On Ryser's conjecture for t-intersecting and degree-bounded hypergraphs
一个著名的猜想（通常称为Ryser猜想），出现在他的学生J. R.~ Henderson [15]指出，对于一个$r$ -一致$r$ -部超图$\mathcal{H}$，不等式$τ(\mathcal{H})\le(r-1)\cdot ν(\mathcal{H})$总是成立.这个猜想是广泛开放的，除了在$r=2$的情况下，当它等价于K \H Onig的定理[18]，并在$r=3$的情况下，这是由Aharoni在2001年[3]证明。本文研究了Ryser猜想的一些特殊情况。首先，研究最多的特殊情况是当$\mathcal{H}$相交时。即使对于这种特殊情况，也没有太多的了解：这个猜想在[10，21]中只对$r\le 5$证明了。对于$r>5$，它也是广泛开放的。推广了相交超图的猜想，我们猜想如下。如果$r$ -均匀$r$ -部超图$\mathcal{H}$是$t$ -相交的（即，每两个超边至少在$t<r$顶点处相交），则$τ(\mathcal{H})\le r-t$。我们证明了这个猜想的情况$t> r/4$。Gyárfás [10]证明了Ryser关于相交超图的猜想等价于说$r$ -边着色完全图的顶点可以被$r-1$单色分量覆盖。出于这个配方，我们研究了什么分数的顶点可以覆盖的$r$单色组件的\emph{different}颜色的$r$ -边着色完全图。我们证明了这个问题的一个严格界。最…
2017-12-09 math.CO
Multipartite hypergraphs achieving equality in Ryser's conjecture
Ryser的一个著名猜想是：在$r$ -部超图中，覆盖数至多是匹配数的$r-1$倍。如果为真，则已知这对于存在$r-1$阶的投影平面的$r$是尖锐的。我们表明，该猜想，如果真的，也是尖锐的最小的先前开放的值，即$r=7$。对于$r\in\{6,7\}$，我们找到了覆盖数至少为$r-1$的相交$r$ -部超图的最小边数$f(r)$.我们发现，$f(r)$是唯一实现的线性超图的$r\le5$，但这是不是这样的$r\in\{6,7\}$。我们还改进了$f(r)$的一般下界，证明了$f(r)\ge 3.052r+O(1)$ .我们表明，一个更强的形式的Ryser猜想，用于证明$r=3$的情况下失败的所有$r>3$。我们还证明了Ryser猜想的一个分数版本：在一个$r$ -particular超图中存在一个大小至多为$r-1$的集合$S$，它包含在超图的一边或边中，去掉它会使匹配数减少1。
2015-05-01 math.CO
Extremal Hypergraphs for Ryser's Conjecture: Connectedness of Line Graphs of Bipartite Graphs
本文考虑一个拓扑排序的自然极值图论问题，它涉及图的独立复形的（拓扑）连通性在维数方面的最小化。我们观察到二部图$G$的线图的独立复形$\mathcal{I}(G)$的连通性的下界$\frac{\dim(\mathcal{I}(G))}{2} - 2$是紧的。在我们的主要定理中，我们描述了极值的例子。我们的证明是基于这种特征的拓扑机械。我们研究这个问题的动机来自于Ryser的一个经典猜想。Ryser猜想指出任何$r$ -部$r$ -一致超图的顶点覆盖的大小至多为最大匹配的大小的$(r - 1)$ -倍.对于$r = 2$，这个猜想只是柯尼希定理。Aharoni也用一个漂亮的拓扑论证证明了$r = 3$。在另一篇论文中，我们描述了Ryser猜想的$3$ -一致情形的极值例子（即，Aharoni定理），特别是解决了Lovász关于Ryser-极值$3$ -图的一个老猜想.我们在本文中的主要结果将为我们提供有价值的结构信息的表征。它的证明是基于Ryser-极值$3$ -一致超图的连接图正是我们所研究的二部图这一观察。
2016-06-20 math.CO
Ryser's Conjecture for $t$-intersecting hypergraphs
一个著名的猜想，通常归因于Ryser，指出一个$r$ -部$r$ -一致超图的覆盖数至多是它的匹配数的$r - 1$倍。尽管付出了相当大的努力，特别是在交叉的情况下，这个猜想仍然是开放的，激发了对原始猜想的变体的追求。最近，Bustamante和Stein以及Király和Tóthmérész在超图是$t$ -相交的假设下考虑了这个问题，证明了这样一个超图$\mathcal{H}$的覆盖数$τ(\mathcal{H})$至多是$r - t$。在这些论文中，证明了这个猜想对$r \leq 4t-1$是正确的，但也证明了它不需要是尖锐的;当$r = 5$和$t = 2$时，人们有$τ(\mathcal{H}) \leq 2$。我们在两个方向上扩展这些结果。首先，对于所有的$t \geq 2$和$r \leq 3t-1$，我们证明了这些超图的覆盖数的一个紧上界，表明它们实际上满足$τ(\mathcal{H}) \leq \lfloor(r - t)/2 \rfloor + 1$。其次，我们扩大了$t$的范围，该猜想是真的，表明它适用于所有的$r \leq \frac{36}{7}t-5$。我们还介绍了这个主题的几个相关的变化。由于我们的紧界，我们解决了问题的$k$明智$t$ -相交超图，所有的$k \geq 3$和$t \geq 1$。进一步给出了严格$t$ -交超图的覆盖数和$t$ -…
2020-11-27 math.CO
Generalizations and strengthenings of Ryser's conjecture
Ryser猜想指出，对于每个具有匹配数$ν(H)$的$r$ -部超图$H$，其顶点覆盖数至多为$(r-1)ν(H)$ .柯尼希定理的这一意义深远的推广仅对$r\leq 3$或$ν(G)=1$和$r\leq 5$是正确的。Ryser猜想的一个等价表述是：在具有独立数$α(G)$的图$G$的每个$r$ -边染色中，至多存在$(r-1)α(G)$单色连通子图覆盖$G$的顶点集.我们的情况下，这后一个制定的Ryser的猜想自然会导致各种更强的apturtures和推广到超图和多部图。关于这些概括和加强，我们调查已知的结果，改进后的一些，我们介绍了一系列新的问题和结果。
2021-11-03 math.CO
Tuza's Ryser-conjecture claim for four-partite hypergraphs with matching number two
Independent researcher
本文证明匹配数为2的4部4均匀超图的顶点覆盖数至多为6，证实Tuza的未发表断言，解决Ryser猜想在(r,ν)=(4,2)的情形，并改进此前上界7。
2026-09-15 math.CO
A note on intersecting hypergraphs with large cover number
给出了覆盖数至少为r-4的r-部r-一致交超图的构造。这回答了Abu-Khazneh，Barat，Pokrovskiy和Szabo的问题，并表明由于Ryser的一个长期未解决的猜想接近于对每个r值的最佳可能性。
2017-10-06 math.CO
Matching criticality in intersecting hypergraphs
超图$H$中的一个匹配是$H$中的一组成对顶点不相交的边，$H$的匹配数是$H$中一个匹配的最大基数。$H$中的断面是$H$中顶点的子集，它与$H$的每条边都有非空交集。$H$的断面数$τ(H)$是$H$中断面的最小基数。一个超图$H$是一个交超图，如果$H$的每两个不同的边有一个非空的交集。等价地，$H$是相交超图当且仅当它有匹配数1。本文研究了匹配临界交超图的极值性态。部分解决了Henning和Yeo提出的临界交超图匹配问题。对于相交的$r$ -一致超图，我们也证明了这个结果的一个加强.
2015-12-09 math.CO
Application of hypergraph Hoffman's bound to intersecting families
利用Filmus-Golubev-Lifshitz方法对超图的独立数进行了界化，解决了关于有偏测度的多重相交族的一些问题.在其他结果中，我们得到的措施版本的Erdos-Ko-Rado定理多相交的家庭的稳定性结果。
2021-12-15 math.CO
What did Ryser Conjecture?
赫伯特·J·莱瑟（Herbert J. Ryser）的两篇著名的论文被错误地归因于他用德语写的一份有点晦涩的会议记录。在这里，我们提供了一个翻译的文件，并试图纠正的历史记录，至少至于什么是turtured在it.The两个acquitures涉及到横截在拉丁广场的奇数秩序和之间的关系的覆盖数和匹配数的多部超图。
2018-01-09 math.CO math.HO
On the order of intersecting hypergraphs
本文研究了极值组合学中相交超图最大阶的顶点类似问题，系统填补了该领域关于最大边数研究的空白。
2025-04-07 math.CO
Coloring 2-intersecting hypergraphs
一个超图是2-相交的，如果任意两条边相交于至少两个顶点。Blais，Weinstein和Yoshida问（作为第一步到一个更一般的问题）是否每个2-相交超图都有一个顶点染色，其颜色数是常数，使得每个超边e至少有min{ |e|，3}种颜色。我们证明了最多有5种颜色的着色（这是最好的可能）。
2013-07-26 math.CO
On a Generalization of the Ryser-Brualdi-Stein Conjecture
用于（不一定是不同的）集合F_1，...，超图边的F_k是由k条边组成的匹配，每个F_i一条。该文件的目的是双重的-把秩序在众多的apturtures，涉及到这个概念（其中一些第一次在这里介绍），并提出一些部分结果，这些apturtures之一，这似乎是其中的核心。
2013-05-27 cs.DM math.CO
A Counterexample to a Conjecture of Lovász
本文构造 r=3 时 Lovász 超图猜想的反例，即具有 102 个顶点的高度对称立方图 Biggs-Smith 图的线超图，证明该猜想不成立。
2025-06-10 math.CO
On randomly generated intersecting hypergraphs
设$c$为正常数。我们证明了，如果$r=\lfloor cn^{1/3}\rfloor$和${[n]\choose r}$的成员被随机地顺序选择，形成一个相交超图，然后以有限的概率$(1+c^3)^{-1}$，作为$n\to\infty$，所产生的家庭将是最大的大小${n-1\choose r-1}$。
2016-05-24 math.CO
Domination in intersecting hypergraphs
超图$H$中的匹配是一组两两不相交的超边。$H$的匹配数$α'(H)$是$H$中的最大匹配的大小。$H$的顶点子集$D$是$H$的控制集，如果对于每个$v\in V\setminus D$，存在$u\in D$使得$u$和$v$位于$H$的超边中。$H$的最小控制集的基数称为$H$的控制数，记为$γ(H)$。已知对于秩为$r$的交超图$H$，有$γ(H)\leq r-1$.本文给出了秩$r$满足等式$γ(H)=r-1$的交超图的结构性质。利用这些性质，我们证明了所有秩为$4$且满足$γ(H)=r-1$的线性交超图$H$都可以由著名的Fano平面构造.
2017-01-06 math.CO
Cross-intersecting pairs of hypergraphs
两个超图$H_1,\ H_2$称为{ \em相交}，如果对每对边$e_1 \in H_1,~e_2 \in H_2$都有$e_1 \cap e_2 \neq \emptyset$.每个超图然后被称为{ \em块}另一个。给定参数$n,r,m$，我们确定$[n]^r$的子超图的最大尺寸（这意味着它是$r$ -partite，所有边的尺寸为$n$），对于该子超图存在尺寸为$m$的$[n]^r$的阻塞子超图。答案涉及到一个类似分形（即自相似）的序列，首先由克努特研究。我们还研究了用$\binom{n}{r}$代替$[n]^r$的相同问题。
2016-05-20 math.CO
Most Probably Intersecting Hypergraphs
著名的Erdens-Ko-Rado定理表明，对于$n \ge 2k$，$[n]$上的最大相交$k$ -一致集族具有大小$\binom{n-1}{k-1}$。很自然地会问，离相交的大集合族必须有多远。Katona，Katona和Katona引入了最可能相交族的概念，最大化随机子族相交的概率。研究了$k$ -一致集族的最可能相交问题。我们提供了一个粗略的结构表征的最有可能相交的家庭，并为家庭的特定大小，表明初始段的字典顺序是最佳的。
2014-10-26 math.CO
When $t$-intersecting hypergraphs admit bounded $c$-strong colourings
该研究解决了Blais等人的问题，证明$t$-相交超图的$(t+1)$-强色数有界，还刻画了其在$c\neq t+2$时大$c$-强色数的条件，且该刻画适用于排除指定参数向日葵结构的超图。
2024-06-19 math.CO
Semi-Strong Coloring of Intersecting Hypergraphs
对于任意c >= 2，超图G的c-强染色是指对G的顶点的颜色分配使得对G的每条边e，e的顶点至少被min{c，|e| }种不同的颜色着色.称超图G是t-相交的，如果G的每两条边至少有t个公共顶点。我们问：对于固定的c >= 2和t >= 1，什么是最小的颜色数是足够的c-强颜色的任何t-相交超图？本说明的目的是回答关于t和c的某些值的问题，更重要的是，描述问题仍然开放的设置。证明了当t <= c-2时，没有有限个颜色足以使所有的t-交超图都是c-强着色的.当t = c-1和c > 2时，有限数量的颜色是否足以完成相同的任务仍然是未知的。在最后一种情况下，当t >= c，我们证明了一个概率的参数，有限数量的颜色是足够的c-强颜色所有的t-相交超图，但一个很大的差距仍然是最好的上限和下界之间的这个数字。
2012-03-13 math.CO
On randomly generated intersecting hypergraphs II
设$c$为正常数。假设$r=o(n^{5/12})$和$\binom{[n]}{r}$的成员被顺序随机地选择以形成相交超图$\mathcal{H}$。证明了whp $\mathcal{H}$由一个大小为$Θ(r/n^{1/3})$的简单超图$\mathcal{S}$、一个特殊顶点$v$和所有包含$v$且满足$\mathcal{S}$每条边的$r$ -集组成.这是在[Electron. J. Combin，（2003）R29]中开始的这种随机交叉系统的研究的继续，其中考虑了$r=O(n^{1/3})$的情况。为了获得所述结果，我们继续在$ω(n^{1/3})\le r \le o(n^{5/12})$范围内研究该问题。
2016-05-26 math.CO
Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erdős-Lovász theme revisited
Erdés和Lovász注意到具有最大覆盖数的$r$ -一致相交超图$H$，即$τ(H)=r$，必须至少有$\frac{8}{3}r-3$条边. 45年来，这个下限没有任何改善。我们试图通过研究一些小的案例来理解原因，看看真相是否非常接近这个简单的界限。用$q(r)$表示交$r$ -一致超图的最小边数.已知$q(3)=6$和$q(4)=9$。我们得到了以下新结果：一致性4的极值例子是唯一的。有点令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于均匀性5，$q(5)=13$，我们发现了3个例子，它们都不是已知的图。我们同时使用理论论证和计算机搜索。在埃尔德什和洛瓦什的足迹，我们还考虑了特殊情况下，当超图是一个有限的射影平面的一部分。我们确定了$r\in \{3,4,5,6\}$的确切答案。对于均匀性6，存在唯一的极值示例。在一个相关的问题中，我们试图寻找具有最大覆盖数的$2$ -交$r$ -一致超图，即$τ(H)=r-1$ .一个无限族的例子是取一个$(2r-2)$ -顶点集的所有可能的$r$ -集。还有一个几何候选者：双平面。这些是使用$λ=2$的对称2-设计。我们确定，只有3个双平面的18个已知的例子是极值。
2020-11-09 math.CO
On $t$-intersecting Hypergraphs with Minimum Positive Codegrees
对于超图$\mathcal{H}$，定义最小正余度$δ_i^+(\mathcal{H})$为最大整数$k$，使得包含在$\mathcal{H}$的至少一条边中的每个$i$ -集至少包含在$k$的边中.对于$1\le s\le k,t$和$t\le r$，我们证明了：对于$n$ -顶点$t$ -相交$r$ -图$\mathcal{H}$与$δ_{r-s}^+(\mathcal{H})>{k-1\choose s}$，唯一的边数最多的超图是由每条边组成的超图$\mathcal{H}$，只要$n$足够大，每条边至少在$k-s+t$的一组$2k-2s+t$中相交.这推广了Balogh、Lemons和Palmer的工作，他们为$s=t=1$证明了这一点，以及当$k=s$。
2021-10-20 math.CO
A note on hypergraphs without non-trivial intersecting subgraphs
一个超图$\mathcal{F}$是非平凡相交的，如果它的每两条边都有一个非空交，但$\mathcal{F}$的所有边都不包含顶点. Mubayi和Verstraëte证明了对于每个$k \ge d+1 \ge 3$和$n \ge (d+1)n/d$，每个$k$ -图$\mathcal{H}$在$n$顶点上不具有大小为$d+1$的非平凡相交子图，至多包含$\binom{n-1}{k-1}$边.他们证实，相同的结论适用于所有$d \ge k \ge 4$和足够大的$n$。我们通过证明一个更强有力的陈述来证实他们的猜想。他们还证明，对于$m \ge 4$和足够大的$n$，在$n$顶点上的$3$ -图的最大尺寸是由某些Steiner系统实现的，该图没有尺寸为$3m+1$的非平凡相交子图.我们给出了一个具有更多边的构造，表明他们的猜想一般是不成立的。
2020-07-21 math.CO
Covers in Partitioned Intersecting Hypergraphs
给定一个整数$r$和一个带有$\sum_{i \le p} a_i=r$的正数向量$\vec{a}=(a_1, \ldots ,a_p)$，一个$r$ -均匀超图$H$称为$\vec{a}$ -可分的，如果$V(H)=\bigcup_{i \le p}V_i$，其中集合$V_i$是不相交的，并且$|e \cap V_i|=a_i$对所有$e \in H,~~i \le p$都是.一个$\vec{1}$ -分块超图称为$r$ -分图.令$t(\vec{a})$是在所有相交的$\vec{a}$ -划分超图$H$上，$H$的覆盖的最小尺寸的最大值。Ryser的一个著名猜想是$t(\vec{1})\le r-1$。Tuza解释说，如果$r>2$，则$t(\vec{a})=r$对于每两个分量向量$\vec{a}=(a,b)$。我们证明了这个猜想时，$a\neq b$，也为$\vec{a}=(2,2)$和$\vec{a}=(4,4)$。
2015-01-01 math.CO
Intersecting hypergraphs with large cover number
针对Erdős和Lovász提出的r-一致相交超图最小边数问题的推广（受Bollobás问题启发的空间约束版本），本文渐近解决了该问题，精度达指数中n/r的对数因子。
2025-04-14 math.CO
On Extremal k-Graphs Without Repeated Copies of 2-Intersecting Edges
确定一个给定超图族中某个元素至多包含r个同构副本的极超图的问题首先由Boros等人在2001年研究。除了那些与经典的Turan数等价的超图之外，关于相应的极值超图的大小，没有多少超图族有确切的结果。本文确定了在{3，4}中k至多包含一对2-相交边的极k-一致超图的尺寸。我们给出了一个完整的解决方案时，k=3和一个几乎完全的解决方案（有11个例外）时，k=4。
2007-12-17 math.CO
The intersection spectrum of 3-chromatic intersecting hypergraphs
对于超图$H$，定义其交谱$I(H)$为不同边$E,F\in E(H)$的所有交大小$|E\cap F|$的集合。在1973年的开创性论文中，埃尔德什和洛瓦兹引入了局部引理，他们问道：$k$ -均匀$3$ -色相交超图的交谱必须有多大？他们证明了这样的超图必须至少有三个交叉尺寸，并证明了交叉谱的尺寸随着$k$而趋于无穷大。尽管这个问题多年来被Erdens和其他研究人员多次重申，但三个交叉口大小的下界到现在为止已经显著地经受住了任何改进。本文通过证明至少存在$k^{1/2-o(1)}$交的大小，证明了Erdens-Lovász猜想的强形式.我们的证明包括一个微妙的相互作用之间的拉姆齐型参数和密度增量的方法。
2020-10-26 math.CO
A hypergraph Turán theorem via lagrangians of intersecting families
设$\mc{K}_{3,3}^3$是具有15个顶点$\{x_i, y_i: 1 \le i \le 3\}$和$\{z_{ij}: 1 \le i,j \le 3\}$以及11条边$\{x_1, x_2, x_3\}$、$\{y_1, y_2, y_3\}$和$\{\{x_i, y_j, z_{ij}\}: 1 \le i,j \le 3\}$的3-图。我们证明了对于大$n$，$n$顶点上唯一的最大无$\mc{K}_{3,3}^3$ 3-图是5个顶点上完全3-图的平衡爆破。我们的证明使用的稳定性方法和结果的拉格朗日相交的家庭，有独立的利益。
2013-07-31 math.CO
Coloring cross-intersecting families
相交和交叉相交的家庭通常出现在极值组合的静脉埃尔德{ \H o} s-Ko-Rado定理。另一方面，P。Erd{ \H o}s和L.~ Lov{á}sz在著名的论文~ \cite{EL}中提出了交叉族的着色问题，作为对一类特殊超图的经典超图着色问题的限制。本文讨论了交叉相交族的着色问题。
2017-07-14 math.CO
Covering complete partite hypergraphs by monochromatic components
Ryser猜想的一个著名特例是k部相交超图的横截至多为k-1个顶点。Gyárfás提出了一个等价形式：如果一个完全图K的边被k种颜色着色，那么K的顶点集最多可以被k-1个集合覆盖，每个集合都以某种颜色连接。事实证明，超图猜想的类似物可以回答：Z。Király证明了在r-一致完全超图K ^r（r>= 3）的边的每一个k-染色中，K ^r的顶点集最多能被以某种颜色连通的$\lceil k/r \rceil$集覆盖.本文研究了完全r-一致r-部超图的类比问题。一个超图的边染色称为生成，如果每一个顶点都关联到染色中使用的任何颜色的边。我们提出了下面的类似Ryser猜想。在完全r-一致r-部超图的边的每一个生成（r + t）-染色中，顶点集最多可以被t +1个以某种颜色连通的集合覆盖。我们的主要结果是：当1 <= t <= r-1时，该猜想成立.我们还证明了一个稍弱的结果t>= r，即t +2集，每个连接在某种颜色，是足以覆盖的顶点集。为了在完全r-一致超图和完全r-一致r-部超图之间架起一座桥梁，我们引入了一个新的概念。一个超图是完全r-一致（r，l）-部的，如果它的所有r-集与每个部类相交的顶点不超过l个。本文推广了l = 1时的结果，证明了对任意r>= 3，2 <= l <= r，k>= 1 + r-l，在完全r-一致（r，l）-部超图的边的每一个生成k-染色中，顶点集最多可被1 + …
2016-04-11 math.CO
An improved range for the maximum critically $t$-intersecting hypergraphs
Central South University（中南大学）；Qinghai Minzu University（青海民族大学）
本文针对最大临界t-相交超图的Frankl猜想，将成立的k阈值从d⁴改进为30d²，借助Frankl的固定边分解与Füredi的伪向日葵方法完成证明。
2026-07-31 math.CO
Hypergraphs of bounded disjointness
一个$k$ -一致超图是$s$ -几乎相交的，如果它的每一条边与其它$s$边恰好不相交. Gerbner，Lemons，Palmer，Patkós和Szécsi证明了对每个$k$和$s>s_0(k)$，每个$k$ -一致$s$ -几乎相交超图至多有$(s+1)\binom{2k-2}{k-1}$边.我们证明了这个猜想的一个加强版本，并确定了极值图。我们也给出了一些相关的结果和图形。
2013-09-19 math.CO
Maximum size intersecting families of bounded minimum positive co-degree
设$\mathcal{H}$是$r$ -一致超图.由$δ_{r-1}^+(\mathcal{H})$表示的$\mathcal{H}$的\emph{minimum positive co-degree}是最小$k$，使得如果$S$是包含在$\mathcal{H}$的超边中的$(r-1)$ -集合，则$S$至少包含在$\mathcal{H}$的$k$超边中。在$r\geq k$固定且$n$充分大的条件下，确定了具有最小正余度$δ_{r-1}^+(\mathcal{H}) \geq k$的相交$r$ -均匀$n$ -顶点超图的最大可能尺寸，并刻画了唯一达到此最大值的超图.这推广了对应于$k=1$情形的Erd \H os-Ko-Rado定理。我们的证明是基于三角洲系统的方法。
2021-03-05 math.CO
Erdős-Ko-Rado-type problem for hypergraph matchings
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学网络与数据科学数学理论与分析河北省重点实验室）；School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）；Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
研究完全\(r\)部\(r\)均匀超图中\(k\)匹配的\(t\)相交族问题，用两种方法确定其最大规模并刻画极值族，一种借助排列的\(t\)相交族结果得定理，另一种基于\(t\)覆盖法进行补充刻画。
2026-07-17 math.CO
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
2026-03-05 math.CO
Shattered matchings in intersecting hypergraphs
令$X$为$n$元素集，其中$n$为偶数。本文反驳了J. Gordon和Y. Teplitskaya，根据其中，对于$\frac{n}2$的每个最大相交家族$\mathcal{F}$-$X$的元素子集，可以以这样的方式将$X$划分为$\frac{n}2$不相交对，即无论我们如何从第一对$\frac{n}2 - 1$中的每一个中挑选一个元素，由它们形成的集合总是可以通过添加最后一对的元素来完成$\mathcal{F}$的成员。上述问题与极值集理论中的经典问题有关。对于任何$t\ge 2$，我们称一个集合族$\mathcal{F}\subset 2^X$ { \em $t$ -separable}，如果对于$X$的任何有序元素对$(x,y)$，存在$F\in\mathcal{F}$使得$F\cap\{x,y\}=\{x\}$。对于固定的$t, 2\le t\le 5$和$n\rightarrow\infty$，我们建立了最小整数$s=s(n,t)$的渐近紧估计，使得每个具有$|\mathcal{F}|\ge s$的$\mathcal{F}$族都是$t$ -可分的.
2020-05-11 math.CO
A note on $G$-intersecting families
考虑公共顶点集$[n]$上的图$G$和$k$ -一致超图$\mathcal{H}$.如果对于$X,Y \in \mathcal{H}$中的每对边，都存在顶点$x \in X$和$y \in Y$，使得$x = y$或$x$和$y$通过$G$中的边连接，则我们说$\mathcal{H}$是$G$ -相交的。这个概念是由Bohman，Frieze，Ruszinkó和Thoma引入的，他们证明了$G$ -相交$k$ -均匀超图的Erdens-Ko-Rado定理的自然推广，$G$稀疏和$k = O( n^{1/4} )$。本文将此结果推广到$k = O\left( \sqrt{n} \right)$ .
2016-05-24 math.CO
About dependence of the number of edges and vertices in hypergraph clique with chromatic number 3
1973年，P. Erdens和L. Lovász注意到，任何边是两两相交的超图都有色数2或3。在第一种情况下，这样的超图可以有任意数量的边。然而，埃尔德什和洛瓦兹证明了在第二种情况下，边的数量是有界的。例如，如果一个超图是$ n $ -均匀的，有成对相交的边，并且有色数3，那么它的边数不超过$ n^n $。最近D Cherkashin改进了这个界限（参见\cite{Ch}）。本文在$n$ -一致超图的顶点数由具有某些$ m = m(n) $的$ n^m $从上有界的情况下，进一步改进了它。
2011-10-08 math.CO
Improved bounds concerning the maximum degree of intersecting hypergraphs
对于正整数$n>k>t$，令$\binom{[n]}{k}$表示标准$n$元素集$[n]=\{1,\ldots,n\}$的所有$k$子集的集合. $\binom{[n]}{k}$的子集称为$k$ -图。一个$k$ -图$\mathcal{F}$称为$t$ -交，如果$|F\cap F'|\geq t$对所有$F,F'\in \mathcal{F}$ .极值集理论的核心结果之一是Erdens-Ko-Rado定理，该定理指出对于$n\geq (k-t+1)(t+1)$，没有$t$ -相交的$k$ -图具有多于$\binom{n-t}{k-t}$的边。对于大于这个阈值的$n$，$t$ -star（所有包含固定$t$ -set的$k$ -set）是唯一达到这个界限的家族。定义$\mathcal{F}(i)=\{F\setminus \{i\}\colon i\in F\in \mathcal{F}\}$。量$\varrho(\mathcal{F})=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\mathcal{F}(i)|/|\mathcal{F}|$测量$k$ -图与星的接近程度。主要结果（定理1.5）表明，当$\mathcal{F}$是1-交的，$|\mathcal{F}|>2^dd^{2d+1}\binom{n-d-1}{k-d-1}$和$n\geq 4(d-1)dk$时…
2022-10-20 math.CO
Collapsibility of simplicial complexes of hypergraphs
设$\mathcal{H}$是秩为$r$的超图.证明了以覆盖数至多为$p$的超图$\mathcal{F}\subset\mathcal{H}$为单形的单纯复形是$\left(\binom{r+p}{r}-1\right)$ -可折叠的，以两交超图$\mathcal{F}\subset\mathcal{H}$为单形的单纯复形是$\frac{1}{2}\binom{2r}{r}$ -可折叠的.
2019-10-14 math.CO
Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs: asymptotics and stability
研究随机$k$ -一致超图$\mathcal{H}^k(n,p)$的Erdens-Ko-Rado定理的渐近形式.对于$2 \leq k(n) \leq n/2$，记为$N=\binom{n}k$和$D=\binom{n-k}k$。我们证明了当概率趋于1时，$n\to\infty$的最大相交子超图的大小为$(1+o(1))p\frac kn N$，对于任何$p\gg \frac nk\ln^2\!\left(\frac nk\right)D^{-1}$。$p$上的这个下限对于$k=Θ(n)$是渐近最佳可能的。对于这个范围的$k$和$p$，我们也能够显示稳定性。当$k = o(n)$。在这种情况下，$p$的下限几乎是最优的。进一步地，对于小区间$D^{-1}\ll p \leq (n/k)^{1-\varepsilon}D^{-1}$，$\mathcal{H}^k(n,p)$的最大相交子超图的大小为$Θ(\ln (pD)N D^{-1})$，条件是$k \gg \sqrt{n \ln n}$。加上以前的工作Balogh，Bohman和Mubayi，这些结果解决了最大的交叉家庭在$\mathcal{H}^k(n,p)$的渐近大小，基本上所有的值$p$和$k$。
2017-04-25 math.CO
On Erdős-Ko-Rado for random hypergraphs I
一个集合族是相交的，如果没有两个成员是不相交的，并且具有Erdens-Ko-Rado性质（或者是EKR），如果它的每个最大相交子族都有非空交集。用$\mathcal{H}_k(n,p)$表示随机族，其中每个$k$ -$\{1\dots n\}$的子集以概率$p$存在，与其他选择无关。首先由Balogh，Bohman和Mubayi研究的问题是：\[ \mbox{for what $p=p(n,k)$ is $\mathcal{H}_k(n,p)$ likely to be EKR?} \]这里，对于固定的$c<1/4$和$k< \sqrt{cn\log n}$，我们给出了这个问题的精确答案，表征了那些序列$p=p(n,k)$，其中$$ \Pr(\mathcal{H}_k(n,p) \textrm{ is EKR}) \rightarrow 1 \textrm{ as } n\rightarrow \infty. $$
2014-12-16 math.CO
Intersecting families of discrete structures are typically trivial
交叉结构的研究是极值组合学的核心。如果$\mathcal{F}$中的任何两个排列在某些$t$索引上一致，则排列族$\mathcal{F} \subset S_n$是\emph{$t$-intersecting}，如果$\mathcal{F}$中的所有排列在相同的$t$索引上一致，则排列族是\emph{trivial}。一个$k$ -一致超图是\emph{$t$-intersecting}，如果它的任意两条边有共同的$t$顶点，如果它的所有边共享相同的$t$顶点，则它是\emph{trivial}.基本问题是确定相交族可以有多大。Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于$n$相对于$t$足够大，在$S_n$中最大的$t$相交族是平凡族.经典的Erdens-Ko-Rado定理表明，当$n$较大时，最大的$t$ -相交$k$ -一致超图也是平凡的.我们确定的\emph{typical}结构的$t$ -相交的家庭，扩展这些结果表明，几乎所有的相交家庭是平凡的。我们还获得了这些极值结果的稀疏类似物，表明它们在随机设置中成立。我们的证明使用Bollobás集对不等式来限制最大相交族的数量，然后可以将其与已知的稳定性定理相结合。对于向量空间，我们也得到了类似的结果。
2015-01-09 math.CO
On the $C$-diversity of intersecting hypergraphs
本文研究相交超图的$C$-多样性问题，给出了$1<C<3/2$且$n$足够大时相交$k$元集族$C$-多样性的上界及取等条件，并证明了普通多样性情形下的强稳定性。
2024-12-10 math.CO
Best possible bounds on the double-diversity of intersecting hypergraphs
本文证明了当 n≥13k² 时，Fano k-图是最大化二重多样性的本质上唯一的不含不相交边对的 k-图族，并给出了三重及更高多样性的类似结果。
2022-12-22 math.CO
On the largest degrees in intersecting hypergraphs
Taiyuan University of Technology（太原理工大学）
针对n>2k情形下的相交k-图，本文强化了Huang和Zhao关于度的已有结论，给出了第2k+1大度、第二及第三大度的上界，并证明了多个同类最优结果。
2025-11-19 math.CO
A note on Erdös-Faber-Lovász Conjecture and edge coloring of complete graphs
一个线性超图是相交的，如果任意两个不同的边恰好有一个公共顶点，一个$n$ -拟簇是一个相交的线性超图，它的$n$边最多包含$n$顶点，并且每个顶点至少包含在两条边中. Erdös-Faber-Lovász猜想指出任何$n$ -拟簇的色数至多为$n$。本文利用完全图的一种特殊的边染色证明了一个新的无限类$n$ -拟簇猜想的正确性。
2016-05-11 math.CO
On a conjecture of Hefetz and Keevash on Lagrangians of intersecting hypergraphs and Turán numbers
设$S^r(n)$是$n$顶点上的$r$ -图，其中$A$和$B$分别为$A$和$B$，$r$ -图的边由$1$顶点和$B$顶点的所有$r$ -元组组成，$A$和$B$的大小被选择为使边数最大化.设$M_t^r$是具有$t$两两不相交边的$r$ -图.给定一个$r$ -图$F$和一个正整数$p\geq |V(F)|$，我们定义$F$的{ \em扩展}，记为$H_{p}^{F}$如下：将$F$的顶点记为$v_1,\dots,v_{|V(F)|}$ .添加新顶点$v_{|V(F)|+1},\dots,v_{p}$。对于不包含在$F$的边中的每对顶点$v_i,v_j, 1\le i<j \le p$，我们添加$r-2$新顶点和边$\{v_i,v_j\} \cup B_{ij}$的集合$B_{ij}$，其中$B_{ij}$在所有这样的对$\{i,j\}$上是成对不相交的。Hefetz和Keevash证明了$M_2^r$扩张的图兰数是${1 \over r}n\cdot{{r-1\over r}n \choose r-1}$，对于$r \ge 4$和足够大的$n$。而且，如果$n$足够大，且$G$是一个$n$顶点和${1 \over r}n\cdot{{r-1\over r}n \choose r-1}$边的PDMATHABN-free $r$ -图，则$G$同构于$S^r(n)$ .在本文…
2017-02-02 math.CO
The Berge-Füredi conjecture on the chromatic index of hypergraphs with large hyperedges
本文围绕与超图着色相关的两个猜想（Vizing定理的超图推广、Erdős-Faber-Lovász猜想），研究一类特殊均匀线性超图并建立其若干性质，推进Berge-Füredi猜想相关研究。
2024-03-11 math.CO
Saturating sets in projective planes and hypergraph covers
设$Π_q$是任意有限的$q$级射影平面。如果$S$之外的任何点与来自$S$的一对点共线，则其点的子集$S$被称为饱和。应用概率工具，我们提高了上界的最小可能的大小的饱和集$\lceil\sqrt{3q\ln{q}}\rceil+ \lceil(\sqrt{q}+1)/2\rceil$。同样的结果，提出了使用算法的方法，以及，它指出了连接的横向数的一致多重相交超图。
2017-11-25 math.CO
On transversal numbers of intersecting straight line systems and intersecting segment systems
交交$r$ -均匀直线系是由$\mathbb{R}^2$的直线段上的$r$点组成的交线性系，且任意两条直线共用一点.最近，作者[A。Vázquez-Avila，\emph{On intersecting straight line systems}，J. Discret.数学科学Cryptogr.接受]证明了任何相交的$r$ -均匀直线系统$(P,\mathcal{L})$具有至多$ν_2-1$的横截数，其中$r\geqν_2$，其中$ν_2$是线$R\subseteq\mathcal{L}$的子集的最大基数，使得$R$的每个不同元素的三元组没有公共点。本文在相交$r$ -均匀直线系统满足$r=ν_2$的条件下，改进了这一上界.这一结果对Oliveros等人提出的一些问题有直接的影响[D.奥利韦罗斯角O 'Neill和S. Zerbib，\emph{The geometry and combinatorics of discrete line segment hypergraphs}，Discrete Math. { \bf 343}（2020），no. 6，111825]。
2021-01-12 math.CO
Degree versions of the Erdos-Ko-Rado Theorem and Erdos hypergraph matching conjecture
我们用代数方法证明了著名的Erd \H os-Ko-Rado定理的一个度版本：给定$n>2k$，每个相交的$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上包含一个顶点，该顶点位于至多$\binom{n-2}{k-2}$边上。这个结果可以看作是一个特殊的情况下的度版本的一个著名的猜想Erdens超图匹配。改进了1976年Bollobás，Daykin和Erd \H os的工作，证明了给定整数$n, k, s$和$n\ge 3k^2 s$，每个$k$ -均匀超图$H$在$n$顶点上的最小顶点度大于$\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-s}{k-1}$，包含$s$不交边.
2016-05-24 math.CO
Cover 3-uniform hypergraphs by vertex-disjoint tight paths
设$H$是一个$n$ -顶点3-一致超图，使得每对顶点至少在$n/3+o(n)$边中.证明了$H$包含两条顶点不相交的紧路，它们的并集覆盖了$H$的顶点集.这里的量2是最佳可能的，度条件是渐近最佳可能的。这个结果也有一个解释为\emph{deficiency problems}，最近介绍了Nenadov，Sudakov和瓦格纳：每一个这样的$H$可以成为哈密尔顿添加最多两个顶点和所有三元组相交。
2022-05-04 math.CO
