Steenrod同伦理论是用多面体的代数拓扑来研究一般空间上的代数拓扑的一个框架;从另一个角度，它研究了lim函子的拓扑（对于群的逆序列）。本文主要研究了Steenrod同伦与强形重合的情形。我们试图简化理论的基础，并澄清和改进它的一些主要结果。使用几何工具，如米尔诺尔的望远镜紧化，comanifolds（=模拟丛）和庞特里亚金-托姆建设，我们获得新的简单证明的结果Barratt-Milnor; Cathey; Dydak-Segal; Eda-Kawamura;爱德华-Geoghegan;福克斯; Geoghegan-Krasinkiewicz; Jussila; Krasinkiewicz-Minc; Mardesic; Mittag-Leffler/Bourbaki;和三个未发表的结果Shchepin。纠正了Lisitsa证明“Steenrod同伦中的Hurewicz定理”中的一个错误。本文证明了R. H. Fox的覆盖与I. M. James的一致覆盖映射是相同的。其他成果包括：- 可数（可能非阿贝尔）群的逆序列之间的态射，在逆极限和导出极限上诱导同构，在亲范畴中是可逆的。这蕴涵着“Steenrod同伦中的Whitehead定理”，从而回答了A. Koyama的两个问题。- 若X是LC_{n-1}紧集，n>0，则它的n维Steenrod同伦类可由映射S^n \to X表示，只要X是单连通的。Dydak和Zdravkovska的一个著名例子不能放弃单连通性的假设。- 一个连通紧空间是Steenrod连通的（=点1-可动的）当且仅当它的每个一致覆盖空间有可数个一致连通分支.
英文摘要：
Steenrod homotopy theory is a framework for doing algebraic topology on general spaces in terms of algebraic topology of polyhedra; from another viewpoint, it studies the topology of the lim^1 functor (for inverse sequences of groups). This paper is primarily concerned with the case of compacta, in which Steenrod homotopy coincides with strong shape. We attempt to simplify foundations of the theory and to clarify and improve some of its major results.
Using geometric tools such as Milnor's telescope compactification, comanifolds (=mock bundles) and the Pontryagin-Thom Construction, we obtain new simple proofs of results by Barratt-Milnor; Cathey; Dydak-Segal; Eda-Kawamura; Edwards-Geoghegan; Fox; Geoghegan-Krasinkiewicz; Jussila; Krasinkiewicz-Minc; Mardesic; Mittag-Leffler/Bourbaki; and of three unpublished results by Shchepin. An error in Lisitsa's proof of the "Hurewicz theorem in Steenrod homotopy" is corrected. It is shown that over compacta, R.H.Fox's overlayings are same as I.M.James' uniform covering maps. Other results include:
- A morphism between inverse sequences of countable (possibly non-abelian) groups that induces isomorphisms on inverse and derived limits is invertible in the pro-category. This implies the "Whitehead theorem in Steenrod homotopy", thereby answering two questions of A.Koyama.
- If X is an LC_{n-1} compactum, n>0, its n-dimensional Steenrod homotopy classes are representable by maps S^n\to X, provided that X is simply connected. The assumption of simply-connectedness cannot be dropped by a well-known example of Dydak and Zdravkovska.
- A connected compactum is Steenrod connected (=pointed 1-movable) iff every its uniform covering space has countably many uniform connected components.
Geometric approach towards stable homotopy groups of spheres. The Steenrod-Hopf invariant I
本文基于Pontrjagin-Thom构造，提出了求球面稳定同伦群的一种几何方法。由此方法得到了J. F. Adams关于除$15,31,63,127$以外的所有维数的Hopf不变一定理的一个新的证明.证明了球的稳定同伦群$Π_n$中的$n>127$不存在具有Hopf不变元的元素.新的证明是基于几何拓扑方法。考虑了关于实射影无限维空间的稳定同伦群（这个群通过Khan-Priddy定理映射到球面的稳定同伦群的2-分支上）用闭流形（一般来说是不可定向的）的余维为1的浸入的协边类表示的Pontrjagin-Thom定理. Hopf不变量被表示为浸入余维1流形的自相交流形的二面体群的示性数，该流形表示稳定同伦群中的给定元素。在新的证明中，需要基于Smal-Hirsch浸入定理的浸入在给定的正则同伦类中的几何控制原理（M.Gromov）。
空间的模p上同调伴随着Steenrod代数的作用。L. Schwartz [A propos de la conjecture de nonrealisation due a N.库恩，发明。Math.134，No.1，（1998）211- 227]证明了N. Kuhn [On topologicaly realizing modules over the Steenrod algebra，Annals of Mathematics，141（1995）321--347]指出，如果模$p$上同调的空间是在有限阶段的Krull过滤的范畴不稳定模块的Steenrod代数然后它是局部有限的。然而，他的证明涉及一些有限性假设。我们展示了如何可以删除这些有限性假设，通过使用同伦理论的profinite空间引进F。Morel [Ensembles programme simpliciaux et interpretation geometrique du foncteur T，Bull. Soc. Math. France，124（1996）347- 373]，从而获得了该猜想的完整证明。为此，我们建立了Eilenberg-Moore谱序列，并显示其收敛性的profinite设置。
D. K. Biss（Topology and its Applications 124（2002）355-371）介绍了拓扑基本群并给出了这个概念的一些有趣的基本性质。本文将上述概念推广到同伦群，并试图证明拓扑同伦群的一些类似的基本性质。我们还进一步研究了拓扑同伦群的拓扑结构，得到了拓扑结构离散的充要条件。此外，我们还证明了研究拓扑同伦群可能比拓扑基本群更有用。
