求球面稳定同伦群的几何方法。Steenrod-Hopf不变量I

4-流形的上同伦集

Cohomotopy sets of 4-manifolds

利用初等几何变元计算了从4-流形X到3-球面的映射的同伦类群，并列举了从X到2-球面的映射的同伦类。前者完成了Steenrod在20世纪40年代发起的一个项目，后者为Larry Taylor最近的同伦理论结果提供了几何论证和扩展。这两个结果完成了闭定向4-流形的所有上同伦集的计算，并为研究4-流形上的Morse 2-函数提供了一个框架，这是一个最近引起广泛关注的问题。

几何Hopf不变量与二重点

The geometric Hopf invariant and double points

一个稳定映射F的几何Hopf不变量是一个稳定的Z_2-等变映射h（F），使得h（F）的稳定Z_2-等变同伦类是F同伦于一个不稳定映射的主要障碍。本文用f的二重点集表示浸入f：M^m \to N^n的Umkehr映射F的几何Hopf不变量.本文利用几何Hopf不变量解释了浸入f在亚稳维数范围3 m <2n-1（当一般f没有三重点时）的Smale-Hirsch-Haefliger正则同伦分类.

求球面稳定同伦群的几何方法。霍普夫不变量

Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Hopf invariant

我们开发了一个几何方法的稳定同伦群的领域的工作的精神Pontrjagin和Rokhlin。J.F.Adams的Hopf不变一定理的一个新证明在除15和31维以外的所有维中得到。为了证明当n>31时稳定的Hopf不变量H：n \to Z/2为零，我们应用几何拓扑的方法. Pontrjagin-Thom构造和Hirsch的压缩引理将每个α PDMATHABMN_n与闭n-流形在R^{n+k}中的框架浸入的框架有边类（对于任意给定的k>0）等同。它的自相交M投射到浸入f：M \to R^n，它由线丛κ的k个副本构成。已知H（α）= <w_1（κ）^{n-k}，[M]>. f的自相交N由具有结构群D_4的平面丛的k个副本框定。我们观察到H（α）= <w_1（i^*κ）^{n-2k}，[ \bar N]>，其中i将N的双重覆盖\bar N浸入M中.证明中最难的部分是证明，在斜框架边界类中修改f之后，分类映射g：N \to K（D_4，1）通过K（Z/4，1）因子分解，条件是n=2^l-1，l>5，n-2k=15。这是通过分析f的正则同伦类中的浸入来实现的，这些浸入近似于分类映射M \to RP^{n-k}的组成，RP^{n-k}到S ^1/（Z/4）（标准球面）的副本的连接上的投影，以及该连接在R^n中的嵌入。最后一步用四元数证明。

几何Hopf不变量与外科手术理论

The geometric Hopf invariant and surgery theory

第一作者的稳定映射$F:Σ^{\infty}X \to Σ^{\infty}Y$的几何Hopf不变量是一个稳定的${\mathbb Z}_2$ -等变映射$h(F):Σ^{\infty}X \to Σ^{\infty}(Y \wedge Y)$，它是通过对$(F \wedge F)Δ_X - Δ_Y F$进行显式差分构造而得到的. $h(F)$的稳定的${\mathbb Z}_2$ -等变同伦类是$F$降悬到同伦的主要障碍.在$π$ -等变$F$的情况下，构造的显式性质允许$π$ -等变版本的$h(F)$，其中$π$是离散群。在早期的联合工作中，我们应用的$π_1(N)$ -等变几何霍普夫不变的Umkehr映射$F:Σ^{\infty}N^+ \to Σ^{\infty}T(ν_f)$的浸泡$f:M \to N$捕获双重点的$f$在${\mathbb Z}_2$ -等变同伦理论。在这篇手稿中，我们使用$π$ -等变几何Hopf不变$h(F)$统一所有以前的同伦理论治疗的双重点。此外，$h(F)$与第二作者的具有Poincaré对偶的链复形的代数手术理论相结合，为非单连通几何手术提供了同伦理论基础。对于$n$维正规映射$(f,b):M \to X$，Umkehr映射$F:Σ^{\infty}X^+ \toΣ^{\infty}M^+$的$π_1(X)$ -等变几何Hopf不变量$h(F…

关于庞特里亚金-斯廷罗德-吴定理

On the Pontryagin-Steenrod-Wu theorem

本文研究了n+1维流形到n维球面上的映射的同伦分类。对于（n+1）-流形到n-球面的连续映射f，定义度deg f为f^*[S^n]的对偶类，其中[S^n]是基本类。我们提出了一个简短而直接的证明以下具体情况下的庞特里亚金-斯廷罗德-吴定理：定理。设M是连通可定向闭光滑（n+1）-流形，n>2.则映射deg：π^n（M）\to H_1（M;Z）是1比1（即，双射），如果乘积w_2（M）xr_2H_2（M;Z）非零，其中r_2是mod 2约简; 2到1（即，H_1（M;Z）的每个元素正好有2个原像）-否则。证明基于Pontryagin-Thom构造和Stiefel-Whitney类w_2（M）的几何定义。

Hopf纤维化和Hopf向量场的Lipschitz极小性

Lipschitz minimality of Hopf fibrations and Hopf vector fields

给出了一个由平行大子球面构成的圆球面的Hopf纤维化，证明了在定义域和值域等距的情况下，其到底空间的投影映射是其同伦类中唯一的Lipschitz常数极小元.同样地，给定一个由平行大圆构成的圆球面的Hopf纤维化，我们把切于纤维的单位向量场看作是球面的单位切丛的一个横截面，并证明了在域和值域等距的情况下，它是它的同伦类中唯一的Lipschitz常数极小元。以前试图找到一个数学意义上的霍普夫纤维化和霍普夫向量场是最佳的，但成功有限。

Hopf链环的嵌入空间

The embedding space of a Hopf link

本文研究 Hopf 链环的无参数光滑嵌入空间，证明在 $\mathbb{R}^3$ 中该空间同伦等价于 $S^3/\mathbb{Q}_8$，在 $S^3$ 中同伦等价于 $\mathbb{R} P^2\times \mathbb{R} P^2$。

三维球面由简单闭曲线构成的纤维化空间的同伦型

Homotopy Type of the Space of Fibrations of the Three-sphere by Simple Closed Curves

本研究确定了三维球面简单闭曲线光滑纤维化模空间的同伦型，证明其与Hopf纤维化子空间同伦型一致，还刻画了该模空间的Fréchet流形结构与建模空间。

对自身的每个同伦控制都是同伦等价的多面体

Polyhedra for which every homotopy domination over itself is a homotopy equivalence

我们考虑一个自然的问题：“一个多面体对自身的每一个同伦控制都是一个同伦等价吗？和K. Borsuk（1967）：“两个彼此支配的ANR同伦是否具有相同的同伦类型？“这个问题的答案在早期被认为对流形（Bernstein-Ganea，1959）、$1$维多面体和有限多圈基本群多面体（DK，2005）是肯定的。因此，人们可能会问，在具有可解基本群的$2$维多面体中是否存在一个反例。在本文中，我们表明，它不能被发现在类的$2$维多面体与可溶性基本群$G$与cd $G \leq 2$（和可溶性可以取代这里由一个更广泛的类的基本顺从的群体）。我们证明了更一般的事实，有没有反例之间的$2$维多面体，其基本群有有限的非球面介绍，是霍普夫（或更一般，弱霍普夫）。特别地，在基本群是纽结群的$2$维多面体中以及在具有一个相关的无挠霍普夫基本群的$2$维多面体类中也不存在反例。结果也可以应用于，例如，双曲群或极限群有限非球面介绍。对于同一类多面体，我们也得到了另一个公开问题的肯定答案：“两个拟同胚ANR的同伦类型相等吗？”"

A generalization of the Hopf degree theorem

The Hopf theorem states that homotopy classes of continuous maps from a closed connected oriented smooth $n$-manifold $M$ to the $n$-sphere are classified by their degree. Such a map is equivalent to a section of the trivial $n$-sphere bundle over $M$. A generalization of the Hopf theorem is obtained for sections of nontrivial oriented $n$-sphere bundles over $M$.

关于球面4-辫的Hopf不变量的一个注记

A remark on the Hopf invariant for spherical 4-braids

J.Wu的一种方法将标准2-球面的同伦群$π_{n}(S^2)$描述为球面$n+1$ -股Brunnian辫子的同伦类，并在$n=3$的情况下进行了应用研究.

Sobolev映射的Pontrjagin-Hopf不变量

The Pontrjagin-Hopf invariants for Sobolev maps

当将同伦不变量扩展到几乎没有正则性的函数空间时，会出现微妙的问题，例如，含有不连续函数的Sobolev空间。有时根本不可能扩展不变量，有时，即使定义不变量的公式有意义，它们也可能没有预期的属性（例如，存在具有非整数度的映射）。在本文中，我们定义了一个完整的同伦不变量集的映射从3-流形的2-球，并表明，这些不变量扩展到有限的Faddeev能量映射和映射在适当的Sobolev空间。对于光滑映射，我们的描述被证明是等价于Pontrjagin的原始同伦分类从20世纪30年代。我们进一步表明，有限能量映射的不变量采取完全相同的值为光滑的地图。我们包括应用程序的Faddeev模型。我们使用的技术也适用于更多的问题和/或其他泛函。我们试图使文件访问分析师，几何学家和数学物理学家。

Quantitative nullhomotopy and the Hopf Invariant

Let $G: S^{4n-1} \rightarrow S^{2n}$ be a map with nonzero Hopf Invariant. Using the generalized Hopf invariant introduced by Hajłasz, Schikorra and Tyson, we show that any null-homotopy $F: B^{4n} \rightarrow B^{2n+1}$ of $G$ with small $(2n+1)$-dilation must have large $(2n)$-dilation. Conversely, we show that these results are sharp by constructing smooth null-homotopies with arbitrarily small $(2n+1)$-dilation.

三维同伦域论与交叉群范畴

Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories

三维同伦量子场论可以描述为曲面和3-协边的TQFT，其中曲面和3-协边具有到给定空间的映射的同伦类。对于一个群$π$，我们引入了一个模块交叉$π$范畴的概念，并证明了这样一个范畴产生了一个目标空间为$K(π,1)$的三维HQFT。这包括三维$π$ -流形和二维同伦模函子的数值不变量。我们还引入并讨论了拟三角交叉Hopf $π$ -余代数的一个平行概念。

球面的同伦群与Heisenberg群的Lipschitz同伦群

Homotopy groups of spheres and Lipschitz homotopy groups of Heisenberg groups

利用球的经典同伦群$π_m(S^n)$的性质，给出了Heisenberg群的Lipschitz同伦群$π_m^{Lip}(H_n)$非平凡的一个充分条件.作为应用，我们给出了一个新的简化证明，证明了$π_n^{Lip}(H_n)\neq 0$，$n=1,2,...$，并证明了一个新的结果，即$π_{4n-1}^{Lip}(H_{2n})\neq 0$对于$n=1,2,...$，最后一个结果是基于一个新的推广的Hopf不变量.证明了当$dim M\geq 4n$和$4n-1\leq p<4n$满足时，Lipschitz映射在Sobolev空间$W^{1,p}(M,H_{2n})$中是不稠密的.

凸曲面的Hopf型定理

Hopf-type theorems for convex surfaces

本文证明凸曲面上Hopf定理及其定量推广成立（测地线换为拟测地线），并给出离散版本：单纯映射的邻点空间存在连接对径点与相同点的多边形路径，且特定距离的邻点集有非平凡Steenrod同调。