Compactifying the space of stable maps
Dan Abramovich, Angelo Vistoli
定义了从曲线到具有射影模空间的Deligne-Mumford栈的扭稳定映射的两个等价概念，并证明了固定次数的扭稳定映射构成具有射影模空间的完备Deligne-Mumford栈.
We define two equivalent notions of twisted stable map from a curve to a Deligne-Mumford stack with projective moduli space, and we prove that twisted stable maps of fixed degree form a complete Deligne-Mumford stack with projective moduli space.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tropicalizing vs Compactifying the Torelli morphism
本文比较了紧化Torelli态射（由V. Alexeev定义）和热带Torelli映射（由作者在与S. Brannetti和M. Melo等，并由M. Chan）。我们的目标是双重的：一方面，我们将回顾上述两个Torelli映射的构造和主要性质，特别是作者与L.卡波拉索;另一方面，通过引入归约图和热带化图，阐明两种Torelli图之间的关系。
Compactifying the rank two Hitchin system via spectral data on semistable curves
本文通过二次多重尺度微分空间，利用带基点稳定曲线的紧化雅可比簇，提供了秩二 Hitchin 系统的紧化，并将经典的谱对应扩展到了紧化的 Hitchin 系统。
Compactifying real analytic functions and resulting Reeb spaces
自然地对连续映射进行紧致化，主要考虑实解析函数，通过里布空间研究其拓扑与组合性质，此前已获相关成果，现给出新讨论与例子。
Compactified Picard stacks over $\bar{\mathcal M}_g$
研究了$\bar{\mathcal M}_g$上的代数（Artin）栈，给出了一种紧化稳定曲线族的相对次数$d$ Picard簇的函子方法.我们还描述了每一个$d$的轨迹属$g$稳定曲线，我们得到Deligne-Mumford堆栈强表示超过$\bar{\mathcal M}_g$。
The Geometry of Stable Quotients in Genus One
稳定商空间为紧化映射空间提供了稳定映射的替代。当目标是射影空间且域曲线亏格为1时，它们是光滑的真Deligne-Mumford叠加。在本文中，我们研究相关的粗模计划。我们证明了这些方案是射影的，有理连通的，并且Picard数为2。然后给出了Picard群的生成元，计算了其典范除子，以及充分除子和有效除子的锥.在某些情况下，我们还给出了Poincaré多项式的一个闭公式.
Intersections numbers on the compact variety of rational ruled surfaces
我们考虑Quot方案，R_{d}，紧化从射影线到格拉斯曼线的d次映射空间。本文给出了一个计算R_{d}在“广义Plücker嵌入”下的度的算法，这是一个确定的Gromov-Witten不变量.该方法是将Atiyah-Bott局部化公式应用于R_{d}上的自然C^{*}作用。这些数字可以直接从Vafa-Intriligator公式获得。
Bubble tree compactification of moduli spaces of vector bundles on surfaces
本文给出了曲面树上的向量丛空间紧化曲面上秩为2的向量丛模空间的一些结果。这被认为是微分几何中所谓的向量丛和联络的冒泡的代数对应。新的模空间是根据Kollár的一个结果由群作用产生的代数空间。作为例子，本文详细研究了射影平面上具有陈类$c_1=0, c_1=2$的稳定秩为2的向量丛空间的紧化.证明只表明，并将出现在单独的文件。
Smooth models of quiver moduli
对箭图的稳定表示的任意模空间，构造了某些光滑簇，紧化了模空间上的射影空间纤维化.分析了这种紧化的边界。导出了光滑模型的贝蒂数的显式公式。在简单表示模的情况下，构造了光滑模型的显式胞腔剖分。
The Evaluation Space of Logarithmic Stable Maps
构造了最小对数稳定映射的评估栈，将目标日志方案中的标准日志点族参数化。这种结构提供了必要的成分，以定义适当的评估地图的最小日志稳定的地图，并建立对数Gromov-Witten理论的日志平滑Deligne-Faltings日志计划。
Stable maps and stable quotients
本文分析了曲线到格拉斯曼映射的模空间的两种紧化：稳定映射的Kontsevich模空间和稳定映射的Marian-Oprea-Pandharipande模空间之间的关系。我们构造了一个模空间，它同时控制到格拉斯曼的稳定映射的模空间和稳定映射的模空间，并给我们的模空间配备了一个虚基本类.我们用虚推进公式把这三个模空间的虚基本类联系起来。本文给出了Marian-Oprea-Pandharipande定理的一个新证明：定义为稳定商模空间中的相交数的枚举不变量与Gromov-Witten不变量一致.
Stable maps into the classifying space of the general linear group
本文给出了到一般线性群的分类栈$\BGL_r$中的稳定映射的定义。为了支持我们的信念，定义是正确的，我们表明，有自然的边界态射之间的模群参数化稳定映射到$\BGL_r$。
Localization for logarithmic stable maps
本文证明了对数稳定映射的Bumsig Kim空间的一个虚局部化公式。该公式与Graber和Vakil的相对虚定位公式密切相关，实际上可以恢复Graber和Vakil的相对虚定位公式。
Comparison of two desingularization of the Kontsevich's moduli space of elliptic stable maps
已知椭圆稳定映射的Kontsevich模空间的主分支是奇异的。有两种不同的去奇异化。一个是Vakil-Zinger的去奇异化，另一个是对数稳定映射的模空间。当度小于或等于3且目标为$\mathbb{P}^{n}$时，我们证明了对数稳定映射的模空间可以通过炸毁Vakil-Zinger的去奇异化来获得。
Poincaré polynomials of moduli spaces of stable maps into flag manifolds
利用Oprea的Bialynicki-Birula分解，得到了亏格为零的稳定映射到旗流形的叠加.我们计算了一次和二次模空间的Poincaré多项式。
Towards the cohomology of moduli spaces of higher genus stable maps
本文证明了Vakil和Zinger最近构造的亏格g = 1的稳定映射的模空间的轨道化在奇数次k < 10时具有零有理上同调群.
Twisted stable maps with colliding points
本文研究了允许标记点重合的带点曲线到驯顺 Deligne-Mumford 栈的稳定映射模空间，推广了 Abramovich-Vistoli 扭曲稳定映射理论及相关带权标记点曲线到射影簇的稳定映射研究。
Relations on Mbar_{g,n} via orbifold stable maps
利用到[C/Z_r]的稳定映射的模空间的等变虚圈，或等价地利用到BZ_r的稳定映射的模空间上某个向量丛的高次Chern类的消失，得到了Mbar_{g,n}（BZ_r，0）的Chow环中的关系式.这些推进产生Mbar_{g,n}上的重言式关系。
Birational maps of moduli spaces of stable sheaves on a K3 surface induced by Fourier-Mukai transforms
该研究探讨由Fourier-Mukai变换诱导的皮卡数为1的K3曲面上稳定层模空间的双有理映射问题。
On the irreducibility of the space of genus zero stable log maps to wonderful compactifications
本文证明了亏格零稳定对数映射到一大类奇妙紧化的模空间是不可约的单有理的。
Tautological classes on the moduli spaces of stable maps to projective spaces
给出亏格零稳定映射的模空间到射影空间的上同调完全重言式的局部化证明。此外，我们得到了一个Bialynicki-Birula分层的背景下，Gathmann的模空间的地图与规定的接触顺序到一个固定的超平面。
Universal cohomological expressions for singularities in families of genus 0 stable maps
我们认为家庭的曲线到曲线的地图，没有奇异性，除了那些属0稳定的地图，并满足一个多角性条件，在每个奇点。我们提供了一个通用的表达式的上同调类庞加莱对偶的轨迹的任何给定的奇点。我们的表达式适用于满足上述性质的任何曲线到曲线映射族。
A splitting of the virtual class for genus one stable maps
光滑射影簇的稳定映射的模空间通常有几个分量。将亏格为1的稳定映射到光滑射影簇的模空间的虚类表示为分支的虚类之和。关键的成分是一个广义的函数性结果的虚拟类。证明了亏格为1的模空间的“幽灵”分支到亏格为0的稳定映射的模空间的自然映射满足强推进性质。作为结果，我们给出了一个圈级公式，它涉及光滑投射Calabi-Yau折叠的标准和约化亏格Gromov-Witten不变量。
An Elementary GIT Construction of the Moduli Space of Stable Maps
本文利用SL（2，C）给出了稳定映射的模空间的GIT构造，作为图空间的GIT商。作为推论，我们得到了从0-点模空间到射影簇的一个双有理映射。
We show that the rational cohomology of the genus zero stable map spaces to SL flag varieties is entirely tautological.
Multiple Cover Calculation for the Unramified Compactification of the Moduli Space of Stable Maps
在本文中，我们计算了多重覆盖Gromov-Witten积分（类似于Aspinwall-Morrison公式）的非分歧紧化的模空间的稳定映射到嵌入$\PO$的Calabi-Yau三重$X$与正常丛$\mathcal{O}_{\PO}(-1) \bigoplus \mathcal{O}_{\PO}(-1)$。
Stable logarithmic maps to Deligne-Faltings pairs I
我们引入了相对稳定映射空间的一种新的紧化。这种新方法采用Kato-Fontaine-Illusie意义下的对数地球测量，而不是扩展退化。我们的对数稳定映射的底层结构在通常意义上是稳定的。
Very Twisted Stable Maps
设X是特征为0的代数闭域k上的光滑射影Deligne-Mumford栈.在本文中，我们构造了非常扭曲的稳定映射的模栈，扩展了Abramovich和Vistoli的扭曲稳定映射的概念，允许源曲线上的通用稳定器。我们还考虑了由这个构造给出的Gromov-Witten理论。
Divisors on the moduli spaces of stable maps to flag varieties and reconstruction
我们确定的余维1周群的模空间的属零稳定的映射到旗品种G/P的情况下，SL旗，我们发现我们的发电机之间的所有关系，表明它们基本上来自$\bar M_{0,n}$。此外，我们还分析了Grassmannian稳定映射的模空间上的余维2类，并证明了一个新的余维2关系。这将导致部分重建定理的格拉斯曼2平面。
Towards Mori's program for the moduli space of stable maps
在稳定映射$\bar M_{0,0}(P^{r},d)$的模空间上引入并计算了一类有效因子，对于小d，这类因子提供了对有效锥的极值射线和稳定基轨迹分解的一个很好的理解.我们还讨论了Mori程序中出现的各种双有理模型，包括Hilbert格式、Chow簇、$k$ -稳定映射空间、分支曲线空间和半稳定层空间。
A GIT Construction of Moduli Spaces of Stable Maps in Positive Characteristic
在前一篇文章中，作者和David Swinarski利用几何不变理论（GIT）构造了稳定映射的模空间\bar M_g，n（P^r，d）.那篇论文要求基域是复数，这篇论文去掉了这个限制：这里稳定映射的粗模空间是通过GIT在更一般的基上构造的。
A compactification of the moduli space of self-maps of $\mathbb{CP}^1$ using stable maps
给出了$n$标记的$d$的$\mathbb{CP}^1$的自映射的模空间的一个新的紧化$M(d,n)$.它是由稳定映射模空间$\ ar M_{0,n}(\mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1, (1,d))$通过GIT构造的。证明了它是光滑Deligne-Mumford栈的粗模空间，并计算了它的有理Picard群.利用稳定映射空间的递归边界结构，给出了计算$M(d,n)$上因子顶相交数的显式算法。我们还研究了$m$ -折叠迭代映射$M(d,n) \dashrightarrow M(d^m,n)$，并给出了将这种有理映射推广到$M(d,n)$部分边界的几何方法.
Tropical moduli spaces of stable maps to a curve
我们构造了R^r中任意光滑热带曲线的有理覆盖的模空间作为热带簇。它们被包含在与R^r对应的度的平衡扇参数化热带稳定图中。顶维多面体的权系数由一定的格指数和局部Hurwitz数给出。
Smoothability of relative stable maps to stacky curves
本文利用log几何研究了堆叠曲线上的稳定映射光滑性，并应用于平滑半双有理纤维面。
We classify the Deligne-Mumford stacks M compactifying the moduli space of smooth $n$-pointed curves of genus one under the condition that the points of M represent Gorenstein curves with distinct markings. This classification uncovers new moduli spaces $\bar{\mathcal{M}}_{1,n}(Q)$, which we may think of coming from an enrichment of the notion of level used to define Smyth's $m$-stable spaces. Finally, we construct a cube complex of Artin stacks interpolating between the $\bar{\mathcal{M}}_{1,n}(Q)$'s, a multidimensional analogue of the wall-and-chamber structure seen in the log minimal model …
Tautological relations for stable maps to a target variety
我们定义了稳定映射到目标簇的模空间的重言式关系。利用Janda-Pandharipande-Pixton-Zvonkine目标簇的双分歧圈公式，构造了平行于Pixton双分歧圈关系的曲线模的非平凡重言式关系.实例和应用进行了讨论。
Chow Quotients of Toric Varieties as Moduli of Stable Log Maps
设$X$是射影正规环面簇，$T_0$是$X$的定义环面的秩1子环面.我们表明，规范化的周商$X//T_0$，在Kapranov-Sturmfels-Zelevinsky的意义下，粗略地表示模空间的稳定日志映射到$X$与离散数据由$T_0\subset X$。
Genus-One Stable Maps, Local Equations, and Vakil-Zinger's desingularization
我们描述了代数几何方法Vakil-Zinger的去奇异化的主要组成部分的亏格一稳定映射到射影空间的模。新的方法提供了完整的局部结构的结果，这个模空间以及整个模空间的desingularization，并应充分扩展到更高的一般。
The $r$-ELSV Formula via Localisation on the Moduli Space of Stable Maps with Divisible Ramification
具有可分分歧的稳定映射的模空间利用标准分歧截面的$r$次根来参数化分歧阶可被固定整数$r$整除的稳定映射.在本文中，构造了一个虚拟的基本类，同时让域曲线有一个积极的亏格，从而消除了域曲线亏格为零的限制。我们应用虚拟本地化的技术，并获得$r$ -ELSV公式作为一个交叉的虚拟类通过分支态射的回调。
Relations for quadratic Hodge integrals via stable maps
该研究遵循Faber-Pandharipande方法，利用到$ \mathbb{P}^1 $的稳定映射模空间虚局部化公式计算霍奇积分关系，证明其某些生成函数为多项式，为二次霍奇积分研究提供新结果。
We construct a moduli space of stable maps with fields associated to a triple $(X,E,s)$ of a projective variety (or a DM stack with projective moduli space) a vector bundle and a section. We show the class coincides up to a sign with the virtual fundamental class on the moduli space of stable maps to $Z=Z(s)\subset X$. We show that this gives a generalization of the Quantum Lefschetz hyperplane principle. This generalizes similar comparison results of Chang--Li, Kim--Oh and Chang--Li and presents a different approach from Chen--Janda--Webb.
Moduli of fibered surface pairs from twisted stable maps
利用Deligne-Mumford栈的扭曲稳定映射理论，构造了对$(X \to C, S + F)$的模空间的紧化，其中$X \to C$是纤维曲面，$S$是截面之和，$F$是标记纤维之和，而$(X, S + F)$是极小模型程序意义下的稳定对.这推广了Abramovich-Vistoli的工作，他紧化了没有标记纤维的纤维表面的模空间。此外，我们比较我们的紧化的Alexeev的空间的稳定映射和KSBA紧化的稳定对。作为应用，我们描述了椭圆曲面的模空间紧化的边界。
An Invitation to the Local Structures of Moduli of Genus one stable maps
本文提供了一些初等例子来证明文[1]关于亏格为1的稳定映射到射影空间的模空间的局部结构结果。希望这些例子对研究生学习这一重要学科有所帮助。
We generalize the results of Chang-Li, Kim-Oh and Chang-Li on the moduli of $p$-fields to the setting of (quasi-)maps to complete intersections in arbitrary smooth Deligne-Mumford stacks with projective coarse moduli. In particular, we show that the virtual cycle of stable (quasi-)maps to a complete intersection can be recovered by the cosection localized virtual cycle of the moduli of $p$-fields of the ambient space.
Stable maps of genus zero in the space of stable vector bundles on a curve
设$X$是亏格为$g\geq3$的光滑射影曲线.设$\mathcal{N}$是$X$上稳定秩为2的向量丛的模空间，其中$x\in X$的行列式$\mathcal{O}_X(-x)$是固定的.作为Kiem和Castravet工作的推广，本文研究了$\mathcal{N}$中亏格为$0$且度为$3$的稳定映射.设$P$是$\mathcal{N}$的一个自然闭子簇，它用$X$上的线丛$L$的一个固定子丛$L^{-1}(-x)$来参数化稳定向量丛.我们描述了稳定映射空间$\mathbf{M}_0(P,3)$。证明了空间$\mathbf{M}_0(P,3)$由两个不可约分量组成。其中一个参数化光滑有理三次曲线，另一个参数化直线和光滑二次曲线的并集。
Skeletons of stable maps I: Rational curves in toric varieties
研究了亏格$0$到环面簇$X$的对数稳定映射空间的Berkovich分析，并给出了它在代数几何和热带几何中的应用.在代数方面，从热带几何的见解给出了两个新的几何描述这个空间的地图-（1）作为一个显式的环面修改的$\overline M_{0,n}\times X$和（2）作为一个热带紧化的环面品种。在组合方面，我们证明了热带化的空间属$0$对数稳定的地图与空间的热带稳定的地图相吻合，给出了一个大的新的收集的例子，忠实的热带化模。此外，我们确定的最佳设置中的热带化的模空间的地图是忠实的。西野-西伯特对应定理被证明是代数和热带模空间之间的这种几何连接的后果。
Moduli space of stable maps to projective space via GIT
比较了亏格为0的稳定映射的Kontsevich模空间在$d=3$时与射影空间和拟映射空间的关系。更确切地说，我们证明了当$d=3$时，从拟映射空间到稳定映射的模空间的明显双有理映射是三个blow-up和两个blow-down的合成。此外，我们确定明确的模空间的较低程度的爆破/下中心。利用这一点，我们计算了贝蒂数、积分Picard群和有理上同调环.第二阶段的情况是作为热身。
Stable maps and Chow groups
根据布洛赫-贝林森定理，一个K3曲面X的自同构在超越格上充当单位元，它应该平凡地作用在CH ^2（X）上。我们讨论这个猜想辛对合，并证明它在三分之一的所有情况下。其主要思想是利用特殊的椭圆K3曲面和稳定映射在一般的K3曲面上生成对合不变的覆盖椭圆曲线族。
Contact formulas for rational plane curves via stable maps
我们使用稳定的地图，和他们的稳定升降机的森普尔捆绑各种二阶曲线数据，计算某些示性数的合理平面曲线。这些示性数涉及一阶（相切）和二阶（弯曲）条件。虽然它们可以是虚拟的，但是它们可以用作用于与指定的平面曲线具有三重接触并且通过3d-3个一般点的有理曲线的数量的枚举有效公式中的输入。
Stable maps to quotient stacks with a properly stable point
本文研究具有射影好模空间的商栈上曲线映射的模空间紧化，提出扩展加权吹胀的双有理操作，将拟映射理论紧化扩展至多类映射与纤维化模空间，并在附录中模块化证明Hassett猜想。
Hecke Correspondence, Stable Maps and the Kirwan Desingularization
本文证明了亏格g>2的光滑射影曲线上2次稳定映射到秩2稳定的不动行列式丛O（-x）的模空间的模空间有两个横交的不可约分支.其中之一是Kir-wan对行列式同构于O（y-x）的秩为2的半稳定丛的模空间的部分去奇异化。另一个分量是PHom（sl（2）^*;W）//PGL（2）对于X的Jacobian上秩为g的向量丛W的部分去奇异化。我们还证明了N中二次曲线的Hilbert概型H、Chow概型C和2次稳定映射的模空间是通过显式压缩联系起来的。
Stable maps to rational curves and the relative Jacobian
本文考虑紧型曲线的模空间上的两个圈，证明了它们重合。第一个是通过将相对稳定映射空间的虚基本类推进到非参数化的有理曲线上来定义的，而第二个是作为万有雅可比矩阵的Abel截面与零截面的交而得到的.我们的比较推广了Cavalieri-Marcus-Wise的结果，其中在有理尾曲线的轨迹上证明了相同的恒等式。
We show that algebraic equivalence of images of stable maps of curves lifts to deformation equivalence of the stable maps. The main applications concern $A_1(X)$, the group of 1-cycles modulo algebraic equivalence, for smooth, separably rationally connected varieties. If $K/k$ is an algebraic extension, then the kernel of $A_1(X_k)\to A_1(X_K)$ is at most ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$. If $k$ is finite, then the image equals the subgroup of Galois invariant cycles. This paper replaces Sections~2--3 of 2211.15915.v.1 and Sections~2--3 of 2211.15911.v.1. The other Sections are retained in the revis…
Stable maps and branch divisors
我们为等维射影态射构造了一个自然分支因子，其中定义域具有lci奇异性，目标是非奇异的。该方法涉及到推广的一个因子contradiction芒福德从层复。该构造在公寓式家庭中有效。一个稳定映射到非奇异曲线X的广义分支因子产生一个从稳定映射空间到X的一个对称积的典范态射。这个分支态射（连同虚局部化）被用来计算P^1的覆盖的Hurwitz数，对于所有的亏格和度，都是用Hodge积分表示的。
We prove that the moduli space of stable logarithmic maps with fixed numerical invariants, from logarithmic curves to a fixed projective target logarithmic scheme with fine and saturated logarithmic structure, is a proper algebraic stack. This was previously known only with further restrictions on the logarithmic structure of the target.
Choosing a normal crossings anticanonical divisor of $\mathbb{P}^2$ leads to four log Calabi-Yau surfaces, three of which are Looijenga pairs. In this survey article, I describe how to count rational curves in these that intersect each component of the divisor in one point of maximal tangency.
Stable logarithmic maps to Deligne--Faltings pairs II
我们做了一个观察，使人们能够推导出存在的代数堆栈的日志映射的所有广义Deligne-Faltings日志结构（特别是简单的正规交叉因子）从最简单的情况下，与日志结构的卡地亚除数（基本上是光滑的除数的情况下）。
On Abel maps of stable curves
我们构造了稳定曲线$X$的Abel映射.即对$X$在正则全空间上的每一个单参数变形和每一个整数$d>0$，通过特殊化构造了从$X^d$的光滑轨迹到$X$上半稳定曲线上平衡线丛的模格式的映射$α^d_X$.对于$d=1$，我们表明，$α^1_X$自然延伸到$X$，并不依赖于变形的选择，我们给出了一个精确的描述时，它是单射的。
Regular components of moduli spaces of stable maps
从亏格g曲线到簇Y的稳定映射的模空间M_g（Y，b）的一个分支称为正则的，如果它是一般光滑的，并且具有形变理论提供的期望维数。本文证明了当Y是射影空间的乘积时，M_g（Y，b）的正则分支的存在性。这个结果也可看作是M_g中Brill-Noether轨迹的一个一般位置定理。
Stable maps, multiplicities, and compactified Jacobians
研究复杂积分曲线的稳定映射、变形空间和紧化雅可比簇之间的数值关系，修正Fantechi-Göttsche-van Straten关于变形空间δ-常数层在[C]处乘积性的陈述，并给出原主张成立的充要条件。
Stable gauged maps
我们给出了一个规范映射的模栈满足Mundet和Schmitt引入的稳定性条件，以及相关的积分引起的规范Gromov-Witten不变量的介绍。我们调查各种应用上同调和K理论Gromov-Witten不变量。
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