Fault-tolerance of balanced hypercubes with faulty vertices and faulty edges
令$F_{v}$（分别$F_e$）是故障顶点的集合（分别是缺陷边）在$n$维平衡超立方体$BH_n$中。在[Inform.]中获得了至多具有$2n-2$故障边缘的$BH_n$中的容错Hamilton可伸缩性。Sci. 300（2015）20- 27]。在[Appl. Math. Comput. 244（2014）447- 456]。到目前为止，几乎所有关于$BH_n$中只有故障点或故障边的容错性的结果。本文研究了$BH_n$的容错环嵌入问题，证明了对于$n\geq 2$，在$BH_n$中存在长度为$2^{2n}-2|F_v|$且有$|F_v|+|F_e|\leq 2n-2$和$|F_v|\leq n-1$的无错环.由于$BH_n$是具有两个相等大小的部集的二部图，因此在最坏情况下，长度为$2^{2n}-2|F_v|$的圈是最长的。
2016-04-27 math.CO
The restricted $h$-connectivity of balanced hypercubes
图$G$的限制$h$ -连通度定义为$G$中的一组顶点$F$的最小基数，如果存在，则移除这些顶点将断开$G$，并且$G-F$中每个分量的最小度至少为$h$ .本文研究了平衡超立方体$BH_n$的限制$h$ -连通性，并确定了$κ^1(BH_n)=κ^2(BH_n)=4n-4$对于$n\geq2$ .我们还得到了$n\geq3$（$n\neq4$）的$n$维平衡超立方体的$κ^3(BH_n)$和$κ^4(BH_n)$的一个精确上界.特别是，我们表明，$κ^3(BH_3)=κ^4(BH_3)=12$。
2018-05-31 math.CO
Generalized Measures of Fault Tolerance in Exchanged Hypercubes
Loh {$EH(s,t)$ et al.} [The交换的超立方体，IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems 16（9）（2005）866-874]是通过从超立方体$Q_{s+t+1}$去除边来获得的。本文考虑了具有$1\leqslant s\leqslant t$的$EH(s,t)$中的一类广义容错测度$κ^{(h)}$和$λ^{(h)}$，并对任何具有$0\leqslant h\leqslant s$的$h$确定了$κ^{(h)}(EH(s,t))=λ^{(h)}(EH(s,t))= 2^h(s+1-h)$.结果表明，至少有$2^h(s+1-h)$顶点（分别为为了得到一个不含度小于$h$的点的不连通图，必须去掉$EH(s,t)$的（$2^h(s+1-h)$边）.
2012-11-16 math.CO
Paired many-to-many 2-disjoint path cover of balanced hypercubes with faulty edges
平衡超立方体$BH_n$作为超立方体的一种变体，被提出作为一种新的并行计算互连网络拓扑。已知$BH_n$是二分的。假设$S=\{s_1,s_2\}$和$T=\{t_1,t_2\}$是$BH_n$（$n\geq1$）的不同分集中的两个顶点的任意两个集合。证明了$BH_n$存在两条覆盖其所有顶点的点不相交$s_1,t_1$ -路和$s_2,t_2$ -路，本文证明了在至多有$2n-3$故障边的情况下，总存在两条覆盖其所有顶点的点不相交$s_1,t_1$ -路和$s_2,t_2$ -路.容许边缘故障的上界$2n-3$是最优的。
2018-04-05 math.CO
Optimal edge fault-tolerant-prescribed hamiltonian laceability of balanced hypercubes
目的：证明$n$维平衡超立方体$BH_n$是$(2n-2)$ -容错-指定Hamilton可删性.方法：在$n$上进行诱导验证。已知该断言对$n\in\{1,2\}$成立。假设它对$n-1$成立，并证明它对$n$成立，其中$n\geq 3$。如果存在$2n-3$故障链路并且它们都与一个公共节点关联，则我们选择某个维度使得在该维度中存在一个或两个故障链路并且没有指定链路;否则，我们选择某个维度使得故障链路和指定链路的总数不超过$1$。无论哪种情况，沿着上述选择的维度将$BH_n$分割成$BH_{n-1}$的$4$不相交副本。结果如下：在对$BH_n$进行上述划分的基础上，本文完成了在上述所选维中至多存在一个故障链的情形的证明。
2022-07-26 math.CO
The $h$-edge tolerable diagnosability of balanced hypercubes
为了测量故障链路的多处理器系统的故障诊断能力，朱等人[Theoret. Comput. Sci. 758（2019）1--8]引入了$h$ -边缘可容忍诊断性。这种可诊断性是对传统可诊断性概念的推广。本文作为对[Theoret. Comput. Sci. 760（2019）1--14]，我们完全确定了平衡超立方体$BH_n$在PMC模型和MM $^*$模型下的$h$ -边容忍可诊断性.因此，也确定了$BH_n$的传统诊断能力。
2019-04-15 math.CO
Paired 3-disjoint path covers of balanced hypercubes
平衡超立方体$BH_{n}$是由Wu和Huang提出的，它是超立方体的一种变形. $BH_{n}$的成对1-不相交路径覆盖是Hamilton可删性，这是由Xu等人在[Appl. Math. Comput. 189（2007）1393- 1401]。$BH_{n}$的成对2-不相交路径覆盖由Cheng等人在[Appl. Math. and Comput. 242（2014）127-142]。本文利用$n\geq 3$得到了$BH_{n}$的成对3-不相交路径覆盖。这个结果改进了关于$k=1,2$的$BH_{n}$的成对$k$ -不相交路径覆盖的上述已知结果。
2019-12-15 math.CO
The $g$-extra edge-connectivity of balanced hypercubes
$g$ -额外边连通度是衡量互连网络可靠性的重要指标。最近，Yang等人[Appl. Math. Comput. 320（2018）464--473]确定了平衡超立方体$BH_n$的$3$ -额外边连通度，并证明$BH_n$的$g$ -额外边连通度是$2\leq g\leq 2n-1$的$λ_g(BH_n)=2(g+1)n-4g+4$。本文证实了他们对$n\geq 6-\dfrac{12}{g+1}$和$2\leq g\leq 8$的猜想，并反驳了他们对$n\geq \dfrac{3e_g(BH_n)}{g+1}$和$9\leq g\leq 2n-1$的猜想，其中$e_g(BH_n)=\max\{|E(BH_n[U])|\mid U\subseteq V(BH_n), |U|=g+1\}$ .
2020-07-06 math.CO
Structure fault diameter of hypercubes
College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）；Department of Computer Science, National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学计算机科学系）
本文提出结构故障直径和子结构故障直径的概念，研究超立方体在故障条件下的结构性质。
2026-07-31 math.CO
Embedding perfectly balanced 2-caterpillar into its optimal hypercube
关于超立方体的生成树的一个长期存在的猜想指出，$2^n$顶点上的平衡树的最大度至多为$3$，该平衡树跨越维度为$n$ \cite{havel1986}的超立方体。本文解决了一类特殊二叉树的猜想。一个$0$ -毛虫是一个路径。对于$k\geq 1$，一个$k$ -毛虫是一个二叉树，由一个路径和从路径上的一些顶点发出的$j$ -毛虫$(0\leq j\leq k-1)$组成。一个包含完美匹配的$k$ -毛虫被称为完美平衡。本文证明了在$2^n$顶点上的完美平衡$2$ -毛虫跨越维数为$n$的超立方体.
2021-10-12 cs.DM math.CO
Edge-fault-tolerance about the SM-λ property of hypercube-like networks
网络的边缘容错对于网络的设计和维护具有重要意义。对于连通图$G$的任意一对顶点$u$和$v$，如果它们由$\min \{ °_G(u),°_G(v)\}$边不交路连通，则$G$是强Menger边连通的（简称SM-$λ$）.关于$G$的SM-$ λ$性质的条件边缘容错，写作$sm_λ^r(G)$，是$m$的最大值，使得对于具有$|F|\leq m$和$δ(G-F)\geq r$的任何边缘子集$F$，$G-F$仍然是SM-$λ$，其中$δ(G-F)$是$G-F$的最小度。以前，大多数关于$sm_λ^r(G)$的精确值都是针对某些知名网络时的$r\leq 2$，而少数关于某些知名网络时的下限则是针对$r\geq 3$。本文首先确定了类超立方体网络（简称HL-网络，包括超立方体、扭曲立方体、交叉立方体等）的$sm_λ^r(G)$的精确值;对于一般的$r$，即对于每个$G_n\in HL_n$，都是$sm_λ^r(G_n)=2^r(n-r)-n$，其中$n\geq 3$和$1\leq r \leq n-2$。
2022-09-25 math.CO
Fault-Tolerant Path-Embedding of Twisted Hypercube-Like Networks THLNs
扭曲超立方体网络（$THLNs$）包含几个重要的超立方体变体。本文研究$n$维（$n$ - $D$）$THLNs$的容错路径嵌入问题。令$G_n$是$n$ - $D$ $THLN$，$F$是具有$|F|\leq n-2$的$V(G_n)\cup E(G_n)$的子集.本文证明了对于任意两个不同的正确顶点$u$和$v$，存在一条无故障路径$P_{uv}$，其长度为$l$，且具有$2^{n-1}-1\leq l\leq 2^n-f_v-1-α$，其中$α=0$是指$u$和$v$在$G_n-F$（$n\geq5$）中形成一个正常顶点对，$α=1$是指$u$和$v$在$G_n-F$（）中形成一个弱顶点对.
2019-06-12 cs.NI math.CO
The Turan number of the balanced double star S_{n-1,n-1} in the hypercube Q_n
本文首次研究超立方体 Q_n 中平衡双星 S_{n-1,n-1} 的 Turán 数，并证明对所有 n≥3，其精确值为 2^{n-3}(4n-3)。
2025-05-08 math.CO
A perfect matching reciprocity method for embedding multiple hypercubes in an augmented cube: Applications to Hamiltonian decomposition and fault-tolerant Hamiltonicity
本文利用增强立方体的凯莱性质和互反完美匹配方法，给出AQ_n中Q_n同构子图数量的下界及最少公共边子图对的构造，并应用于证明AQ_n的边不相交哈密顿圈分解和容错双泛圈性。
2025-07-17 math.CO
Hamiltonian cycles in hypercubes with faulty edges
Szepietowski [A. Szepietowski，Hamiltonian cycles in hypercubes with $2n-4$ faulty edges，Information Sciences，215（2012）75- 82]观察到，如果超立方体$Q_n$包含中途断开的陷阱，则超立方体不是哈密尔顿的。一个真子图$T$如果至少有一半的结点具有奇偶校验0（或1），则它是半断开的。以及连接奇偶校验为0（或1，分别）的所有节点的边。具有$T$外部节点的$T$中的节点是有故障的。这种陷阱的最简单的例子是：（1）具有$n-1$事件故障边的顶点，或（2）循环$(u,v,w,x)$，其中从$u$和$w$出循环的所有边都是故障的。本文描述了大小为$|T|\le8$的半断开$T$的所有陷阱，并讨论了是否存在排除Hamilton圈且不基于半断开集的小故障边集的问题.我们描述的启发式检测集的故障边缘，排除HC也是那些集，不基于子图断开中途。我们描述了所有的$Q_4$立方体，而不是汉密尔顿，和所有的$Q_5$立方体与8或9个故障的边缘，而不是汉密尔顿。
2018-02-28 cs.DM math.CO
Prescribed matchings extend to Hamiltonian cycles in hypercubes with faulty edges
Ruskey和Savage提出了以下问题：$Q_{n}$对$n\geq2$的每一个匹配是否都扩展到$Q_{n}$的一个哈密顿圈？J. Fink证明了这个问题对所有完美匹配都成立，并解决了Kreweras猜想。在本文中，我们考虑的问题，超立方体的故障边缘。我们证明了对于$n\geq2$，每个至多$2n-1$边的匹配$M$都可以扩展为$Q_{n}$的一个哈密顿圈.此外，我们可以证明，当$n\geq4$和$M$是非空的，即使$Q_{n}$最多有$n-1-\lceil\frac{|M|}{2}\rceil$故障边缘的一个例外，这个结果仍然成立。
2013-01-14 math.CO math.OC
Hamiltonian cycles and paths in hypercubes with disjoint faulty edges
我们考虑具有两两不相交故障边的超立方体。$n$维超立方体$Q_n$是具有$2^n$节点的无向图，每个节点用长度为$n$的不同二进制串标记。如果标签中的1的个数是偶数，则顶点的奇偶性为0，如果标签中的1的个数是奇数，则为1。两个顶点$a$和$b$通过边连接当且仅当$a$和$b$在一个位置不同。如果$a$和$b$在位置$i$上不同，则我们说边$(a,b)$沿方向$i$行进，并且我们将边的奇偶性定义为在位置$i$上以0结束的奇偶性。已经知道，如果在一个方向上并且具有相同奇偶性的所有边都是错误的，则$Q_n$不是哈密尔顿算子。本文证明了如果$n\ge4$，那么所有其它超立方体都是Hamilton的.换句话说，具有$n\ge4$和不相交故障边的每个立方体$Q_n$是哈密尔顿的当且仅当对于每个方向存在两个不同奇偶性的健康交叉边。
2019-08-26 cs.DM math.CO
Unpaired many-to-many disjoint path cover of balanced hypercubes
超立方体的一种变体--平衡超立方体$BH_n$被提出作为一种理想的互连网络拓扑。已知$BH_n$是二分的。假设$S=\{s_1,s_2,\cdots,s_{2n-2}\}$和$T=\{t_1,t_2,\cdots,t_{2n-2}\}$是$BH_n$（$n\geq2$）的不同分集中的任意两个顶点集。证明了$BH_n$存在成对的2-不交路径覆盖。本文证明了从$S$到$T$存在$BH_n$（$n\geq2$）的不成对$(2n-2)$ -不相交路径覆盖，改进了一些已知结果.不成对$(2n-2)$-不相交路径覆盖中不相交路径数目的上界$2n-2$是最佳可能的。
2020-01-21 cs.DM math.CO
Structure and substructure connectivity of balanced hypercubes
网络的连通性直接标志着网络的可靠性和容错性。结构连通性和子结构连通性是连通性的两种新的推广。设$H$是连通图$G$的一个子图.结构连通性（resp.子结构连通性），分别用$G$表示。$κ^s(G;H)$），被定义为$G$中连通子图集合$F$的最小基数（如果存在），其删除将断开$G$，并且$F$的每个元素与$H$（分别）同构。$H$的子图）。本文将建立$H\in\{K_1,K_{1,1},K_{1,2},K_{1,3},C_4\}$的平衡超立方体$BH_n$的$κ(BH_n;H)$和$κ^s(BH_n;H)$。
2018-08-06 cs.DM math.CO
A concentration phenomenon for $h$-extra edge-connectivity reliability analysis of enhanced hypercubes $Q_{n,2}$ with exponentially many faulty links
研究增强超立方体的h-额外边连通性，发现当故障链路不隔离小规模子网时，最小故障链路数在特定范围内呈现集中现象，并给出紧的上下界。
2025-10-23 cs.DM math.CO
Voronoi Games on the Discrete Hypercube: Four-Player Equilibria
该研究针对离散超立方体上的四人Voronoi博弈，证明四人策略剖面为均衡的充要条件是其满足坐标平衡特性，证实了Day与Johnson的相关猜想。
2025-10-29 math.CO
Routing Complexity of Faulty Networks
分布式计算中的一个基本问题是如何在故障网络中有效地执行路由，其中每个链路都有一定的概率发生故障。本文研究了在网络中有效找到路径的能力丧失之前，故障概率可以有多大。我们的主要结果表明，严格的上限和下界的故障概率，允许路由，无论是超立方体和$d-$维网格。我们使用渗流理论的工具表明，在$d-$维网格，一旦一个巨大的组件出现-有效的路由是可能的。当考虑超立方体时，观察到不同的行为。在超立方体中，存在一系列的故障概率，其中短路径以高概率存在，但找到它们必须涉及基本上查询整个网络。因此，超立方体的路由复杂性表现出渐近相变。关于路由复杂性的临界概率位于与关于连通性的临界概率不同的位置。最后，我们表明，一个Oracle访问链接（相对于本地路由）可能会显着降低路由问题的复杂性。我们证明了这一事实，通过提供紧密的上限和下界的随机图$G_{n,p}$中的路由的复杂性。
2004-07-11 math.CO math.PR
Query complexity of Boolean functions on slices
研究了超立方体切片上布尔函数的确定性查询复杂度。超立方体$\{0,1\}^n$的$k^{th}$片$\binom{[n]}{k}$是具有汉明权重$k$的所有$n$位串的集合。我们发现，存在一个功能的平衡片$\binom{[n]}{n/2}$需要$n - O(\log \log n)$查询。我们给出了一个明确的功能平衡片需要$n - O(\log n)$查询的基础上独立集的约翰逊图。在权-2切片上，我们证明了硬函数与Ramsey图密切相关。此外，我们描述了一个简单的方法转换功能的超立方体上的功能平衡切片，同时保持几个复杂的措施。
2022-11-29 cs.CC math.CO
A cube dismantling problem related to bootstrap percolation
Monash University（莫纳什大学）
本文研究了立方体拆解问题，提出贪心算法用于检测解，并证明完美解对应拉丁超立方。在三维中，发现至少n个完美解，并构造了无限族非完美解。结果解决了Barát等人提出的猜想。
2026-03-25 math.CO
Reliability Evaluation of Generalized $K_4$-Hypercubes Based on Five Link Fault Patterns
针对数据中心广义 $K_4$-超立方体，本文通过求解边等周问题，确定其多种边连通度参数及圈边连通度，从而评估五类链路故障模式下的网络可靠性。
2025-03-18 math.CO
On conditional fault tolerance of hierarchical cubic networks
本文考虑了层次立方体网络$HCN_n$的条件容错性，$h$ -超连通性$κ^{h}$和$h$ -超边连通性$λ^{h}$，并给出了任意具有$0\leq h\leq n-1$的$h$的$κ^h(HCN_n)=λ^h(HCN_n)=2^h(n+1-h)$.结果表明，要使$HCN_n$不连通，且不存在度小于$h$的点，至少要去掉$2^h(n+1-h)$点或边，推广了一些已知结果.
2017-09-06 math.CO
Lower bounds for dilation, wirelength, and edge congestion of embedding graphs into hypercubes
互连网络为并行计算系统中的处理器之间交换数据提供了有效的机制。超立方体是最有效的互连网络之一，由于其结构规则性，各种算法的并行计算潜力以及高度的容错性。因此，它成为并行处理和计算系统拓扑结构的首选。本文证明了图嵌入超立方体的膨胀、线长和边拥塞的下界。其中两个界限用二等分宽度表示。应用这些结果，计算了某些完全多部图、折叠超立方体、轮和特定笛卡儿积的嵌入的膨胀和线长。
2020-09-17 cs.DM math.CO
Probability model of edge-fault tolerance for regular graphs with respect to edge connectivity
本文针对正则图提出边容错概率模型，推导EF容错上界，并通过模拟实验发现超立方体等图具有较高容错，其中莫比乌斯立方体最优，且EF容错受结构影响较小。
2025-10-23 math.CO
A novel view: edge isoperimetric methods and reliability evaluation of several kinds of conditional edge-connectivity of interconnection networks
在不同的$\mathcal{P}$ -条件边连通度下，分别讨论了若干并行和分布式系统互连网络在不同链路故障假设下的可靠性评估和容错性。借助组合数学中边等周问题的方法，给出了一种新的、统一的观点来研究Hamming图$K_{L}^{n}$的$\mathcal{P}$-条件边连通度，如$L^{t}$ -额外边连通度、$t$ -嵌入边连通度、循环边连通度、$(L-1)t$ -超边连通度，$(L-1)t$ -平均边连通度和$L^{t}$ -等周边连通度。它们以$(L-1)(n-t)L^{t}$的形式共享相同的值（除了循环边连通度），其等于导致来自$K_{L}^{n}$的$L$ -元- $n$ -维子层的链路故障的最小数量。此外，我们还得到了汉明图$K_{L}^{n}$对每个$h\leq L^{\lfloor {\frac{n}{2}} \rfloor}$的$h$ -额外边连通度和$h$ -次等周边连通度的精确值.对于$L=2$，$K_2^n=Q_n$是$n$维超立方体.我们的结果可以应用于更广泛的网络类，称为PDMATHAMT-维双射连接网络，它包含超立方体，扭曲立方体，交叉立方体，Möbius立方体，局部扭曲立方体等，我们的结果改进了以前关于这个主题的一些结果.
2022-03-24 cs.DM math.CO
