$E_n$-Hopf invariants
经典的霍普夫不变量是从$S^{4n-1} $到$S^{2n}$的映射同伦类的不变量，是同伦理论中的一个重要不变量。本文的目的是利用Koszul对偶理论的$E_n$ -操作定义一个推广的经典的Hopf不变量。定义经典的霍普夫不变量的一种方法是通过定义空间$X$的上链上的结合棒构造的上同调与$X$的同伦群之间的配对。本文通过定义$X$上链上的$E_n$ -bar构造的上同调与$X$的同伦群之间的配对，给出了经典Hopf不变量的一个推广.这种对给出了从$S^m$到单纯集$X$的映射的同伦类的一组不变量，这种对比经典的Hopf不变量能检测出更多的同伦类.本文第二部分将$E_n$-Hopf不变量与$E_n$ -算子的Koszul对偶理论相结合，得到了空间$X$的$E_n$-Hopf不变量与$X$的悬挂的$E_{n+1}$ -Hopf不变量之间的关系.这是通过研究$E_\infty$ -操作数的悬浮态射来完成的，它是从$E_{\infty}$ -操作数到$E_\infty$ -操作数的去悬浮的态射.我们证明了它从$E_\infty$ -代数诱导出一个函子到$E_\infty$ -代数，它具有将单纯集$X$的$E_\infty$ -模型发送到$X$的悬挂的$E_\infty$ -模型的性质.利用这个结果，我们给出了从$S^m$到$X$的映射的$E_n$-Hopf不变量与从$S^{m+1}$到$X…
2018-09-21 math.AT
On a notion of homotopy Segal $ E_\infty $-Hopf cooperad
在$ E_\infty $ -代数范畴中定义了同伦Segal cooperad的概念。本文定义的Segal协同运算模型，我们称之为同伦Segal $ E_\infty $ -Hopf协同运算，它涵盖了拓扑运算的上链复形给出的例子，并为研究此类对象的同伦提供了一个框架。在第一步中，我们考虑一类Segal $ E_\infty $ -霍普夫合作，它由树索引的$ E_\infty $ -代数的集合组成，并配备了对应于树态射的余积算子，以及对应于子树包含的刻面算子。余积运算符在树中模拟运算的余积。假设面算子满足Segal条件。同伦Segal合作，我们的目标是定义形成整合同伦的合成计划的余积运营商。为了这个目的，我们取代函子的结构，管理的合成的余积运营商的同伦函子，我们形状的立方丰富的范畴的$ E_\infty $ -代数的结构。我们证明了在我们的意义下，每个同伦Segal $ E_\infty $ -Hopf算子弱等价于严格Segal $ E_\infty $ -Hopf算子.我们还定义了同伦Segal $ E_\infty $ -Hopf合作社的同伦态射的概念。我们证明了每个同伦Segal $ E_\infty $ -Hopf cooperad承认一个cobar建设和同伦Segal $ E_\infty $ -Hopf cooperad的每一个同伦态射诱导这个cobar建设上的态射，使我…
2021-02-08 math.AT math.CT
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Steenrod-Hopf invariant I
本文基于Pontrjagin-Thom构造，提出了求球面稳定同伦群的一种几何方法。由此方法得到了J. F. Adams关于除$15,31,63,127$以外的所有维数的Hopf不变一定理的一个新的证明.证明了球的稳定同伦群$Π_n$中的$n>127$不存在具有Hopf不变元的元素.新的证明是基于几何拓扑方法。考虑了关于实射影无限维空间的稳定同伦群（这个群通过Khan-Priddy定理映射到球面的稳定同伦群的2-分支上）用闭流形（一般来说是不可定向的）的余维为1的浸入的协边类表示的Pontrjagin-Thom定理. Hopf不变量被表示为浸入余维1流形的自相交流形的二面体群的示性数，该流形表示稳定同伦群中的给定元素。在新的证明中，需要基于Smal-Hirsch浸入定理的浸入在给定的正则同伦类中的几何控制原理（M.Gromov）。
2008-01-09 math.AT math.GT
On a Conjecture of Mahowald on the Cohomology of Finite Sub-Hopf algebras of the Steenrod Algebra
Mahowald的猜想出现的一部分，一个程序试图查看色现象的稳定同伦理论通过镜头的经典亚当斯谱序列。该猜想预言了模2 Steenrod代数的有限次霍普夫代数$A(n)$的上同调中存在非零类，它们对应于某些周期谱的同伦环中的生成元.本文的目的是证明这个猜想。
2019-10-01 math.AT
Homotopy theory of comodules over a Hopf algebroid
给定一个好的同调论E和一个拓扑空间X，X的E-同调不仅是一个E_{*} -模，而且是一个Hopf代数体上的余模（E_{*}，E_{*} E）.建立了一个研究良行为Hopf代数体（A，Gamma）上余模的同调代数的框架.也就是说，我们构造了（A，Gamma）的导出范畴Stable（Gamma）作为在Gamma-余模的无界链复形范畴上的Quillen模型结构的同伦范畴。这个导出范畴是由同伦同构而不是同调同构的逆得到的。我们建立了Stable（Gamma）范畴的基本性质，证明了它是一个紧生成的张量三角范畴。
2003-01-21 math.AG math.AT math.RA
Koszul duality theory for operads over Hopf algebras
将代数的生成运算转移到同伦等价的链复形上会产生更高级的运算。本文的第一个目标是精确地描述当一元运算与收缩同伦交换时所得到的高级结构。为了解决这个问题，我们发展了余交换霍普夫代数上模范畴中运算的Koszul对偶理论.这就产生了一个更简单的同伦代数和无穷态射范畴，这使得我们能够得到一个新的描述同伦代数范畴的操作。这个理论的主要例子是Batalin-Vilkovisky代数。
2013-02-15 math.AT math.QA
The rational cohomology Hopf algebra of a generic Kac-Moody group
本文通过计算一般Kac-Moody群的有理上同调环，确定了其分类空间的有理同伦类型。作为应用，我们确定了一般Kac-Moody群的有理同调霍普夫代数.
2018-04-16 math.AT
Deconstructing Hopf spaces
我们刻画了Steenrod代数上的一个代数的Hopf空间的生成上同调。我们将原空间“解构”为具有有限模p上同调和有限个p-挠Eilenberg-Mac Lane空间的H-空间Y。我们给出了同伦交换H-空间在此设置的精确描述。
2006-04-07 math.AT
Hopf algebra structure on topological Hochschild homology
交换S-代数（E_infty环谱）R的拓扑霍赫希尔德同调THH（R）自然具有严格意义上交换R-代数的结构和同伦范畴上R上霍普夫代数的结构.在平坦性假设下，我们证明了这使得Boekstedt谱序列收敛于THH（R）的模p同调，成为一个霍普夫代数的谱序列.然后，我们应用这个额外的结构来研究一些有趣的例子，包括交换S-代数ku，ko，tmf，ju和j，并计算了THH（ku）和THH（ko）的同伦群与适当的有限复形粉碎后。这是利用分圆迹映射到拓扑循环同调对S-代数的代数K理论进行系统计算的程序的一部分。
2005-10-17 math.AT
Virtual operad algebras and realization of homotopy types
证明了凝聚算子上的代数范畴具有闭模范畴结构。这就引出了“虚运算代数”的概念--给定运算数的一个相关分解上的代数。特别是，虚交换代数可以作为同伦p-顶点的代数描述，如Mandell最近的预印本（电子霍普夫拓扑档案，10月'98，见http://www.hopf.math.purdue.edu）。我们的主要结果允许一个显着简化曼德尔定理的证明。
1999-07-19 math.AT math.QA
Strictifying Homotopy Coherent Actions on Hochschild Complexes
如果P是通过代数同态作用在dg-代数A上的dg-算子，则P作用在A的Hochschild复形上。在更一般的情况下，当P是一个dg-道具，我们表明，P仍然作用于Hochschild复杂的，但只有到相干同伦。此外，我们给出了一个函子的DG-置换的P，严格的行动。作为应用，我们得到了交换霍普夫代数的Hochschild复形上同伦凝聚交换霍普夫代数结构的显式严格化.
2018-12-14 math.AT math.CT
Applications of combinatorial groups to Hopf invariant and the exponent problem
组合群与张量代数的自然余代数变换群一起被联系到从James构造到闭路空间的映射的同伦类群。这种联系导致了同伦理论的应用。研究了Whitehead乘积的Hopf不变量，给出了强Barratt猜想的指数增长率.
2009-06-30 math.AT math.RT
A stable approach to the equivariant Hopf theorem
设G是有限群.对于Waner定向的半自由G-流形，G-球面上的G-等变映射的同伦类用度来描述，其出现的度用同余来刻画.这首先被证明是一个稳定的问题，然后使用等变稳定同伦理论的方法解决半自由G-宇宙。
2020-02-12 math.AT math.GT
Of Sullivan models, Massey products, and twisted Pontrjagin products
与每个连通拓扑空间$X$相关联的是一个霍普夫代数-X中两点位形空间的基闭路空间的Pontrjagin环。证明了该霍普夫代数不是空间的同伦不变量。我们还展示了有趣的例子H-空间，这是同伦等价的空间，这要么导致同构的理性霍普夫代数或没有，关键取决于Whitehead产品的存在。此外，我们调查（自然动机）扭曲的版本，这些Pontrjagin环在上述各种情况下。在所有这些例子中，梅西的产品比比皆是，并发挥了关键作用。
2012-09-27 math.AT
The geometric Hopf invariant and double points
一个稳定映射F的几何Hopf不变量是一个稳定的Z_2-等变映射h（F），使得h（F）的稳定Z_2-等变同伦类是F同伦于一个不稳定映射的主要障碍。本文用f的二重点集表示浸入f：M^m \to N^n的Umkehr映射F的几何Hopf不变量.本文利用几何Hopf不变量解释了浸入f在亚稳维数范围3 m <2n-1（当一般f没有三重点时）的Smale-Hirsch-Haefliger正则同伦分类.
2010-05-17 math.AT math.GT
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Hopf invariant
我们开发了一个几何方法的稳定同伦群的领域的工作的精神Pontrjagin和Rokhlin。J.F.Adams的Hopf不变一定理的一个新证明在除15和31维以外的所有维中得到。为了证明当n>31时稳定的Hopf不变量H：n \to Z/2为零，我们应用几何拓扑的方法. Pontrjagin-Thom构造和Hirsch的压缩引理将每个α PDMATHABMN_n与闭n-流形在R^{n+k}中的框架浸入的框架有边类（对于任意给定的k>0）等同。它的自相交M投射到浸入f：M \to R^n，它由线丛κ的k个副本构成。已知H（α）= <w_1（κ）^{n-k}，[M]>. f的自相交N由具有结构群D_4的平面丛的k个副本框定。我们观察到H（α）= <w_1（i^*κ）^{n-2k}，[ \bar N]>，其中i将N的双重覆盖\bar N浸入M中.证明中最难的部分是证明，在斜框架边界类中修改f之后，分类映射g：N \to K（D_4，1）通过K（Z/4，1）因子分解，条件是n=2^l-1，l>5，n-2k=15。这是通过分析f的正则同伦类中的浸入来实现的，这些浸入近似于分类映射M \to RP^{n-k}的组成，RP^{n-k}到S ^1/（Z/4）（标准球面）的副本的连接上的投影，以及该连接在R^n中的嵌入。最后一步用四元数证明。
2009-05-07 math.AT math.GT
An Unstable Approach to the May-Lawrence Matrix Toda bracket and the \textit{2}nd James-Hopf Invariant
本文提出 May-Lawrence 矩阵 Toda 括号的不稳定方法，推广相关同伦群同构并建立广义 $H$-公式，从而给出 2 局部化元素 $\ct'\inπ_{26}(S^6)$ 的新构造。
2024-07-04 math.AT
Homotopy Algebra Structures on Twisted Tensor Products and String Topology Operations
给定一个$C_\infty$余代数$C_*$，一个严格dg Hopf代数$H_*$和一个扭余链$τ:C_* \rightarrow H_*$使得$Im(τ) \subset Prim(H_*)$，我们描述了一个在$C_* \otimes H_*$上得到一个$A_\infty$余代数的过程.这是一个扩展布朗的工作扭曲的张量积。利用对角映射$M \rightarrow M \times M$诱导的$H_*(M)$的$C_\infty$余代数结构和$T(H_*(M)[-1])$给出的基环空间的Hopf代数模型，得到了自由环空间$LM$上链的$A_\infty$余代数模型.当$C_*$具有循环$C_\infty$余代数结构时，我们在$C_* \otimes H_*$上刻画了一个$A_\infty$代数.这是用来给一个显式的（非最小）$A_\infty$代数模型的弦拓扑循环产品。最后，我们讨论了主$G$ -丛中圈积的一种表示。
2011-02-04 math.AT
The geometric Hopf invariant and surgery theory
第一作者的稳定映射$F:Σ^{\infty}X \to Σ^{\infty}Y$的几何Hopf不变量是一个稳定的${\mathbb Z}_2$ -等变映射$h(F):Σ^{\infty}X \to Σ^{\infty}(Y \wedge Y)$，它是通过对$(F \wedge F)Δ_X - Δ_Y F$进行显式差分构造而得到的. $h(F)$的稳定的${\mathbb Z}_2$ -等变同伦类是$F$降悬到同伦的主要障碍.在$π$ -等变$F$的情况下，构造的显式性质允许$π$ -等变版本的$h(F)$，其中$π$是离散群。在早期的联合工作中，我们应用的$π_1(N)$ -等变几何霍普夫不变的Umkehr映射$F:Σ^{\infty}N^+ \to Σ^{\infty}T(ν_f)$的浸泡$f:M \to N$捕获双重点的$f$在${\mathbb Z}_2$ -等变同伦理论。在这篇手稿中，我们使用$π$ -等变几何Hopf不变$h(F)$统一所有以前的同伦理论治疗的双重点。此外，$h(F)$与第二作者的具有Poincaré对偶的链复形的代数手术理论相结合，为非单连通几何手术提供了同伦理论基础。对于$n$维正规映射$(f,b):M \to X$，Umkehr映射$F:Σ^{\infty}X^+ \toΣ^{\infty}M^+$的$π_1(X)$ -等变几何Hopf不变量$h(F…
2017-10-06 math.AT math.GT
A pair of homotopy-theoretic version of TQFT's induced by a Brown functor
本文研究了由投射TQFT（简称投射HTQFT）的同伦论版本的构造所导致的一些阻塞类。一个投射HTQFT是由一个对称monoidal投射函子给出的，它的定义域是有限CW-空间的余跨度范畴而不是余边范畴。我们从一个$\mathsf{Hopf}^\mathsf{bc}_k$ -值Brown函子出发构造了一对投射HTQFT，其中$\mathsf{Hopf}^\mathsf{bc}_k$是域$k$上的双交换霍普夫代数范畴：Brown函子的共轨路径积分和共轨路径积分.他们通过与射影表示相关的第二上同调类的类似物来诱导阻塞类。本文导出了这些障碍类的一些公式。我们应用这些公式证明了余空间和空间路径积分的降维可以提升到HTQFT的降维。在另一个应用中，我们从普通的$\mathsf{Hopf}^\mathsf{bc}_k$值同调论中得到了Dijkgraaf-Witten TQFT和Turaev-Viro TQFT。
2021-02-23 math-ph math.AT math.MP
A_{\infty}-method in Lusternik-Schnirelmann category
为了阐明作者在“Ganea关于Lusternik-Schnirelman范畴的猜想”这篇论文背后的方法，将Berstein-Hilton Hopf不变量的一个推广定义为“高阶Hopf不变量”。他们检测到更高的同伦结合性的Hopf空间，并研究了障碍，不增加LS类附加一个锥。在维数与LS范畴之间的一个条件下，利用广义高阶Hopf不变量得到了Ganea猜想在LS范畴上成立的一个判据，从而得到了Ganea猜想在LS范畴上成立的主要结果。“对于所有情况，除了当$p=2$。作为应用，给出了用特征映射的同伦不变量来判定球上球丛的LS范畴的条件。因此，我们发现一个闭流形$M$不满足Ganea关于LS范畴的猜想，而另一个闭流形$N$与它的“穿孔子流形”$N-\{P\}$，$P \in N$具有相同的LS范畴.但这里获得的所有例子都支持“Ganea's. ".
2002-02-13 math.AT
An algebraic model for the loop space homology of a homotopy fiber
设F表示2-约化单纯集映射f：K->L的同伦纤维.以K和L的链复形的强同伦余代数结构为输入数据，构造了一个小的显式链代数，它的同调同构于F上的单纯（Kan）环群GF的同调为分次代数.为了构建这个模型，我们开发了机器的链霍普夫代数的态射的同伦纤维建模。我们的建设是必不可少的是一个推广的操作描述范畴DCSH链余代数和强同伦余代数映射（数学。AT/0505559）强同伦态射的余模在霍普夫代数。这种操作性的描述表示在一个一般的理论monoidal结构的范畴与态射集参数化的co-rings，我们在这里阐述。
2007-10-01 math.AT math.RA
On the homotopy groups of spheres in homotopy type theory
本文的目的是证明同伦类型论中的$π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。特别是它是一个建设性的和纯粹的同伦理论证明。我们首先回顾同伦型理论的基本概念，我们证明了一些著名的结果关于同伦群的领域：计算的同伦群的圆，平凡的形式$π_k(S^n)$与$k < n$，和建设的Hopf纤维化。然后我们转向更先进的工具。特别是，我们定义的詹姆斯建设，使我们能够证明弗赖登塔尔暂停定理和事实，即存在一个自然数$n$，使$π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。然后我们研究了球面的smash积，我们构造了空间的上同调环，我们引入了Hopf不变量，使我们能够将$n$缩小到$1$或$2$。霍普夫不变量也允许我们证明所有形式为$π_{4n-1}(S^{2n})$的群都是无限的。最后，我们构建Gysin确切序列，使我们能够计算$\mathbb{C}P^2$的上同调，并证明$π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$和更一般的$π_{n+1}(S^n) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$为每个$n \ge 3$。
2016-06-19 cs.LO math.AT math.LO
The Cayley-Dickson Construction in Homotopy Type Theory
本文在同伦类型论的背景下定义了$\mathbb S^3$上的H-空间结构。因此，我们得到的四元数的Hopf纤维化$\mathbb S^3\hookrightarrow\mathbb S^7\twoheadrightarrow\mathbb S^4$的描述，只使用同伦不变量的工具。
2016-10-04 cs.LO math.AT math.CT
Homotopy Type of the Space of Fibrations of the Three-sphere by Simple Closed Curves
本研究确定了三维球面简单闭曲线光滑纤维化模空间的同伦型，证明其与Hopf纤维化子空间同伦型一致，还刻画了该模空间的Fréchet流形结构与建模空间。
2025-08-02 math.AT math.DG math.GT
Non-factorisation of Arf-Kervaire classes through ${\mathbb RP}^{\infty} \wedge {\mathbb RP}^{\infty}$
作为上三角技术方法的应用，（V.P. Snaith：{ \em Stable homotopy-around the Arf-Kervaire invariant}; Birkhäuser Progress on Math. Series vol.273（April 2009）），它表明，不存在稳定的同伦类的$ {\mathbb RP}^{\infty} \wedge {\mathbb RP}^{\infty}$在维度$2^{s+1}-2$与$s \geq 2$，其组成与霍普夫映射到$ {\mathbb RP}^{\infty}$，其次是Kahn-Priddy映射给出了Arf-Kervaire不变球面稳定同伦中的一个元素。
2010-02-25 math.AT
Dualization of the Hopf algebra of secondary cohomology operations and the Adams spectral sequence
我们描述的二元化代数的次级上同调运算的生成元扩展Milnor对偶的Steenrod代数。这样我们得到了收敛于球面的稳定同伦群的Adams谱序列的E_3项的显式计算公式。
2010-12-19 math.AT math.CT
Homotopy characters as a homotopy limit
对于一个对应于导出代数群的Hopf DG-代数，我们计算了由分类空间构造给出的DG-代数的相伴余单系的同伦极限.同伦极限取在DG-范畴的模型范畴中。所得到的DG-范畴的对象是$\operatorname{Cobar}(A)$的Maurer-Cartan元或$A$上的1维$A_\infty$ -余模。这些可以被看作是对应的导出群的同伦的特征标。他们的张量积解释Kadeishvili的多括号。我们还研究了这个DG-范畴上的DG-模的上导范畴。
2020-08-22 math.AT math.CT
A generalization of the Hopf degree theorem
霍普夫定理指出从闭连通定向光滑$n$ -流形$M$到$n$ -球面的连续映射的同伦类按其度分类。这样的映射等价于$M$上平凡$n$ -球面丛的一部分。对$M$上的非平凡定向$n$ -球面丛的截面，得到了Hopf定理的推广.
2022-08-08 math.AT math.DG math.GT
A derived Milnor-Moore theorem
该文通过 Koszul 对偶构造包络 Hopf 代数函子，证明其在有理范畴全忠实，并在色同伦论中将其单位与 Goodwillie 完备化等同，推广了 Milnor-Moore 定理。
2025-08-07 math.AT
Characteristics for $E_\infty$ ring spectra
本文引入了连通$p$ --局部$E_\infty$环谱的特征的概念，并研究了它的一些基本性质.除了已经指出的例子Markus Szymik，我们调查了一些例子建立在球的稳定同伦群的霍普夫不变$1$元素，并作出了一些关于谱，他们可能是特征，这些似乎涉及到稳定同伦理论的困难问题。
2017-06-01 math.AT
The Pontrjagin-Hopf invariants for Sobolev maps
当将同伦不变量扩展到几乎没有正则性的函数空间时，会出现微妙的问题，例如，含有不连续函数的Sobolev空间。有时根本不可能扩展不变量，有时，即使定义不变量的公式有意义，它们也可能没有预期的属性（例如，存在具有非整数度的映射）。在本文中，我们定义了一个完整的同伦不变量集的映射从3-流形的2-球，并表明，这些不变量扩展到有限的Faddeev能量映射和映射在适当的Sobolev空间。对于光滑映射，我们的描述被证明是等价于Pontrjagin的原始同伦分类从20世纪30年代。我们进一步表明，有限能量映射的不变量采取完全相同的值为光滑的地图。我们包括应用程序的Faddeev模型。我们使用的技术也适用于更多的问题和/或其他泛函。我们试图使文件访问分析师，几何学家和数学物理学家。
2007-11-04 math-ph math.AP math.AT
Second homotopy and invariant geometry of flag manifolds
我们使用的Hopf纤维化显式计算生成的第二个同伦群的旗流形的紧李群。我们表明，这些$2$ -球有很好的几何性质，如全测地表面上的任何不变度量的旗流形。我们刻画了具有相同不变几何的生成元在同一个同伦类中的情形。这是通过探讨外尔群对旗流形的各向同性表示的不可约分量的作用来完成的。
2018-03-04 math.AT math.DG math.RT
$\mathcal{E}_\infty$ ring spectra and elements of Hopf invariant $1$
$2$ -主Hopf不变$1$元素在稳定同伦群的领域形成最容易的家庭的元素。本文利用自由代数函子研究了由某些迭代映射锥得到的$\mathcal{E}_\infty$环谱的一些性质。实际上，它们等价于与分类空间$B\mathrm{SO},\,B\mathrm{Spin},\,B\mathrm{String}$相关的无限循环空间上的Thom谱.我们证明了这些Thom谱的同调都是以$\mathcal{A}_*\square_{\mathcal{A}(r)_*}\mathbb{F}_2$为收缩代数的对偶Steenrod代数$\mathcal{A}_*$上的形式为$\mathcal{A}_*\square_{\mathcal{A}(r)_*}P_*$的扩张余模代数.这表明这些谱可能是环谱$H\mathbb{Z}$、$k\mathrm{O}$或$\mathrm{tmf}$上模谱的楔形，然而除了第一种情况，我们对此没有具体的结果。
2017-04-16 math.AT
Multiplicative structure in equivariant cohomology
引入了链霍普夫代数上模余代数的强同伦-余乘分解的概念，并利用它证明了Moore关于群作用的商空间的同调定理的一个余乘扩充.我们丰富版本的摩尔定理的重要性在于它的应用建设有用的上链代数模型计算乘法结构的等变上同调。在特殊情况下的同伦轨道的圆行动的空间和群作用的单纯集，我们得到小，明确的上链代数模型，我们详细描述。
2011-11-03 math.AT
Detecting Periodic Elements in Higher Topological Hochschild Homology
给定一个交换环谱$R$，设$Λ_XR$为Brun，Carlson和Dundas构造的Loday函子.给定一个素数$p\geq 5$，我们计算了$n\leq p$的$π_*(Λ_{S^n}H\mathbb{F}_p)$和$π_*(Λ_{T^n}H\mathbb{F}_p)$，并利用这些结果推导出$(Λ_{T^{n}}H\mathbb{F}_p)^{hT^{n}}$的$n-1$ -th连接Morava $K$ -理论中的$v_{n-1}$是非零的，并且在同伦不动点谱序列中被一个显式元素检测到，我们将这个类命名为Rognes类.为了方便这些计算，我们引入多重Hopf代数。$T^n$中的每个轴圆都在$π_*(Λ_{T^n}H\mathbb{F}_p)$上产生一个Hopf代数结构，这些Hopf代数结构的交互方式用多重Hopf代数结构编码。该结构对$π_*(Λ_{T^n}H\mathbb{F}_p)$上可能的代数结构施加了若干限制，并且是上述计算中的重要工具。
2018-02-22 math.AT
The Deformation Complex For DG Hopf Algebras
设H是域k上的微分分次霍普夫代数。本文给出了定义H的Hochschild-Cartier上同调的三重上链复形的显式构造。这个复形的某种截断是将H变形为H（q）-结构的适当设置。所有这些截断的直接极限是将H变形为强同伦结合结构的适当设置。体征并发症得到系统控制。阐明了有理扰动理论与自由交换微分分次代数形变理论之间的联系。
2002-09-11 math.AC math.AT math.RA
On the fate of $η^3$ in higher analogues of Real bordism
证明了对于Landweber-Araki实边谱的循环$2$ -群的所有范数的所有不动点，Hopf映射$η$的立方在Hurewicz映射下映射为零.利用切片谱序列是Mackey函子的谱序列，我们计算了这些不动点的同伦群的相关部分，表明乘以$4$会使$π_{3}$零化。
2015-07-29 math.AT
Homotopy-theoretically enriched categories of noncommutative motives
Waldhausen的$K$ -球谱理论（与整数的代数$K$ -理论密切相关）是一个自然增广的$S^0$ -代数，因此具有Koszul对偶。经典的工作德利涅和Goncharov意味着一个标识的合理化这（协变）对偶与霍普夫代数的职能motivic组为他们的类别的混合泰特动机超过$\Z$。本文认为，Blumberg，Gepner和Tabuada最近定义的非交换动机范畴的有理化因而具有自然的丰富性，态射对象在$\Z$上的混合Tate动机的导出范畴中。我们认为，同伦下降理论提升了这个结构，以定义一类的动机，而不是定义在$\Z$，但在球环谱$S^0$。
2015-03-22 math.AT math.NT
Split Hopf algebras, quasi-shuffle algebras, and the cohomology of Omega Sigma X
设A和B是两个连通的有限型分次交换k-代数，其中k是正特征p的完满域.证明了A和B生成的拟shuffle代数同构为霍普夫代数当且仅当A和B同构为具有Frobenius（p次幂）映射的分次k-向量空间.对于最难的部分，这种分析，我们的工作与对偶结构，并导致研究连接的分次余交换霍普夫代数H与两个额外的属性：H是免费的结合代数，和投影到不可分解的分裂作为一个态射的分次k-向量空间配备了一个Vernebung映射。非交换维特向量的工作Goerss，Lannes和莫雷尔的基础上，我们分类等自由，“分裂”霍普夫代数。一个拓扑推论是，如果X是基路连通空间，则霍普夫代数H^*（Omega Sigma X;k）由X的稳定同伦类型确定。我们还讨论了更简单的相似特征0结果，并给出了我们的拟-shuffle代数是多项式时的一个刻画，推广了所谓的Ditters猜想。
2019-07-09 math.AT math.CO math.RA
The motivic lambda algebra and motivic Hopf invariant one problem
本文引入动机 lambda 代数计算动机 Adams 谱序列，据此分类含单位乘积的动机球面，并确定多类基域 1-线上的微分与永久循环。
2023-11-01 math.AT
Algebra of Path Integrals on Digraphs
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Beijing Key Laboratory of Topological Statistics and Applications for Complex Systems, Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（复杂系统拓扑统计与应用北京市重点实验室，北京国际数学研究中心）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文研究了有向图上的路径积分代数，通过构造循环类与代数之间的配对，揭示了基本群的群代数结构，并证明了其同伦不变性和霍普夫代数性质。
2026-09-07 math.AT math.CO
The homotopy theory of coalgebras over a comonad
设K是模型范畴M上的余单子。我们提供的条件下，相关联的范畴的K-余代数承认一个模型范畴结构，使M的健忘函子创建cofibrations和弱等价。我们提供了具体的例子，满足我们的条件和相关的下降理论和理论的霍普夫-伽罗瓦扩展。这些例子是核上的以下类别的余模的具体实例。对任意半遗传交换环R，设A是同调单连通的dg R-代数.设V是一个A-核，且V是有限型无度R-自由同调单连通分次模上的左A-模.我们证明了右A-模范畴上存在一个模型范畴结构，它满足我们关于A与V张量所给出的余子的存在定理的条件，并得出结论：右A-模范畴中的V-余模范畴允许一个所需类型的模型范畴结构.最后，在R，A和V的额外条件下，我们描述了这一类余模中的广义cobar结构的替代。
2013-05-27 math.AT math.CT math.RA
Reflection Equivariance and the Heisenberg Picture for Spaces of Conformal Blocks
本文证明修正迹对应于反射等变结构，并应用于共形块空间，得出模函子的圆范畴模性及skein代数模的生成性，推广了相关经典结果。
2025-08-31 math-ph math.AT math.MP
$Γ$-structures and symmetric spaces
$Γ$ -结构是闭定向流形上乘法的弱形式。Hopf证明了含有$Γ$ -结构的流形的有理上同调代数在奇数度生成元上是自由的。我们证明了这个条件也是同伦理论意义下幂零流形上存在$Γ$ -结构的充分条件。这包括具有连通各向同性群的齐性空间。传递到一个更几何的角度来看，我们表明，在紧凑的定向黎曼对称空间与连通各向同性群和自由有理上同调代数的典范乘积给出测地对称定义$Γ$ -结构。这扩展了Albers，Frauenfelder和Solomon关于$Γ$ -拉格朗日Grassmannian结构的工作。
2017-09-06 math.AT math.DG
