Decompositions of even hypercubes into cycles whose length is a power of two
本文证明偶数维超立方体对每个 2≤i≤n 都可分解为长度 2^i 的边不交环。
2021-07-15 math.CO
Hamiltonian cycles of balanced hypercube with more faulty edges
平衡超立方体$BH_{n}$是超立方体的一种变体，是一种新型的大规模并行系统互连网络.如果对所有$n\geq2$，平衡超立方体的每个顶点至少与两条边关联，则在删除最多$4n-5$条故障边后，平衡超立方体仍保持Hamilton性.本文证明了当$BH_{n}-F$中每个顶点的度至少为2且$BH_{n}-F$中不存在$f_{4}$ -圈时，$BH_{n}$中存在$n\ge 2$ with $\left | F \right |\le 5n-7$的无故障哈密顿圈，改进了一些已知结果.
2022-08-18 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. III
本文统计了超立方体图的顶点分解（关于一个特殊的对称2 t-圈），其负部分被看作是基集{1，. t}的相应的定向拟阵。
2020-08-24 math.CO
Upper bounds on the size of 4- and 6-cycle-free subgraphs of the hypercube
本文对Razborov的旗代数机作了一些修改，使之适用于超立方体。我们用这种改进的方法证明了n维超立方体的无4圈子图的最大边数至多是它的边数的0.6068倍。我们还将n维超立方体的无6圈子图的边数的上界从2 - 1的平方根提高到0.3755倍。此外，我们还证明了如果n维超立方体是偏序集，则不含4-圈的诱导子图的三个中间层的最大顶点密度至多为2.15121乘以n选n/2.
2012-05-09 math.CO
on removal of perfect matching from folded hypercubes
n维超立方体Qn是最通用和最强大的互连网络之一。n维折叠立方体记为n维折叠立方体，它是超立方体的一种变体，具有超立方体所不具有的一些可嵌入性质。董和王（在理论。Comput. Sci.771（2019）93-98）证明了“Em的边的子集Em是完美匹配，当且仅当Em同构于Qn”。在本文中，我们反驳了这个猜想，提供了一些完美的匹配，其中删除从Qn不给一个图同构到Qn。
2019-07-16 math.CO
Extremal numbers for cycles in a hypercube
设$ex(Q_n, H)$是超立方体$Q_n$的子图$G$中的最大边数，使得不存在$G$与$H$同构的子图.我们证明了对于任意整数$k\geq 3$，$$ex(Q_n, C_{4k+2})= O(n^{\frac{5}{6} + \frac{1}{3(2k-2)}} 2^n).$$
2022-11-28 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. VI
本文探讨二元数组精确模型表示的线性代数、组合与应用层面，并以字符串的两幅线性代数画像加以说明。
2023-08-13 math.CO
Fault-free Hamiltonian cycles in balanced hypercube with conditional edge faults
平衡超立方体，$BH_n$，是超立方体$Q_n$的变体。Zhou et al. [Inform. Sci. 300（2015）20-27]提出了一个有趣的问题，即在$BH_n$中是否存在每个顶点与至少两个无故障边关联的无故障哈密顿圈。在本文中，我们考虑这个问题，并表明，每个无故障的边缘在于一个无故障的哈密顿圈在$BH_n$后，不超过$4n-5$故障的边缘发生，如果每个顶点是事件与至少两个无故障的边缘，所有$n\ge 2$。我们的结果是最佳的容忍边缘故障的最大数量。
2017-01-12 math.CO
Generalization of Cycle Decompositions of Even Dimensional Hypercubes on $d$-Dimensional Toruses
针对偶数维超立方体圈分解前期工作覆盖圈长有限的问题，提出两种新颖构造方法，在圈的笛卡尔积上显式实现几乎所有可能长度的圈分解，深化相关认知并取得最长可容许圈长分解的研究进展。
2024-03-06 math.CO
The minimum forcing number of perfect matchings in the hypercube
设$M$是图中的完美匹配。如果$M$是包含$S$的图中唯一的完美匹配，则称$M$的子集$S$是$M$的强制集。$M$的强制集的最小大小称为$M$的强制数。Pachter和Kim [Discrete Math.190（1998）287- 294]证明了$n$维超立方体中的每一个完美匹配的强迫数至少是$2^{n-2}$，对所有的$n \ge 2$ . Riddle [Discrete Math.245（2002）283-292]对偶数$n$证明了这一点。证明了该猜想对所有$n \ge 2$都成立.证明是基于简单的线性代数。
2017-12-10 math.CO
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Symmetric Cycles in the Hypercube Graphs. V
我们考虑的有向拟阵的topes可实现为$\mathbb{R}^{2^t}$中的坐标超平面的安排，相对于一个杰出的对称$2\cdot 2^t$ -圈在其topes超立方体图$\boldsymbol{H}(2^t,2)$。我们寻求这样的分解的背景下的子集家庭的地面集$E_t:=\{1,\ldots,t\}$和家庭的阻塞集的解释，在混乱的背景下，$E_t$和他们的阻滞剂。
2021-08-03 math.CO
A note on short cycles in a hypercube
超立方体的无四边形子图可以有多少条边？这个问题是由Paul Erdans多年前提出的关于PDMATHAMM的问题。他的猜想，这样一个子图渐近最多有一半的边的超立方体仍然没有得到解决。设$f(n,C_l)$是超立方体$Q_n$中不含长度为$l$的圈的子图的最大边数.众所周知，$f(n, C_l) = o(|E(Q_n)|)$，当$l= 4k$，$k\geq 2$和$f(n, C_6) \geq \frac{1}{3} |E(Q_n)|$。对于$l=4k+2$、$k\geq 2$，确定$f(n, C_l)$是一个开放性问题。在这里，我们给出了一个一般的上限为$f(n,C_l)$时，$l=4k+2$，并提供了着色的$E(Q_n)$的$4$颜色不包含诱导单色$C_{10}$。
2016-05-24 math.CO
A Highly Symmetric Hamilton Decomposition for Hypercubes
图的Hamilton分解是将图的边集划分为不相交的生成圈。对于所有偶数维度的超立方体$2n$来说，这种分解的存在是已知的。我们给出了一个分解的情况下，$n = 2^a3^b$是高度对称的，在这个意义上，每个周期可以从每一个其他周期只是通过置换轴。我们猜想对于每个n都存在一个类似的分解。
2020-04-06 math.CO
Parity balance of the $i$-th dimension edges in Hamiltonian cycles of the hypercube
令$n\geq 2$为整数，并令$i\in\{0,...,n-1\}$。$n$维超立方体$Q_n$中的第$i$维边是边${v_1}{v_2}$，使得$v_1,v_2$仅在它们的第$i$个条目处不同.第$i$维边$\edg{v_1}{v_2}$的奇偶性是忽略第$i$项的任何顶点的1的模2的数目。我们证明了$Q_n$的一个给定的Hamilton圈中出现的$i$维边的个数与奇偶为1的边的个数一致。作为这一结果的应用，引入并探讨了超立方体的哈密顿圈的内接正方形猜想：$Q_n$中的任何哈密尔顿圈在一个4-圈中包含两条对边.我们证明了这一猜想的$n \le 7$，并为任何哈密顿循环包含多个$2^{n-2}$边在相同的维度。最后，考虑到$Q_{n-1}$的等独立数，这是一个概念，本文介绍了二部图的界得到了改进。
2010-09-17 math.CO
Cycles in enhanced hypercubes
增强型超立方体$Q_{n,k}$是超立方体$Q_n$的变体。研究了增强超立方体的边所处的所有长度的圈，证明了$Q_{n,k}$的每条边都位于从$4$到$2^n$的每个偶数长度的圈上;如果$k$是偶数，则$Q_{n,k}$的每条边也位于从$k+3$到$2^n-1$的每个奇数长度的圈上，并且某些特殊的边位于长度为$k+1$的最短奇数圈上.
2015-09-16 cs.DM math.CO
Matchings in Hypercubes Extend to Long Cycles
本文研究Ruskey-Savage猜想，证明了$n$维超立方体$Q_n$中跨越至多$d=5$个方向的匹配可扩展为Hamilton圈，并刻画了其扩展为指定顶点间Hamilton路的条件。
2025-01-31 math.CO
Embedding hypercubes into torus and Cartesian product of paths and cycles for minimizing wirelength
尽管人们已经研究了几种正则图的嵌入问题，但是超立方体到环面的嵌入问题仍然是一个未解决的问题。本文从数学上证明了这一猜想，并给出了超立方体嵌入路和圈的笛卡儿积的最小线长。此外，我们解释了格雷码嵌入是一个最优策略在这样的嵌入问题。
2023-02-26 cs.DM math.CO
A characterization of regular partial cubes whose all convex cycles have the same lengths
本文研究了部分立方体的凸环性质，证明正则部分立方体为超立方体等图当且仅当其所有凸环具有特定相同长度，并推广了正则中位图的相关结论。
2024-10-13 math.CO
Long path and cycle decompositions of even hypercubes
考虑$n$维超立方体$Q_n$的边分解为给定图$H$的同构副本.虽然一些结果是已知的分解$Q_n$到图从不同的类，最简单的情况下，路径和循环的一个给定的长度是远远没有被理解。Erde的一个猜想断言，如果$n$是偶数，$\ell < 2^n$和$\ell$整除$Q_n$的边数，则长度为$\ell$的路径分解为$Q_n$。Tapadia等人证明了任何长度为$2^mn$的路径，其中满足这些条件的$2^m<n$分解为$Q_n$。在这里，我们取得了进展，解决Erde的猜想表明，周期的某些长度高达$2^{n+1}/n$分解$Q_n$。因此，我们表明，$Q_n$可以分解成任何路径的长度最多$2^{n}/n$划分的边缘数的$Q_n$，从而解决Erde的猜想的线性因子。
2021-01-24 math.CO
Edge Decompositions of Hypercubes by Paths and by Cycles
如果$H$是（或同构于）$G$的一个子图，则$H$被称为{ \it divide} $G$，如果存在$G$被$H$的边集$E(H)$的拷贝边分解。更严格的版本是当存在{ \rm Aut} $(G)$的子群${\cal H}$时，$G$的自同构群，使得$E(H)$的拷贝是$E(H)$通过${\cal H}$的元素的翻译。在第二作者的一篇论文中，这种情况被描述为$H$，或更准确地说$E(H)$，是$G$的{ \it基本}集。许多作者研究了各种图的整除性概念，特别是超立方体的各种子图，如路，树和圈。我们继续这样的研究在本文中，既整除性，并在可能的情况下，基本集。论文的最后一部分列出了我们的主要结果。
2013-09-05 math.CO
Matchings in the hypercube with specified edges
School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）
研究超立方体 Q^n 中完美匹配的轮廓向量条件，证明每个坐标分量 x_i 为偶数且和为 2^{n-1} 是充分必要条件。
2026-06-01 math.CO
Hamiltonian paths extending a set of matchings in hypercubes
本文研究了超立方体中扩展匹配集的哈密顿路径问题，证明了对于 n ≥ 5 且匹配集大小不超过 3n - 13 时，存在连接相对二部集顶点且包含该匹配集的哈密顿路径。
2025-06-26 math.CO
Optimal cycles enclosing all the nodes of a $k$-dimensional hypercube
本文解决了用最小链长多边形链访问 $k$ 维超立方体所有 $2^k$ 个节点的问题，证明最优值为 $3 \cdot 2^{k-2}$，并构造性地证明了存在仅含该数量链的圈能访问所有节点一次且仅一次。
2024-01-10 math.CO
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
2026-08-13 math.CO
Fault-tolerance of balanced hypercubes with faulty vertices and faulty edges
令$F_{v}$（分别$F_e$）是故障顶点的集合（分别是缺陷边）在$n$维平衡超立方体$BH_n$中。在[Inform.]中获得了至多具有$2n-2$故障边缘的$BH_n$中的容错Hamilton可伸缩性。Sci. 300（2015）20- 27]。在[Appl. Math. Comput. 244（2014）447- 456]。到目前为止，几乎所有关于$BH_n$中只有故障点或故障边的容错性的结果。本文研究了$BH_n$的容错环嵌入问题，证明了对于$n\geq 2$，在$BH_n$中存在长度为$2^{2n}-2|F_v|$且有$|F_v|+|F_e|\leq 2n-2$和$|F_v|\leq n-1$的无错环.由于$BH_n$是具有两个相等大小的部集的二部图，因此在最坏情况下，长度为$2^{2n}-2|F_v|$的圈是最长的。
2016-04-27 math.CO
Prescribed matchings extend to Hamiltonian cycles in hypercubes with faulty edges
Ruskey和Savage提出了以下问题：$Q_{n}$对$n\geq2$的每一个匹配是否都扩展到$Q_{n}$的一个哈密顿圈？J. Fink证明了这个问题对所有完美匹配都成立，并解决了Kreweras猜想。在本文中，我们考虑的问题，超立方体的故障边缘。我们证明了对于$n\geq2$，每个至多$2n-1$边的匹配$M$都可以扩展为$Q_{n}$的一个哈密顿圈.此外，我们可以证明，当$n\geq4$和$M$是非空的，即使$Q_{n}$最多有$n-1-\lceil\frac{|M|}{2}\rceil$故障边缘的一个例外，这个结果仍然成立。
2013-01-14 math.CO math.OC
Orientable Hamiltonian Embeddings of the Hypercube Graph
哈密尔顿嵌入是图$G$的嵌入，使得每个面的边界是$G$的哈密顿圈。证明了当$n$是2的幂时，超立方体图$Q_n$允许在可定向曲面上嵌入.给出了$Q_n$的Hamiltonian嵌入的基本必要条件，并对$n$的其它值进行了证明.
2020-01-26 math.CO
On the existence of Hamiltonian cycles in hypercubes
本文研究了在k维超立方体顶点集C(2,k)中，当连续顶点间欧几里得距离固定时哈密顿回路的存在性，证明了当h为奇数且1≤h≤k-1时存在此类回路。
2026-03-20 math.CO
Partitioning the hypercube into smaller hypercubes
Princeton University（普林斯顿大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了如何将超立方体划分为更小的超立方体，并证明了相关方式数的渐进行为与完美匹配数的关系。
2024-11-07 math.CO
Hamiltonian cycles in hypercubes with faulty edges
Szepietowski [A. Szepietowski，Hamiltonian cycles in hypercubes with $2n-4$ faulty edges，Information Sciences，215（2012）75- 82]观察到，如果超立方体$Q_n$包含中途断开的陷阱，则超立方体不是哈密尔顿的。一个真子图$T$如果至少有一半的结点具有奇偶校验0（或1），则它是半断开的。以及连接奇偶校验为0（或1，分别）的所有节点的边。具有$T$外部节点的$T$中的节点是有故障的。这种陷阱的最简单的例子是：（1）具有$n-1$事件故障边的顶点，或（2）循环$(u,v,w,x)$，其中从$u$和$w$出循环的所有边都是故障的。本文描述了大小为$|T|\le8$的半断开$T$的所有陷阱，并讨论了是否存在排除Hamilton圈且不基于半断开集的小故障边集的问题.我们描述的启发式检测集的故障边缘，排除HC也是那些集，不基于子图断开中途。我们描述了所有的$Q_4$立方体，而不是汉密尔顿，和所有的$Q_5$立方体与8或9个故障的边缘，而不是汉密尔顿。
2018-02-28 cs.DM math.CO
Cycle lengths in the percolated hypercube
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）；School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University（特拉维夫大学理学院）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）；Technical University of Vienna（维也纳工业大学）
研究渗流超立方体中圈的存在性，证明在边概率足够大时，随机子图包含所有从4到接近最大可能长度的偶数圈，加强了先前仅保证存在一个长圈的结果。
2026-10-20 math.CO math.PR
Maximum density of vertex-induced perfect cycles and paths in the hypercube
令$H$和$K$是$d$立方体$Q_d$的顶点集$V(Q_d)$的子集（我们在$Q_d$中称为$H$和$K$配置）.如果存在将$H$发送到$K$的$Q_d$的自同构，则我们说$K$是$H$的\emph{exact copy}。如果$d$是一个正整数，$H$是$Q_d$中的一个配置，我们定义$π(H,d)$为极限，因为$n$在$V(Q_n)$的所有子集$S$上，在与$S$相交的$Q_n$的子$d$-立方体中，达到最大分数的无穷大。我们确定了$π(C_8,4)$和$π(P_4,3)$，其中$C_8$是$Q_4$中的"完美" 8-圈，$P_4$是$Q_3$中的"完美" 4点路，并对$d$较大时的$π(C_{2d},d)$和$π(P_{d+1},d)$进行了讨论.在我们的证明中，与具有某些性质的序列的计数和某些小图的归纳有关。特别地，我们需要确定二部图族中两条顶点不相交边的诱导数。
2020-09-18 math.CO
Crux and long cycles in graphs
本文引入了图$G$的\emph{crux}的概念，度量了图$G$中最小稠密子图的阶.这个看起来简单的概念导致了一些关于循环的已知结果的概括，提供了一个有趣的范例“用十字架代替平均度”。特别地，我们证明了\emph{every}图的点中含有一个长度线性的圈。Long证明了超立方体$Q^m$的每一个子图（分别是离散环面$C_3^m$）的平均度$d$包含长度为$2^{d/2}$（resp. $2^{d/4}$），并说明应存在长度为$2^{d}-1$的路径（分别$3^{d/2}-1$）。作为推论，我们的结果，再加上等周不等式，我们关闭这些指数差距给出渐近最优的界限上的长路径超立方体，离散环面，更一般的汉明图。我们还考虑随机子图的$C_4$ -免费的图和超立方体，证明近最佳的长周期的长度上的界限。
2022-07-29 math.CO
On graphs embeddable in a layer of a hypercube and their extremal numbers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
研究超立方体中可嵌入一层的图及其极值数，用边着色刻画分层图，证明多数非平凡细分有零图兰密度，存在周长为\(8\)的非分层立方体图有正图兰密度，还给出\(ex(Q_n, C_{10})\)的下界，揭示其与其他零图兰密度圈的不同。
2026-07-21 math.CO
Two-disjoint-cycle-cover edge bipancyclicity in Cartesian products
School of Science, Minzu University of China（中央民族大学理学院）
本文证明了二部广义超立方体在满足非特定例外条件下，任意两条独立边可分别嵌入长度任意偶数的两个不相交圈中，从而加强二不相交圈覆盖顶点双泛圈性。
2026-10-30 math.CO
Hamiltonian cycles and paths in hypercubes with disjoint faulty edges
我们考虑具有两两不相交故障边的超立方体。$n$维超立方体$Q_n$是具有$2^n$节点的无向图，每个节点用长度为$n$的不同二进制串标记。如果标签中的1的个数是偶数，则顶点的奇偶性为0，如果标签中的1的个数是奇数，则为1。两个顶点$a$和$b$通过边连接当且仅当$a$和$b$在一个位置不同。如果$a$和$b$在位置$i$上不同，则我们说边$(a,b)$沿方向$i$行进，并且我们将边的奇偶性定义为在位置$i$上以0结束的奇偶性。已经知道，如果在一个方向上并且具有相同奇偶性的所有边都是错误的，则$Q_n$不是哈密尔顿算子。本文证明了如果$n\ge4$，那么所有其它超立方体都是Hamilton的.换句话说，具有$n\ge4$和不相交故障边的每个立方体$Q_n$是哈密尔顿的当且仅当对于每个方向存在两个不同奇偶性的健康交叉边。
2019-08-26 cs.DM math.CO
Nearly spanning cycle in the percolated hypercube
本文研究渗流超立方体随机子图，证明当边保留概率 p≥C/d 时，以高概率存在长度至少为 (1-ε)2^d 的近生成圈，从而证实了一个长期未决的民间猜想。
2025-05-07 math.CO math.PR
A perfect matching reciprocity method for embedding multiple hypercubes in an augmented cube: Applications to Hamiltonian decomposition and fault-tolerant Hamiltonicity
本文利用增强立方体的凯莱性质和互反完美匹配方法，给出AQ_n中Q_n同构子图数量的下界及最少公共边子图对的构造，并应用于证明AQ_n的边不相交哈密顿圈分解和容错双泛圈性。
2025-07-17 math.CO
Expansion, long cycles, and complete minors in supercritical random subgraphs of the hypercube
类似于二项式随机图$G(d+1,p)$的情况，已知$d$维超立方体的随机子图的行为，其中我们以概率$p$独立地包括每个边，我们用$Q^d_p$表示，在$p=\frac{1}{d}$的临界值附近经历相变。更准确地说，标准论证表明，显著低于$p$的这个值，概率趋于1，如$d \to \infty$（简称whp），这个图的所有分量都有$O(d)$阶，而Ajtai，Komlós和Szemerédi表明，显著高于这个值，在\emph{supercritical regime}中，whp有一个唯一的$Θ\left(2^d\right)$阶的“巨型”分量。在$G(d+1,p)$更多的是已知的复杂结构的随机图出现在这个超临界状态。例如，已知在该体系中，whp $G(d+1,p)$包含长度为$Ω(d)$的路径和圈，以及$Ω\left(\sqrt{d}\right)$阶的完全子式。本文在$Q^d_p$中得到了类似的结果。特别是，我们表明，对于超临界$p$，即，当$p=\frac{1+ε}{d}$为正常数$ε$时，whp $Q^d_p$包含长度为$Ω\left(\frac{2^d}{d^3(\log d)^3} \right)$的圈和$Ω\left(\frac{2^{\frac{d}{2}}}{d^3(\log d)^3 }\right)$阶的完全子式。为了证明这些结果，我们表明，whp的$Q^d_p$…
2021-12-01 math.CO
The Z-cubes: a hypercube variant with small diameter
本文介绍了超立方体的一种新的变形，我们称之为Z-立方体。通过在（n-1）维Z立方体$H_{n-1}$的两个副本的顶点之间添加一个特殊的完美匹配，从这两个副本的$H_{n-1}$获得n维Z立方体$H_n$。证明了n维Z立方体$H_n$具有直径$(1+o(1))n/\log_2 n$ .这大大改进了以前已知的n维超立方体的变体，其直径都大于n/3。此外，维数$n$的任何超立方体变体都是$2^n$顶点上的n-正则图，因此直径大于$n/\log_2 n$ .因此，Z-立方体相对于直径是最佳的，直到$o(n/\log_2n)$阶的误差。在最后一节中还讨论了另一种与$H_n$具有相似结构和性质的Z-立方体$Z_{n,k}$。
2015-09-23 math.CO
Loose Hamilton paths in the 3-uniform cube hypergraph
本文针对3-一致立方体超图因奇偶性无法存在松散哈密顿环的问题，转而研究松散哈密顿路径，确定了该路径存在的维度条件。
2024-09-12 math.CO
Rainbow Trees in Hypercubes
证明$n$维超立方体$Q_n$的每个真边着色含至多$n$边的所有树的彩虹副本，且结果最优（$Q_n$可用$n$色真边着色且无彩虹环）。
2025-08-19 cs.DM math.CO
Mutual visibility in hypercube-like graphs
针对类超立方体网络的相互可见数和完全相互可见数计算难题，本文分别给出超立方体、立方体连接环的近似算法及蝶形图的精确公式，还推导了后两者的完全相互可见数精确公式。
2023-08-28 cs.DS math.CO
Embedding perfectly balanced 2-caterpillar into its optimal hypercube
关于超立方体的生成树的一个长期存在的猜想指出，$2^n$顶点上的平衡树的最大度至多为$3$，该平衡树跨越维度为$n$ \cite{havel1986}的超立方体。本文解决了一类特殊二叉树的猜想。一个$0$ -毛虫是一个路径。对于$k\geq 1$，一个$k$ -毛虫是一个二叉树，由一个路径和从路径上的一些顶点发出的$j$ -毛虫$(0\leq j\leq k-1)$组成。一个包含完美匹配的$k$ -毛虫被称为完美平衡。本文证明了在$2^n$顶点上的完美平衡$2$ -毛虫跨越维数为$n$的超立方体.
2021-10-12 cs.DM math.CO
Avoiding and extending partial edge colorings of hypercubes
考虑超立方体的部分边着色的推广和避免问题，即给定$d$维超立方体$Q_d$的部分边着色$φ$，我们关心的是是否存在$Q_d$的正确$d$ -边着色，它与在$φ$下着色的每条边的着色$φ$一致;或者，类似地，如果在$φ$下着色的每个边上存在与$φ$不一致的适当的$d$ -边着色。特别地，我们证明了对任何$d\geq 1$，如果$φ$是$Q_d$的部分$d$ -边染色，则$φ$是可避免的，如果每种颜色都出现在至多$d/8$边上，并且该染色满足一个相对温和的结构条件，或者$φ$是适当的，并且每种颜色都出现在至多$d-2$边上.我们还证明了如果$d$可被$3$整除且$φ$的每一个颜色类都是诱导匹配，则同样的结论也成立。此外，对于所有的$1 \leq k \leq d$，我们的特征在于，其中配置组成的部分着色$φ$的$d-k$边缘和部分着色$ψ$的$k$边缘，有一个扩展的$φ$，避免了$ψ$。
2021-04-01 math.CO
Decompositions of $n$-Cube into $2^mn$-Cycles
已知$n$维超立方体$Q_n,$对于$n$甚至可以分解为$k=n, 2n,$的$k$ -圈$2^l$具有$2 \leq l \leq n.$本文证明了$Q_n$对于$n \geq 2^m.$可以分解为$2^mn$ -圈作为这个结果的直接结果，我们还得到了$Q_n$的路径分解.这给出了Ramras提出的一个猜想的部分解决方案，并且解决了Erde猜想的一些特殊情况。
2018-04-04 math.CO
Symmetric property and edge-disjoint Hamiltonian cycles of the spined cube
Spined cube $SQ_n$是由Zhou等人在[Information Processing Letters 111（2011）561-567]中作为用于并行计算的互连网络引入的超立方体$Q_n$的变体。一个图$\G$是$m$-Cayley图，如果它的自同构群$\Aut(\G)$有一个作用在点集上的半正则子群，其轨道是$m$轨道;如果它是1-Cayley图，则它是Caley图.众所周知，$Q_n$是阶为$2^n$的初等交换2-群$\mz_2^n$的Cayley图.本文证明了当$n\geq6$是$\mz_2^{n-2}$的4-Cayley图时，$SQ_n$是$\mz_2^{n-2}$的4-Cayley图;当$n\leq 5$是$\lfloor n/2\rfloor$的4-Cayley图时，$SQ_n$是$\lfloor n/2\rfloor$ -Cayley图.这一对称性表明，具有$n\geq6$维spined立方体可以分解为8个顶点不相交的$(n-3)$维超立方体，并作为应用证明了当$n\geq4$时，$SQ_n$中存在两个边不相交的哈密顿圈.此外，我们还确定了$SQ_n$的点传递性，证明了$SQ_n$不是点传递的，除非是$n\leq3$。
2022-10-29 math.CO
On the multidimensional permanent and q-ary designs
一个$H(n,q,w,t)$设计被认为是一个集合的$(n-w)$ -面的超立方体$Q^n_q$完美地穿透所有$(n-t)$ -面。我们将$A(n,q,w,t)$设计定义为超立方体$Q^n_q$的$(n-t)$ -面的集合，这些$(n-t)$-面完美地收缩所有$(n-w)$ -面。H-设计和A-设计的数目用多维持久性表示。我们给出了H-设计和A-设计的几种构造，并证明了每个$s,t\geq 1$都存在$H(2^{t+1},s2^t,2^{t+1}-1,2^{t+1}-2)$设计.关键词：完美匹配，团匹配，永久性，MDS码，广义Steiner系统，H-设计。
2014-04-15 math.CO
Pattern Matching in the Cycle Structure of Permutations
本文研究了置换循环结构中模式的出现。
2011-02-15 math.CO
Hypercubes and Hamilton cycles of display sets of rooted phylogenetic networks
本文研究有根系统发育网络所嵌入树之间的组合关系，提出 rSPR 图并证明其 Hamilton 圈性质，进而给出 level-1 网络无额外推断树的充要条件及多项式重建算法。
2023-08-18 cs.DS math.CO q-bio.PE
A New [Combinatorial] Proof of the Commutativity of Matching Polynomials for Cycles
本文证明了路图和圈图的（经典）匹配多项式和圈图的$d$ -匹配多项式的函数方程。（有限）图$G$中的匹配是其中没有两个共享顶点的边的子集，并且$G$的匹配多项式是对每个大小的$G$中的匹配的数目进行编码的生成函数。$d$ -匹配多项式是次数匹配多项式的加权平均值- $d$覆盖，并在Hall、Puder和Sawin的论文中进行了介绍。令$\mathcal{C}_n$和$\mathcal{P}_n$表示$n$顶点上的循环图和路径图的相应匹配多项式，并且令$\mathcal{C}_{n,d}$表示循环$C_n$的$d$ -匹配多项式。我们给出了一个纯粹的组合证明$\mathcal{C}_k (\mathcal{C}_n (x)) = \mathcal{C}_{kn} (x)$途中证明霍尔猜想：即$\mathcal{C}_{n,d} (x) = \mathcal{P}_d (\mathcal{C}_n (x))$。
2018-10-13 math.CO
Uniquely restricted matchings in subcubic graphs without short cycles
图$G$中的匹配$M$是唯一受限的，如果在$G$中没有其他匹配覆盖相同的顶点集。证明了除$14$和$20$两个例外的三次图外，任何顶点数为$n$且围长至少为$5$的连通次三次图都包含唯一的大小至少为$(n-1) / 3$的限制匹配.
2018-10-10 math.CO
Stirling permutations, cycle structures of permutations and perfect matchings
在本文中，我们提供了一个统一的组合方法来建立斯特林置换，置换的循环结构和完美匹配之间的联系。我们研究的主要工具是MY序列。特别是，我们发现，欧拉多项式有一个简单的组合解释方面的一些统计的MY-序列。
2015-04-12 math.CO
Pair-Defensive Silver Colourings of Hypercubes
The Graduate Center of the City University of New York（纽约市立大学研究生中心）；Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Tehran（德黑兰大学）
针对超立方体上的配对防御银色染色问题，证明了最大颜色数约为普通银色染色的一半，并构造了达到界限的染色，刻画了极值结构。
2026-10-01 math.CO
