Extension of Whitney jets of controlled growth
我们重温惠特尼的扩张定理在超可微Roumieu设置。基于描述的超可微类的重量矩阵，我们扩展的结果如何增长约束的Whitney射流上的任意紧子集在$\mathbb R^n$保持其扩展到$\mathbb R^n$。更确切地说，对于$\mathbb R^n$上的超可微函数的任何容许类$\mathcal C$，我们确定一个类$\mathcal C'$，使得任意紧子集上的类$\mathcal C'$的所有超可微Whitney喷流容许在$\mathcal C$中扩张。类$\mathcal C'$可以从$\mathcal C$显式计算。
2017-01-29 math.CA math.FA
On the extension of Whitney ultrajets, II
我们刻画了Whitney延拓定理在超可微Roumieu设置下的有效性，并控制了正则性的损失。特别地，我们证明了在[15]的主要定理1.3中，条件（1.3）可以被丢弃。此外，我们澄清了[15]中仍然存在的一些问题。
2018-11-12 math.CA math.FA
Whitney extension theorem and intrinsic rectifiability of jump sets in Carnot-Carathéodory spaces
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
证明等正则Carnot-Carathéodory空间中局部可积函数的内在跳跃集具有内在可数可求长性，关键新工具是内在C^1函数的局部标量Whitney延拓定理。
2026-09-10 math.CA math.FA math.MG
A coordinate-free proof of the finiteness principle for the Whitney extension problem
我们提出了一个坐标自由的版本的费曼的解决方案的惠特尼的扩张问题的空间$C^{m-1,1}(\mathbb{R}^n)$。虽然原来的论点依赖于一个精心制作的归纳收集的偏导数，我们的证明使用的语言的理想和不变量子空间的环多项式。我们强调的作用，紧凑性的证明，首先在熟悉的意义上的拓扑紧凑性，但也有意义上的有限性定理所产生的逻辑和半代数几何。
2021-05-26 math.CA
Computability of a Whitney Extension
Università di Udine（乌迪内大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文证明在输入适当表示时，Whitney扩展的可计算性。通过闭集F的距离函数可计算性和给定的Whitney喷射，构造出在F上与给定函数一致的C^m函数。
2026-04-04 math.CA math.LO
Whitney extensions and orthonormal expansions
$\mathbb R^d,\, d\geq 2$中有限集的Whitney近延拓问题提出了如下问题：设$ϕ:E\to \mathbb R^d$是具有一定几何的有限集$E\subset \mathbb R^d$上的近畸变。如何判断$ϕ$是否扩展到一个光滑的，一对一的和接近失真的$Φ:\mathbb R^d\to \mathbb R^d$，这与$ϕ$在$E$和$\mathbb R^d$中的欧几里得运动一致。紧集$E\subset U$在$\mathbb R^n,\, n\geq 1$的开子集$U$中的Whitney近延拓问题要求如下：令$U\subset R^n$是开的，令$E\subset U$是紧集。设$ϕ:U\to \mathbb R^n$是光滑的近等距。如何判断是否存在一个光滑的一对一的近似等距$Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$，它在$E$上扩展了$ϕ$，并与$\mathbb R^n$上的欧几里德运动一致。经典的Whitney扩张问题要求如下：设$ϕ:E\to \mathbb R$是定义在任意集合$E\subset \mathbb R^n$上的映射。如何判断$ϕ$是否延伸到一个映射$Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R$，它与$ϕ$在$E$上一致，并且在$C^m(\mathbb R^n),\, m\geq 1$中，即从$\mathbb R…
2023-03-28 math.CA
An example related to Whitney's extension problem for $L^{2,p}(\mathbb{R}^2)$ when $1<p<2$
本文针对1<p<2时的$L^{2,p}(\n\mathbb{R}^2)$Whitney延拓问题，证明存在从分形结构离散集E到全空间的有界线性延拓算子，证明借助了Fefferman-Klartag的径向对称二叉树相关定理。
2023-12-12 math.CA math.FA
Oscillatory Loomis-Whitney and Projections of Sublevel Sets
考虑一个具有Loomis-Whitney多重线性型的振荡积分算子.相位在$\mathbb{R}^d$中原点的邻域内是实解析的，并且满足与其牛顿多面体相关的非简并条件。在某些情况下，该算子得到最大衰减，这取决于牛顿多面体的相位和给定的勒贝格指数。我们的估计意味着这样的实解析函数的子级集的体积相对于投影到坐标超平面上的面积的乘积是小的。
2019-07-03 math.CA
Uniform extension of definable $C^{m,ω}$-Whitney jets
本文证明在实数域的任意o-minimal扩张中，可定义$C^{m,ω}$-Whitney射流可一致延拓为可定义$C^{m,ω}$函数，并讨论$C^m$版本及连续模的影响。
2024-09-05 math.AG math.CA math.FA
The sharp Whitney extension theorem for convex $C^1$ Lipschitz functions
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
该研究提出了一种构造凸 $C^1$ Lipschitz 函数精确延伸的方法，其 Lipschitz 常数与给定函数的上界相关，并可控制延伸的全局行为。
2026-02-05 math.CA math.FA
On the Whitney near extension problem, BMO, alignment of data, best approximation in algebraic geometry, manifold learning and their beautiful connections: A modern treatment
本文介绍了代数几何、逼近论、复调和分析和高维数据科学等几门数学学科交叉的几个数学问题之间的联系。现代技术在代数几何，逼近论，计算调和分析和扩展开发的第一个同类，一个统一的框架，允许同时研究标记和未标记的近对齐数据问题的$\mathbb R^D$与近等距扩展问题的离散和非离散子集的$\mathbb R^D$与某些几何。此外，本文综述了聚类、降维、流形学习、视觉以及最小能量划分、差异和最小最大优化等方面的相关工作。许多开放的问题。
2023-02-09 cs.CV cs.LG math.CA
Whitney Extension Theorems for convex functions of the classes $C^1$ and $C^{1,ω}$
令$C$是$\mathbb{R}^n$的子集（不一定是凸的），$f:C\to\mathbb{R}$是函数，并且$G:C\to\mathbb{R}^n$是一致连续函数，具有连续模$ω$。本文给出了$f$，$G$上存在凸函数$F\in C^{1, ω}(\mathbb{R}^n)$的充要条件，使得$F=f$在$C$上，$\nabla F=G$在$C$上，并且$\nabla F$的连续模与$G$的连续模有很好的一致性.另一方面，假设$C$是紧的，我们也解决了一个类似的问题，类$\mathbb{R}^n$上的$C^1$凸函数，具有良好的控制Lipschitz常数的扩展（即，$\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$）。最后，给出了$\mathbb{R}^n$的紧子集$K$通过$C^1$或$C^{1,1}$凸体的边界插值的一个几何应用.
2016-10-10 math.CA math.DG
Ultradifferentiable extension theorems: a survey
我们调查超可微扩张定理，即，惠特尼的经典扩展定理的定量版本，特别强调连续线性扩展算子的存在性。重点是Denjoy Carleman类，我们从头开始发展理论，并讨论重要的相关概念，如（非）准解析性。它使我们能够给出一个有效的，并在一定程度上，基本介绍布劳恩-梅斯-泰勒类的基础上，他们表示为交集和工会的Denjoy-Carleman类。
2021-12-30 math.CA math.FA
On the Whitney distortion extension problem for $C^m(\mathbb R^n)$ and $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ and its applications to interpolation and alignment of data in $\mathbb R^n$
本文解决了 $C^m$ 和 $C^\infty$ 映射的 Whitney 畸变延拓问题，给出将紧集上的小畸变几乎等距映射延拓为全局小畸变几乎等距映射的精确判定条件，并应用于 $\mathbb R^n$ 中数据插值与对齐。
2024-02-25 math.CA
Mityagin's Extension Problem. Progress Report
给定一个紧集$K\subset {\Bbb R}^d,$，设${\mathcal E}(K)$表示$K$上的Whitney喷流空间.如果存在连续线性扩张算子$W:{\mathcal E}(K) \longrightarrow C^{\infty}({\Bbb R}^d)$，则称紧集$K$具有扩张性质。1961年B. S. Mityagin提出了一个问题，给一个表征的扩展财产的几何条款。我们表明，没有这样完整的描述，在密度的豪斯多夫内容或相关特性。此外，扩展属性不能用马尔可夫因子的增长来表征。
2016-06-28 math.CA math.FA
An example of $\infty$-harmonic function, which is not $C^2$ on a dense subset
我们表明，对于某些边界值的McShane-Whitney的最小扩展样函数是$\infty$ -调和边界附近，而不是$C^2$上的一个稠密子集。
2004-11-30 math.AP math.CA
Smooth Selection for Infinite Sets
Whitney的扩展问题提出了如下问题：给定一个紧集$E\subset\mathbb{R}^n$和一个函数$f:E\to \mathbb{R}$，我们如何判断是否存在$F\in C^m(\mathbb{R}^n)$使得$F=f$在$E$上？2006年，Charles Fergusman \cite{F06}的一个定理回答了这个问题。在本文中，我们建立了一个版本的这个定理适用于变体的惠特尼扩展问题，包括非负扩展和光滑选择问题。除其他事项外，我们推广的光滑选择的Festhiman-Israel-Luli \cite{FIL16}设置无限集的连续性原则。我们的主要结果是表示在迭代Glaeser细化的一束形成的潜在的泰勒多项式在$E$的每一点。特别是，我们表明，这样的束（和任何束封闭，凸纤维）稳定后，有界数量的格莱泽细化，从而加强了以前的结果格莱泽，Bierstone Milman Pawalucki，和Favalman只持有束与仿射纤维。
2022-01-01 math.CA math.FA
On the extension of Muckenhoupt weights in metric spaces
Wolff的一个定理指出定义在$\mathbb{R}^n$的可测子集上并满足Muckenhoupt型条件的权可以扩展到整个空间作为同类的Muckenhoupt权。我们将这个定理推广到支持加倍测度的度量测度空间中，给出了一个完备的、自包含的证明。相关的扩展问题，我们还显示了Muckenhoupt权重惠特尼链的度量设置的估计。
2021-10-25 math.CA math.MG
A Bounded Linear Extension Operator for $L^{2,p}(\R^2)$
对于有限的$E \subset \R^2$，$f:E \rightarrow \R$和$p>2$，我们产生一个连续的$F:\R^2 \rightarrow \R$线性依赖于$f$，采取相同的值作为$f$对$E$，并与$L^{2,p}(\R^2)$半范数最小的一个因素$C=C(p)$。这解决了Sobolev空间$L^{2,p}(\R^2)$的Whitney扩张问题。解决扩张问题的一个标准方法是找到一个局部扩张的集合，每个局部扩张定义在一个小正方形上，如果选择相互一致，可以将它们拼凑在一起，形成一个定义在整个平面上的全局扩张。对于Sobolev空间，由于迹范数的（一般）非局部结构，相容性的标准形式不适用。在本文中，我们定义了一个新的概念之间的局部Sobolev扩张的一致性，并将其应用于构造一个有界线性扩张算子。我们的方法推广到产生类似的结果为$n$维的情况下，并可能适用于了解更高的光滑度Sobolev扩展问题。
2010-11-05 math.CA
Explicit formulas for $C^{1, 1}$ and $C^{1, ω}_{\textrm{conv}}$ extensions of $1$-jets in Hilbert and superreflexive spaces
给定$X$为Hilbert空间，$ω$为连续模，$E$为$X$的任意子集，以及函数$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to X$，我们通过一个简单的显式公式，给出了喷流$(f,G)$允许具有$F:X\to \mathbb{R}$凸和$C^{1, ω}(X)$类的扩张$(F, \nabla F)$的充要条件.由于这个结果，如果$ω$是线性的，我们表明，这个公式的一个变体提供了明确的$C^{1,1}$扩展一般（不一定是凸）$1$ -喷气机满足通常的惠特尼扩展条件，最好的可能的Lipschitz常数的梯度的扩展。最后，如果$X$是一个超自反Banach空间，我们建立了类似的结果类$C^{1, α}_{\textrm{conv}}(X)$。
2017-12-13 math.CA math.FA
Stokes' theorem for nonsmooth chains
在过去的两个世纪里，关于积分的大量文献都是关于扩展可积函数类的。相比之下，我们的观点类似于哈斯勒惠特尼[{ \it几何积分理论}，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西州，1957年]和几何测度理论家，因为我们扩展了可积{ \it域}的类。令$ω$是定义在$\Bbb R^m$上的$n$ -形式.我们表明，如果$ω$是足够光滑，它可以被集成在充分控制，但非光滑，域$γ$。较平滑的是$ ω$，较粗糙的可以是$γ$。允许域包括一个大类的非光滑链和拓扑$n$ -流形沉浸在$\Bbb R^m$。证明了该积分是勒贝格积分的推广，并满足推广的Stokes定理.
1993-10-01 math.CA math.DG
Extension of Krein's special method for solving integral equations
Institute of Mathematics of NAS of Armenia（亚美尼亚国家科学院数学研究所）
该研究将求解积分方程的Krein特殊方法推广至积分方程组求解场景，推导了对应的解的推广公式，并通过实例验证了结果的有效性。
2025-10-06 math.CA
Harnack Extension for Abstract Perron-Stiletjes Integral and Its Application in LSRSS Property
本文给出了关于巴拿赫空间的双线性三元组的连续性的一些定义，并由此进一步给出了抽象Perron-Stieltjes积分的一些性质。此外，我们扩展了该积分的Harnack扩张和Cauchy性质的概念，并将其应用于研究预先引入的抽象Perron-Stieltjes积分和LSRSS性质之间的联系。
2013-02-12 math.CA
The existence of a bounded linear extension operator for $L^{s,p}(\mathbb{R}^n)$ when $\frac{n}{p}<\{s\}$
该研究在齐次Sobolev-Slobodeckij空间框架下，证明了当参数满足$\frac{n}{p}<\{s\}$时，从射流空间到$L^{s,p}(\mathbb{R}^n)$的有界线性延拓算子存在，方法结合经典Whitney延拓算子与指数递减路径法。
2024-10-09 math.CA
Extensions and results from a method for evaluating fractional integrals
我们提出了一种方法来自拉普拉斯变换理论，使分数次积分的评价。这种方法是适应和扩展以各种方式来证明其效用在其他类别的积分推导出替代表示。我们还使用的方法结合几种不同的技术，得出许多结果，还没有出现在积分表。
1994-11-28 math.CA
Some extensions of Hardy's integral inequalities to Hardy type spaces
本文将Hardy积分不等式推广到$0<p\leq 1$.
2011-03-07 math.AP math.CA
An extension of an asymptotic result of Tricomi concerning a definite integral
我们考虑F.G. Tricomi由\[\int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mbox{erf}\,x)^{m} dx\]给出为$m\to\infty$。该过程涉及适当变量变换和互补误差函数$\mbox{erfc}\,x$的反演。数值结果证明了该展开式的准确性。第二部分探讨了在翼型理论中产生的积分的扩展。
2022-01-07 math.CA
The asymptotic expansion of Kratzel's integral and an integral related to an extension of the Whittaker function
本文利用最陡下降法研究了Krätzel积分\[F_{p,ν}(x)=\int_0^\infty t^{ν-1} e^{-t^p-x/t}\,dt\qquad (|\arg\,x|<π/2),\]对$p>0$的渐近展开为$|x|\to \infty$在扇区$|\arg\,x|<π/2$中的情形.另一种推导这种扩展使用梅林-巴恩斯积分的方法。还考虑了$p<0$、$\Re (ν)<0$以及$x$和$ν$（$p>0$）均较大的情况。第二部分讨论了涉及修改贝塞尔函数，最近被引入作为惠特克函数的扩展$M_{κ,μ}(z)$的积分的渐近展开。数值例子来说明所获得的各种扩展的准确性。
2021-12-06 math.CA
Calderón commutators and the Cauchy integral on Lipschitz curves revisited III. Polydisc extensions
本文是最后一个系列的三个文件，其范围是给新的证明著名定理卡尔德龙，Coifman，麦金托什和迈耶。在这里，我们将前两篇论文的结果扩展到polydisc设置。特别是，我们完全解决了一个开放的问题，Coifman从八十年代初。
2012-01-18 math.CA
Role of the Harnack Extension Principle in the Kurzweil-Stieltjes Integral
各种使用规范积分的Stieltjes积分在微分方程和其他应用领域已经变得非常流行。在积分理论和常微分方程理论中，收敛定理提供了最广泛使用的工具之一。Harnack扩张原理讨论了Kurzweil-Henstock可积函数在$(a,b)$的特定子集上在$[a,b]$上可积的一个充分条件，是给出收敛定理的关键步骤. Kurzweil-Stieltjes积分减少到Kurzweil-Henstock积分时，积分器是一个单位函数。通常，如果积分器$F$在$[c,d]\subset[a,b]$上不连续，则Kurzweil-Stieltjes积分$$\int_c^d[dF]g,\ \int_{[c,d]}[dF]g,\ \int_{[c,d)}[dF]g,\ \int_{(c,d]}[dF]g,\ {\rm and}\ \int_{(c,d)}[dF]g$$的值不需要重合。因此，Kurzweil-Henstock积分中的Harnack扩张原理不再适用于具有间断积分的Kurzweil型Stieltjes积分。等可积性和等正则性的新概念是Kurzweil-Stieltjes积分的Harnack扩张原理的关键。此外，积分$\int_a^b[dF]g$的存在并不总是意味着（即使在单位积分器的情况下）对于$[a,b]$的每个子集$T$都存在积分$\int_{T}[dF]g$。这是从众所周知的事实得出的，例如…
2022-11-13 math.CA
Jackson integral representation for a multiple $q$-hypergeometric series and an extension of the $q$-Riemann-Papperitz system
Department of Education, Kogakkan University（香川大学教育学部）
本文为Kajihara的$q$-超几何级数$W^{M,2}$给出Jackson积分表示，构造对应的$q$-差分系统，推广了三次$q$-超几何方程变体，并证明其退化包含$q$-Appell-Lauricella系统。
2025-10-19 math.CA
An extension of positivity for integrals of Bessel functions and Buhmann's radial basis functions
对于\begin{equation*} \int_0^x \left(x^μ-t^μ\right)^λt^αJ_β(t)dt\qquad(x>0), \end{equation*}型Bessel积分，利用${}_1F_2$和${}_2F_3$广义超几何函数的新的正性准则，改进了已有的正性结果.作为应用，我们推广了Buhmann紧支撑径向基函数类.
2018-05-30 math.CA
The Fourier extension operator on large spheres and related oscillatory integrals
对一类具有折叠正则关系且满足曲率条件的振荡积分算子，得到了新的估计。主要的下界显示尖锐的证明使用Kakeya集的建设。作为上界的一种特殊情况，我们推导出了在$\mathbb{R}^3$中的大球面上的Fourier延拓算子的最优$L^p(mathbb{S}^2)\to L^q(R \mathbb{S}^2)$估计，它们在半径$R$上是一致的.包括两个附录，一个关于应用洛仑兹空间边界平均运营商沿曲线在$R^3$，和一个双线性估计。
2006-09-21 math.CA
Vector-valued extensions for fractional integrals of Laguerre expansions
证明了定义在两个不同的拉盖尔函数规范正交系上的分数次积分的向量值不等式。我们的研究结果是基于相应的内核与精确控制的参数估计。作为应用，得到了与谐振子有关的分数次积分的混合模估计。
2017-02-21 math.CA math.FA
Extensions of Ramanujan's reciprocity theorem and the Andrews--Askey integral
拉马努金互易定理可以被认为是雅可比三重积恒等式的三变量推广。利用$q$ -偏微分方程的方法，将Ramanujan互易定理推广到一个七元互易公式. Andrews-Askey积分是一个具有四个参数的$q$ -积分，其基为$q$。用同样的方法，我们将Andrews-Askey积分公式推广到以$q$为基的七参数的$q$积分公式.
2018-05-17 math.CA math.CO math.NT
Sharp quantitative integral inequalities for harmonic extensions
本文针对Poisson算子及其伴随算子，证明了Hang、Wang和Yan的精确积分不等式的量化版本，获得了最强范数和不一定等于2的最优稳定性指数。
2025-08-13 math.AP math.CA math.FA
