The Whitney extension theorem in high dimensions
Alan Chang
我们证明了一个变种的标准惠特尼扩展定理$\mathcal C^m(\mathbb R^n)$，其中的扩展操作的范数有多项式增长在$n$固定$m$。
We prove a variant of the standard Whitney extension theorem for $\mathcal C^m(\mathbb R^n)$, in which the norm of the extension operator has polynomial growth in $n$ for fixed $m$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Whitney's Theorem for oscillatiing on $R$ functions
我们找到了振荡函数的惠特尼常数的阶
Nonnegative Whitney Extension Problem for $C^1(\mathbb{R}^n)$
设$ f $是$ \mathbb{R}^n $中紧子集上的实值函数.我们将展示如何决定$ f $是否扩展到非负和$ C^1 $功能$ \mathbb{R}^n $。当$ m > 0 $时，从一般紧集$ E $得到的非负$ C^m $扩张还没有已知的结果。$ m \geq 2 $的非负延拓问题仍然是开放的。
Traces of weighted function spaces: dyadic norms and Whitney extensions
自Nikolskii，Aronszajn，Slobodetskii，Babich和Gagliardo等人在20世纪50年代的工作以来，索伯列夫空间的迹空间和相关的分数光滑空间一直是一个活跃的研究领域。在本文中，我们回顾了文献中关于这样的结果，各种加权光滑空间。为此，我们提出了一个表征的迹空间（分数阶的光滑），基于积分平均的二进立方体，这是非常适合于扩展功能使用惠特尼扩展算子。
A coordinate-free proof of the finiteness principle for the Whitney extension problem
我们提出了一个坐标自由的版本的费曼的解决方案的惠特尼的扩张问题的空间$C^{m-1,1}(\mathbb{R}^n)$。虽然原来的论点依赖于一个精心制作的归纳收集的偏导数，我们的证明使用的语言的理想和不变量子空间的环多项式。我们强调的作用，紧凑性的证明，首先在熟悉的意义上的拓扑紧凑性，但也有意义上的有限性定理所产生的逻辑和半代数几何。
On the extension of Whitney ultrajets of Beurling type
我们证明了一个版本的惠特尼的扩张定理在超可微Beurling设置与控制损失的规律性。作为一个副产品，我们证明了在$\mathbb R^n$中的任意闭集上的Whitney超喷射的某些空间上的连续线性扩张算子的存在性。
On the extension of Whitney ultrajets
我们证明了在超可微Roumieu环境下正则性受控损失下Whitney扩张定理有效的充要条件。
Whitney extensions and orthonormal expansions
$\mathbb R^d,\, d\geq 2$中有限集的Whitney近延拓问题提出了如下问题：设$ϕ:E\to \mathbb R^d$是具有一定几何的有限集$E\subset \mathbb R^d$上的近畸变。如何判断$ϕ$是否扩展到一个光滑的，一对一的和接近失真的$Φ:\mathbb R^d\to \mathbb R^d$，这与$ϕ$在$E$和$\mathbb R^d$中的欧几里得运动一致。紧集$E\subset U$在$\mathbb R^n,\, n\geq 1$的开子集$U$中的Whitney近延拓问题要求如下：令$U\subset R^n$是开的，令$E\subset U$是紧集。设$ϕ:U\to \mathbb R^n$是光滑的近等距。如何判断是否存在一个光滑的一对一的近似等距$Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R^n$，它在$E$上扩展了$ϕ$，并与$\mathbb R^n$上的欧几里德运动一致。经典的Whitney扩张问题要求如下：设$ϕ:E\to \mathbb R$是定义在任意集合$E\subset \mathbb R^n$上的映射。如何判断$ϕ$是否延伸到一个映射$Φ:\mathbb R^n\to \mathbb R$，它与$ϕ$在$E$上一致，并且在$C^m(\mathbb R^n),\, m\geq 1$中，即从$\mathbb R…
Extension of Whitney jets of controlled growth
我们重温惠特尼的扩张定理在超可微Roumieu设置。基于描述的超可微类的重量矩阵，我们扩展的结果如何增长约束的Whitney射流上的任意紧子集在$\mathbb R^n$保持其扩展到$\mathbb R^n$。更确切地说，对于$\mathbb R^n$上的超可微函数的任何容许类$\mathcal C$，我们确定一个类$\mathcal C'$，使得任意紧子集上的类$\mathcal C'$的所有超可微Whitney喷流容许在$\mathcal C$中扩张。类$\mathcal C'$可以从$\mathcal C$显式计算。
On the extension of Whitney ultrajets, II
我们刻画了Whitney延拓定理在超可微Roumieu设置下的有效性，并控制了正则性的损失。特别地，我们证明了在[15]的主要定理1.3中，条件（1.3）可以被丢弃。此外，我们澄清了[15]中仍然存在的一些问题。
Whitney's theorem for local anisotropic polynomial L_p-approximation, 0<p<1
Dinh Dng和T. Ullrich已经证明了一个多元惠特尼定理的局部各向异性多项式近似的$L_p(Q)$为$1 \le p \le \infty$，其中$Q$是一个$d$ -平行六面体在$\RR^d$与平行的坐标轴。他们认为错误的最佳逼近的功能$f$代数多项式的固定程度最$r_i - 1$在变量$x_i,\ i=1,...,d$。当$Q$的大小变为0时的逼近误差的收敛速率由所谓的全混合光滑模表征。这些作者所使用的证明方法不适用于$0 <p<1$的情况。本文对$0< p \le \infty$用另一种方法证明了这个定理。
Whitney extension theorem and intrinsic rectifiability of jump sets in Carnot-Carathéodory spaces
证明等正则Carnot-Carathéodory空间中局部可积函数的内在跳跃集具有内在可数可求长性，关键新工具是内在C^1函数的局部标量Whitney延拓定理。
Extension theorems of Whitney type by the use of integral operators
给定一个${\bf R}^n$的紧集，总有一个以它为支集的加倍测度。我们利用这一事实来构造一个积分算子，该算子将定义在${\bf R}^n$的任何紧集上的可微函数扩展到整个${\bf R}^n$。这使我们既能给出Whitney扩张定理的一个新的证明，又能将其推广到定义在${\bf R}^n$的任意紧集上的Besov空间。我们还修改这个操作，在一定的假设下，全纯扩展。
Computability of a Whitney Extension
本文证明在输入适当表示时，Whitney扩展的可计算性。通过闭集F的距离函数可计算性和给定的Whitney喷射，构造出在F上与给定函数一致的C^m函数。
Whitney Approximation: domains and bounds
本文研究区间上Whitney逼近定理的单变量全纯延拓问题，改进Gauthier-Kienzle的结果，构造可延拓到最优大小定义域的切向逼近函数，并对无界闭区间上的被逼近函数给出全纯延拓的增长界。
An example related to Whitney's extension problem for $L^{2,p}(\mathbb{R}^2)$ when $1<p<2$
本文针对1<p<2时的$L^{2,p}(\n\mathbb{R}^2)$Whitney延拓问题，证明存在从分形结构离散集E到全空间的有界线性延拓算子，证明借助了Fefferman-Klartag的径向对称二叉树相关定理。
Cartan--Whitney Presentation, Non-smooth Analysis and Smoothability of Manifolds: On a theorem of Kondo--Tanaka
利用几何测度论的工具和结果，给出了K. Kondo和M. Tanaka，Approximation of Lipschitz Maps via Immersions and Differentiable Exotic球面定理，\textit{Nonlinear Anal.} \textbf{155}（2017），219- 249，以及相反的陈述。它探讨了非光滑分析理论{ \it à la} F.~ H. Clarke和某些同调流形族上具有Sobolev正则性的Whitney平坦$1$ -形式的特殊系统的存在性。
The sharp Whitney extension theorem for convex $C^1$ Lipschitz functions
该研究提出了一种构造凸 $C^1$ Lipschitz 函数精确延伸的方法，其 Lipschitz 常数与给定函数的上界相关，并可控制延伸的全局行为。
Uniform extension of definable $C^{m,ω}$-Whitney jets
本文证明在实数域的任意o-minimal扩张中，可定义$C^{m,ω}$-Whitney射流可一致延拓为可定义$C^{m,ω}$函数，并讨论$C^m$版本及连续模的影响。
Whitney Extension Theorems for convex functions of the classes $C^1$ and $C^{1,ω}$
令$C$是$\mathbb{R}^n$的子集（不一定是凸的），$f:C\to\mathbb{R}$是函数，并且$G:C\to\mathbb{R}^n$是一致连续函数，具有连续模$ω$。本文给出了$f$，$G$上存在凸函数$F\in C^{1, ω}(\mathbb{R}^n)$的充要条件，使得$F=f$在$C$上，$\nabla F=G$在$C$上，并且$\nabla F$的连续模与$G$的连续模有很好的一致性.另一方面，假设$C$是紧的，我们也解决了一个类似的问题，类$\mathbb{R}^n$上的$C^1$凸函数，具有良好的控制Lipschitz常数的扩展（即，$\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$）。最后，给出了$\mathbb{R}^n$的紧子集$K$通过$C^1$或$C^{1,1}$凸体的边界插值的一个几何应用.
On the Whitney near extension problem, BMO, alignment of data, best approximation in algebraic geometry, manifold learning and their beautiful connections: A modern treatment
本文介绍了代数几何、逼近论、复调和分析和高维数据科学等几门数学学科交叉的几个数学问题之间的联系。现代技术在代数几何，逼近论，计算调和分析和扩展开发的第一个同类，一个统一的框架，允许同时研究标记和未标记的近对齐数据问题的$\mathbb R^D$与近等距扩展问题的离散和非离散子集的$\mathbb R^D$与某些几何。此外，本文综述了聚类、降维、流形学习、视觉以及最小能量划分、差异和最小最大优化等方面的相关工作。许多开放的问题。
On configurations where the Loomis-Whitney inequality is nearly sharp and applications to the Furstenberg set problem
本文研究了高维空间中的Furstenberg集问题。首先，以下沃尔夫的工作的二维实际情况下，我们提供了“合理的”上界的问题$\mathbb{R}$或$\mathbb{F}_p$。接下来我们研究了“临界”情况，并通过$Ω(\frac{1}{n^2})$改进了$\mathbb{F}_p^n$的“平凡”指数。我们获得这个下界的关键工具是一个关于当卢米斯-惠特尼不等式接近尖锐时事物如何表现的定理，因为它有助于我们将问题降低到二维。
On the Whitney distortion extension problem for $C^m(\mathbb R^n)$ and $C^{\infty}(\mathbb R^n)$ and its applications to interpolation and alignment of data in $\mathbb R^n$
本文解决了 $C^m$ 和 $C^\infty$ 映射的 Whitney 畸变延拓问题，给出将紧集上的小畸变几乎等距映射延拓为全局小畸变几乎等距映射的精确判定条件，并应用于 $\mathbb R^n$ 中数据插值与对齐。
Ultradifferentiable extension theorems: a survey
我们调查超可微扩张定理，即，惠特尼的经典扩展定理的定量版本，特别强调连续线性扩展算子的存在性。重点是Denjoy Carleman类，我们从头开始发展理论，并讨论重要的相关概念，如（非）准解析性。它使我们能够给出一个有效的，并在一定程度上，基本介绍布劳恩-梅斯-泰勒类的基础上，他们表示为交集和工会的Denjoy-Carleman类。
A functional Loomis-Whitney type inequality in the Heisenberg group and projection theorems over finite fields
本文在Heisenberg群中建立了函数Loomis-Whitney型不等式，并通过归纳法和多线性插值证明了端点估计，同时讨论了有限域上的投影问题。
Mityagin's Extension Problem. Progress Report
给定一个紧集$K\subset {\Bbb R}^d,$，设${\mathcal E}(K)$表示$K$上的Whitney喷流空间.如果存在连续线性扩张算子$W:{\mathcal E}(K) \longrightarrow C^{\infty}({\Bbb R}^d)$，则称紧集$K$具有扩张性质。1961年B. S. Mityagin提出了一个问题，给一个表征的扩展财产的几何条款。我们表明，没有这样完整的描述，在密度的豪斯多夫内容或相关特性。此外，扩展属性不能用马尔可夫因子的增长来表征。
An example of $\infty$-harmonic function, which is not $C^2$ on a dense subset
我们表明，对于某些边界值的McShane-Whitney的最小扩展样函数是$\infty$ -调和边界附近，而不是$C^2$上的一个稠密子集。
Smooth Selection for Infinite Sets
Whitney的扩展问题提出了如下问题：给定一个紧集$E\subset\mathbb{R}^n$和一个函数$f:E\to \mathbb{R}$，我们如何判断是否存在$F\in C^m(\mathbb{R}^n)$使得$F=f$在$E$上？2006年，Charles Fergusman \cite{F06}的一个定理回答了这个问题。在本文中，我们建立了一个版本的这个定理适用于变体的惠特尼扩展问题，包括非负扩展和光滑选择问题。除其他事项外，我们推广的光滑选择的Festhiman-Israel-Luli \cite{FIL16}设置无限集的连续性原则。我们的主要结果是表示在迭代Glaeser细化的一束形成的潜在的泰勒多项式在$E$的每一点。特别是，我们表明，这样的束（和任何束封闭，凸纤维）稳定后，有界数量的格莱泽细化，从而加强了以前的结果格莱泽，Bierstone Milman Pawalucki，和Favalman只持有束与仿射纤维。
On the extension of Muckenhoupt weights in metric spaces
Wolff的一个定理指出定义在$\mathbb{R}^n$的可测子集上并满足Muckenhoupt型条件的权可以扩展到整个空间作为同类的Muckenhoupt权。我们将这个定理推广到支持加倍测度的度量测度空间中，给出了一个完备的、自包含的证明。相关的扩展问题，我们还显示了Muckenhoupt权重惠特尼链的度量设置的估计。
Explicit formulas for $C^{1, 1}$ and $C^{1, ω}_{\textrm{conv}}$ extensions of $1$-jets in Hilbert and superreflexive spaces
给定$X$为Hilbert空间，$ω$为连续模，$E$为$X$的任意子集，以及函数$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to X$，我们通过一个简单的显式公式，给出了喷流$(f,G)$允许具有$F:X\to \mathbb{R}$凸和$C^{1, ω}(X)$类的扩张$(F, \nabla F)$的充要条件.由于这个结果，如果$ω$是线性的，我们表明，这个公式的一个变体提供了明确的$C^{1,1}$扩展一般（不一定是凸）$1$ -喷气机满足通常的惠特尼扩展条件，最好的可能的Lipschitz常数的梯度的扩展。最后，如果$X$是一个超自反Banach空间，我们建立了类似的结果类$C^{1, α}_{\textrm{conv}}(X)$。
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