On gaps between sums of four fourth powers
我们证明了，几乎所有的$N$有一个和的四个四次幂的间隔$(N-N^γ,N]$，所有的$γ>4059/16384=0.24774..$。
2019-10-11 math.NT
Distribution of twisted Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究了模素幂乘特征标扭曲的Kloosterman和。我们表明，由一个初等计算，这些款项成为equidistributed在真正的线相对于一个适当的措施。
2008-03-31 math.NT
Lower bounds in some power sum problems
研究了幂和问题max_{v=1,...,m}| sum_{k=1} ^n z_k^v|并利用Fejer核的性质，在么模复数z_k和m_（cn^2）的情况下，对常数c>1，给出了新的下界.
2007-04-15 math.NT
Sums of even ascending powers
Freiman和Scourfield证明了任何足够大的整数都可以写成一定数量的偶数次幂的和。我们使用圆的方法来提供这个数字的第一个明确的界限，并表明，任何足够大的整数可以写为133个上升的偶数幂的总和。
2020-01-08 math.NT
Exploring the Representation of Large Positive Integers as Sums of Prime Powers and Integer Powers: Analysis with Positive Density Subsets
本文利用转换原理研究大正整数表示为素数幂与整数幂之和的问题，其中素数和整数幂分别取自正密度子集，拓展了加法数论中的表示理论。
2024-02-19 math.NT
Perfect powers in sum of three fifth powers
本文确定了等差数列中三个五次幂之和的完全幂。更准确地说，我们完全解决了丢番图方程$$ (x-d)^5 + x^5 + (x + d)^5 = z^n,~n\geq 2, $$，其中$d,x,z \in \mathbb{Z}$和$d = 2^a5^b$与$a,b\geq 0$。
2020-08-28 math.NT
Sums of products involving power sums of $φ(n)$ integers
引入了一个有理数序列作为Bernoulli数列的推广.然后使用Faà di Bruno公式的应用程序获得涉及这个广义序列的项的产品和。这些乘积和类似于高阶Bernoulli数，并且用于开发涉及幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$的乘积和的封闭形式表达式，所述幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$通过默比乌斯函数$μ$和实变量或复变数$x.$的通常幂和$\displaystyle S_k(x):=\frac{B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.$来定义。
2013-06-25 math.NT
Evaluating Binomial Character Sums Modulo Powers of Two
我们表明，对于任何模$2^m$字符，$χ_1, χ_2,$的完全指数和，$$ \sum_{x=1}^{2^m}χ_1(x) χ_2(Ax^k+B), $$有一个简单的显式评估。
2014-03-12 math.NT
On Waring's problem in sums of three cubes for smaller powers
我们给出了最小$s$的一个上界，它具有如下性质：对于$2\leq k\leq 4.$情形，每个足够大的整数都可以表示为正$s$的正$k$次幂之和
2020-10-27 math.NT
The Generalization of Faulhaber's Formula to Sums of Arbitrary Complex Powers
本文将Faulhaber公式推广到任意复幂和$m\in\mathbb{C}$ .这些形式为$\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}k^{m}$和$\sum_{k=1}^{n}k^{m}$的和的求和公式，其中$x\in\mathbb{R}^{+}$和$n\in\mathbb{N}$是基于涉及第一类斯特林数的级数加速度。虽然众所周知，从欧拉-麦克劳林求和公式得到的相应表达式是发散的，但我们的求和公式都是非常迅速收敛的。
2021-03-14 math.NT
The growth of digital sums of powers of 2
本文给出了$2^n$在10进制下的位数之和大于$\log_4 n$的初等证明。特别地，$2^n$的位数和的极限是无限的。
2016-05-10 math.NT
Applications of some exponential sums on prime powers: a survey
关于素幂可加性问题的一些最新结果的综述。
2016-06-02 math.NT
Sums of fourth powers of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到了所有形式为\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{mk}{}^4 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{mk}{}^4 }$}及其交替形式的和的封闭形式表达式，其中$F_i$和$L_i$分别表示Fibonacci数和Lucas数。我们的结果补充了那些研究交替和的Melham。
2017-05-28 math.NT
The combinatorial method to compute the sum of the powers of primes
我们将把计算$π(x)$的组合算法推广到计算$k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$的和${F(x) = \sum_{p \leq x} p^k}$。算法的详细阐述包括与实现细节。
2021-11-30 math.NT
Sums of products of Kloosterman sums to prime power moduli
Bryn Mawr College（布林茅尔学院）；CHA Consulting, Inc.（CHA咨询公司）；Rice University（莱斯大学）
本文针对素幂模下的Kloosterman和乘积和，证明了新的强幂节省界，通过利用p进可微性的初始项估计完全指数和的方法实现，为相关数论问题提供了量化的对齐分析。
2026-08-24 math.NT
On the sum of two squares and at most two powers of 2
我们证明，有无穷多个整数不能表示为两个整数的平方和，最多两个非负整数2的权力。
2016-10-17 math.NT
On the mean average of integer partition as the sum of powers
本文研究了函数$r_{k,s}(n)$，即$r_{k,s}(n)$的（有序）表示数为$s$的正$k$次幂之和，其中整数为$k,s\ge 2$ .我们检查函数的平均值，或者等价地，检查\begin{equation*} \sum_{m=1}^n r_{k,s}(m). \end{equation*}
2022-11-19 math.NT
Cancellations between Kloosterman sums modulo a prime power with prime arguments
我们得到了一个非平凡界之间的Kloosterman和模一个大的素数权力与一个总理的论点运行在很短的时间间隔，这反过来又是基于一个新的估计双线性和Kloosterman和取消。这些结果是类似物的Kloosterman和模一个素数由不同的作者所获得的。然而，底层的技术是不同的，并允许我们从更短的范围开始获得非平凡的结果。
2016-12-18 math.NT
Representing numbers as the sum of squares and powers in the ring $\mathbb{Z}_n$
对于一般正整数$n$，我们研究了在$\mathbb{Z}_n$中将数字表示为两个平方和。利用这些信息，我们作出了一些正整数密度，可以表示为两个平方和的$2$在$\mathbb{N}$的权力。
2017-09-23 math.NT
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
2014-10-23 math.NT
Certain floor function sums over powers
利用$r\geq 2$研究了当$f$支持$r$次幂时的和$$ S_f(x) = \sum_{n\leq x} f\left(\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor\right) $$.这个限制使我们能够给出非平凡的估计的误差项之一的渐近展开的$S_f(x)$。我们还陈述了与我们的结果相关的几个问题。
2022-08-10 math.NT
Character sums to prime power moduli evaluated at binary quadratic forms
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教士维韦卡南达教育与研究机构）
研究素数幂模下二元二次型的特征和估计，采用p进分析方法，补充Heath-Brown对平方自由模的估计。
2026-08-27 math.NT
Tangent power sums and their applications
对整数$m, p,$研究了切幂和$\sum^m_{k=1}\tan^{2p}\frac{πk}{2m+1}.$，证明了对每一个$m, p,$，它都是整数，对固定的p，它是$m$中的一个$2p.$次多项式，给出了这些多项式的递归、渐近和显式公式，并指出了它们与Newman基数和$2m.$的关系
2014-07-31 math.NT
On the period of the continued fraction for values of the square root of power sums
本文证明了：如果对$\ZZ$上的幂和$α$，$\sqrt{α(n)}$的连分数的周期长度对无穷多个偶数（分别为1）是常数. odd）$n$，则$\sqrt{α(n)}$允许对所有偶数（resp. odd）$n$，除了多个;特别地，对于这样的$n$，部分幂次可以由相同种类的幂和表示。
2004-05-20 math.NT
Integers that are sums of two rational sixth powers
证明了$164634913$是两个有理数六次幂之和而不是两个整数六次幂之和的最小正整数。如果$C_{k}$是曲线$x^{6} + y^{6} = k$，我们使用从$C_{k}$到椭圆曲线的态射的存在性，以及Mordell-Weil筛，来排除对于各种$k$在$C_{k}$上存在有理点。
2022-01-26 math.NT
An explicit evaluation of $\nth{10}$-power moment of quadratic Gauss sums and some applications
本文对奇素数$p$估计了一个多元特征和\begin{align*} \sum_{a=2}^{p-2}\sum_{b=1}^{p-1}\sum_{c=2}^{p-2}\sum_{d=1}^{p-1}\left(\frac{a^2-b^2}{p}\right)\left(\frac{b^2-1}{p}\right) \left(\frac{c^2-d^2}{p}\right)\left(\frac{d^2-1}{p}\right)\left(\frac{a^2c^2-1}{p}\right), \end{align*}.借助于上述特征和的估计，我们利用特征和的估计和分析方法研究了广义二次高斯和的十次均值。
2021-04-20 math.NT
Integers Represented as a Sum of Primes and Powers of Two
证明了每一个充分大的偶数是两个素数和正好13个2的幂的和。在广义黎曼假设下，可以用7代替13。与以前的工作在这个问题上，证明避免了数值计算与明确的零自由区域的狄利克雷L-函数。该论证使用了一种新的技术来约束由2的幂形成的指数和很大的集合的测度。
2002-04-02 math.NT
Fourth power mean of the general $s$-dimensional Kloosterman sum mod $p$
该研究属于数论领域，通过求解模p同余方程解数、结合特征和估计与解析方法，得到了一般s维超Kloosterman和四次幂均值的渐近公式。
2023-07-18 math.NT
On sums of unequal powers of primes and powers of 2
本文证明了充分大的偶数可表示为素数平方、立方、四次方及2的幂之和，且至少5.313%的奇数可表示为素数平方、立方与四次方之和，改进了R. Zhang的结果。
2023-12-11 math.NT
Perfect powers in alternating sum of consecutive cubes
本文考虑了求连续立方交错和的完全幂的问题。更精确地说，我们完全解决了丢番图方程$(x+1)^3 - (x+2)^3 + \cdots - (x + 2d)^3 + (x + 2d + 1)^3 = z^p$，其中$p$是素数，$x,d,z$是整数与$1 \leq d \leq 50$。
2017-05-10 math.NT
On the average number of representations of an integer as a sum of like prime powers
我们研究了正整数表示为素数的$k + 1$完全$k$次幂之和的平均数。本文推广了最近关于$k = 2$ [6]和$k = 3$ [5]的结果.我们使用同样的技术来研究相应的问题，只是$k$完美$k$次幂的素数的总和。
2019-08-28 math.NT
Evaluating Prime Power Gauss and Jacobi Sums
我们表明，对于任何模$p^m$字符，$χ_1, \dots, χ_k,$的雅可比和，$$ \sum_{x_1=1}^{p^m}\dots \sum_{\substack{x_k=1\\x_1+\dots+x_k=B}}^{p^m}χ_1(x_1)\dots χ_k(x_k), $$有一个简单的评价时，$m$是足够大的（$m\geq 2$，如果$p\nmid B$）。作为证明的一部分，我们给出了一个简单的评价时，$m\geq 2$模$p^m$高斯和。
2014-10-22 math.NT
Short Quartic Exponential Sums in an Intermediate Range and Waring's Problem for Fourth Powers with Almost Equal Summands
Tajik State University of Finance and Economics（塔吉克国立财经大学）
研究十七个几乎相等的四次幂的华林问题，利用哈代 - 利特伍德圆法及短四次指数和精细估计，证明更短区间渐近公式，改进了该问题中\(H\)的先前已知下界。
2026-08-04 math.NT
Power values of power sums: a survey
本综述回顾了近年来在（计算）数论工具改进背景下，用于显式解决丢番图问题的幂和幂值研究的关键工具、技术、现有成果及开放问题。
2023-07-27 math.NT
On Power Values of Sum of Divisors function in Arithmetic Progressions
令$a\geq 1, b\geq 0$和$k\geq 2$是任何给定的整数。证明了存在无穷多个自然数$m$，使得$m$的约数之和是完全$k$次幂.当$m$的值属于任意给定的无穷等差数列$an+b$时，我们试图推广这个结果。证明了若$a$与$b$互质，且$b$模$a$的阶与$k$互质，则存在无穷多个自然数$n$使得$an+b$的约数之和为完全$k$次幂.我们还证明了，在一般情况下，无论是$an+b$的因子之和是不是一个完美的$k$次幂的任何自然数$n$或$an+b$的因子之和是一个完美的$k$次幂的无限多个自然数$n$ .
2022-01-29 math.NT
Distribution of short sums of classical Kloosterman sums of prime powers moduli
Corentin Perret-Gentil证明了，在一些非常一般的条件下，短和$\ell$ -进迹函数在有限域的变化中心的法律收敛到一个高斯随机变量或向量。主要输入为P。~ Deligne等分布定理，N.~ Katz的作品和\cite{MR3338119}的调查结果。特别地，这适用于N.~研究的$2$维Kloosterman和$\mathsf{Kl}_{2,\mathbb{F}_q}$。当字段$\mathbb{F}_q$变大时，\cite{MR955052}和\cite{MR1081536}中的Katz。本文考虑了素数幂模\par的规范化经典Kloosterman和的短和的情况，因为$p$在素数中趋于无穷大，而$n\geq 2$是一个固定整数。在一些非常自然的条件下，证明了该方法向实值标准高斯随机变量的收敛律。
2019-09-04 math.NT
Matrix Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究素数幂模的矩阵 Kloosterman 和，将既有素数模结果推广到素数幂情形，给出最优界，并指出其与 $\mathrm{GL}_n$ 上 horocyclic 流的联系。
2024-01-25 math.NT
Divisibility of Power Sums and the Generalized Erdos-Moser Equation
使用初等方法，我们确定2的最高幂除以幂和1^n + 2^n +。. . + m^n，推广了Lengyel的公式，其中m本身是2的幂。Moree的结果的一个应用是：如果（a，m，n）是广义Erdos-Moser丢番图方程1 ^n +2 ^n+的任意解，则（a，m，n）是该结果的一个简单证明. . . + （m-1）^n = am^n，则m是奇数。
2011-05-19 math.NT
Representation of even integers as a sum of squares of primes and powers of two
1951年，Linnik证明了存在一个常数$K$，使得每个足够大的偶数都是两个素数的和，且至多是2的$K$的幂。从那时起，这种近似风格被认为是类似于哥德巴赫猜想的问题。一个这样的问题是表示一个足够大的偶数作为四个平方的素数和最多$k$权力的2。2014年，赵用$k = 46$证明了这一点。在本文中，我们将其简化为$k = 31$。
2022-11-11 math.NT
Perfect powers that are sums of consecutive cubes
欧拉注意到了关系式$6^3=3^3+4^3+5^3$，并要求其他的立方体实例是连续立方体的和。类似的问题已经研究了坎宁安，加泰罗尼亚，Gennochi，卢卡斯，Pagliani，Cassels，内山，Stroeker和Zhongfeng Zhang。特别是Stroeker确定了所有的广场，可以写为总和最多$50$连续立方体。我们推广Stroeker的工作，确定所有完美的权力，是最多$50$连续立方体的总和。我们的方法包括下降，线性型在两个矩阵，和Frey-Hellegouarch曲线。
2016-11-03 math.NT
Fourth power moment of twisted Kloosterman sum and Hurwitz class numbers
Indian Institute of Technology Bhubaneswar（布巴内斯瓦尔印度理工学院）
本文研究扭曲Kloosterman和四次幂矩与Hurwitz类数的关系，借助Calabi-Yau三维簇点计数公式推导显式表达式，利用模形式相关理论得到加权和及该矩的渐近公式。
2025-10-22 math.NT
Power-Sum Denominators
幂和$1^n + 2^n + \cdots + x^n$从古典时代起就引起了数学家们的兴趣。Johann Faulhaber、Jacob Bernoulli和其他人随后将幂和表示为具有有理系数的次数为$n+1$的$x$中的多项式。在这里，我们考虑这些多项式的分解子，并证明它们的一些性质。一个值得注意的是，这样的分母等于$n+1$乘以某些素数$p$的无平方积，满足$n+1$的基$p$数字之和至少为$p$的条件。作为应用，我们导出了伯努利多项式的乘子的无平方积公式.
2017-05-10 math.NT
Representation by sums of unlike powers
证明了所有足够大的整数$n$都可以表示为$$n=x_1^2+x_2^3+\cdots+x_{13}^{14},$$，其中$x_1,\ldots,x_{13}$是正整数.这改进了使用$14$变量代替$13$的当前记录。
2021-05-27 math.NT
The average number of representations of an integer as a sum of two prime powers over multiples of a fixed integer
本文扩展Ikeda和Suriajaya(2025)的结果，研究固定整数q的倍数上整数n作为两个素数k次幂之和的表示数的渐进行为。
2026-07-22 math.NT
On the sum of $k$-th powers in terms of earlier sums
对于$k$，取正整数$S_k(n) = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$，即，$S_k(n)$是一次$k$幂的和。Faulhaber证明（后来由Jacobi证明），对于$k$奇数，$S_k(n)$可以写成$S_1(n)$的多项式;例如$S_3(n) = S_1(n)^2$。我们推广了这一结果，并证明了对于任何$k$，存在多项式$g_k(x,y)$，使得$S_k(n) = g(S_1(n), S_2(n))$。证明产生了一个递归公式来评估$S_k(n)$作为一个多项式的$n$，有大约一半的数量作为经典的。
2020-09-06 math.NT
On perfect powers that are sums of cubes of a five term arithmetic progression
本文证明了方程$(x-2r)^3 + (x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3 + (x+2r)^3= y^p$只有满足$xy=0$的解，其中$xy=0$是$1\leq r\leq 10^6$和$p\geq 5$素数.
2019-01-29 math.NT
Partitio Numerorum: sums of a prime and a number of $k$-th powers
令$k$为自然数，令$c=2.134693\ldots$为方程$2c=2+\log (5c-1)$在$[1,\infty)$中的唯一实解。然后，当$s\ge ck+4$，我们建立了一个渐近下界的数量级的一个大的正整数表示为一个素数和$s$正整数$k$次幂的总和的预期。
2022-11-18 math.NT
On perfect powers that are sums of two Fibonacci numbers
研究了方程$F_n + F_m = y^p$，其中$F_n$和$F_m$分别是$n$和$m$的斐波那契数和$p \ge 2$ .我们在假设$n \equiv m \pmod{2}$下找到所有解。
2017-06-30 math.NT
How to sum powers of balancing numbers efficiently
平衡数与斐波那契数一样，具有一个比内公式。使用这个，平衡数的任意幂的部分和可以显式求和。为此，作为第一步，功率$B_n^l$被表示为$B_{mn}$的线性组合。这样的表达式的总和，然后很容易使用生成函数。
2020-08-10 math.CO math.NT
Power moments of Kloosterman sums
本文给出了剩余类环上Kloosterman和的任意整幂矩估计的一个本质处理。对于素数模，我们得到明确的估计，并为素数幂模，我们证明了具体的公式使用计算与Igusa zeta函数。
2016-02-19 math.AG math.NT
Power sums in hyperbolic Pascal triangles
本文给出了用$q\ge5$确定对应于$\{4,q\}$的双曲杨辉三角形行元素的幂和的方法。该方法是基于线性递归的理论，并证明了结果通过评估的$k^{th}$功率和范围$2\le k\le 11$。
2017-03-15 math.CO math.NT
Recurrence Relations for k-Fold Nested Power Sums
本文推导了k重嵌套幂和的递推关系，并讨论了其与已有研究成果的关联。
2025-11-17 math.CO math.NT
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
2010-10-30 math.HO math.NT
A Recursive Formula for Power Moments of 2-Dimensional Kloosterman Sums Assiciated with General Linear Groups
本文构造了一个与$GL(2,q)$的Kloosterman和有关的二元线性码.这里，$q$是2的幂。得到了二维Kloosterman和的幂次矩的递推公式，等价于Kloosterman和的偶次矩的递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用$GL(2,q)$的Kloosterman和的显式表达式来完成的。
2009-12-16 cs.IT math.IT math.NT
