Zero Divisors in Associative Algebras over Infinite Fields
Michael Schweitzer, Steven Finch
设F是一个无限域。证明了三维结合F-代数A的右零因子必构成A的至多1/2个线性子空间的并。证明是基本的，并与学生作为预期的观众写。
Let F be an infinite field. We prove that the right zero divisors of a three-dimensional associative F-algebra A must form the union of at most finitely many linear subspaces of A. The proof is elementary and written with students as the intended audience.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Structure of the Cayley-Dickson algebras
本文研究了Cayley-Dickson代数的结构，揭示了非结合性与幂结合子代数的关系，并通过分层构造定义了八元数和sedenion的子代数。
On the deformation theory of structure constants for associative algebras
讨论了构造由变形驱动代数生成的结合代数的结构常数变形的代数方法。零的左因子的理想在这个构造中起着核心作用。研究了结合三维代数的变形及其与可积系统的联系。
(Co)associative $3$-ary (co)algebras and infinitesimal bialgebras: construction and main properties
构造并讨论了（余）结合、部分（余）结合和完全（余）结合的$3$ -元（余）代数和无穷小双代数.定义了它们的三模和匹配对，并完全刻画了它们的特征。推导并分析了其主要结构特性和关系。
Full Descripion of ring varieties whose finite rings are uniquely determined by their zero-divisor graphs
结合环$R$的零因子图$Γ(R)$是其顶点都是$R$的非零零因子（单侧和双侧）且两个不同的顶点$x$和$y$通过边连接的图当且仅当$xy=0$或$yx=0$ .本文给出了有限环由其零因子图唯一确定的环簇的完整刻画。
On varieties of rings whose finite rings are determined by their zero-divisor graphs
结合环$R$的零因子图$Γ(R)$是其顶点都是$R$的非零零因子（单侧和双侧）且两个不同的顶点$x$和$y$通过边连接的图当且仅当$xy=0$或$yx=0$ .本文研究了有限环由其零因子图唯一确定的环簇的一些性质。
Homomorphisms of modules associated with polynomial matrices with infinite elementary divisors
若非奇异多项式矩阵$L$的逆矩阵有多项式部分，则可将$L$与真有理函数环上的模联系起来，这与$L$在无穷远处的结构有关.本文刻画了这类模的同态。
A uniform characterization of the octonions and the quaternions using commutators
设$R$是一个环，其中${\bf 1}$是非交换的.假设$R$中的非零交换子不是零因子。进一步假设$R$是可替换的，但不是结合的，或者$R$是结合的，并且任何交换子$v\in R$满足：$v^2$在$R.$的中心我们证明了$R$没有零因子。此外，如果$\text{char}(R)\ne 2,$，则如果$R$是交替的，则$R$在其中心的局部化是八元数除法代数，如果$R$是结合的，则是四元数除法代数。我们在这两种情况下的证明本质上是相同的，它是基本的，而且是自包含的。
The higher-order hom-associative Weyl algebras
本文研究高阶Weyl代数作为同源结合代数的变形特性，证明其自然出现于同源结合迭代微分多项式环中，并探讨其结构特征与分类。
Weighted infinitesimal unitary bialgebras on matrix algebras and weighted associative Yang-Baxter equations
通过构造一个合适的余积，使矩阵代数具有加权无穷小酉双代数结构。进一步，在Aguiar的观点下，在矩阵代数上构造了一个无穷小酉霍普夫代数.通过探讨加权无穷小双代数与准李代数之间的关系，构造了矩阵代数上的准李代数结构，进而构造了一种新的李代数结构。我们还引入了加权结合杨-巴克斯特方程（AYBE），得到了加权结合AYBE的解与加权无穷小酉双代数的解之间的关系.给出了矩阵代数上权为$λ$的结合杨-巴克斯特方程的解与权为$-λ$的Rota-Baxter算子的解之间的一个双射.从而构造了加权拟三角无穷小酉双代数，推广了Aguiar的结果。最后，我们证明了任何加权拟三角无穷小酉双代数都可以成为树状代数。
Extensions of associative algebras
本文给出了结合代数扩张问题的纯上同调解释，即一个结合代数扩张为另一个结合代数的问题.然后，我们给出了一个类似的解释无限小变形的扩展。特别地，我们考虑了结合代数的表示的无穷小变形。
A classification of barycentrically associative polynomial functions
本文描述了无限可换整环上重心结合的多项式函数类。
A characterization of the quaternions using commutators
设$R$是一个与${\bf 1}$非交换的结合环.假设任何非零交换子$v\in R$满足：$v^2$在$R$的中心，并且$v$不是零因子。(Note我们的假设不包括有限维。）我们证明了$R$没有零因子，并且如果${\rm char(R)}\ne 2,$，则$R$在其中心的局部化是一个四元数除代数。
On antisymmetric infinitesimal conformal bialgebras
本文构造了结合共形代数的双代数理论，即反对称无穷小共形双代数。一方面，给出了反对称无穷小双代数的共形结构。另一方面，在一定条件下，这种结构等价于Frobenius共形代数的二重结构，Frobenius共形代数是一种结合共形代数，它被分解为另一个结合共形代数与其共形对偶的直和作为$\mathbb{C}[\partial]$ -模，使得它们都是子代数，并且自然共形双线性型是不变的.共边界的情况下，导致引入的联合共形杨-巴克斯特方程的反对称解给出反对称无穷小共形双代数。此外，利用结合共形代数和树状共形代数的$\mathcal{O}$ -算子，给出了结合共形杨-巴克斯特方程反对称解的构造。
Examples of associative algebras for which the T-space of central polynomials is not finitely based
1988年，S. V. Okhitin证明了对特征为零的域k，T-空间CP（M_2（k））是N-基的，并提出了一个问题：对于每个含有适当包含CP（A）的恒等式的非零T-理想的（酉）结合代数A，CP（A）是否是N-基的。V. V. Shchigolev（2001）证明了对于任何特征为零的域k，无限维自由结合k代数的每个T-空间都是基于k的，由此可以得出无限维自由酉k代数的每个T-空间也是基于k的。这比回答Okhitin关于特征为零的域的问题（肯定地）更好。对于特征为2的域，无限维格拉斯曼代数，酉和非酉，是交换的，因此每个中心多项式的T-空间是基于T的。下面我们将证明，如果p是大于2的素数，k是特征p的任意域，则无限维自由（酉或其他）结合代数的中心多项式的T-空间是基于T的，从而为Okhitin的问题提供了否定的答案。
Zero-divisors and idempotents in quandle rings
本文进一步发展了作者在近期工作中提出的Quandle环理论。quandles的有序性的定义和许多有趣的例子，有序quandles。证明了半拉丁的左或右可序quandle的quandle环不存在零因子。幂等元的quandle环的某些有趣的quandles计算和使用，以确定这些环中的极大quandles集。对幂等元的理解被进一步应用于确定这些quandle环的自同构群。此外，还引入了Quandle环的换向器宽度，并在几种情况下进行了计算。最后，对Quandle环与其它著名的非结合代数的关系作了评述。
On associative operations on commutative integral domains
本文描述了交换整环上的结合多线性多项式函数。这推广了Marichal和Mathonet关于无限整环的结果，并为二元$n$ -半群的Andres分类提供了一个新的证明.
Maximal T-spaces of a free associative algebra
研究了非空集上自由结合k-代数的T-空间格。它表明，当字段k是无限的，那么格有一个最大的元素，最大的元素实际上是一个T理想。与此形成鲜明对比的是，证明了当域k是有限的时，T-空间的格有无穷多个极大元（其中正好有两个是T-理想）。对于自由酉结合k-代数也得到了类似的结果。证明是基于这样的观察：在非空集X上的自由结合$k$ -代数的极大T-空间的集合与在单点集上的极大T-空间的集合之间存在自然双射。这使得研究单元素集上的自由结合k-代数的T-空间格的结果转移到一般情况。
Cohomology and deformations of O-operators on Hom-associative algebras
本文介绍了Hom-结合代数上$\mathcal{O}$ -算子的上同调理论.这个上同调也可以看作是某个系数在适当双模中的Hom-结合代数的Hochschild上同调。接下来，我们研究无穷小和正式变形的$\mathcal{O}$ -运营商，并表明，他们是由上述定义的上同调。此外，还引入了与$\mathcal{O}$ -算子相关联的Nijenhuis元的概念来刻画平凡的无穷小形变.
Placeholder Substructures III: A Bit-String-Driven ''Recipe Theory'' for Infinite-Dimensional Zero-Divisor Spaces
由Cayley-Dickson过程（CDP）从N维超复数（N是2的幂，至少是4）导出的零因子（ZD）可以表示奇点，当N接近无穷大时，可以表示分形，从而表示无标度网络。任何大于大于8且不是2的幂的整数，当它被解释为被称为“盒风筝”（ZD的基本构建块）的八面体顶点图形的集合的“支柱常数”（S）时，都会生成元分形或“天空”。非常简单的位操作规则或“配方”提供了在Wolfram的Class 4复杂性的上下文中将一个分形属转换为其他分形属的工具。
Automorphisms and derivations of algebras of infinite matrices
我们描述了域上无限矩阵的几个重要结合和李代数的自同构和导子。
Associative Geometries. II: Involutions, the classical torsors, and their homotopes
对于所有的典型群（以及它们在无限维或一般基域或环上的类似群），我们构造了某些收缩，称为“同伦”。该结构是几何的，使用作为成分的关联几何的对合。我们证明了在适当的假设下，群及其同伦有一个标准半群完备化。
Associative Geometries. II: Involutions, the classical torsors, and their homotopes
对于所有的典型群（以及它们在无限维或一般基域或环上的类似群），我们构造了某些收缩，称为“同伦”。该结构是几何的，使用作为成分的关联几何的对合。我们证明了在适当的假设下，群及其同伦有一个标准半群完备化。
Derivations of rings of infinite matrices
本文刻画了一般系数环上无限矩阵的若干重要结合环与李环的导子结构。
The Parafree Conjecture for Lie rings and associative algebras
研究构造出有限生成带增广的无 parafree 结合代数，其二维同调空间可数无限维，否定结合代数的无 parafree 猜想类似结论，回答了 Ivanov 和 Lopatkin 的问题，该例子源于自由幺半群的特定子幺半群的幺半群代数。
On nonmatrix varieties of associative rings
本文研究了结合环的非矩阵范畴，推广了已知结果到一般环的情况，并扩展到不包含矩阵代数的范畴。
Automorphisms of Sedenions
研究十六元数自同构问题，借助克利福德代数，通过扩展7顶点法诺平面为15顶点法诺体，结合新校准与现有结合校准，明确推导其自同构，扩展前人结果并解决文献差异，还推测法诺超体可揭示凯莱 - 迪克森代数结构。
Cohomology and deformation theory of Reynolds--Nijenhuis associative algebras
本文提出Reynolds-Nijenhuis交换代数的上同调与变形理论，探讨其与Rota-Baxter算子的关系及变形理论中的关键性质。
Homological algebra of semimodules and semicontramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures
我们在非交换环上的余代数上的代数上的模的无界导出范畴（适当定义）中发展了同调代数的基本结构（我们称之为核上的半代数）。定义了半张量积和半同态函子的双边导出函子SemiTor和SemiExt，并构造了半模的奇异导出范畴与半模的奇异范型之间的等价关系.某些（余）平坦性和/或（余）投射性条件必须施加在核和半代数上，以使模范畴阿贝尔（和余张量积结合）。此外，由于一些技术上的原因，我们大多不得不假设基本环具有有限的同调维数（关于核和半代数没有这样的假设）。在最后一节中，我们构造了半（反）模复形范畴上的模型范畴结构，并发展了滤子半代数和拟微分核环的相对非齐次Koszul对偶理论。我们的例子来自半无限上同调理论。与Tate李代数和分次结合代数的半无限（上）同调在附录中建立了比较，并定义了局部紧拓扑群相对于开profinite子群的半无限同调.应用于无穷维李代数在互补中心电荷能级（Virasoro的$c$和$26-c$）上表示的复形之间的对应关系。
Maximal T-spaces of the free associative algebra over a finite field
在早期的工作中，我们建立了对任何有限域k，在一个生成元x上的自由结合k-代数，记为k[x]_0，有无穷多个极大T-空间，但恰好有两个极大$理想（每个理想都是一个极大T-空间）。然而，除了这两个T-理想之外，还没有发现k[c]_0的极大T-空间的例子。本文给出了对每个有限域k，k[x]_0的真T-空间的无穷序列（其中没有一个是T-理想），每个真T-空间都有有限余维，并且对每个真T-空间都提供了T-空间本身的线性基和互补线性子空间的线性基.证明了序列中的第一个T-空间是k[x]_0的极大T-空间，从而给出了k[x]_0的极大T-空间不是极大T-理想的第一个例子.
Large annihilators in Cayley-Dickson algebras
Cayley-Dickson代数是从实数、复数、四元数和八元数开始的非结合代数的无穷序列。研究了高阶Cayley-Dickson代数中的零因子。特别地，我们证明了2^n维Cayley-Dickson代数中任意元素的零化子的维数至多为2 ^n-4 n +4.此外，在0和这个上界之间的每一个4的倍数实际上都是某个零化子的维数（莫雷诺的一个定理说，只有4的倍数才能出现）。我们完整地描述了零化子维数为2^n-4 n +4的所有零因子。
Semi-infinite cohomology and Hecke algebras
本文为数学中引入的经典Hecke代数的推广提供了一个同调代数基础。QA/9805134。这些新的Hecke代数与（A，B，e）形式的三元组相关联，其中A是一个包含子代数B的结合代数，子代数B的特征标为e.这类代数与结合代数的上同调有关，即对每个左A-模V和右A-模W，与三元组（A，B，e）相关联的Hecke代数自然分别作用在V和W的B-上同调和B-同调空间中。我们还引入了结合代数的半无限上同调函子，并定义了作用在半无限上同调空间中的Hecke代数的修改。我们称这些代数为半无限Hecke代数。作为例子，我们将复半单李代数g所对应的W-代数W（g）实现为半无限Hecke代数.使用这种实现，我们显式地计算代数W（g），避免了费根和弗伦克尔使用的玻色化技术。
Poisson bialgebras by deformations-to-quasiclassical limits
本文将泊松代数的形变-拟经典极限过程推广到双代数层面，推导了泊松双代数的对应关系并通过相干导子阐释，是李双代数量子化过程的无穷小版本。
Derivations of group rings
设R[G]是具有单位元的结合环R上的群G的群环，使得G的元素的阶的所有素除子在R中可逆.如果R是有限的，G是Chernikov（挠FC-）群，则R[G]的每个R-导子是内导子。对于其他类的群G和环R也得到了类似的结果。
Zero action determined modules for associative algebras
设$A$是域$F$上的酉结合代数，$V$是酉左$A$ -模.如果每个双线性映射$f: A\times V\rightarrow F$都具有$f(a,m)=0$的性质，则模块$V$称为零作用确定的，只要$am=0$对于某个线性映射$Φ: V\rightarrow F$具有$f(x,v)=Φ(xv)$的形式。本文对$A$的有限维不可约和主投射零作用决定模进行了分类。作为应用，给出了两类零积确定代数：一类半完美代数（一般为无限维）和拟遗传胞腔代数。
Associative algebras satisfying a semigroup identity
表示为（R，.）无限域上的结合代数R的乘法半群，设（R，*）表示R通过圈运算x*y=x+y+xy作为半群的情形.本文利用R的李结构刻画了这类半群中恒等式的存在性。也就是说，我们证明了下列条件在R上是等价的：半群（R，*）满足一个恒等式;半群（R，.）满足一个约化恒等式;并且，R的相关李代数满足恩格尔条件。当R是有限生成的时，这些条件各自等价于R是上李幂零的。
Compatible associative bialgebras
我们引入了一个非对称的操作数$\mathcal{N}$，它的维数由Catalan数$n$给出。在相容结合代数上定义的余代数结构的研究中，它自然地出现。证明了任意自由相容结合代数都存在相容无穷小双代数结构，其本原元的子空间是$\mathcal{N}$ -代数。数据$({\rm As},{\rm As}^2, \mathcal{N})$是一个很好的三元组运算，在J. - L. Loday的感觉。我们的构造导出了另一个运算三元组$({\rm As},{\rm As}_2,{\rm As})$，其中${\rm As}_2$是匹配双代数的运算。动机是A。Goncharov的路的Hopf代数$P(S)$，引入了双匹配对偶代数的概念，证明了路的Hopf代数$P(S)$是双匹配对偶代数.
Combinatorics on finite words and the length of a finite-dimensional associative algebra
本文研究满足特定复杂度条件的有限单词形式，探讨了幂回避与子单词复杂度的关系，并将结果应用于有限维结合代数的数值不变量研究。
Tarski-type problems for free associative algebras
在本文中，我们研究自由结合代数的基本模型理论问题，即，一阶分类，判定的一阶理论，和可定义的自由基的集合。证明了域上两个有限秩自由结合代数初等等价的充要条件是它们的秩相同且域在弱二阶逻辑中等价。特别地，同一域上两个有限秩的自由结合代数初等等价当且仅当它们同构。证明了：若任意环$B$至少具有一个Noether真中心化子，且环一阶等价于无限域上的有限秩自由结合代数，则环$B$也是域上的有限秩自由结合代数.这解决了自由结合代数在一个广泛的一类环的初等分类问题。最后，给出了有限秩自由结合代数中定义自由基集的环语言公式。
Enumeration of Finite Rings with Jacobson Radical of Cube Zero
在[1]中，构造了有限的具有单位元的结合环，使得所有零因子的集合形成立方零平方非零的理想M，称为Jacobson根。这些环是完全准素的，我们称它们为具有性质（T）的环。在本文中，我们将不变量（整数）与每个具有性质（T）和特征p的环联系起来，并确定（在某些情况下）具有给定不变量的这些环的同构类的数目。
Quantum deformations of associative algebras and integrable systems
研究了一类结合非交换代数结构常数的量子形变。结果表明，这些变形是由量子中心系统，它具有消失的黎曼曲率张量的几何意义的Christoffel符号识别的结构常数。一个子类的isoassociative量子变形所描述的定向结合方程，特别是，由WDVV方程。证明了一类更广泛的弱（非）结合量子形变也与可积孤子方程有关。特别地，三维和无限维代数的这种变形分别由Boussinesq方程和KP族描述。
On the classification of G-graded twisted algebras
设G是群，W是交换环R上的代数.我们说W是G-分次扭代数（不一定是交换的，也不结合），如果存在G-分次W= \bigoplus_{g \in G} W_{g}，其中每个被加数W_{g}是一个自由秩为1的R -模，并且W没有单名零因子（对于每对非零元素w_{a}，w_{b} en W_{a}和W_{b}，它们的乘积不为零，w_{a} w_{b} \neq 0）。还假设W具有单位元。本文利用群上同调的方法研究了分次同构下的一般分类问题。我们给出了一个完整的描述，这些代数的结合的情况下，复杂的和真正的代数。在非结合的情况下，一个类似的结果得到了相应的结合函数的代数的对称条件下，当群提供的分次是有限循环的。
On the problem of the finiteness of the compressed zero divisor graphs of Artinian rings
设R是Artin环，G是R的压缩零因子图.压缩零因子图的团数何时是有限的问题是由J. Coykendall，S.萨瑟-瓦格斯塔夫湖Sheppardson和S. Spiroff，在他们的调查论文题为零因子图。他们证明了如果R的长度至多为4，则团数是有限的。在长度为6的情况下，他们给出了一个环的例子，其中团是无限的。本文证明了当环长为5时，压缩零因子图的团数是有限的。
Fractal nil graded Lie, associative, Poisson, and Jordan superalgebras
构造了任意域上的一个正无穷分形3-生成李超代数$\mathbf Q$，它产生了一个结合壳$\mathbf A$，一个Poisson超代数$\mathbf P$和两个Jordan超代数$\mathbf J$，$\mathbf K$ .一个自然的过滤$\mathbf A$，其中相关的分次代数有一个结构的泊松超代数和$\mathrm{gr} \mathbf A\cong\mathbf P$，也$\mathbf P$承认一个代数量子化。李超代数$\mathbf Q$在生成元上是$\mathbb Z^3$ -分次的，$\mathbf A$，$\mathbf P$是$\mathbb Z^3$ -分次的，而$\mathbf J$，$\mathbf K$是$\mathbb{Z}^4$ -分次的.这五个超代数具有明确的单项式基和缓慢的多项式增长。我们描述了多齐次坐标的基地$\mathbf Q$，$\mathbf A$，$\mathbf P$在空间为界的“几乎三次抛物面”。$\mathbb R^4$中的一个相似超曲面限定了$\mathbf J$的单项式，$\mathbf K$。本文的构造可应用于以前研究过的李超代数，也可得到Poisson超代数和Jordan超代数。代数${\mathbf Q}$，${\mathbf A}$和无单位的代数$\mathbf P^o$，$\mathbf J^o$，$\mat…
A comparison of deformations and geometric study of associative algebras varieties
本文的目的是给出一个概述，并比较不同的变形理论的代数结构。我们在每一种情况下描述退化和僵化的相应概念。我们举例说明这些概念，并给出一些一般性质。这项工作的最后一部分显示了如何帮助这些概念的研究结合代数品种。第一个也是最流行的变形方法是由M. Gerstenhaber为环和代数使用正式幂级数。Pinczon给出了一个非对易形式，F.拿多一个更一般的方法称为整体变形遵循一般理论的施莱辛格和发展的A。Fialowski，从而使无限维幂零李代数变形.在非标准框架下，M.Goze引入了扰动的概念来研究有限维复李代数的刚性。所有这些方法都有一个共同的事实，即我们对这个领域进行了“扩展”。这些理论可以应用于任何多线性结构。本文主要研究结合代数范畴。
The $L_\infty$-deformations of associative Rota-Baxter algebras and homotopy Rota-Baxter operators
该研究构造了控制相对Rota-Baxter代数的$L_\infty[1]$-代数，引入其对应的上同调研究无穷小形变，推导了余边界斜对称无穷小双代数的上同调，还定义了同伦相对Rota-Baxter算子并探究其与相关同伦代数的关系。
Valued Deformations of Algebras
我们发展了变形的概念，使用赋值环作为系数环。这允许考虑特别是经典的Gerstenhaber变形的联合或李代数作为无穷小变形和解决方程的变形在一个多项式框架。我们还考虑了刚性李代数的包络代数的变形，并定义了某些类非结合代数的值变形。
Pre-Lie systems and obstruction to A_infty-structures over a ring
本文利用结合代数H（A）的Hochschild上同调，证明了一个关于结合上同伦代数A上的交换环R上的A无限结构存在的阻塞定理.注记的隐含目的是表明，在交换环R上不需要任何假设，在复形A上也不需要任何有界假设。
$n$-Valued Analogue of Abel's Theorem
该研究证明了阿贝尔定理的n值类比，对n值代数结构进行分类并证明了Kholodov的分类猜想。
Sweedler Duality for BiHom-associative Algebras
本文提出BiHom-关联代数的Sweedler对偶构造，定义其对偶结构并证明其煤代数性质，同时扩展到右BiHom模，恢复Hom和经典情况。
Gradings on simple algebras of finitary matrices
本文讨论了特征为零的代数闭域上的无穷多个非零元素矩阵的结合代数上的有限阿贝尔群群的分次。
On Deformations of Associative Algebras
Gerstenhaber在一篇经典的论文中证明了结合k-代数A的一阶变形是由A的第二Hochschild上同调群控制的。更一般地，由于Hochschild上同调的杯积的交换性，A的任何n-参数一阶变形给出从分次代数Sym（k^n）到Ext^*（A，A）的态射，Ext ^*（A，A）是A-双模范畴中的Ext-代数。我们证明了A的n-参数一阶变形到无穷阶形式变形的任何扩展提供了上述分次代数态射到从Sym（k^n）到dg-代数RHom（A，A）的dg-代数态射的规范“提升”，其中对称代数Sym（k^n）被视为具有零微分的dg-代数（由置于2度的向量空间$\k^n$生成）。
Hochschild two-cocycles and the good triple $(As,Hoch,Mag^\infty)$
Hochschild双上圈在结合代数的Gerstenhaber变形中起着重要的作用.引入了一类Hoch-代数，其对象是具有额外的岩浆运算\succ的结合代数，该运算证明了Hochschild双上循环关系：（x \succ y）*z+（x*y）\succ z= x \succ（y*z）+ x*（y \succ z）.用平面有根树给出了K-向量空间上的自由Hoch-代数，并证明了具有无穷小关系的三元组（As，Hoch，Mag^ \infty）是好的.在此基础上，我们得到了连通无限小Hoch-双代数与Mag^ \infty -代数范畴的等价性.
Additive combinatorics methods in associative algebras
我们适应的方法，从添加剂组合学的群体的研究线性跨度结合酉代数。特别是，我们建立了这些代数类似物的Diderrich-Kneser的和Hamidoune的定理和陶的定理集的小倍。同时，我们还对有限域上的有限维代数进行了分类。这些代数在我们的线性版本的狄德里奇-克内瑟定理中起着至关重要的作用。我们还解释了如何原来的定理群，我们线性化可以很容易地推导出我们的结果适用于群代数。最后，利用有限幺半群中两个子集的相应幺半群代数，给出了有限幺半群中两个子集的Minkowski积的下界。
Double constructions of biHom-Frobenius algebras
本文讨论了一个Hom-结合代数，它是由给定的Hom-结合代数$(\mathcal{A}, \cdot, α)$及其对偶$(\mathcal{A}^{\ast}, \circ, α^{\ast}),$赋予非退化对称双线性形式$\mathcal{B},$的直和构成的，其中$\cdot$和$\circ$分别是定义在$\mathcal{A}$和$\mathcal{A}^{\ast},$上的乘积，$ α$和$α^{\ast}$表示相应的代数同态.这样的双重构造，也称为Hom-Frobenius代数，可以用无穷小Hom-bialgebra来解释。用同样的方法刻画了双Hom-结合代数的双重构造，也称为双Hom-Frobenius代数。最后，给出了Hom-树状代数的二重构造，也称为Connes上圈或辛Hom-结合代数的二重构造。此外，还引入了biHom-树型代数的概念，并对其进行了讨论。构造了它们的双模和匹配对，并给出了相关的性质。
Bialgebras, Frobenius algebras and associative Yang-Baxter equations for Rota-Baxter algebras
Rota-Baxter算子和双代数在它们的应用中齐头并进，例如在重正化的Connes-Kreimer方法和经典杨-巴克斯特方程的算子方法中。我们建立了一个双代数结构，是兼容的Rota-Baxter运营商，称为Rota-Baxter反对称无穷小（ASI）双代数。这个双代数的特点是广义的匹配对的代数和双重结构的Frobenius代数的背景下，Rota-Baxter代数。对上边界情形的研究将结合杨-巴克斯特方程（AYBE）推广到Rota-Baxter代数.利用该方程的反对称解构造Rota-Baxter ASI双代数。引入Rota-Baxter代数和Rota-Baxter树状代数上的$\mathcal{O}$ -算子的概念，得到了Rota-Baxter代数中AYBE的解，从而得到了Rota-Baxter ASI双代数.一个意想不到的副产品是，一个Rota-Baxter ASI双代数的重量为零，产生了一个四双代数，而不是双代数结构的dendriform代数。
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