述了非平凡的$t$相交家庭的最大产品的大小的结构。
2022-02-15 math.CO
Structure and properties of large cross-intersecting families
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文通过引入新的移位方法，建立了大交叉相交对的结构定理，推广了Kupavskii定理，并得到了多个经典定理的交叉相交版本。
2026-06-19 math.CO
Non-trivially intersecting multi-part families
我们说一个集合族是相交的，如果它的任何两个集合相交，我们说它是平凡相交的，如果有一个元素出现在这个族的每个集合中。在本文中，我们研究了一个非平凡相交的家庭在一个自然的“多部分”设置的最大尺寸。在这里，地面集被划分为部分，并考虑家庭的集合，其交叉与每个部分是一个规定的大小。我们的工作的动机是经典的结果，在单部分设置由于Erdenses，Ko和Rado，希尔顿和米尔纳，并由一个定理的Frankl关于相交的家庭在这个多部分设置。在部分尺寸足够大的情况下，我们确定了一个非平凡相交的多部分家庭的最大尺寸，反驳了阿隆和卡托纳的猜想。
2019-06-27 math.CO
Uniform cross-$t$-intersecting families: proving Hirschorn's conjecture up to polynomial factor
考虑两个均匀交叉$t$ -相交集族的最大乘积问题.我们表明，这个最大值是在最多多项式大于（在基集的大小）的数量由Hirschorn在2008年。同时，我们观察到它可以严格地更大。
2021-02-20 math.CO
Structure and Supersaturation for Intersecting Families
关于各种组合对象相交族的最大可能规模的极值问题已被广泛研究。在本文中，我们研究过饱和扩展，在这种情况下，要求最小数量的不相交对，必须出现在家庭大于极值阈值。本文研究了置换族和$k$ -一致集族中不交对的最小数目，并确定了最优族的结构。我们的主要工具是不相交对的移除引理。我们还确定了当$n \ge 2sk + 38s^4$时，$k$ -一致集族的典型结构，并证明了当$n\ge (2+o(1))k$时，顶点集$[n]$上几乎所有的$k$ -一致相交族都是平凡的.
2019-06-08 math.CO
On Cross-intersecting Sperner Families
如果对于所有$X\in\mathscr{A}$和$Y\in\mathscr{B}$都有$X\cap Y\neq\emptyset$，则两个集合$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$称为交叉。给定$\mathbb{N}_n$的两个交叉Sperner家族（或反链）$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$，我们证明如果$n$是奇数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le 2{{n}\choose{\lceil{n/2}\rceil}}$，如果$n$是偶数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le {{n}\choose{n/2}}+{{n}\choose{(n/2)+1}}$。进而确定了$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$的所有极值族和几乎极值族。
2022-04-30 math.CO
A note on uniform intersecting families with maximum transversal size
我们构造了一个横截尺寸为$\lceil \frac{k+1}{2} \rceil$，长度为$k+1$的相交$k$ -族，并研究了它的一些性质.我们用这个族证明了$q(4) = 9$。我们还为$k = 2^m - 1$构建了一个$k$ -家族，其长度为$2k+1$，横向尺寸至少为$(2k+1)/3$ .
2014-09-16 math.CO
$s$-almost cross-$t$-intersecting families for finite sets
本文研究了有限集的 $s$-almost cross-$t$-intersecting 族，刻画了大小乘积最大的此类族，并针对非 cross-$t$-intersecting 的情形给出了相应的稳定性结果。
2025-06-27 math.CO
Intersecting families, cross-intersecting families, and a proof of a conjecture of Feghali, Johnson and Thomas
如果$\mathcal{A}$中的每两个集合相交，则称集合族$\mathcal{A}$相交。如果$\mathcal{A}$中的每个集合与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为交叉相交。对于正整数$n$，设$[n] = \{1, \dots, n\}$和$\mathcal{S}_n = \{A \subseteq [n] \colon 1 \in A\}$。本文推广了Erdens-Ko-Rado定理，证明了如果$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$是$[n]$的子集的非空交叉族，$\mathcal{A}$是交叉的，并且$a_0, a_1, \dots, a_n, b_0, b_1, \dots, b_n$是非负实数，使得对于每个$i \leq n/2$，$a_i + b_i \geq a_{n-i} + b_{n-i}$和$a_{n-i} \geq b_i$，则\[\sum_{A \in \mathcal{A}} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{B}} b_{|B|} \leq \sum_{A \in \mathcal{S}_n} a_{|A|} + \sum_{B \in \mathcal{S}_n} b_{|B|}.\]对于图$G$和整数$r$，令${\math…
2017-06-17 math.CO
Extremal problems for intersecting families of subspaces with a measure
本文为 $q$ 元域上向量空间的子空间引入一种测度，提出了相交族的极值问题，作为 Erdős-Ko-Rado 型问题的 $q$ 类似，并回答了其中部分基本问题。
2025-03-20 math.CO
Typical intersecting families are trivial
Research and Development Institute of Northwestern Polytechnical University in Shenzhen（西北工业大学深圳研究院）
本文研究非均匀相交族的计数问题，证明当n≥2k+2+2√(k log k)且k→∞时，几乎所有大小为至多k的相交族共享一个公共固定元素。
2026-06-17 math.CO
Maximum Size $t$-Intersecting Families and Anticodes
本文研究了字母表规模q>2时t-相交族及其对应最大规模常权反码的规模问题，证明了同参数下最大常权反码的结构依赖于字母表规模，揭示了常权反码的层级关系。
2025-03-19 math.CO
