关于 $C^m(\mathbb R^n)$ 和 $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ 的 Whitney 畸变延拓问题及其在 $\mathbb R^n$ 中数据插值与对齐中的应用
On the Whitney distortion extension problem for $C^m(\mathbb R^n)$ and $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ and its applications to interpolation and alignment of data in $\mathbb R^n$
AI总结：
本文解决了 $C^m$ 和 $C^\infty$ 映射的 Whitney 畸变延拓问题，给出将紧集上的小畸变几乎等距映射延拓为全局小畸变几乎等距映射的精确判定条件，并应用于 $\mathbb R^n$ 中数据插值与对齐。
摘要：
在本公告中，我们考虑如下问题。设 $n,m\geq 1$，$U\subset\mathbb R^n$ 为开集。本文对以下 Whitney 畸变延拓问题给出精确解：(a) 设 $ϕ:U\to \mathbb R^n$ 为 $C^m$ 映射。若 $E\subset U$ 是紧集（具有某种几何结构），且 $ϕ$ 在 $E$ 上的限制是一个具有小畸变的几乎等距映射，如何判定是否存在一个 $C^m(\mathbb R^n)$ 的一一且映上的、具有小畸变的几乎等距映射 $Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$，使得 $Φ$ 在 $E$ 的一个邻域内与 $ϕ$ 一致，而在远离 $E$ 处与一个欧氏运动 $A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ 一致。(b) 设 $ϕ:U\to \mathbb R^n$ 为 $C^{\infty}$ 映射。若 $E\subset U$ 是紧集（具有某种几何结构），且 $ϕ$ 在 $E$ 上的限制是一个具有小畸变的几乎等距映射，如何判定是否存在一个 $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ 的一一且映上的、具有小畸变的几乎等距映射 $Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$，使得 $Φ$ 在 $E$ 的一个邻域内与 $ϕ$ 一致，而在远离 $E$ 处与一个欧氏运动 $A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ 一致。我们的结果补充了文献 [14,15,20] 中的工作，在那里 $E$ 是有限集。在那种情形下，上述问题同时也是 $\mathbb R^n$ 中数据插值与对齐的问题。本文的材料见于研究专著 [14]。
英文摘要：
In this announcement we consider the following problem. Let $n,m\geq 1$, $U\subset\mathbb R^n$ open. In this paper we provide a sharp solution to the following Whitney distortion extension problems: (a) Let $ϕ:U\to \mathbb R^n$ be a $C^m$ map. If $E\subset U$ is compact (with some geometry) and the restriction of $ϕ$ to $E$ is an almost isometry with small distortion, how to decide when there exists a $C^m(\mathbb R^n)$ one-to-one and onto almost isometry $Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ with small distortion which agrees with $ϕ$ in a neighborhood of $E$ and a Euclidean motion $A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ away from $E$. (b) Let $ϕ:U\to \mathbb R^n$ be $C^{\infty}$ map. If $E\subset U$ is compact (with some geometry) and the restriction of $ϕ$ to $E$ is an almost isometry with small distortion, how to decide when there exists a $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ one-to-one and onto almost isometry $Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ with small distortion which agrees with $ϕ$ in a neighborhood of $E$ and a Euclidean motion $A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$ away from $E$. Our results complement those of [14,15,20] where there, $E$ is a finite set. In this case, the problem above is also a problem of interpolation and alignment of data in $\mathbb R^n$. The material in this paper appears in the memoir [14].
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
