The Large Davenport Constant I: Groups with a Cyclic, Index 2 Subgroup
设$G$是一个有限群，它是一个乘法群.对于$G$上的序列，我们指的是来自$G$的项的有限序列，它是无序的，允许项的重复，如果它的项可以被排序，使得它们的乘积是$G$的单位元，我们说它是乘积1序列。小达文波特常数$\mathsf d (G)$是最大整数$\ell$，使得在$G$上存在长度为$\ell$的序列，该序列没有非平凡的乘积1子序列。大达文波特常数$\mathsf D (G)$是最小乘积1序列的最大长度--这是一个不能分解为两个非平凡乘积1序列的乘积1序列。很容易观察到$\mathsf d(G)+1\leq \mathsf D(G)$，如果$G$是阿贝尔的，那么等式成立。然而，对于非阿贝尔群，这些常数可以显著不同。现在假设$G$有一个循环的，索引为2的子群。然后Olson和White的一个旧结果（追溯到1977年）意味着，如果$G$是非循环的，则为$\mathsf d(G)=\frac12|G|$，如果$G$是循环的，则为$\mathsf d(G)=|G|-1$。本文确定了这类群的大Davenport常数，证明了$\mathsf D(G)=\mathsf d(G)+|G'|$，其中$G'=[G,G]\leq G$是$G$的换位子群.
2012-11-12 math.NT
The Large Davenport Constant II: General Upper Bounds
设$G$是一个有限群，可写为乘法。通过序列在$G$，我们的意思是一个有限序列的条款从$G$是无序的，重复的条款允许，我们说，这是一个产品一序列，如果它的条款可以有序，使他们的产品是单位元的$G$。小达文波特常数$\mathsf d (G)$是最大整数$\ell$，使得在$G$上存在长度为$\ell$的序列，该序列没有非平凡的乘积1子序列。大达文波特常数$\mathsf D (G)$是最小乘积1序列的最大长度-这是一个不能被分割成两个非平凡的乘积1序列。本文的目标是给出$\mathsf D(G)$的几个上界，包括以下：$ $\mathsf D(G)\leq {ll} \mathsf d(G)+2|G'|-1, & where $ G '=[G，G] \leq G $ is the commutator subgroup; \frac34|G|, & if $ G $ is neither cyclic nor dihedral of order $ 2n $ with $ n $ odd; \frac{2}{p}|G|, & if $ G $ is noncyclic, where $ p $ is the smallest prime divisor of $ |G| $; \frac{p^2+2p-2}{p^3}|G|, & if $ G $ is a non-abelian $…
2012-11-12 math.NT
On the Olson and the Strong Davenport constants
有限阿贝尔群的一个子集$S$，如果$S$的每个非空子集的元素之和非零，则称为零和自由。我们研究零和自由集的最大基数，即，奥尔森常数（Olson Constant）我们确定了几种新类型的群体，特别是，$p$ -群体与大排名相对于指数，包括所有群体的指数在最大的基数。这些结果是作为更一般的结果的后果，建立新的下界的基数零和自由集的各种类型的群体。这些界限的质量探讨通过治疗，这是计算机辅助的，选择明确的例子。此外，我们研究了一个密切相关的概念，即最大基数的最小零和集，即，强达文波特常数特别是，我们确定其值为小学$p$ -组的排名最多$2$，并行和建设在这个问题上的奥尔森常数最近的结果。
2010-08-04 math.NT
A note on weighted consecutive Davenport constant
该研究定义了加权连续达文波特常数${\sf C}_A(G)$，证明了两类群下该常数的取值结果，推进了零和序列理论中相关常数的研究。
2024-04-17 math.NT
An application of coding theory to estimating Davenport constants
我们研究了达文波特常数的一个公认的推广。对于正整数$j$（情形$j=1$是经典的）和有限阿贝尔群$(G,+,0)$，不变式$\Dav_j(G)$被定义为最小的$\ell$，使得$G$上长度至少为$\ell$的每个序列具有$j$不相交的非空零和序列.我们调查这些数量的基本$2$ -组的大秩（相对于$j$）。使用编码理论的工具，我们对这些数量给出了相当精确的估计。我们使用我们的结果，以改善某些群体的经典达文波特常数的界限。
2010-07-01 math.CO math.NT
Remarks on the plus-minus weighted Davenport constant
对于有限阿贝尔群$(G,+)$，加-减加权达文波特常数，表示为$\mathsf{D}_{\pm}(G)$，是最小的$\ell$，使得$G$上的每个序列$g_1 ... g_{\ell}$具有权重为+1和-1的加权零子和，即，存在非空子集$I \subset \{1,..., \ell\}$，使得$\sum_{i \in I} a_i g_i =0$用于$a_i \in \{+1,-1\}$。我们提出了新的界限，这个常数，主要是下界，并获得了确切的值，这个常数的各种其他类型的群体。
2013-08-15 math.CO math.NT
A variant of Davenport's constant
设p为素数。设G是指数为n的有限阿贝尔p-群，A是$]n[:= \{1,2,..., n\}$的非空子集，使得A的元素模p不全等且模p不为零.设$k \geq D(G)/|A|$是任意整数，其中D（G）表示著名的Davenport常数.本文证明了对任意序列g_1，g_2，. g_k（不一定是不同的），总是可以提取子序列g_{i_1}，g_{i_2}，.，g_{i_\ell}与$1\leq \ell \leq k$，使得\begin{equation*} \sum_{j=1}^\ell a_{j}g_{i_j} = 0 {in} G, \end{equation*}，其中a_j \in A对于所有j。我们提供的例子中，这个界限不能得到改善。此外，对于循环群，我们证明了这方面的一些尖锐结果。在最后一节中，我们探讨了这个问题和一个类似的具有给定长度的问题之间的关系。定理1的证明使用群代数技巧，而其它定理的证明则使用初等数论技巧。
2007-07-13 math.NT
On the lower bounds of Davenport constant
设具有$1 < n_1 | \cdots | n_r$的$G = C_{n_1} \oplus \cdots \oplus C_{n_r}$是有限阿贝尔群.达文波特常数$\mathsf D(G)$是最小整数$t$，使得长度为$|S|\ge t$的$G$上的每个序列$S$具有非空零和子序列。它是零和理论的起点，但只有一个平凡的下界$\mathsf D^*(G) = n_1 + \cdots + n_r - r + 1$，它等于$p$-群上的$\mathsf D(G)$。我们研究了$C_n^r$组上的非分散序列，从而揭示了$\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)$相对于具有$n,k \ne 1$的非$p$组$G = C_n^r \oplus C_{kn}$的增长。本文给出了非$p$-群上$\mathsf D(G)$的一般下界，证明了：设$G$是具有$\exp(G)=m$且秩为$r$的阿贝尔群，固定$m>0$为非素幂，则对每个$N>0$存在一个$\varepsilon>0$使得如果$|G|/m^r<\varepsilon $，则$\mathsf D(G)-\mathsf D^*(G)>N$.
2019-10-09 math.CO math.NT
Multi-wise and constrained fully weighted Davenport constants and interactions with coding theory
我们考虑有限交换群的两类加权零和常数。对于有限阿贝尔群$( G , + )$、权重集合$W \subset \mathbb{Z}$和整数参数$m$，具有权重$W$的逐$m$达文波特常数是最小整数$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列至少具有具有权重为$W$的$m$不相交零子和。并且，对于整数参数$d$，具有权重$W$的$d$约束达文波特常数是最小的$n$，使得长度为$n$的$G$上的每个序列具有大小至多为$d$的权重$W$的零子和。首先，我们建立了这两种类型的常数和几个基本的和一般的结果之间的联系。然后，对于初等$p$ -群，建立了我们的常数与线性码的参数以及某些射影空间中帽集的基数之间的联系，得到了关于这些常数值的各种显式结果.
2015-05-21 cs.IT math.CO math.IT
On the inverse problem of the $k$-th Davenport constants for groups of rank $2$
本文研究秩为2的有限阿贝尔群的k次Davenport常数的逆问题，刻画长度为D_k(G)且不能划分为k+1个非平凡零和子序列的零和序列的结构。
2025-03-27 math.CO math.NT
Remarks on a generalization of the Davenport constant
本文研究了达文波特常数的推广。对于有限阿贝尔群$G$和正整数$k$，令$D_k(G)$表示最小的$\ell$，使得$G$上长度至少为$\ell$的每个序列具有$k$不相交的非空零和序列。对于一般的$G$，在已有结果的基础上，研究了这些不变量的上、下界，证明了序列$(D_k(G))_{k\in\mathbb{N}}$最终是一个带差等差数列$\exp(G)$，并讨论了由此引起的几个问题.对于初等2-群，详细研究了$D_k(G)$;特别是，确定了秩为4和5的群的精确值（对于秩至多为3的群，它们是已知的）。
2010-08-04 math.AC math.CO math.NT
The Davenport constant of a box
给定一个可加的可写交换群$G$和一个集合$X\subseteq G$，用$\mathscr{B}(X)$表示$X$上的零和序列幺半群，用$\mathsf{D}(X)$表示$\mathscr{B}(X)$的Davenport常数，即正整数$n$的上确界，对于该上确界，存在$\mathscr{B}(X)$的序列$x_1 \cdots x_n$，使得对于$\{1, \ldots, n\}$的每个非空真子集$I$，$\sum_{i \in I} x_i \ne 0$.在本文中，我们主要研究当$G$是$\mathbb{Z}$的幂并且$X$是一个盒子（即，$G$的间隔的乘积）。一些混合集（例如，群与盒的乘积），并得到了一些逆结果。
2015-02-16 math.CO math.NT
On the Davenport constant and on the structure of extremal zero-sum free sequences
设具有$1 < n_1 \t ... \t n_r$的$G = C_{n_1} \oplus ... \oplus C_{n_r}$是一个有限阿贝尔群$\mathsf d^* (G) = n_1 + ... + n_r - r$，$\mathsf d (G)$表示$G$上零和自由序列的最大长度.然后是$\mathsf d (G) \ge \mathsf d^* (G)$，人们一直认为等式对$G = C_n^r$成立。我们发现，等式不适用于$C_2 \oplus C_{2n}^r$，其中$n \ge 3$是奇数和$r \ge 4$。这给出了$C_{2n}^r$上的极值零和自由序列的结构的新信息。
2010-09-29 math.CO math.NT
On the Davenport constant and group algebras
对于有限阿贝尔群$G$和$G$的分裂域$K$，令$d(G, K)$表示最大整数$l \in \N$，对于该最大整数，存在$G$上的序列$S = g_1 \cdot ... \cdot g_l$，使得对于所有$a_1, ..., a_l \in K^{\times}$，$(X^{g_1} - a_1) \cdot ... \cdot (X^{g_l} - a_l) \ne 0 \in K[G]$。如果$D(G)$表示$G$的达文波特常数，则存在简单的不等式$D(G)-1 \le d (G, K)$。平等适用于各种群体，以及W. Gao等人指出，平等适用于所有群体。我们提供了更多的群，其中等式成立，但我们也给出了第一个例子的群体$G$，其中$D(G) -1 < d(G, K)$持有。我们要以实际行动证明这一点。
2010-12-29 math.CO math.NT
The universal zero-sum invariant and weighted zero-sum for infinite abelian groups II
School of Mathematical Sciences, Tiangong University（天津理工大学数学科学学院）
本文分类了使得经典Davenport常数可由最小零和序列集表示的有限阿贝尔群，并研究了加权Davenport常数与核覆盖紧致性之间的关系。
2026-07-03 math.CO math.NT
Cauchy-Davenport type inequalities, I
设$\mathbb G = (G, +)$是一个群（可以是阿贝尔群，也可以不是阿贝尔群）。给定$X, Y \subseteq G$，我们用$\langle Y \rangle$表示由$Y$生成的$\mathbb G$的子半群，如果是$|Y| \ge 2$，我们设$$γ(Y) := \sup_{y_0 \in Y} \inf_{y_0 \ne y \in Y} {\rm ord}(y - y_0)$$，否则设$γ(Y) := |Y|$。我们证明了如果$\langle Y \rangle$是交换的，$Y$是非空的，并且$X+2Y \neq X + Y + y$对于某些$y \in Y$，则$$ |X+Y| \ge |X|+\min(γ(Y), |Y| - 1). $$实际上，这是从一个更一般的结果得到的，它改进了作者以前关于可消半群中和集的工作，并且得到了各种加法定理的全面推广，在某些情况下得到了相当大的加强，特别是包括Chowla-Pillai定理（关于有限循环群中的和集）和Hamidoune-Shatrowsky定理的阿贝尔群的特殊化。
2016-05-04 math.CO math.GR math.NT
Short Zero-Sum Sequences Over Abelian $p$-Groups of Large Exponent
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群.令$η(G)$表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有长度至多为$n$的零和子序列。当$G$是一个$p$ -群，其Davenport常数至多为$2n-1$时，我们确定了$η(G)$的精确值.这证实了Schmid和Zhuang在2010年提出的一个猜想中的一个等式。
2016-08-18 math.CO math.NT
The Davenport constant of balls and boxes
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；École polytechnique（巴黎综合理工学院）；Institut polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
本文研究离散欧几里得球的 Davenport 常数，针对二维和三维整数格给出结果，并应用于盒子（整数区间乘积）的 Davenport 常数估计。
2026-10-12 math.CO math.NT
Disproving Conjectures on the Davenport and Narkiewicz Constants
School of Mathematical Sciences Tiangong University（天津工业大学数学科学学院）
本文否证了关于 Davenport 常数上界的长期猜想，证明对任意固定秩 r≥8，Davenport 常数与经典下界之差可任意大，推翻了过去数十年的普遍信念。
2026-11-03 math.CO math.NT
The $\{1,s\}$-weighted Davenport constant in $C_n^k$
设$G$是有限交换群，且令$\varnothing \neq A \subset \mathbb Z$ . $G$的$A$加权达文波特常数是最小的正整数${\sf D}_A(G)$，使得$G$上的每个序列$x_1 \boldsymbol{\cdot} {\dots} \boldsymbol{\cdot} x_{{\sf D}_A(G)}$具有非空子序列$(x_{j_i})_i$，使得对于某些$\varepsilon_1, \varepsilon_2, {\dots}, \varepsilon_t \in A$，${\varepsilon_1} x_{j_1} + {\varepsilon_2} x_{j_2} + {\dots} + {\varepsilon_t} x_{j_t} = 0$。本文给出了${\sf D}_{\{1,s\}}(C_n^k)$的上界和下界，其中$C_n$表示阶为$n$，$s^2 \equiv 1 \pmod n$和$s \not\equiv \pm1 \pmod n$的循环群.这些界限在某些“小”情况下变得尖锐。
2021-07-16 math.CO math.GR math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
Inverse zero-sum problems II
设$G$是可加有限阿贝尔群. $G$上的序列称为极小零和序列，如果它的各项之和为零，并且没有真子序列具有这个性质。$G$的Davenport常数是$G$上最小零和序列长度的最大值。它的价值是众所周知的群秩二。研究了秩为2的群的最大长度的极小零和序列的结构。假设一个很好的支持这个问题的猜想的形式$C_m \oplus C_m$组，我们确定这些序列的结构组的秩2。结合我们的结果和部分结果，这个猜想，产生无条件的结果，某些群体的秩二。
2010-01-14 math.NT
Direct zero-sum problems for certain groups of rank three
我们确定的确切值的$η$ -常数和multiwise达文波特常数的有限阿贝尔群的秩三具有形式$G \simeq C_2 \oplus C_{n_2} \oplus C_{n_3}$与$2 \mid n_2 \mid n_3$。此外，在$n_2/2$具有性质D或$n_2 = n_3$的假设下，我们确定了这些群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数.
2019-07-26 math.CO math.GR math.NT
Selmer ranks in twists of CM abelian varieties
本研究证明CM阿贝尔簇的若干p次扭变族中Selmer秩服从辛或酉分布，借此推出含本原p次单位根的数域上扭变费马曲线大多无解，并探讨了素数次循环扩张中的秩增长。
2025-07-31 math.NT
Quadratic twists of abelian varieties and disparity in Selmer ranks
研究数域上固定主极化阿贝尔簇的二次扭族中2-Selmer秩的奇偶性。具体地说，我们确定具有奇数的扭曲的比例（分别为）。偶数）2-Selmer秩。本文推广了Klagsbrun-Mazur-Rubin关于椭圆曲线的工作和Yu关于超椭圆曲线的Jacobian的工作。几个差异的统计出现的可能性，Shafarevich-泰特组（如果有限）可能有秩序的两倍一平方米。特别是，统计奇偶校验的2-塞尔默秩和2-无穷塞尔默秩不再需要同意，我们描述两者。
2017-06-19 math.NT
The Brauer-Manin obstruction on Kummer varieties and ranks of twists of abelian varieties
设r > 0为整数。利用数域k上的阿贝尔簇A与自身r重积的Kummer簇Km（A^r）上的有理点的稠密性，给出了A有无穷多个秩至少为r的二次扭的充分条件.我们的结果的一个结果如下。固定一个k上的阿贝尔簇A，并假设对于某个r > 0，库默尔簇Km（A^r）上的弱逼近的Brauer-Manin障碍是唯一的障碍。则A有秩至少为r的二次扭曲。因此，如果Brauer-Manin阻塞是所有Kummer簇上唯一的弱近似，则任何正维阿贝尔簇的扭曲秩都是无界的。这涉及两个重要的未决问题。
2015-08-18 math.NT
Rank growth of abelian varieties over certain finite Galois extensions
KAIST（韩国科学技术院）
该研究证明了满足特定条件的有限伽罗瓦扩张可迫使阿贝尔簇实现秩增长，结合有限群表示论得到秩增长显式下界，还将结果应用于雅可比簇并探讨其与无限秩猜想的联系。
2026-08-04 math.NT
Non-abelian $p$-adic Rankin-Selberg $L$-functions and non-vanishing of central $L$-values
证明了任意数域上$\mathrm{GL}(n+1)\times\mathrm{GL}(n)$的Rankin-Selberg $L$ -函数的特殊值之间的新的同余关系。这使我们能够控制$p$ -adic $L$ -函数在Tate twists下的行为，并证明了$\mathrm{GL}(n+1)\times\mathrm{GL}(n)$上Hida族的非阿贝尔$p$ -adic $L$ -函数的存在性。作为应用，我们证明了中心$L$ -值的强非零结果：我们给出了扭曲中心Rankin-Selberg $L$ -值一般非零的充分局部条件.
2023-02-26 math.NT
p-Selmer ranks of CM abelian varieties
本文直接证明数域上复乘椭圆曲线的 p∞-Selmer 秩为偶数，并将该结果推广至阿贝尔簇。
2024-02-07 math.NT
Heights, ranks and regulators of abelian varieties
利用数域上阿贝尔簇的内射直径与其坏约化素数范数之和，给出了其Faltings高度的下界。它导致了Mordell-Weil群秩的无条件界。在Lang和Silverman高度猜想的假设下，我们得到了定义在一个数域上的简单阿贝尔簇的集合上的调节子的Northcott性质，该集合具有固定维数$g$，有界秩和稠密有理点.我们删除的简单性假设，主要极化的情况下，给出一个精致的版本的朗-西尔弗曼猜想。
2016-10-06 math.NT
The universal zero-sum invariant and weighted zero-sum for infinite abelian groups
本文研究阿贝尔群的泛零和不变量，证明多数群存在极小零和序列真子集使对应不变量等于达文波特常数，引入带权泛不变量，得到无限阿贝尔群加权达文波特常数有限的充要条件并建立其与群有限陪集覆盖的联系。
2024-10-10 math.CO math.NT
Signature Ranks of Units in Cyclotomic Extensions of Abelian Number Fields
我们证明了${\mathbb Q}( ζ_m)^+$的循环单元的签名群（因此也是完整的单元群）的秩趋于无穷大，其中$m$。我们还表明，签名秩的单位不同于它的最大可能值的有界量的复合阿贝尔域的所有实子域的许多奇数素数幂分圆塔。特别地，对于任何素数$p$，${\mathbb Q}( ζ_{p^n})^+$的单元的签名秩与$φ(p^n)/2$相差一个量，该量独立于$n$而有界。最后，我们有条件地表明，一般分圆域的单位签名秩可以不同于其最大可能值由任意大的量。
2018-09-06 math.NT
On the Mordell-Weil ranks of supersingular abelian varieties in cyclotomic extensions
设$F$是一个在奇素数$p$处无分歧的数域，$F_\infty$是$F$的$\mathbf{Z}_p$ -分圆扩张.设$A$是定义在$F$上的阿贝尔簇，在$p$之上的$F$的所有素数处具有良好的超奇约化. Büyükboduk和第一位作者定义了与$F_\infty$上的$A$相关的修改的Selmer群。假设这些Selmer群的Pontryagin对偶是扭$\mathbf{Z}_p[[\mathrm{Gal}(F_\infty/F)]]$ -模，我们给出了Mordell-Weil群$A(F_n)$的秩随着$n$的变化而有界的一个显式充分条件.
2019-05-22 math.NT
On the Number of Weighted Zero-sum Subsequences
设$G$是有限可加阿贝尔群，其指数为$d^kn, d,n>1,$，$k$为正整数.对于$G$序列和$A=\{1,2,\ldots,d^kn-1\}\setminus\{d^kn/d^i:i\in[1,k]\}, $序列，我们研究了$S.$的$A$加权零和序列的个数$N_{A,0}(S)$的下界.特别地，我们证明了$N_{A,0}(S)\ge 2^{|S|-D_A(G)+1},$，其中$D_A(G)$是$A$加权Davenport常数.我们还刻画了一些群的极值序列的结构。
2022-09-29 math.NT
Three-isogeny Selmer groups and ranks of abelian varieties in quadratic twist families over a number field
对于数域$F$上的交换阿贝尔簇$A$，在假定$A$因子的乘3是$F$上的3-同构的合成的条件下，证明了$A$的二次扭曲的平均秩是有界的.这是第一个这样的有界性的结果，一个绝对简单的阿贝尔簇$A$的尺寸大于1。事实上，我们在任意大的维度和任何数域上展示了这样的扭曲族。在一维空间中，我们证明了如果$E/F$是一条允许3-等距的椭圆曲线，则它的二次扭曲的平均秩是有界的.如果$F$是完全真实的，我们还表明，一个积极的比例扭曲的秩为0和一个积极的比例有$3$ -塞尔默秩1。这些结果有界的平均秩在家庭的二次扭曲代表新的进展Goldfeld的猜想-这表明，平均秩在二次扭曲家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$应该是$1/2$ -和第一个进展类似的猜想以外的其他领域$\mathbb{Q}$。我们的结果是从一个计算的平均大小的$ϕ$ -塞尔默群在家庭的二次扭曲的阿贝尔簇承认一个3-issues $ϕ$。
2017-11-30 math.NT
Kolyvagin systems of rank 0 and the structure of the Selmer group of elliptic curves over abelian extensions
通过放宽特定素数的秩0 Selmer结构，构造辅助Kolyvagin系统，描述Selmer群的Fitting理想，并用模符号刻画椭圆曲线在有限阿贝尔扩张上的Galois结构。
2026-06-08 math.NT
Rank stability of elliptic curves in certain non-abelian extensions
本文针对秩为0的椭圆曲线，证明在固定奇素数、正整数及秩0有限阿贝尔扩张下，存在无穷多满足特定伽罗瓦群结构且保持秩0的非阿贝尔扩张，并给出其按绝对判别式排序的数量渐近下界。
2024-12-19 math.NT
On the Erd{\H o}s--Ginzburg--Ziv constant of finite abelian groups of high rank
设$G$是有限交换群. $G$的Erd{ \H o}s--Ginzburg--Ziv常数$\mathsf s (G)$被定义为最小整数$l \in \mathbb N$，使得长度为$|S| \ge l$ \的$G$上的每个序列\ $S$ \都具有长度为$|T| = \exp (G)$的零和子序列$T$。如果$G$的秩最多为2，则$\mathsf s (G)$的精确值是已知的（对于循环群，这是Erd{ \H o}s-Ginzburg-Ziv定理）。对于更高级别的群体，只有很少的了解。在本文中，我们专注于组的形式$G = C_n^r$，与$n, r \in \N$和$n \ge 2$，我们解决了$\mathsf s (G)$的研究与一种新的方法，结合的正问题与相关的逆问题。
2011-03-04 math.NT
The growth of the rank of Abelian varieties upon extensions
我们研究的增长的秩的椭圆曲线，更一般地说，阿贝尔簇的号码字段的扩展。首先，我们证明了，如果$L/K$是数域的有限Galois扩张，使得$\Gal(L/K)$不具有指数为2的子群，并且$A/K$是阿贝尔簇，则$\rk A(L)-\rk A(K)$永远不可能是1。当$\Gal(L/K)$为奇数阶、交替、$\SL_2(\F_p)$或$\PSL_2(\F_p)$时，我们得到了更精确的结果。这意味着当$E/K$是其模$p$伽罗瓦表示是满射的椭圆曲线时，对$\rk E(K(E[p]))-\rk E(K(ζ_p))$的限制。在某些非伽罗瓦扩展的秩的增长得到类似的结果。其次，我们证明了，对于每个$n\ge2$存在一个椭圆曲线$E$在数域$K$，使$\Q\otimes_\Q\Res_{K/\Q} E$包含一个数域的程度$2^n$。我们问是否每一个椭圆曲线$E/K$有无限的秩在$K\Q(2)$，其中$\Q(2)$是$\Q$的所有二次扩张的合成。我们表明，如果答案是肯定的，那么对于任何$n\ge2$，存在一个椭圆曲线$E/K$承认无限多个二次扭曲的秩是一个正倍数的$2^n$。
2012-10-22 math.NT
On the incomparability of systems of sets of lengths
设$H$是一个Krull幺半群，其有限类群$G$使得每个类都包含一个素因子.本文研究了$H$的所有长度集的系统$\mathcal L (H)$，并研究了当$\mathcal L (H)$包含或包含在具有有限类群$G'$、所有类中的素因子和Davenport常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$的Krull幺半群$H'$的系统$\mathcal L (H')$中时，系统$\mathcal L (H)$的性质.其中，我们表明，如果$G$是循环的顺序$m \ge 7$或一个小学$2$ -组秩$m-1 \ge 6$，和$G'$是任何一个组，这是不同构的$G$，但达文波特常数$\mathsf D (G')=\mathsf D (G)$，那么系统$\mathcal L (H)$和$\mathcal L (H')$是不可比的。
2020-11-27 math.AC math.CO math.NT
The geometry of intersecting codes and applications to additive combinatorics and factorization theory
本文通过建立非退化相交码与射影空间中点集的几何对应，改进其长度界并构造短相交码，进而利用编码理论与Davenport常数的联系，给出加权2-wise Davenport常数的新渐近界，并应用于代数整数环的因子分解问题。
2024-06-06 cs.IT math.CO math.IT
A weighted generalization of Gao's n+D-1 Theorem
设$G$表示阶为$n$、Davenport常数为$D$的有限阿贝尔群，并设$m= n+D-1$ .令$x=(x_1, ..., x_m)\in G^m$是具有由$x_m$获得的最大重复$\ell$的序列，并将$r=\min(D,\ell)$。设$w=(w_1, ..., w_{m-r})\in \Z^{m-r}.$，则存在$n$ -子集$I\subset [1,m-r]$和注入$f: I\mapsto [1,m]$，使得$m\in f(I)$和$$\sum_{i\in I}w_{i}x_{f({i})}=(\sum_{i\in I}w_{i})x_{m}.$$
2007-11-26 math.CO math.NT
Rank one Eisenstein cohomology of local systems on the moduli space of abelian varieties
本文给出了由秩1退化给出的主极化阿贝尔簇模的部分紧化的局部系统的Eisenstein上同调公式。对于亏格2，我们给出了一个完全Eisenstein上同调的公式。
2008-02-20 math.AG math.NT
On the rank of abelian varieties over function fields
设$\cac$是定义在数域$k$上的光滑射影曲线，$A/k(\cac)$是阿贝尔簇，$(τ,B)$是$A$的$k(\cac)/k$ -迹.我们估计如何秩的$A(k(\cac))/τB(k)$变化时，我们采取有限覆盖$π:\cac'\to\cac$定义在$k$几何阿贝尔。
2005-09-07 math.AG math.NT
Jacobi sums, Fermat Jacobians, and ranks of abelian varieties over towers of function fields
本文的目的是给出函数域k（t）上的阿贝尔簇的一些例子，这些簇在扩展塔中具有有界秩，例如k（t^{1/d}），其中d是变化的。一路上，我们证明了一些新的结果，费马曲线可能是独立的利益。
2006-09-26 math.AG math.NT
The main zero-sum constants over $D_{2n} \times C_2$
设$C_2$是$2$阶循环群，$D_{2n}$是$2n$阶二面体群，其中$n$是偶数.本文给出了$D_{2n} \times C_2$上的一些零和常数，即小Davenport常数、Gao常数、$η$ -常数和Erd \H os-Ginzburg-Ziv常数的精确值.作为结果，我们证明了Gao和Zhuang-Gao的猜想。这是第一个具体的结果对零和问题的一个家庭的非阿贝尔群体的秩大于$2$。
2021-07-16 math.CO math.NT
Isogenies of certain abelian varieties over finite fields with p-ranks zero
研究了有限域上具有非交换自同态代数的某些阿贝尔簇的同构性，以期在基于同构的密码学中有潜在的应用。特别地，我们证明了任何两个这样的阿贝尔簇的自同态环的极大序模的自同态代数是由一个循环同构的素数度。
2020-01-01 cs.CR math.NT
Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians
定义在具有正特征的代数闭域k上的阿贝尔簇是超奇异的，如果它与超奇椭圆曲线的乘积同构，并且是超特殊的，如果它同构于超奇椭圆曲线的乘积。本文通过定义阿贝尔簇的超特殊秩，推广了超特殊条件，超特殊秩是其p-挠的不变量。本文的主要结果是关于曲线的超奇异阿贝尔簇和Jacobian的超特殊秩。例如，它原来的superspecial秩确定信息分解的超奇异阿贝尔簇同构，即它是一个界的最大数目的超奇椭圆曲线出现在这样的分解。
2015-10-18 math.AG math.NT
L-functions with large analytic rank and abelian varieties with large algebraic rank over function fields
本文的目的是解释如何一个简单的，但显然是新的事实，线性代数与上同调解释的L函数允许一个产生的例子L函数的功能域消失到高的顺序在其函数方程的中心点。主要的应用是，对每个素数p和每个整数g>0，存在Fp（t）上维数g的绝对单阿贝尔簇，BSD猜想对它成立，并且它们具有任意大的秩。
2006-09-25 math.AG math.NT
Rank Two Non-Abelian Zeta and Its Zeros
本文首先揭示了代数数域的非交换zeta函数与Epstein zeta函数之间的一种内在联系。然后，我们揭示了晶格稳定性与到尖点的距离之间的基本关系。接下来，利用这两个关系，我们明确表示秩2 zeta函数在著名的戴德金ζ函数。最后，基于这样一个表达式，我们证明了秩为2的非阿贝尔zeta函数的所有零点都完全位于其实部等于1/2的临界线上。这是我们地理算术计划的一个组成部分。
2004-12-01 math.AG math.NT
Specialization of Mordell-Weil ranks of abelian schemes over surfaces to curves
利用Shioda-Tate定理和Silverman特化定理的一个改进，我们将无穷域$k$上的交换簇的Mordell-Weil秩的特化约化为Ambrosi最近证明的Néron-Severi秩的正特征特化定理.更精确地说，我们证明了，在一个爆破的基面$S$，所有的垂直曲线$S_x$的纤维化$S \to U \subseteq \mathbf{P}^1_k$与$x$从$|U|$的稀疏子集的补充，Mordell-Weil秩的阿贝尔计划在$S$保持相同时，限制到$S_x$。
2023-01-30 math.AG math.NT
On the variation of the rank of Jacobian varieties on unramified abelian towers over number fields
设$C$是数域$k$上的光滑射影曲线，$X/k(C)$是正亏格的光滑射影曲线，$J_X$是$X$的雅可比簇，$(τ,B)$是$J_X$的$k(C)/k$ -迹.我们估计如何秩的$J_X(k(C))/τB(k)$变化时，我们采取一个非分歧的阿贝尔覆盖$π:C'\to C$定义在$k$。
2003-11-15 math.AG math.NT
Lower bounds for the rank of families of abelian varieties under base change
我们考虑以下问题：给定一个家庭的阿贝尔簇$\mathcal{A}$的曲线$B$上定义的数域$k$，如何排名的莫德尔-韦伊组的纤维$\mathcal{A}_t(k)$变化？Silverman的专门化定理保证，对于$C(k)$中的几乎所有$t$，纤维的秩至少是类属秩，即$\mathcal{A}(k(B))$的秩。当基曲线$B$是合理的，我们表明，至少在许多情况下，在某些几何条件下，有无限多的纤维的秩大于一般秩。本文是续集的第二作者的论文中的情况下，椭圆曲面处理。
2017-12-15 math.AG math.NT
Angle ranks of abelian varieties
本文利用牛顿超平面排列形式体系解决了角度秩的未决问题，推广了Lenstra–Zarhin和Tankeev的定理，证明了有限域上阿贝尔簇Tate猜想的若干新情形，并给出Zarhin定理的有效版本。
2023-04-17 math.AG math.NT
