Longer cycles in vertex transitive graphs
Matt DeVos
在1979年Babai发现了一个聪明的论点，以证明每一个连通的顶点传递图上的$n \ge 3$顶点包含一个周期的长度至少$\sqrt{3n}$。在这里，我们修改他的方法表明，这样的图必须包含一个周期的长度至少$(1 - o(1))n^{3/5}$。
In 1979 Babai found a clever argument to prove that every connected vertex transitive graph on $n \ge 3$ vertices contains a cycle of length at least $\sqrt{3n}$. Here we modify his approach to show that such graphs must contain a cycle of length at least $(1 - o(1))n^{3/5}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A 27-vertex graph that is vertex-transitive and edge-transitive but not l-transitive
我描述了一个27-顶点图，它是点传递和边传递但不是1-传递的。因此，虽然这个图的所有顶点和边都是相似的，但没有边反转自同构。
Bounding the order of the vertex-stabiliser in 3-valent vertex-transitive and 4-valent arc-transitive graphs
本文的主要结果是，如果$Γ$是一个连通的4-价$G$ -弧传递图，且$v$是$Γ$的一个顶点，则要么$Γ$是一个很好理解的无限图族，要么是$|G_v|\leq 2^43^6$或$2|G_v|\log_2(|G_v|/2)\leq |\VΓ|$，并且最后一个界是紧的.作为推论，我们对$3$ -价点传递图也得到了类似的结果。
Vertex-quasiprimitive $2$-arc-transitive digraphs
研究了点准本原$2$ -弧传递有向图，将点本原$2$ -弧传递有向图的问题归结为几乎单群的问题.这包括顶点拟本原$2$ -弧传递有向图的完全分类，其中顶点上的作用具有O 'Nan-Scott型SD或CD。
Vertex-transitive closures of graphs
研究图的顶点传递闭包及顶点传递数，运用代数和组合方法，确定使得图存在正则顶点传递闭包的最小整数，为相关研究提供方法与结论。
Primitivity and Independent Sets in Direct Products of Vertex-Transitive Graphs
在点传递图中引入了独立集的可达性的概念，并研究了可达性与点传递图的直积中最大独立集的结构之间的关系.作为我们的主要结果的结果，我们积极地解决了一个公开的问题，有关的结构独立集的权力的顶点传递图。
Cores of Vertex Transitive Graphs
图X的一个核是一个顶点极小子图，X允许一个同态到它。Hahn和Tardif证明了对于顶点传递图，核心的大小必须除以图的大小。这激发了下面的问题：什么时候可以顶点传递图的顶点集被划分成集，每一个诱导其核心的副本？我们表明，正常的凯莱图和顶点传递图的核心一半的大小总是承认这样的分区。我们还表明，顶点传递图的顶点集的核心小于一半的大小不，在一般情况下，有这样的分区。
Uniformly vertex-transitive graphs
我们引入一致顶点传递图的顶点传递图满足一个更强的条件，其自同构群，激发的问题，这是从一个辛霍恩型算法。我们利用给定图$Γ$的乱序图$D(Γ)$证明了$Γ$的一致点传递性等价于$D(Γ)$中存在足够大的团.使用这种方法，我们找到的例子，是顶点传递，但不是一致顶点传递的图，解决了以前的开放问题。此外，我们还得到了非本原自同构群的图的一致点传递性的充分判据。对两个互补图对之外的小于30个顶点的非Cayley一致点传递图进行了分类。
An infinite family of vertex-primitive 2-arc-transitive digraphs
通过构造一个无限族的点本原2-弧传递有向图，解决了这类图的存在性问题。
On the Induced Neighbourhood of Vertex-Transitive Graphs
本文提出新条件，排除大量图作为有限顶点传递图的诱导邻域，从而深化对顶点传递图结构限制的理解。
The Edge-Connectivity of Vertex-Transitive Hypergraphs
本文将 Mader 关于连通顶点传递图具有最大边连通度的经典定理推广到超图，证明连通线性一致顶点传递超图同样最大边连通，并说明线性或一致性条件不可或缺。
Nowhere-zero 3-flows in nilpotently vertex-transitive graphs
本文证明了：对于每一个自同构群中含有一个传递作用于顶点集的幂零子群的、效价至少为4的正则图，都存在一个无处为零的3-流。
Vertex-primitive $s$-arc-transitive digraphs of linear groups
研究了具有基柱$\mathrm{PSL}_n(q)$的几乎单群$G$的$G$ -点本原图和$(G,s)$ -弧传递有向图。结果表明，对于所有顶点本原$s$弧传递有向图，确定$s$上界的第一步是确定这类有向图的$s\leqslant2$.
The smallest vertex-primitive $2$-arc-transitive digraph
2017年，Giudici，Li和第三作者构造了第一个已知的顶点本原$2$ -弧传递有向图族，其效价至少为$2$。这个族中最小的有向图允许$\mathrm{PSL}_3(49)$作用于$2$ -弧传递的顶点稳定子$\mathrm{A}_6$，因此有$30758154560$顶点。本文证明了这类有向图是顶点数最少的顶点本原$2$ -弧传递有向图，其效价至少为$2$.
A Census of Small Transitive Groups and Vertex-Transitive Graphs
我们描述了两个类似的，但独立编码的计算用于构建一个完整的目录的度小于$48$的传递群，从而验证，统一和扩展以前可用的目录。从这个列表中，我们构造了所有阶数小于$48$的点传递图。然后，我们提出了各种总结数据的传递群和顶点传递图，集中在属性，似乎最经常发生在研究中的群作用于图。我们说明如何使用这样的目录，首先通过找到一个完整的列表，难以捉摸的集团的秩序最多$47$，然后通过完全确定哪些集团的秩序最多$47$是CI集团
A spectral bound for vertex-transitive graphs
对于任何有限的，无向的，非二部的，顶点可迁的图，我们建立了一个明确的下界的最小特征值的正规化邻接算子，这取决于图只通过其程度和它的等周常数。
A note on coloring vertex-transitive graphs
利用图的团数$ω$和最大度$Δ$证明了点传递图的色数$χ$的界.我们猜想每个点传递图都满足$χ\le \max \left\{ω, \left\lceil\frac{5Δ+ 3}{6}\right\rceil\right\}$，并证明了支持这个猜想的结果。最后，对于具有$Δ\ge 13$的点传递图，我们证明了Borodin-Kostochka猜想，即，$χ\le\max\{ω,Δ-1\}$。
Concentration properties of semi-vertex transitive graphs and random bi-coset graphs
集中器是一种高连通度的稀疏图，在交换网络的构造中起着关键作用，并且任何半点传递图都同构于双陪集图。本文证明了随机双陪集图几乎总是集中子，并构造了一些半点传递集中子的例子。
On vosperian and superconnected vertex-transitive digraphs
研究了具有传递自同构群的有向图的结构，其中每个最小基数割集由某个顶点的所有后继者或所有前驱者组成。我们改进了这一领域的大部分现有结果。
Strong cliques in vertex-transitive graphs
一个集团（分别为，独立集）是强的，如果它与每个极大独立集（分别是，每个最大集团）。一个图是CIS的，如果它的所有极大团都是强的，如果它允许它的顶点集划分为强团，则它是可局部化的。本文证明了点传递图$Γ$中的团$C$是强的当且仅当对$Γ$的每个极大独立集$I$都有$|C||I|=|V(Γ)|$.基于这个结果，我们证明了一个点传递图是CIS的当且仅当它允许一个强团和一个强独立集。本文对含有强团的点传递图进行了分类，并给出了含有强团的$5$ -价点传递图的部分刻划.我们的结果意味着，每一个点传递图的价最多$5$，允许一个强团是局部化的。我们回答了一个开放的问题，提供了一个例子的顶点传递CIS图是不可本地化的。
Presentations for Vertex Transitive Graphs
我们概括的凯莱图的标准结构中的一组介绍，允许一些顶点服从不同的relators比其他。由此产生的表示概念允许我们表示每个顶点传递图。作为一个中间步骤，我们证明了每一个可数无限，连通，顶点传递图有一个完美的匹配。顺便说一句，我们构造了一个2-端立方顶点传递图的例子，它不是凯莱图，回答了沃特金斯从1990年提出的一个问题。
Vertex-transitive graphs with small motion and transitive permutation groups with small minimal degree
本文研究图的自同构群的最小度（即图的运动量），通过分析本原和非本原置换群的小最小度，分类了运动量为4或素数的顶点传递图。
Tetravalent arc-transitive graphs with unbounded vertex-stabilisers
长期以来，人们都知道存在具有任意大的顶点稳定子的有限连通四价弧传递图。然而，除了一个众所周知的家庭的例外图，有关的字典产品的一个周期与一个edgeless图在两个顶点，只有少数这样的无限家庭的图形是已知的。在本文中，我们提出了两个家庭的四价弧传递图与大顶点稳定，每一个重要的原因。
Vertex quasiprimitive two-geodesic transitive graphs
对于一个不完全图$Γ$，如果$u\neq w$和$u,w$不相邻，则称$v$与$u$和$w$都相邻的顶点三元组$(u,v,w)$是$2$ -测地线.则称$Γ$是$2$ -测地线传递的，如果它的自同构群在弧和2-测地线上都是传递的.在以前的工作中，作者证明了：如果$2$ -测地传递图$Γ$是局部不连通的，并且它的自同构群$\Aut(Γ)$有一个非平凡的正规子群在$Γ$的顶点集上是不传递的，那么$Γ$是一个较小的2-测地传递图的覆盖.因此要研究的“基本”图是那些$\Aut(Γ)$在顶点集上准连续作用的图。本文研究了局部不连通且$\Aut(Γ)$在点集上拟连续作用的2-测地传递图。首先确定了所有可能的拟本原作用类型并给出了它们的例子，然后对自同构群在$\PA$型顶点集上是本原的$2$ -测地传递图族进行了分类.
Smallest tetravalent half-arc-transitive graphs with the vertex-stabiliser isomorphic to the dihedral group of order $8$
如果一个连通图的自同构群作用在图的边和顶点上是传递的，但不作用在图的邻顶点的序偶集合上，则称该图是半弧传递的。众所周知，半弧传递图的效价是偶数且至少为4。几个无限族的半弧传递图的价格四是已知的，但是，在所有已知的样本，除了四个，顶点稳定的自同构群是阿贝尔。第一个例子的半弧传递图的价4和非阿贝尔顶点稳定器描述在[Conder和Maruši，A tetravalent half-arc-transitive graph with non-abelian vertex stabilizer，J. Combin.理论系列B 88（2003）67- 76]。这个例子有$10752$顶点和顶点稳定子同构于$8$阶的二面体群。在本文中，我们表明，没有这样的图的较小的顺序存在，从而回答了一个经常问的问题。
On cubic vertex-transitive graphs of given girth
针对立方点传递图的可区分代价研究空白，本文证明有两个边轨道且围长为5的该类图可区分代价为2，且不存在围长为6的无限3-弧传递立方图。
3-Factor-criticality of vertex-transitive graphs
一个$n$阶图是$p$ -因子关键的，其中$p$是与$n$具有相同奇偶性的整数，如果移除任何一组$p$顶点导致具有完美匹配的图。1-因子-临界图和2-因子-临界图分别是因子-临界图和双临界图。奇阶连通点传递图是因子临界图，偶阶连通非二部点传递图是双临界图。本文证明了奇阶数至少为5的简单连通点传递图是3-因子临界图的充要条件是它不是圈。
Distinguishing numbers of finite $4$-valent vertex-transitive graphs
图$G$的区别数是最小的$G$，使得$G$允许$k$ -着色，其中$G$的唯一保色自同构是恒等式。确定了有限$4$ -价点传递图的可区别数。证明了除了一个无穷族和两个以上的例子外，它们都有区别数$2$ .
Vertex-transitive graphs that have no Hamilton decomposition
证明了有无穷多个连通的点传递图没有Hamilton分解，包括无穷多个6度的Cayley图，也包括任意大度的Cayley图.
Hamilton cycles in vertex-transitive graphs of order a product of two primes
向前迈进了一步，在一个长期存在的Lovász的问题，关于点传递图的Hamilton性，通过显示，每个连通的点传递图的顺序的产品的两个素数，比彼得森图，包含一个Hamilton圈。在证明中使用的基本工具范围从经典的结果存在的汉密尔顿周期，如Chvátal的定理和杰克逊的定理，某些结果的多项式表示的二次剩余在原根在有限域。
Highly regular vertex-transitive graphs are globally rigid
该研究证明了高度规则的顶点传递图在任何维度下都是全局刚性的，并展示了规则常数的最优性。
Vertex-transitive Neumaier graphs
本文研究顶点传递的诺伊迈尔图，给出其成为强正则图的充要条件，并识别度数不超过10的诺伊迈尔凯莱图。
Vertex-transitive maps with Schläfli type {3, 7}
在给定的闭曲面S上的所有等价点传递映射中，Schläfli型为{3，7}和{7，3}的映射的自同构群允许最高阶.我们描述了一个程序，将所有这样的地图到1-或2-轨道地图，其对称类型已被研究。在这样做，我们提供了一个程序，以确定所有的点传递的地图与Schläfli型{3，7}，既不是正则或手征。我们在具有欧拉示性数的曲面上确定所有这样的映射\c{hi} \geq-40。
Semiregular automorphisms of cubic vertex-transitive graphs
本文研究了三次连通图，其中自同构的点-传递群具有非半正则的交换正规子群。我们用这个结果证明了连通三次图的自同构的顶点-传递群中的最大阶半正则子群的阶随图的阶而增长。
Cubic vertex-transitive graphs of girth six
本文完整分类了围长为6的有限简单三次点传递图，证明除Desargues图外，它们均可由环面六边形平铺、闭双曲曲面弧传递三角剖分的截断或6-正则图的弧传递二面体方案截断得到。
Tetravalent half-arc-transitive graphs with unbounded nonabelian vertex stabilizers
半弧传递图是一个连接图论、黎曼曲面和群论的有趣课题。尽管半个世纪以来，半弧传递图的研究已经取得了丰硕的成果，但如何构造具有指定顶点稳定子的半弧传递图仍然是一个具有挑战性的问题。直到最近，已知的具有非交换稳定点的连通四价半弧传递图只有6个，而对于每个$s\geqslant3$，是否存在具有$2^s$阶非交换稳定点的连通四价半弧传递图的问题一直是一个悬而未决的问题.本文通过构造一个对每个整数$m\geqslant1$都具有顶点稳定子$\mathrm{D}_8^2\times\mathrm{C}_2^m$的连通四价半弧传递图来肯定地回答这个问题，其中$\mathrm{D}_8^2$是$8$阶二面体群的两个副本的直积，$\mathrm{C}_2^m$是$2$阶循环群的$m$副本的直积.所构造的图在各种情况下具有令人惊讶的许多重要性质。
Determining the Locating Rainbow Connection Number of Vertex-Transitive Graphs
本研究围绕顶点传递图的定位彩虹连通数展开，明确该参数的定义内涵，推导出三个针对部分顶点传递图的相关定理，为该类图的彩虹连通性定位问题提供了理论结果。
Cubic vertex-transitive graphs admitting automorphisms of large order
若$n$阶连通图中存在$n/k$阶半正则自同构，则称之为$k$ -多循环图.高度对称的小效价多重循环已被广泛研究，并有几个分类结果存在的三次顶点和弧传递多重循环。在本文中，我们研究了更广泛的三次点传递图的顺序$n$承认的自同构顺序$n/3$或更大的，可能不是半正则的。特别是，我们表明，任何这样的图是一个$k$ -多循环的一些$k \leq 3$，或者它属于一个无限家庭的图围长$6$。
On Hamilton cycles in connected vertex-transitive graphs of order $2pq$
本文针对阶为$2pq$且满足特定自同构子群条件的连通点传递图，证明其均含哈密顿圈，为解决代数图论中相关公开问题提供了重要进展。
Classification of cubic vertex-transitive tricirculants
一个有限图称为三圈图，如果允许一个自同构的循环群在图的顶点集上恰好有三个轨道，且轨道大小相等。我们分类了所有有限连通三次顶点可迁三环。我们表明，除了一些小的例外情况下，顺序小于54，这些图要么是一个棱镜的顺序为6k与k奇数，莫比乌斯梯，或它落入两个无限的家庭，每个家庭包含一个图的形式为6k与k奇数的每一个订单。
Simple eigenvalues of cubic vertex-transitive graphs
本文研究了具有非平凡简单特征值的三次顶点传递图，发现其与弧传递性、正则地图和 Chebyshev 多项式存在显著联系。
Hamilton cycles in vertex-transitive graphs of order $6p$
本文研究阶为 $6p$（$p$ 为素数）的连通顶点传递图，证明除 Petersen 图的三角形替换图外，此类图均包含哈密顿圈，从而加强了已有哈密顿路径结果。
On a conjecture concerning vertex-transitive graphs
在这篇文章中，我们定义了一个次要关系，这是强于经典的，但太强，成为一个良好的准序类的有限图。尽管如此，有了这个术语，我们能够引入一个猜想，这将意味着洛瓦兹猜想，并给出一个有趣的见解对称的顶点传递图，如果真的。虽然它可能成为解决洛瓦兹猜想的一种方法。这些想法是作者在他的毕业论文中首次提出的。
Semiregular elements in cubic vertex-transitive graphs and the restricted Burnside problem
本文证明了三次点传递图X的自同构群中的半正则元的极大序模不随X的顶点数趋于无穷而趋于无穷。这给出了一个解决方案（在消极的）一个猜想的彼得卡梅伦，约翰希恩和作者。然而，与限制伯恩赛德问题的正解的应用，我们表明，这一猜想成立时，X是凯莱图或弧传递图。
Hamilton Cycles In Vertex-Transitive Graphs of Order 10p
本文证明了每个10p阶（p为素数）连通点传递图都包含哈密顿圈，唯一例外是Petersen图的截断，从而推进了该类图的哈密顿性问题研究。
Cubic vertex-transitive graphs of girth seven
本文通过图的签名对围长为7的三次点传递图进行完整分类，并证明若每条边包含在相同数量的7-圈中，则该图也是弧传递的。
Arc-transitive Cayley graphs on non-ableian simple groups with soluble vertex stabilizers and valency seven
本文研究了非交换单群上的弧传递Cayley图，它具有可解稳定子和7度.设$\Ga$是一类非交换单群$T$上的Cayley图.证明了$\Ga$是正规Cayley图或$\Ga$是$S$ -弧传递的，有$(S,T)=(\A_n,\A_{n-1})$和$n=7,21,63$或$84$ ;并且，对于$n$的这四个值中的每一个，$\A_{n-1}$上都存在弧传递的$7$ -价非正规Cayley图，并构造了具体的例子.
Matching preclusion for vertex-transitive networks
在互连网络中，匹配排除是链路故障时鲁棒性的度量。设$G$是偶数阶图。匹配排除数$mp(G)$定义为删除导致没有完美匹配的子图的最小边数。许多互连网络是超匹配的，即它们的最优匹配排除集恰好是由单个顶点导出的。在本文中，我们得到了点传递图的一般结果，包括许多已知的网络。一个$k$ -正则连通点传递图具有匹配排除数$k$，且除六类图外都是超匹配的.由此可直接得到许多已有的结果，并导出了折叠$k$ -立方体、Hamming图和二等分$k$ -立方体等网络的匹配排除.
On the PSU(4, 2)-invariant vertex-transitive strongly regular (216, 40, 4, 8) graph
2018年，第一作者Rukavina和第三作者借助计算机构造了参数为（216，40，4，8）的强正则图$Γ$的第一个例子，并证明了它是唯一的PSU（4，2）-不变的216个顶点的点传递图。本文利用PG（3，4）的Hermitian曲面的几何性质，给出了图$Γ$存在性的一个无需计算机的证明.还确定了$Γ$的最大团。
Quasiprimitive and bi-quasiprimitive highly-arc-transitive digraphs and finite simple groups
本文研究了准素性和双准素性高度弧传递有向图与有限单群的关系，提出新的构造方法并揭示了相关开放问题。
Long Directed Cycles in Vertex-Transitive Digraphs
在图论与群论交叉领域，寻找顶点传递图和有向图中的哈密顿圈是经典问题。本文构造无限多个最长有向圈遗漏至少\(n/12\)个顶点的连通顶点传递有向图，证实相关猜想，还将有向圈长度下限从\(\Omega(n^{1/3})\)提高到\(\Omega(\sqrt n)\) 。
On the conjecture of vertex-transitivity of Dcell
[2019 - 05 - 19][2019 - 05][2019 - 05]过程Lett. 134（2018）52--56]确认数据中心网络$D_{k,n}$对于所有$k\geq0$和$n\geq2$都是顶点可传递的。本文证明了$D_{k,n}$对于$k\leq1$和$n\geq2$是点传递的，而对于所有的$k\geq2$和$n\geq2$不是点传递的.
Classification of vertex-transitive digraphs via automorphism group
在20世纪90年代中期，两组作者独立地获得了点传递图的分类，其阶是两个不同素数的乘积。在此期间的几年里，它已变得很清楚，有更多的信息，这些图，将是有用的，以及明确的扩展这些结果的有向图。此外，在这种分类中涉及的一些论文中有几个小错误。本文的目的是填补缺失的信息以及纠正所有已知的错误。
Linear circumference in vertex-transitive graphs
本文证明连通顶点传递图存在长度线性于顶点数的环，并给出大度数情形下的改进界，为Lovász哈密顿性猜想提供首个线性进展。
4-Factor-criticality of vertex-transitive graphs
一个$n$阶图是$p$ -因子关键的，其中$p$是与$n$具有相同奇偶性的整数，如果移除任何一组$p$顶点导致具有完美匹配的图。1-因子-临界图和2-因子-临界图分别是著名的因子-临界图和双临界图。如果一个连通点传递图的阶数为奇数，则它是因子临界的，否则它是基本二部图或双临界图。本文证明了偶数阶至少为6的点传递非二部图是4-因子临界图的充要条件是它的度至少为5。这个结果意味着偶数阶且度至少为5的连通非二部Cayley图是2-可扩的。
Heptavalent symmetric graphs with solvable stabilizers admitting vertex-transitive non-abelian simple groups
一个图$Γ$称为对称图，如果它的自同构群$\rm Aut(Γ)$传递地作用在$Γ$的弧集上.本文证明了：如果$Γ$是一个有可解稳定子的有限连通七价对称图，且允许一个自同构的点传递非阿贝尔单群$G$，则要么$G$在$Γ$中正规，要么$\rm Aut(Γ)$包含一个非阿贝尔单群正规子群$T$，使得$G\leq T$和$(G,T)$是非阿贝尔单群的$11$可能例外对之一.此外，如果$G$在$Γ$的顶点集上是正则的，则例外对$(G,T)$是$7$可能对之一，并且如果$G$是弧传递的，则例外对$(G,T)=(A_{17},A_{18})$或$(A_{35},A_{36})$。
Arc-transitive pentavalent Cayley graphs with soluble vertex stabilizer on finite nonabelian simple groups
一个Cayley图$\Ga=\Cay(G,S)$称为正规图，如果$G$在$\Aut\Ga$中正规。正规Cayley图的概念最早由M. Y. Xu在[Discrete Math.182，309-319，1998]中提出，它在确定Cayley图的全自同构群中起着重要作用。本文研究了有限非交换单群上具有可解点稳定的连通弧传递五价Cayley图的正规性问题。我们证明了所有这样的图$\Ga$要么是正规的，要么是$G=\A_{39}$或$\A_{79}$。进一步构造了$\A_{79}$上的连通弧传递五价Cayley图.据我们所知，这是第一个已知的有限非交换单群上的五价3-弧传递Cayley图的例子。
Classification of 2-extendable bipartite and cubic non-bipartite vertex-transitive graphs
在\cite{Chan95}中，作者对2-可扩交换Cayley图进行了分类，并提出了刻画所有2-可扩Cayley图的问题.我们首先证明了一个连通二部Cayley图是2-可扩的当且仅当它不是一个圈。当一个点传递的非二部Cayley图的最小度至少为5 \cite{sun}时，它是2-可扩的.然后对所有的2-可扩的三次非二部Cayley图进行了分类，得到了：围长为$g$的三次非二部Cayley图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$ with $n\geq 2$ .我们证明了一个更强的结果，即围长为$g$的三次非二部点传递图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$，并且它不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$与$n\geq 2$或Petersen图.
Stability of graph pairs involving vertex-transitive graphs
一对图$(Γ,Σ)$称为稳定的，如果$Γ\timesΣ$的全自同构群同构于$Γ$和$Σ$的全自同构群的乘积，否则称为不稳定的，其中$Γ\timesΣ$是$Γ$和$Σ$的直积。本文将任意一对具有互质度和点传递的正则图$(Γ,Σ)$的稳定性研究归结为对$(Γ,K_2)$的稳定性研究。由于后者在文献中得到了很好的研究，这使得我们能够确定任何一对正则图$(Γ,Σ)$互质的情况下，$Σ$是顶点可迁的和$(Γ,K_2)$的稳定性是已知的。
Independent Sets in Direct Products of Vertex-transitive Graphs
图$G$和$H$的直积$G\times H$定义为：\[V(G\times H)=V(G)\times V(H)\]和\[E(G\times H)=\left\{[(u_1,v_1),(u_2,v_2)]: (u_1,u_2)\in E(G) \mbox{\ and\ } (v_1,v_2)\in E(H)\right\}.\]在本文中，我们将证明等式$$α(G\times H)=\max\{α(G)|H|, α(H)|G|\}$$对所有的点传递图$G$和$H$都成立，这为Tardif（Discrete Math.185（1998）193-200）提出的一个问题提供了肯定的答案。进而确定了$G\times H$的所有极大独立集的结构。
Transitive Triangle Tilings in Oriented Graphs
本文证明了Corrádi和Hajnal经典定理的一个类似定理。存在$n_0$，使得对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，当$n \ge n_0$时，以下成立。若$G$是$n$顶点上的定向图，且每个顶点的入度和出度都至少为$7n/18$，则$G$包含一个完美传递三角形镶嵌，它是覆盖$G$的每个顶点的顶点不相交的传递三角形的集合.这个结果是最佳可能的，因为对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，存在$n$顶点上的定向图$G$，而不存在完美传递三角形镶嵌，其中每个顶点的入度和出度至少为$\lceil 7n/18\rceil - 1.$
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