Externally definable sets and dependent pairs II
我们继续研究NIP理论中的外部可定义集合的结构以及通过新谓词扩展后的NIP的保持。最重要的是：有限集上的类型是一致可定义的;在模型上，公式的非分叉实例族（参数范围在一个类型可定义的集合上）可以被许多不变类型所覆盖;我们给出了在远端理论中由一个新谓词展开的有界性的一些准则;命名一个任意小的不可辨别序列保留NIP，而命名一个大的序列则不保留;有一些NIP理论模型，在这些模型上，所有的1型都是可定义的，但不是所有的n型都是可定义的。
2012-02-13 math.LO
Measuring definable sets in o-minimal fields
本文在O-极小域$R$的卡方幂的有限部分所包含的可定义集上引入了一个非实值测度。该测度取有序半环中的值，即$R$的商的戴德金完备化。证明了$R^n$的每一个非空内部的可测子集都有正测度，并且该测度由Jacobian行列式等于$\pm 1$的可定义$C^1$ -同态保持.
2014-04-28 math.LO
On $Σ_1$-Definable Closed Unbounded Sets
该文聚焦集合论中基数$κ$的$Σ_1$-可定义闭无界集，研究其对完全闭无界滤子的逼近程度及对定义复杂度的依赖，发现逼近能力差异大且依赖底层集合论宇宙性质。
2024-04-18 math.LO
On countable cofinality and decomposition of definable thin orderings
证明了在某些情况下Borel偏序的可定义薄集（包括链）必然可数共尾.这包括以下几种情况：解析瘦集，Solovay模型中的ROD瘦集，以及假设$ω_1^{L[x]}<ω_1$对所有实数$x$的$Σ^1_2$瘦集。我们还证明了可定义的薄wellorderings承认分区成可定义的链中的Solovay模型。
2014-11-30 math.LO
Some semilattices of definable sets in continuous logic
在连续一阶逻辑中，可定义集合的并集是可定义的，但交集一般是不可定义的。这意味着在任何连续理论中，在一个变量中的$\varnothing$ -可定义集合的集合在包含下形成可能不是格的并半格。我们调查的问题，其中半格出现的可定义的集合在连续理论。我们证明了对任何非平凡的有限半格$L$（或等价地，任何有限格$L$），存在一个超稳定理论$T$，它的可定义集的半格是$L$ .然后，我们将这个构造推广到一些无限半格。特别是，我们发现，以下半格出现在连续理论：$α+1$和$(α+1)^\ast$的任何顺序$α$，一个半格包含一个确切的对以上$ω$，和过滤器的格在$L$的任何可数满足半格$L$。通过作者以前的工作，这建立了这些半格出现在稳定的理论。前两个是在基数语言$\aleph_0 + |α|$中完成的，后两个是在可数语言中完成的。
2023-02-04 math.LO
Externally definable sets and dependent pairs
证明了一阶NIP理论中的外可定义集具有诚实定义，给出了Shelah展开定理的一个新证明。我们还讨论了一个弱的概念，稳定嵌入真在这种情况下。这些结果，然后用来证明一个一般定理依赖对，特别是回答了一个问题的鲍德温和Benedikt命名一个不可辨别的序列。
2011-09-15 math.LO
Definable sets in Skolem arithmetic
本文研究Skolem算术中的可定义集问题，提出全新的可定义集刻画方法，采用不同组合工具证明该理论的可判定性，旨在给出比现有证明更简洁的可判定性证明。
2025-10-02 math.LO
Interpretable sets in dense o-minimal structures
我们给出了一个例子，一个密集的O-最小结构，其中有一个可定义的商，不能被淘汰，即使在命名参数。等价地，有一个可解释的集合，它不能与任何可定义的集合一起放入参数可定义的双射中。这对Eleftheriou、Peterzil和Ramakrishnan的问题给出了否定的答案。此外，我们表明，密集的O-最小结构的可解释集承认可定义的拓扑结构是“驯服”在几个方面：（a）它们是Hausdorff的，（b）每个点都有一个与可定义集可定义同胚的邻域，（c）可定义函数是分段连续的，（d）可定义子集有许多可定义连通分支，以及（e）可定义子集的边界具有比子集本身更低的维数。
2019-11-22 math.LO
Cell decomposition and classification of definable sets in p-optimal fields
我们证明，对于p-最优域（一个非常大的子类的p-极小域包含所有已知的例子）的一个胞腔剖分定理遵循的方法可以追溯到Denef的文件[发明。Math，77（1984）]。我们从它导出可定义的Skolem函数和强p-极小的存在性。然后，我们转向强p-最优领域满足极值属性（一个属性，特别是持有领域基本上相当于一个p-adic）。对于这样的域K，我们证明了KxK^d的每个可定义子集都是半代数的，其纤维是由值群的子集赋值的逆像。结合这两个定理，我们得到了p-最优域上满足极值性质的可定义函数的一个预备定理，由此得出在这样的域上可定义的无限集合是同构的当且仅当它们具有相同的维数。
2016-02-05 math.LO
The Cauchy-Crofton formula and the Whitney arc property for definable sets
利用Cauchy-Crofton公式证明了实数的一个域扩张的O-极小展开中的每个可定义胞元（以有理半径的球为界）满足Whitney弧性质.
2010-11-07 math.LO
Topological properties of definable sets in ordered Abelian groups of burden 2
我们得到了关于负担2的负担群的稠密序阿贝尔群中一元可定义集的拓扑的一些新结果。在特殊的情况下，该结构具有dp-秩2，我们表明，存在一个无限的可定义的离散集排除了可定义的一组是密集和codense在一个区间，或一组拓扑上像康托中间三分之一集。如果结构具有负担2，并且无限离散集D和稠密-余稠密集X都是可定义的，则X的平移必须证明独立性。在最后一节中，给出了一类负担为2的序阿贝尔群的一个显式例子，其中无限离散集和稠密-余稠密集都是可定义的。
2022-11-18 math.LO
Definability in affine continuous logic
该文研究仿射连续逻辑的可定义集，证明了仿射理论在有一阶模型和紧模型两种情形下的可定义集性质，并以概率代数理论为例验证一维可定义集为区间[a,b]。
2024-03-12 math.LO
Tame Topology over Dp-minimal Structures
我们发展驯服拓扑的dp-极小结构配备可定义的一致性满足一定的假设。我们的假设足以确保可定义集是驯服的：有一个很好的概念，可定义集的维数，可定义函数是几乎处处连续的，可定义集是可定义连续的“多值函数”的图形的有限并集。这推广了关于弱o-极小、C-极小和P-极小理论的已知陈述。
2016-03-09 math.LO
One-dimensional F-definable sets in F((t))
本文研究完全剩余域幂级数域中的一维可定义集，借助 Schilling 的自同构刻画证明其为带参数的存在可定义集之并，并得到正特征完全域上由可定义集生成子域的结构结论。
2024-05-20 math.LO
Tame topology over definable uniform structures
M上的一个内脏结构是由其论域上一致拓扑的一个可定义基给出的，其中所有基本开集都是无限的，并且M的任何无限可定义子集X都有非空内部。这个上下文包括o-最小序群、p-adic域和其他示例。仅假设内部性，我们证明了M中的可定义集满足一些理想的拓扑驯服条件。例如，任何可定义的一元函数在M上有一个有限的不连续集;任何可定义的函数在M的笛卡尔幂上在非空开集上是连续的;假设可定义的有限选择，我们得到了可定义集的胞腔剖分结果。在一个附加的拓扑假设（“无空间填充函数”）下，我们证明了拓扑维数的自然概念在可定义的双射下是不变的。这些结果推广了Simon和Walsberg证明的定理，他们假设了dp-极小性和内部性。在最后一节中，我们构建了内脏结构的新例子。
2021-10-13 math.LO
Discrete sets definable in strong expansions of ordered Abelian groups
研究强扩张序阿贝尔群中可定义无限离散集的结构，证明负担至多为n时D'操作n次得有限集，稠密序且负担为2时一元离散集可在(R; <, +, Z)初等扩张中定义。
2024-08-04 math.LO
On large externally definable sets in NIP
本文研究了$ω_1$有限子集的共尾系统，证明其不能在NIP结构中定义，并肯定回答了Chernikov和Simon 2013年的问题：NIP理论中任何不可数外部可定义集均含无限可定义子集。
2023-07-20 math.LO
Tree forcing and definable maximal independent sets in hypergraphs
我们证明了在$L$上用可数支集迭代或Sacks的有限积强迫或分裂强迫后，Polish空间上的每个解析超图都存在一个$\mathbfΔ^1_2$极大独立集.作为主要应用，我们得到了$\mathfrak{r} = \mathfrak{u} = \mathfrak{i} = ω_2$的相容性以及$Δ^1_2$超滤子、$Π^1_1$极大独立族和$Δ^1_2$ Hamel基的存在性.这解决了Brendle、Fischer和Khomskii以及作者的公开问题。我们还表明，在ZFC，$\mathfrak{d} \leq \mathfrak{i}_{cl}$。
2022-04-25 math.LO
Pseudo-finite sets, pseudo-o-minimality
本文通过构造两个共享单变量可定义集的有序结构M和N，负面回答了Schoutens关于o-极小结构公理化及鸽巢原理的两个问题，并部分回答了Fornasiero的相关问题。
2019-08-31 math.LO
Structure theorems in tame expansions of o-minimal structures by a dense set
我们研究了O-极小结构的可定义在驯服展开式中的集合和群。令$\mathcal {\widetilde M}= \langle \mathcal M, P\rangle$是o-极小$\mathcal L$ -结构$\cal M$通过稠密集$P$的扩展，使得三个驯服条件成立。我们证明了一个结构定理的可定义集和功能类似的有影响力的胞腔剖分定理已知的O-最小结构。结构定理在所有已知的$\mathcal {\widetilde M}$的例子中推进了最先进的技术，因为它实现了可定义集合到“锥”的\emph{unions}的分解，而不仅仅是它们的布尔组合。我们还发展了驯服环境下的右维数论。应用包括：（i）一个可定义集合的维数与一个适当的前几何维数一致，并且它在可定义双射下是不变的，（ii）每个可定义映射都由它的一个较小维数的定义域的子集的$\cal L$ -可定义映射给出，（iii）围绕可定义群的类元，群运算由一个$\cal L$ -可定义映射给出.
2019-10-01 math.LO
Ind- and Pro- definable sets
在某些一阶理论中，我们用充分饱和模型中的点来描述可定义集范畴的因范畴和原范畴。
2006-08-07 math.CT math.LO
OD elements of countable OD sets in the Solovay model
在Solovay模型中，每一个可数的实数集合的序可定义的集合只包含序可定义的元素。
2016-03-15 math.LO
$Σ_1(κ)$-definable subsets of $\mathrm{H}(κ^+)$
我们研究了在大基数存在下的$Σ_1(ω_1)$ -可定义集（即满足某个含参数$ω_1$的$Σ_1$ -公式的集合）.我们的结果表明，Woodin基数和其上的可测基数的存在意味着没有实数的良序是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的，$ω_1$的所有平稳子集的集合不是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的，${}^{ω_1}ω_1$的每个$Σ_1(ω_1)$ -可定义的Bernstein子集的补集不是$Σ_1(ω_1)$ -可定义的.与此相反，我们表明，存在一个Woodin基数是兼容的存在一个$Σ_1(ω_1)$ -可定义的良好秩序的$\mathrm{H}({ω_2})$和存在一个$Δ_1(ω_1)$ -可定义的伯恩斯坦子集的${}^{ω_1}ω_1$。我们还表明，如果有无限多个Woodin基数和一个可测量的基数以上，那么就没有$Σ_1(ω_1)$定义的俱乐部过滤器的$ω_1$的均匀化。此外，我们证明了一个完美集定理的$Σ_1(ω_1)$可定义的子集${}^{ω_1}ω_1$，假设有一个可测基数和$ω_1$上的非平稳理想是饱和的。这些结果的证明使用迭代的一般超幂和Woodin的$\mathbb{P}_{\mathrm{max}}$ -强迫。最后，我们还证明了这些结果的一些变种的$Σ_1(κ)$ -可定义的子集的${}^κκ$，在这种情况下，$κ$本身具有一定的大基数属性。
2017-10-26 math.LO
Directed sets and topological spaces definable in o-minimal structures
我们研究定向集定义的O-极小结构，表明在扩展的序域这些承认共尾定义曲线，以及一个合适的模拟在扩展的序群，而且没有类似的持有充分的普遍性。我们利用驯服对的理论，推广的结果，在外地的情况下，可定义的家庭的集合有限的交集性质。然后，我们将我们的结果的研究可定义的拓扑。我们证明了所有可定义的拓扑空间显示性质类似于第一可数性，并给出了几个特征的概念，可定义的紧性，由于Peterzil和Steinhorn推广到这个设置。
2021-02-04 math.GN math.LO
O-minimal fields with standard part map
设R是O-极小域，V是具有剩余域k和标准部分（剩余）映射st的真凸子环：V \to k.设k_{ind}是k通过R中可定义关系的标准部分的展开。本文研究了k_{ind}中的可定义集和（R，V）上蕴含k_{ind}的o-极小性的条件.我们还证明了，如果R是Ω饱和的，V是R中有理数的凸包，那么在k_{ind}中可定义的集合恰好是在（R，V）中可定义的集合的标准部分.
2009-01-15 math.LO
Approximation by $O$-minimal sets in power-bounded $T$-convex valued fields
我们表明，对于某一大类的功率有界的$o$ -最小$\mathcal{L}_T$ -理论$T$的领域的指数是无限维的向量空间上的有理数，任何可定义的集合在一个$T$ -凸值字段$(\mathcal{R}, \mathfrak{O})$是在一个精确的意义上的限制家庭的$\mathcal{L}_T$ -可定义的集合索引的剩余领域。或者，在主流的模型论语言中，这表示如果$(\mathcal{R}', \mathfrak{O}')$是$(\mathcal{R}, \mathfrak{O})$的基本子结构，并且如果$\mathfrak{O}$的剩余域包含相对于$\mathfrak{O}'$的剩余域无穷小的元素，则在$(\mathcal{R}', \mathfrak{O}')$中可定义的任何集合$A \subseteq (\mathcal{R}')^m$是在$\mathcal{R}$中可定义的集合的迹。
2018-12-10 math.LO
Definable maximal discrete sets in forcing extensions
设$\mathcal R$是一个$Σ^1_1$二元关系，回想一下，如果$A$中没有两个元素与$\mathcal R$相关，则集合$A$是$\mathcal R$ -离散的。我们证明了在$L$的Sacks和Miller力迫扩张中存在一个$Δ^1_2$极大$\mathcal{R}$ -离散集.我们用这个回答在否定的主要问题提出的\cite{Fischer2010}表明，在萨克斯和米勒扩展有一个$Π^1_1$最大正交家庭（“MOF”）的波莱尔概率措施康托空间。相反，我们表明，如果有一个Mathias真正的$L$，那么就没有$Σ^1_2$ mofs。
2022-09-29 math.LO
Quantifier elimination in ordered abelian groups
用适当的语言给出了全序阿贝尔群理论中量词消去的一个新证明。更确切地说，这只是“相对于有序集的量词消除”。群中的每个可定义集合都是一个无量词可定义集合族的并集，其中该族的参数在一个排序中运行于一个可定义（有量词）的集合上，该排序携带一个有序集合的结构，并带有一些额外的一元谓词。作为推论，我们发现序阿贝尔群中的所有可定义函数都是关于n个可定义段的分段仿射线性函数。
2011-10-14 math.LO
Orthogonal decomposition of definable groups
本文在模型论中引入内聚性概念以刻画可定义集内部交互，并证明 o-minimal 结构中的可定义群可分解为内聚正交子集的乘积，同时探讨了特定条件下的内聚性及阿贝尔群的结构。
2022-04-20 math.LO
Definable discrete sets with large continuum
本文证明在迭代萨克斯迫法扩张中存在极大可定义离散集，与连续统假设否定相容，并应用于构造极大正交测度族。
2025-10-27 math.LO
Uniform definition of sets using relations and complement of Presburger Arithmetic
1996年，Michaux和Villemaire考虑了在Presburger算术中不可定义的整数关系$R$。也就是说，在一阶逻辑中，对于具有加法函数和顺序关系（FO[N，+，<]-可定义关系）的整数是不可定义的。他们证明了，对于每个这样的$R$，存在一个FO[N，+，<，$R$ ]-公式$ν_{R}(x)$，它定义了一组整数，这些整数不是最终周期的，即不是FO[N，+，<]-可定义的。本文证明了可以选择公式$ν(x)$，使得它不依赖于对$R$的解释。进一步证明了可以选择$ν(x)$使得它定义一个扩展集。也就是说，整数的无限集使得两个连续元素之间的距离没有界限。
2016-11-11 math.LO
Coincidence of dimensions in closed ordered differential fields
设$\mathcal K=\langle\mathcal R, δ\rangle$是M意义下的闭序微分域. Singer和$C$的常数场。本文证明了：对于可定义在对$\mathcal M=\langle \mathcal R, C\rangle$中的集合，$δ$ -维数与大维数重合.作为一个应用，我们的特点是在$\mathcal K$是内部$C$的可定义的集合，这些集是可定义的$\mathcal M$，并有$δ$ -维$0$。我们进一步表明，在$\mathcal K$中定义的集合，具有$δ$维$0$通常并不意味着在$C$中的协分析性（与transseries的情况相反）。我们还指出，尺寸的重合也保持在差分闭域的上下文中，并在transseries。
2020-10-09 math.LO
Coarse dimension and definable sets in expansions of the ordered real vector space
假设$E \subseteq \mathbb{R}$无处稠密。如果$(\mathbb{R},<,+,(x \mapsto λx)_{λ\in \mathbb{R} }, E)$不定义每个$\mathbb{R}^n$的每个有界Borel子集，则对于每个$s > 0$，对于足够大的$m \in \mathbb{N}$，我们有$$ | \{ k \in \mathbb{Z}, -m \leq k \leq m - 1 : [k,k+1] \cap E \neq \emptyset \} | < m^s $$。然后有一个$n \in \mathbb{N}$和一个线性$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，使得$T(E^n)$是稠密的。因此，如果$E$另外无处稠密，则$(\mathbb{R},<,+,0,(x \mapsto λx)_{λ\in \mathbb{R}}, E)$定义每个$\mathbb{R}^n$的每个有界Borel子集。
2019-11-16 math.LO
Cell Decomposition for semibounded p-adic sets
本文研究了环语言的一个约简L \ast，其中乘法仅限于零的邻域。选择语言使得对于p-代数闭域K，K的L \ast -可定义子集与K的半代数子集重合。因此结构（K，L \ast）可以看作半有界集合的o-极小结构的p-adic对应物。我们表明，在这种语言中，p-adically封闭领域承认胞腔剖分，使用细胞类似于p-adic半代数细胞。由此我们可以导出量词消去，并给出可定义函数的一个刻划。特别地，我们得出乘法只能定义在有界集上的结论，并考虑了可定义Skolem函数的存在性。
2012-05-18 math.LO
G-linear sets and torsion points in definably compact groups
设G是实封闭的域的o-极小扩张中的可定义紧群。证明了：如果对G的某个可定义子集X，dim（GX）< dim G，则X包含G的扭点.在此过程中，我们发展了所谓的G-线性集的一般理论，并研究了包含G的抽象子群的可定义集。
2007-08-03 math.LO
Approximation of definable sets by compact families, and upper bounds on homotopy and homology
证明了o-极小集的同伦群和同调群在紧o-极小集逼近下的新的上界。特别地，我们改进了由无量词公式定义的半代数集的贝蒂数的已知上界，并首次得到了子Pfiran集的贝蒂数的一个单指数界.
2007-10-16 math.AG math.LO
Topological Study of Pairs of Algebraically Closed Fields
我们在一个给定的代数闭域上构造一个拓扑，该域具有一个也是代数闭的特殊子域。这个拓扑比Zebraki拓扑更精细，它捕获了在如上所述的一对代数闭域中可定义的集合;在这个意义上，可定义集合正是这个拓扑中的可构造集合。
2017-06-07 math.LO
Hausdorff measure on o-minimal structures
在o-极小结构中引入了可定义集的Hausdorff测度，并证明了o-极小Hausdorff测度的Cauchy-Crofton公式和余面积公式。我们还证明了每一个可定义集可以划分成“基本可求积集”，惠特尼弧属性的基本可求积集。
2010-11-07 math.LO
Lebesgue's Density Theorem and definable selectors for ideals
我们引入了密度点的概念，并证明了类似于Lebesgue密度定理的结果，各种著名的理想Cantor空间和Baire空间。事实上，我们隔离了一类理想，我们的结果对它们成立。在这些结果的对比，我们表明，没有合理定义的选择器，选择代表的等价关系上的Borel集具有可数对称差。换句话说，没有密度的概念，使得可数集的理想满足密度定理的类似物。正结果的证明仅使用树的初等组合学，而负结果依赖于强迫变元。
2021-02-26 math.LO
Ladder mice
本文在 ZF+AD+V=L(R) 下通过分析阶梯小鼠及其推广，证明了 J_α(R) 上小鼠集合定理，并给出避免稳定塔的新证明及锥上反正确性结果。
2024-06-10 math.LO
On the measure of definable sets in profinite groups
Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld（比勒费尔德大学数学学院）；Dipartimento di Matematica ‘Ulisse Dini’, Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学乌利塞·迪尼数学系）
本文研究profinite群中言语集合的Haar测度，通过联系词宽找到正测度非一集合，给出有限秩自由情形下测度为零的充分条件，并计算无挠有限生成阿贝尔群中可定义集合的测度。
2026-09-23 math.GR math.LO
Trees of definable sets over the p-adics
对于Z_p^n的一个可定义子集（或对于Z_p上的一个有限型有限型概形），人们可以用一种自然的方式把一棵树联系起来。已知相应的Poincare级数P（X）= \sum_i N_i X^i是有理数，其中N_i是树在深度i处的节点数.这表明这些树本身远非任意的。我们对可能树的类作了一个纯粹的组合描述，并提供了一些证据，证明了我们类中的任何树都是从可定义集合中产生的，并证明了可定义集合（或方案）的树在三种特殊情况下属于我们类：在弱光滑性假设下，对于Z_p^2的可定义子集，以及对于一维集合。
2008-06-27 math.AG math.LO
Volumes of definable sets in o-minimal expansions and affine GAGA theorems
在这个主要是简要说明，我给一个非常快速的证明可定义的周定理的Peterzil和Starchenko使用主教斯托尔定理和体积估计可定义的集由于阮和Valette。体积估计说，在实数的序域的o-最小展开中，$S\subseteq\mathbb{R}^n$的任何$d$维可定义子集满足不等式$\mathcal{H}^d(\{x\in S:\lVert x\rVert<r\})\leq Cr^d$，其中$\mathcal{H}^d$表示$\mathbb{R}^n$上的$d$维Hausdorff测度，并且$C$是依赖于$S$的常数。一个密切相关的亚分析集的体积估计可以追溯到Kurdyka和Raby。由于这说明是为了帮助代数几何不精通O-最小结构和可定义集，我回顾这些概念，也证明了主要的体积估计从头开始。
2022-05-28 math.AG math.LO
Definably compact groups definable in real closed fields. I
研究了可定义在充分饱和实封闭的域$R$中的可定义紧可定义连通群.引入$\bigvee$可定义群的群类属点的概念，证明了可定义在实封闭的域的充分饱和o-极小扩张中的可定义紧群的群类属点的存在性.我们利用这个概念和类属集的一些性质证明了：对于每一个在$R$中可定义的可定义紧可定义连通群$G$，存在一个连通$R$ -代数群$H$，从$G$的恒等式的一般可定义邻域到$H$的$R$ -点的群$H\left(R\right)$的可定义内射映射$ϕ$，使得$ϕ$在其域内充当群同态。这个结果在[2]中被用来证明可定义在充分饱和的实封闭的域$R$中的交换连通可定义紧群的o-极小泛覆叠群，直到局部可定义同构，是某个$R$ -代数群的$R$ -点的o-极小泛覆叠群的开连通局部可定义子群。
2017-05-18 math.LO
NTP2 topological structures
本文研究了NTP₂扩张中构造集的性质，证明了在实数或p进数上，NTP₂扩张仅定义构造集，并且可定义函数在通用情况下是分段连续的。同时，对于有序群的NTP₂可定义完备扩张，结构在通用情况下是局部o-最小的，并具有可定义选择和自然拓扑维度。对于NIP统一拓扑结构，构造集的可定义性在Shelah扩张中得以保持。
2026-04-27 math.LO
Definable Continuous Induction on Ordered Abelian Groups
正如数学归纳法被应用于证明自然数上的命题一样，{ \it连续归纳法}（或{ \it实归纳法}）是证明实分析中某些命题的工具。（虽然，这种比较有点言过其实。）本文首先考虑稠密序阿贝尔群上的Heine-Borel定理（每个闭有界区间关于序拓扑是紧的）。然后，使用最近引入的伪有限集的概念，我们介绍了一个一阶可定义版本的{ \it连续归纳}的语言序群群，我们用它来证明一个可定义版本的Heine-Borel定理的稠密有序阿贝尔群。
2017-03-16 math.LO
On the classification of definable ccc forcing notions
我们证明了对于Suslin ccc力迫概念$\mathbb Q$加上一个Hechler实数，"$\text{ZF}+\text{DC}_{ω_1}+$所有实数集都是$I_{\mathbb Q,\aleph_0}$ -可测的“意味着存在一个具有可测基数的内部模型.我们还介绍了一个广泛的类Suslin ccc力迫概念，增加了一个Hechler真正的，使上述结果适用于他们。
2023-01-02 math.LO
Sets, groups, and fields definable in vector spaces with a bilinear form
本文研究带双线性型的向量空间理论中可定义群与域的结构，引入维数概念，证明群具有（代数-由-阿贝尔）-由-代数结构，域同构于标量域，并推广到实闭域情形。
2020-07-06 math.GR math.LO
Algebraicity and implicit definability in set theory
我们分析了用较弱的模型论代数性概念取代集合论中可定义性的几种自然用途的影响。例如，我们发现遗传序数代数集的类与遗传序数可定义集的类相同，即HOA = HOD。此外，我们表明，每一个（逐点）代数模型的ZF实际上是逐点可定义的。最后，我们考虑隐含的可构造宇宙Imp-一个代数模拟的可构造宇宙-这是通过迭代添加不仅是可定义的集合已经建立到目前为止，但也是那些代数（或等价地，隐含地定义）在现有的结构。虽然我们知道Imp可以不同于L，但这个新的内部模型的更微妙的属性现在才刚刚曝光。许多问题仍然悬而未决。
2014-02-13 math.LO
Externally definable quotients and NIP expansions of the real ordered additive group
令$\mathcal{R}$是$(\mathbb{R},<,+)$的$\mathrm{NIP}$扩展，由$\mathbb{R}^n$的闭子集和连续函数$f : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$构成。则$\mathcal{R}$是一般局部o-极小的.由此可见，如果$X \subseteq \mathbb{R}^n$在$\mathcal{R}$中是可定义的，则对于任何$k \geq 0$，$X$的$C^k$ -点在$X$中是稠密的。这是从一个更一般的定理$\mathrm{NIP}$扩展的局部紧群，这本身是从一个结果的可定义集的等价关系，这是外部可定义和$\bigwedge$ -可定义。我们还表明，$\mathcal{R}$是强依赖的当且仅当$\mathcal{R}$是O-最小或$(\mathbb{R},<,+,α\mathbb{Z})$ -最小的一些$α> 0$。
2020-03-27 math.LO
Local metric properties and regular stratifications of p-adic definable sets
本文从度量几何、微分几何和测度几何的角度研究了$p$-adic域上可定义（半代数或次解析）集芽的几何。我们证明了这样的集合在它们的每一个点上的局部密度确实存在。然后，我们引入了关于域的乘法群中某个有限指数开子群的特殊切锥的概念，并证明了，与实情形一样，在一定的重数下，局部密度可以在这个特殊切锥上计算，同时我们还证明了这些特殊切锥对于足够小的子群是稳定的.我们最终得到了密度的Cauchy-Crofton公式的$p$-adic对应。为了证明这些结果，我们使用arXiv：0904.3853v1的可定义$p$-进集的Lipschitz分解，并在这里证明分层的正则性条件的通用性，例如$(w_f)$、$(w)$、$(a_f)$、$(b)$和$(a)$条件。
2009-10-05 math.AG math.LO
On sets with rank one in simple homogeneous structures
研究了$M^{eq}$中SU秩为1的可定义集$D$，其中$M$是有限关系词汇语言中的可数同构简单结构.每一个这样的$D$都可以被看作是一个“规范嵌入结构”，它继承了$D$上所有在$M^{eq}$中可定义的关系，并且没有其他可定义的关系。我们的结果意味着，如果$M$语言的关系符号的元数都不大于2，则依赖的平凡性与$D$是二元随机结构的约简有密切的关系.更珍贵的是：（a）如果对每个$n \geq 2$，在$D$中实现的每个$n$型$p(x_1, ..., x_n)$由其子2型$q(x_i, x_j) \subseteq p$确定，则限制于$D$的代数闭包是平凡的;（b）如果$M$具有平凡依赖，则$D$是二元随机结构的约简.
2014-10-01 math.LO
Uniform local definable cell decomposition for locally o-minimal expansion of the group of reals
本文证明了以下一致局部可定义的胞腔剖分定理。考虑一个结构$\mathcal M = (M, <,0,+, \ldots)$初等等价于实数群$(\mathbb R, <,0,+)$的局部o-极小展开。设$\{A_λ\}_{λ\inΛ}$是$M^{m+n}$的可定义子集的有限族.在$M^n$中存在一个开盒$B$，它包含原点和可定义集合$M^m \times B = X_1 \cup \ldots \cup X_k$的有限划分，使得$B=(X_1)_b \cup \ldots \cup (X_k)_b$对于任何$b \in M^m$和$X_i \cap A_λ= \emptyset$都是$B$的可定义胞腔剖分，或者对于任何$1 \leq i \leq k$和$λ\in Λ$都是$X_i \subset A_λ$。这里，符号$S_b$表示在$b \in M^m$处的$M^{m+n}$的可定义子集$S$的光纤。
2019-12-12 math.LO
The structure on the real field generated by the standard part map on an o-minimal expansion of a real closed field
设R是实封闭的域的充分饱和o-极小展开式，O是R中有理数的凸包，st：O^\to \mathbb{R}^n是标准部分映射.对于X \subseteq R^n，定义st（X）：=st（X \cap O^n）。我们让\mathbb{R}_{\ind}是具有底层集合\mathbb{R}的结构，并由所有形式为st（X）的集合展开，其中X \subseteq R^{n}在R中可定义，并且n= 1，2，.我们证明了在\mathbb{R}_{\ind}中可定义的\mathbb{R}^n的子集恰好是st（X）\setminus st（Y）形式的集合的有限并，其中X，Y \subseteq R^n在R中可定义。该证明的结果是对Hrushovski、Peterzil和Pillay提出的关于R^n中有界可定义集的格上存在具有某些不变性性质的测度的问题的部分回答。
2007-06-01 math.LO
