Davenport's constant for groups of the form $Z_3 \oplus Z_3 \oplus Z_{3d}$
Gautami Bhowmik, Jan-Christoph Schlage-Puchta
我们确定达文波特常数的形式$\Z\_3\oplus \Z\_3\oplus\Z\_{3d}$的所有群体。
We determine Davenport's constant for all groups of the form $\Z\_3\oplus \Z\_3\oplus\Z\_{3d}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Note on the Davenport's constant for finite abelian groups with rank three
设$G$是有限阿贝尔群，$D(G)$表示$G$的Davenport常数.我们得到新的上界的达文波特常数的秩为三的所有群体。我们的主要结果是：$$D(C_{n_1}\oplus C_{n_2}\oplus C_{n_3})\le (n_1-1)+(n_2-1)+(n_3-1)+1+ (a_3-3)(n_1-1),$$其中$1<n_1|n_2|n_3\in\mathbb{N}$和$a_3\le 20369$是常数。因此，$D(C_{n_1}\oplus C_{n_2}\oplus C_{n_3})$随变量$n_1,n_2,n_3.$线性增长。新的结果是给定的$a_3$的上界。最后，我们给出了达文波特常数在光滑数中的应用。
Davenport constant of the multiplicative semigroup of the ring $\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{n_r}$
给定一个有限交换半群$\mathcal{S}$（写为加法），用${\rm D}(\mathcal{S})$表示$\mathcal{S}$的达文波特常数，即最小正整数$\ell$，使得对于任何$\ell$元素$s_1,\ldots,s_{\ell}\in \mathcal{S}$，存在一个集合$I\subsetneq [1,\ell]$，其中$\sum_{i\in I} s_i=\sum_{i=1}^{\ell} s_i$。然后，对于任何整数$r\geq 1, n_1,\ldots,n_r>1$，令$R=\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}_{n_r}$是这些$r$剩余类环$\mathbb{Z}_{n_1}, \ldots,\mathbb{Z}_{n_r}$的直和。此外，令$\mathcal{S}_R$是环$R$的乘法半群，而${\rm U}(\mathcal{S}_R)$是$\mathcal{S}_R$的单位群。本文证明了$${\rm D}({\rm U}(\mathcal{S}_R))+P_2\leq {\rm D}(\mathcal{S}_R)\leq {\rm D}({\rm U}(\mathcal{S}_R))+δ,$$，其中$P_2=\sharp\{i\in [1,r]: 2 \parallel n_i\}$和$δ=\…
On the Davenport constant and on the structure of extremal zero-sum free sequences
设具有$1 < n_1 \t ... \t n_r$的$G = C_{n_1} \oplus ... \oplus C_{n_r}$是一个有限阿贝尔群$\mathsf d^* (G) = n_1 + ... + n_r - r$，$\mathsf d (G)$表示$G$上零和自由序列的最大长度.然后是$\mathsf d (G) \ge \mathsf d^* (G)$，人们一直认为等式对$G = C_n^r$成立。我们发现，等式不适用于$C_2 \oplus C_{2n}^r$，其中$n \ge 3$是奇数和$r \ge 4$。这给出了$C_{2n}^r$上的极值零和自由序列的结构的新信息。
On the lower bounds of Davenport constant
设具有$1 < n_1 | \cdots | n_r$的$G = C_{n_1} \oplus \cdots \oplus C_{n_r}$是有限阿贝尔群.达文波特常数$\mathsf D(G)$是最小整数$t$，使得长度为$|S|\ge t$的$G$上的每个序列$S$具有非空零和子序列。它是零和理论的起点，但只有一个平凡的下界$\mathsf D^*(G) = n_1 + \cdots + n_r - r + 1$，它等于$p$-群上的$\mathsf D(G)$。我们研究了$C_n^r$组上的非分散序列，从而揭示了$\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)$相对于具有$n,k \ne 1$的非$p$组$G = C_n^r \oplus C_{kn}$的增长。本文给出了非$p$-群上$\mathsf D(G)$的一般下界，证明了：设$G$是具有$\exp(G)=m$且秩为$r$的阿贝尔群，固定$m>0$为非素幂，则对每个$N>0$存在一个$\varepsilon>0$使得如果$|G|/m^r<\varepsilon $，则$\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)>N$.
Upper Bounds for the Davenport Constant
证明了对于除一定数量的n阶阿贝尔群外的所有群，其Davenport常数至多为n/k+k-1（k= 1，2，.），7.对于三阶群，我们改进了包含Alon-Dubiner常数的现有界。
Quadratic Symmetric Polynomials and an analogue of the Davenport Constant
在本文中，我们定义的常数$D(φ, p)$，达文波特常数的模拟，通过二次对称多项式定义的有限域$\mathbb{F}_p$上的序列。接下来，我们陈述一系列结果，这些结果呈现$D(φ, p)$的精确值，或该常数的下限和上界。
Davenport's constant for groups with large exponent
设$G$是有限的阿贝尔群.证明了它的Davenport常数$D(G)$满足$D(G)\leq \exp(G)+\frac{|G|}{\exp(G)}-1$，条件是$\exp(G)\geq\sqrt{|G|}$，而$D(G)\leq 2\sqrt{|G|}-1$，条件是$\exp(G)<\sqrt{|G|}$ .这证明了一个猜想Balasubramanian和第一个命名的作者。
An upper bound for Davenport constant of finite groups
设$G$是有限群（不一定是阿贝尔群），$p=p(G)$是除$|G|$的最小素数。证明了$d(G)\leq \frac{|G|}{p}+9p^2-10p$，其中$d(G)$表示$G$的小Davenport常数，定义为使得在$G$上存在长度为$\ell$的序列的最大整数$\ell$.
Disproving Conjectures on the Davenport and Narkiewicz Constants
本文否证了关于 Davenport 常数上界的长期猜想，证明对任意固定秩 r≥8，Davenport 常数与经典下界之差可任意大，推翻了过去数十年的普遍信念。
The Large Davenport Constant I: Groups with a Cyclic, Index 2 Subgroup
设$G$是一个有限群，它是一个乘法群.对于$G$上的序列，我们指的是来自$G$的项的有限序列，它是无序的，允许项的重复，如果它的项可以被排序，使得它们的乘积是$G$的单位元，我们说它是乘积1序列。小达文波特常数$\mathsf d (G)$是最大整数$\ell$，使得在$G$上存在长度为$\ell$的序列，该序列没有非平凡的乘积1子序列。大达文波特常数$\mathsf D (G)$是最小乘积1序列的最大长度--这是一个不能分解为两个非平凡乘积1序列的乘积1序列。很容易观察到$\mathsf d(G)+1\leq \mathsf D(G)$，如果$G$是阿贝尔的，那么等式成立。然而，对于非阿贝尔群，这些常数可以显著不同。现在假设$G$有一个循环的，索引为2的子群。然后Olson和White的一个旧结果（追溯到1977年）意味着，如果$G$是非循环的，则为$\mathsf d(G)=\frac12|G|$，如果$G$是循环的，则为$\mathsf d(G)=|G|-1$。本文确定了这类群的大Davenport常数，证明了$\mathsf D(G)=\mathsf d(G)+|G'|$，其中$G'=[G,G]\leq G$是$G$的换位子群.
On the Olson and the Strong Davenport constants
有限阿贝尔群的一个子集$S$，如果$S$的每个非空子集的元素之和非零，则称为零和自由。我们研究零和自由集的最大基数，即，奥尔森常数（Olson Constant）我们确定了几种新类型的群体，特别是，$p$ -群体与大排名相对于指数，包括所有群体的指数在最大的基数。这些结果是作为更一般的结果的后果，建立新的下界的基数零和自由集的各种类型的群体。这些界限的质量探讨通过治疗，这是计算机辅助的，选择明确的例子。此外，我们研究了一个密切相关的概念，即最大基数的最小零和集，即，强达文波特常数特别是，我们确定其值为小学$p$ -组的排名最多$2$，并行和建设在这个问题上的奥尔森常数最近的结果。
Davenport constant for finite abelian groups with higher rank
本文研究有限阿贝尔群 $G=(C_p)^{d-1}\times C_{pq}$ 的 Davenport 常数猜想，给出使其成立的充分条件。
Davenport constant with weights
对于循环群$G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$和任何非空的$A\in\mathbb{Z}$。定义$G$的Davenport常数，用$D_A(n)$表示，为最小自然数$k$，使得对于任何具有$x_i\in G$的序列$(x_1, ..., x_k)$，存在非空子序列$(x_{j_1}, ..., x_{j_l})$和$a_1, ..., a_l\in A$，使得$\sum_{i=1}^l a_ix_{j_i} = 0$。类似地，我们将常数$E_A(n)$定义为最小$t\in\mathbb{N}$，使得对于具有$x_i \in G$的所有序列$(x_1, >..., x_t)$，存在索引$j_1, ..., j_n\in\mathbb{N}, 1\leq j_1 <... < j_n\leq t$和具有$\sum^{n}_{i=1} \vartheta_ix_{j_i} = 0$的$\vartheta_1, >..., \vartheta_n\in A$。在本文中，我们表明，$E_A(n)=D_A(n)+n-1$。这解决了Adhikari和Rath \cite{ar06}，Adhikari和Chen \cite{ac08}，Thangadurai \cite{th07}和Griffiths \cite{gr08}提出的问题。
A note on weighted consecutive Davenport constant
该研究定义了加权连续达文波特常数${\sf C}_A(G)$，证明了两类群下该常数的取值结果，推进了零和序列理论中相关常数的研究。
A variant of Davenport's constant
设p为素数。设G是指数为n的有限阿贝尔p-群，A是$]n[:= \{1,2,..., n\}$的非空子集，使得A的元素模p不全等且模p不为零.设$k \geq D(G)/|A|$是任意整数，其中D（G）表示著名的Davenport常数.本文证明了对任意序列g_1，g_2，. g_k（不一定是不同的），总是可以提取子序列g_{i_1}，g_{i_2}，.，g_{i_\ell}与$1\leq \ell \leq k$，使得\begin{equation*} \sum_{j=1}^\ell a_{j}g_{i_j} = 0 {in} G, \end{equation*}，其中a_j \in A对于所有j。我们提供的例子中，这个界限不能得到改善。此外，对于循环群，我们证明了这方面的一些尖锐结果。在最后一节中，我们探讨了这个问题和一个类似的具有给定长度的问题之间的关系。定理1的证明使用群代数技巧，而其它定理的证明则使用初等数论技巧。
The Large Davenport Constant II: General Upper Bounds
设$G$是一个有限群，可写为乘法。通过序列在$G$，我们的意思是一个有限序列的条款从$G$是无序的，重复的条款允许，我们说，这是一个产品一序列，如果它的条款可以有序，使他们的产品是单位元的$G$。小达文波特常数$\mathsf d (G)$是最大整数$\ell$，使得在$G$上存在长度为$\ell$的序列，该序列没有非平凡的乘积1子序列。大达文波特常数$\mathsf D (G)$是最小乘积1序列的最大长度-这是一个不能被分割成两个非平凡的乘积1序列。本文的目标是给出$\mathsf D(G)$的几个上界，包括以下：$ $\mathsf D(G)\leq {ll} \mathsf d(G)+2|G'|-1, & where $ G '=[G，G] \leq G $ is the commutator subgroup; \frac34|G|, & if $ G $ is neither cyclic nor dihedral of order $ 2n $ with $ n $ odd; \frac{2}{p}|G|, & if $ G $ is noncyclic, where $ p $ is the smallest prime divisor of $ |G| $; \frac{p^2+2p-2}{p^3}|G|, & if $ G $ is a non-abelian $…
An application of coding theory to estimating Davenport constants
我们研究了达文波特常数的一个公认的推广。对于正整数$j$（情形$j=1$是经典的）和有限阿贝尔群$(G,+,0)$，不变式$\Dav_j(G)$被定义为最小的$\ell$，使得$G$上长度至少为$\ell$的每个序列具有$j$不相交的非空零和序列.我们调查这些数量的基本$2$ -组的大秩（相对于$j$）。使用编码理论的工具，我们对这些数量给出了相当精确的估计。我们使用我们的结果，以改善某些群体的经典达文波特常数的界限。
An asymptotically tight bound for the Davenport constant
证明了对任意整数$r \ge 1$，当$n$趋于无穷大时，Davenport常数$\mathsf{D}(C^r_n)$渐近于$rn$.并给出了该定理的一个推广.
Remarks on the plus-minus weighted Davenport constant
对于有限阿贝尔群$(G,+)$，加-减加权达文波特常数，表示为$\mathsf{D}_{\pm}(G)$，是最小的$\ell$，使得$G$上的每个序列$g_1 ... g_{\ell}$具有权重为+1和-1的加权零子和，即，存在非空子集$I \subset \{1,..., \ell\}$，使得$\sum_{i \in I} a_i g_i =0$用于$a_i \in \{+1,-1\}$。我们提出了新的界限，这个常数，主要是下界，并获得了确切的值，这个常数的各种其他类型的群体。
On the zero-sum constant, the Davenport constant and their analogues
设$D(G)$是有限阿贝尔群$G$的Davenport常数.对于正整数$m$（情形$m = 1$是经典的），令${\mathsf E}_m(G)$（或$η_m(G)$）是最小正整数$t$，使得$G$中长度为$t$的每个序列包含$m$不相交零和序列，每个序列的长度为$|G|$（或长度分别为$\le exp(G)$）。本文证明了：若$G$是~ Abel群，则有${\mathsf E}_m(G)=D(G)-1+m|G|$，推广了Gao的关系.我们还研究了非阿贝尔的情况。此外，我们还研究了序列$({\mathsf E}_m(G))_{m\ge 1}$和$(η_m(G))_{m\ge 1}.$的渐近性质，证明了Kemnitz猜想的一个推广.本文还包含了一个独立兴趣的结果，它是Ch. Delorme，O. Ordaz，D.基罗兹在和中，我们将达文波特常数应用于光滑数，并在非阿贝尔情况下做出一个自然的猜想。
Davenport constant and its variants for some non-abelian groups
本文定义有限群 Davenport 常数的两个变体 e(G)、f(G)，计算多类非阿贝尔群的相关常数，证明三者可互不相同，并验证 Bass 猜想的部分情形。
The Davenport constant of an interval: a proof that $\mathsf{D}=χ$
本文证明了区间[−m,M]的Davenport常数等于m+M−r，其中r是满足特定条件的最小整数。
Weighted Erdős-Burgess and Davenport constant in commutative rings
设$R$是有限交换酉环. $R$中的幂等元是具有$e^2=e$的元素$e\in R$。令$Ψ$是$R$的所有自同构的群${\rm Aut}(R)$的子群。$Ψ-$加权Erdens-Burgess常数${\rm I}_Ψ(R)$定义为最小正整数$\ell$，使得$R$上长度至少为$\ell$的每个序列必须包含非空子序列$a_1,\ldots, a_{r}$，使得$\prod\limits_{i=1}^r ψ_i(a_i)$是$R$的一个幂等元，其中$ψ_1,\ldots,ψ_r\in Ψ$。对Dedekind整环$R$的有限商环，利用$R$的所有素理想建立了$R$的$Ψ-$加权Erdless-Burgess常数与其单位群的$Ψ-$加权Davenport常数之间的联系.
On the inverse problem of the $k$-th Davenport constants for groups of rank $2$
本文研究秩为2的有限阿贝尔群的k次Davenport常数的逆问题，刻画长度为D_k(G)且不能划分为k+1个非平凡零和子序列的零和序列的结构。
The Davenport constant of a box
给定一个可加的可写交换群$G$和一个集合$X\subseteq G$，用$\mathscr{B}(X)$表示$X$上的零和序列幺半群，用$\mathsf{D}(X)$表示$\mathscr{B}(X)$的Davenport常数，即正整数$n$的上确界，对于该上确界，存在$\mathscr{B}(X)$的序列$x_1 \cdots x_n$，使得对于$\{1, \ldots, n\}$的每个非空真子集$I$，$\sum_{i \in I} x_i \ne 0$.在本文中，我们主要研究当$G$是$\mathbb{Z}$的幂并且$X$是一个盒子（即，$G$的间隔的乘积）。一些混合集（例如，群与盒的乘积），并得到了一些逆结果。
The Davenport constant of low-dimensional boxes
本文研究低维盒子的达文波特常数，对二维情形求出极小零和序列最大长度及极序列结构，对三维情形得到渐近匹配的上下界，改进了该常数的已知最佳下界。
On the Davenport constant and group algebras
对于有限阿贝尔群$G$和$G$的分裂域$K$，令$d(G, K)$表示最大整数$l \in \N$，对于该最大整数，存在$G$上的序列$S = g_1 \cdot ... \cdot g_l$，使得对于所有$a_1, ..., a_l \in K^{\times}$，$(X^{g_1} - a_1) \cdot ... \cdot (X^{g_l} - a_l) \ne 0 \in K[G]$。如果$D(G)$表示$G$的达文波特常数，则存在简单的不等式$D(G)-1 \le d (G, K)$。平等适用于各种群体，以及W. Gao等人指出，平等适用于所有群体。我们提供了更多的群，其中等式成立，但我们也给出了第一个例子的群体$G$，其中$D(G) -1 < d(G, K)$持有。我们要以实际行动证明这一点。
Direct zero-sum problems for certain groups of rank three
我们确定的确切值的$η$ -常数和multiwise达文波特常数的有限阿贝尔群的秩三具有形式$G \simeq C_2 \oplus C_{n_2} \oplus C_{n_3}$与$2 \mid n_2 \mid n_3$。此外，在$n_2/2$具有性质D或$n_2 = n_3$的假设下，我们确定了这些群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数.
Davenport constant of the multiplicative semigroup of the quotient ring $\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$
设$\mathcal{S}$是有限交换半群. $\mathcal{S}$的达文波特常数，记为$D(\mathcal{S})$，被定义为最小正整数$d$，使得长度至少为$d$的$\mathcal{S}$中的元素的每个序列$T$包含子序列$T'$，其中来自$T'$的所有项之和等于来自$T$的所有项之和。设$\F_p[x]$是素域$\F_p$上的一元多项式环，设$f(x)\in \F_p[x]$ .本文研究了商环$\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$的乘法半群的Davenport常数.其中，我们主要证明了：对任意的素数$p>2$和任意的多项式$f(x)\in \F_p[x]$，只要能分解成$\F_p[x]$中的几个两两非结合的不可约多项式，则有$$D(\mathcal{S}_{f(x)}^p)=D(U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)),$$，其中$\mathcal{S}_{f(x)}^p$表示商环$\frac{\F_p[x]}{\langle f(x)\rangle}$的乘法半群，$U(\mathcal{S}_{f(x)}^p)$表示$\mathcal{S}_{f(x)}^p$的单位群.
Multi-wise and constrained fully weighted Davenport constants and interactions with coding theory
我们考虑有限交换群的两类加权零和常数。对于有限阿贝尔群$( G , + )$、权重集合$W \subset \mathbb{Z}$和整数参数$m$，具有权重$W$的逐$m$达文波特常数是最小整数$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列至少具有具有权重为$W$的$m$不相交零子和。并且，对于整数参数$d$，具有权重$W$的$d$约束达文波特常数是最小的$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列具有大小至多为$d$的权重$W$的零子和。首先，我们建立了这两种类型的常数和几个基本的和一般的结果之间的联系。然后，对于初等$p$ -群，建立了我们的常数与线性码的参数以及某些射影空间中帽集的基数之间的联系，得到了关于这些常数值的各种显式结果.
Higher Degree Davenport Constants over Finite Commutative Rings
我们推广达文波特常数的概念到一个“更高的程度”，并获得各种下限和上限，这有时是确切的情况下，某些有限的交换环的素数幂基数。下面是两个简单的例子，它们抓住了这些高阶达文波特常数的本质。1)假设$n = 2^k$，则长度为$2n$的每个整数序列$S$包含长度至少为2的子序列$S'$，使得$\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$和边界是尖锐的。2)假设$n \equiv1 \pmod{2}$，则长度为$2n -1$的每个整数序列$S$包含长度至少为2的子序列$S'$，使得$\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$。这些例子说明，如果一个有限交换环的元素序列足够长，则某些对称表达式在子序列的元素上必须为零。
Remarks on a generalization of the Davenport constant
本文研究了达文波特常数的推广。对于有限阿贝尔群$G$和正整数$k$，令$D_k(G)$表示最小的$\ell$，使得$G$上长度至少为$\ell$的每个序列具有$k$不相交的非空零和序列。对于一般的$G$，在已有结果的基础上，研究了这些不变量的上、下界，证明了序列$(D_k(G))_{k\in\mathbb{N}}$最终是一个带差等差数列$\exp(G)$，并讨论了由此引起的几个问题.对于初等2-群，详细研究了$D_k(G)$;特别是，确定了秩为4和5的群的精确值（对于秩至多为3的群，它们是已知的）。
The Davenport constant of balls and boxes
本文研究离散欧几里得球的 Davenport 常数，针对二维和三维整数格给出结果，并应用于盒子（整数区间乘积）的 Davenport 常数估计。
Davenport constant for semigroups II
设$\mathcal{S}$是有限交换半群. $\mathcal{S}$的达文波特常数，记为${\rm D}(\mathcal{S})$，被定义为最小正整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$\mathcal{S}$中元素的每个序列$T$包含一个适当的子序列$T'$（$T'\neq T$），其中来自$T'$的所有项的和等于来自$T$的所有项的和。设$q>2$是素数幂，$\F_q[x]$是有限域$\F_q$上的多项式环.设$R$是$\F_q[x]$与$0\neq R\neq \F_q[x]$的商环.证明了环$R$的乘法半群为$${\rm D}(\mathcal{S}_R)={\rm D}(U(\mathcal{S}_R)),$$，$U(\mathcal{S}_R)$为$\mathcal{S}_R$中的单位群.
Inverse Zero-Sum Problems III
设$G$是有限阿贝尔群.如果$S$中的项的和等于零，则具有来自$G$的项的序列$S$是零和的。它是一个最小零和序列，如果没有适当的，非平凡的子序列是零和。$G$中最小零和子序列的最大长度是达文波特常数，记为$D(G)$。对于秩2组$G=C_n \oplus C_n$，已知$D(G)=2n-1$ .然而，所有最大长度最小零和序列的结构仍然是开放的。如果每个这样的序列包含具有重数$n-1$的项，则称$C_n \oplus C_n$具有性质B，并且证明这对于所有秩2群$C_n \oplus C_n$都是真的。本文证明了性质B是乘法的，即如果$G=C_n \oplus C_n$和$G=C_m \oplus C_m$都满足性质B，且$m, n\geq 3$和$mn>9$是奇数，则$C_{mn}\oplus C_{mn}$也满足性质B.结合文献中以前的工作，这减少了建立性质B的问题，在这种情况下，序列的完整结构描述如下。
A problem of Wang on Davenport constant for the multiplicative semigroup of the quotient ring of $\F_2[x]$
设$\F_q[x]$是有限域$\F_q$上的多项式环，$f$是$\F_q[x]$的多项式。设$R=\frac{\F_q[x]}{(f)}$是$\F_q[x]$与$0\neq R\neq \F_q[x]$的一个商环.设$\mathcal{S}_R$是环$R$的乘法半群，${\rm U}(\mathcal{S}_R)$是$\mathcal{S}_R$的单位群.乘法半群$\mathcal{S}_R$的Davenport常数${\rm D}(\mathcal{S}_R)$是最小正整数$\ell$，使得对于任何$\ell$多项式$g_1,g_2,\ldots,g_{\ell}\in \F_q[x]$，存在一个子集$I\subsetneq [1,\ell]$，$$\prod\limits_{i\in I} g_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\ell} g_i\pmod f.$$。本文证明了对于$q=2$，$${\rm D}({\rm U}(\mathcal{S}_R))\leq {\rm D}(\mathcal{S}_R)\leq {\rm D}({\rm U}(\mathcal{S}_R))+δ_f,$$，其中\begin{displaymath} δ_f=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{if $\gcd(x*(x+1_{…
On Bass' conjecture of the small Davenport constant
本文证明在 $s$ 对 $n$ 的每个素因子 $q$ 模阶均为 $m$ 的条件下，Bass 关于群 $G_{m,n}$ 小 Davenport 常数的猜想成立，并刻画极值无乘积为一序列。
Extremal product-one free sequences in $C_q \rtimes_s C_m$
设$G$是一个有限群，用乘法表示。$G$的达文波特常数是最小的正整数$d$，使得每个具有$d$元素的$G$序列都具有乘积为$1$的非空子序列。设$C_n \simeq \mathbb Z_n$是阶为$n$的循环群. Bass（2007）证明了亚循环群$C_q \rtimes_s C_m$的达文波特常数是$m+q-1$，其中$q$是素数，而$\text{ord}_q(s) = m \ge 2$是素数。本文给出了$C_q \rtimes_s C_m$的所有序列$S$的形式，其中含有$q+m-2$元素，且不含积- $1$序列.
The $\{1,s\}$-weighted Davenport constant in $C_n^k$
设$G$是有限交换群，且令$\varnothing \neq A \subset \mathbb Z$ . $G$的$A$加权达文波特常数是最小的正整数${\sf D}_A(G)$，使得$G$上的每个序列$x_1 \boldsymbol{\cdot} {\dots} \boldsymbol{\cdot} x_{{\sf D}_A(G)}$具有非空子序列$(x_{j_i})_i$，使得对于某些$\varepsilon_1, \varepsilon_2, {\dots}, \varepsilon_t \in A$，${\varepsilon_1} x_{j_1} + {\varepsilon_2} x_{j_2} + {\dots} + {\varepsilon_t} x_{j_t} = 0$。本文给出了${\sf D}_{\{1,s\}}(C_n^k)$的上界和下界，其中$C_n$表示阶为$n$，$s^2 \equiv 1 \pmod n$和$s \not\equiv \pm1 \pmod n$的循环群.这些界限在某些“小”情况下变得尖锐。
Inductive Methods and zero-sum free sequences
我们得到了达文波特常数的可判定性结果。
On the Harborth constant of $C_3 \oplus C_{3n}$
对于有限阿贝尔群$(G,+, 0)$，Harborth常数$\mathsf{g}(G)$是最小整数$k$，使得$G$上长度为$k$的每个无平方序列，等价地，基数至少为$k$的$G$的每个子集，具有长度为$\exp(G)$的子序列，其和为$0$。本文建立了素数$n \neq 3$和$\mathsf{g}(C_3 \oplus C_9)= 13$的$\mathsf{g}(G)= 3n + 3$.
On the Erd{ő}s-Ginzburg-Ziv constant of groups of the form $C_2^r\oplus C_n$
设$G$是一个有限交换群。$G$的Erd{Ign}s-Ginzburg-Ziv常数$\mathsf s(G)$被定义为最小整数$l\in \mathbb{N}$，使得长度为$|S|\geq l$的$G$上的每个序列$S$具有长度为$|T|= {\exp}(G)$的零和子序列$T$。这个经典的不变量的值与排名最多为2组是已知的。但对于秩大于2的组，$\mathsf s(G)$的精确值很难确定。本文主要研究形式为$C_2^{r-1}\oplus C_{2n}$的群，其中$r\geq 3$和$n\ge 2$ .对奇数$n$给出了一个新的$\mathsf s(C_2^{r-1}\oplus C_{2n})$的上界.对于$r\in [3,4]$，我们得到$n\ge 2$的$\mathsf s(C_2^2\oplus C_{2n})=4n+3$和$n\geq 36$的$\mathsf s(C_2^{3}\oplus C_{2n})=4n+5$。
The universal zero-sum invariant and weighted zero-sum for infinite abelian groups II
本文分类了使得经典Davenport常数可由最小零和序列集表示的有限阿贝尔群，并研究了加权Davenport常数与核覆盖紧致性之间的关系。
Weighted EGZ Constant for p-groups of rank 2
令$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，可加地写作，并且令$A$是$\mathbb{Z}$的子集。常数$s_A(G)$被定义为最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度$n$的$A$加权零和，并且$η_A(G)$被定义为最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度至多为$n$的$A$加权零和。在这里，我们证明了，对于$α\geq β$，和$A=\left\{x\in\mathbb{N}\; : \; 1 \le a \le p^α \; \mbox{ and }\; \gcd(a, p) = 1\right \}$，我们有$s_{A}(\mathbb{Z}_{p^α}\oplus \mathbb{Z}_{p^β}) = η_A(\mathbb{Z}_{p^α}\oplus \mathbb{Z}_{p^β}) + p^α-1 = p^α + α+β$和分类所有的极值$A$加权零和自由序列。
The main zero-sum constants over $D_{2n} \times C_2$
设$C_2$是$2$阶循环群，$D_{2n}$是$2n$阶二面体群，其中$n$是偶数.本文给出了$D_{2n} \times C_2$上的一些零和常数，即小Davenport常数、Gao常数、$η$ -常数和Erd \H os-Ginzburg-Ziv常数的精确值.作为结果，我们证明了Gao和Zhuang-Gao的猜想。这是第一个具体的结果对零和问题的一个家庭的非阿贝尔群体的秩大于$2$。
The geometry of intersecting codes and applications to additive combinatorics and factorization theory
本文通过建立非退化相交码与射影空间中点集的几何对应，改进其长度界并构造短相交码，进而利用编码理论与Davenport常数的联系，给出加权2-wise Davenport常数的新渐近界，并应用于代数整数环的因子分解问题。
A note on Bass' conjecture
对于有限群$G$，我们用${\sf d}(G)$和${\sf E}(G)$分别表示$G$的小Davenport常数和Gao常数。令$C_n$是阶为$n$的循环群，令$G_{m,n,s} = C_n \rtimes_s C_m$是亚循环群。在[J. Bass; { \em Improving the Erdens-Ginzburg-Ziv theorem for some non-abel groups .} J. Number Theory { \bf 126}（2007），217-236，Conjecture 17]，Bass证明了${\sf d}(G_{m,n,s}) = m+n-2$和${\sf E}(G_{m,n,s}) = mn+m+n-2$提供了$ord_n(s) = m$。在本文中，我们表明，假设$ord_n(s) = m$是必不可少的，不能删除。此外，如果我们假设Bass猜想对$G_{m,n,s}$成立，并且$mn$ -product-1 free序列的最大长度是良好的，那么Bass猜想对$G_{2m,2n,r}$也成立，其中$r^2 \equiv s \pmod n$ .
Inverse zero-sum problems for certain groups of rank three
对于$C_2 \oplus C_2 \oplus C_{2n}$形式的有限阿贝尔群，求解了与Erdens-Ginzburg-Ziv常数和$η$常数相关的逆问题，其中$n \ge 2$是整数.
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