Sums of even ascending powers
Chan Ieong Kuan, Didier Lesesvre, Xuanxuan Xiao
Freiman和Scourfield证明了任何足够大的整数都可以写成一定数量的偶数次幂的和。我们使用圆的方法来提供这个数字的第一个明确的界限，并表明，任何足够大的整数可以写为133个上升的偶数幂的总和。
Freiman and Scourfield proved that any large enough integer can be written as a sum of a certain number of ascending even powers. We use the circle method to provide the first explicit bound on this number, and show that any large enough integer can be written as a sum of 133 ascending even powers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Several explicit formulae of sums and hyper-sums of powers of integers
本文利用Stirling数和广义伯努利多项式给出了一般等差数列第一（n+1）项幂的和与超和的几个显式公式.
Sums of powers over equally spaced Fibonacci numbers
最近关于斐波那契数立方和的结果[Frontczak，2018]扩展到任意幂。
p-adic q-expansion of alternating sums of powers
本文主要研究交错幂和的p进q-展开式。从这些性质出发，我们得到了与交错幂和的p-adic q-展开式有关的一些有趣的性质
A Method of Generating Sums of Like Powers
本文提出了一种生成同幂和的新方法。
On p-adic q-l-functions and sums of powers, II
本文研究了一类新的p-adic q-l-函数及其幂和。
A note on the alternating sums of powers of consecutive integers
根据欧拉的一个思想，我们计算了构造整数的幂的交错和。
On partial T-adic exponential sums and partial exponential sums with p-power conductor
本文推广了Liu和Wan的T进指数和理论到部分情形，证明了相关L函数的T进亚纯性，从而给出p幂导子特征部分L函数有理性的p进证明，并给出Newton-over-Hodge估计。
q-analogues of the sums of powers of consecutive integers
根据J. Bernoulli的一个想法，我们探索了连续整数的幂和的q-模拟。
Two Kinds Hybrid Power Mean Involving Two-Term Exponential Sums and Dedekind Sums
本文利用解析方法、二次剩余变换及 Dedekind 和性质，研究两类含两项指数和与 Dedekind 和的混合幂平均计算问题，并给出两个渐近公式，推广了已有结论。
Bernoulli numbers and sums of powers of integers of higher order
利用高阶Bernoulli数给出了高阶整数幂和多项式的一个表达式。
p-adic l-functions and sums of powers
本文给出了与欧拉数有关的p进L函数及幂和的显式表达式。
Distribution of twisted Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究了模素幂乘特征标扭曲的Kloosterman和。我们表明，由一个初等计算，这些款项成为equidistributed在真正的线相对于一个适当的措施。
Sums of powers of consecutive q-integers
给出了k-1以内的正整数的n次幂和的q-模拟。
Perfect powers that are sums of consecutive squares
我们确定所有可以写成最多10个连续平方和的完美幂。
Sums of products of Kloosterman sums to prime power moduli
本文针对素幂模下的Kloosterman和乘积和，证明了新的强幂节省界，通过利用p进可微性的初始项估计完全指数和的方法实现，为相关数论问题提供了量化的对齐分析。
On the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了$q$ -Genocchi数和多项式。利用这些数和多项式，我们研究了欧拉给出的连续整数的交替幂和的$q$ -模拟。
Power sums of Hecke's eigenvalues and application
利用Kim & Shahidi关于高阶对称幂的最新结果，改进了Rankin关于Hecke特征值的幂和的一些估计.作为应用，改进了Kohnen，Lau & Shparlinski关于同号Hecke特征值个数的下界.
Sums of three Fibonacci numbers close to a power of 2
在本文中，我们找到了所有的3个斐波那契数的和，这是接近2的幂。本文继续和扩展了Hasanalizade \cite{Hasanalizade}以前的工作。
Cancellations between Kloosterman sums modulo a prime power with prime arguments
我们得到了一个非平凡界之间的Kloosterman和模一个大的素数权力与一个总理的论点运行在很短的时间间隔，这反过来又是基于一个新的估计双线性和Kloosterman和取消。这些结果是类似物的Kloosterman和模一个素数由不同的作者所获得的。然而，底层的技术是不同的，并允许我们从更短的范围开始获得非平凡的结果。
Sums of products involving power sums of $φ(n)$ integers
引入了一个有理数序列作为Bernoulli数列的推广.然后使用Faà di Bruno公式的应用程序获得涉及这个广义序列的项的产品和。这些乘积和类似于高阶Bernoulli数，并且用于开发涉及幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$的乘积和的封闭形式表达式，所述幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$通过默比乌斯函数$μ$和实变量或复变数$x.$的通常幂和$\displaystyle S_k(x):=\frac{B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.$来定义。
A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了一个新的q-欧拉数和多项式。利用这些数和多项式，我们根据Euler的一个思想，给出了连续q-整数的交错幂和的有趣公式。
Integer Powers Expressed as Nested Sums of Lower Powers modulo 2, 3
本文探索将正整数幂表示为较小正整数幂嵌套和的恒等式，建立了连续递减幂的基础恒等式并以此证明 Fermat 小定理，随后推导并严格证明了模2和模3的整数幂表示恒等式。
Applications of some exponential sums on prime powers: a survey
关于素幂可加性问题的一些最新结果的综述。
On the length of continued fractions for values of quotients of power sums
推广了Pourchet的一个结果，证明了：若$α,β$是满足适当条件的幂和，则比率$α(n)/β(n)$的连分数的长度趋于无穷大，且有$n$ .
Character sums to prime power moduli evaluated at binary quadratic forms
研究素数幂模下二元二次型的特征和估计，采用p进分析方法，补充Heath-Brown对平方自由模的估计。
On gaps between sums of four fourth powers
我们证明了，几乎所有的$N$有一个和的四个四次幂的间隔$(N-N^γ,N]$，所有的$γ>4059/16384=0.24774..$。
Power Sums Related to Semigroups ${\sl S}(d_1,d_2,d_3)$
给出了不能用整数三元组$d_1,d_2,d_3\in {\mathbb N}, \gcd(d_1,d_2,d_3)=1$表示的整数$s_i$的正幂和的显式表达式。
Sums of powers and special polynomials
本文讨论了正整数的幂和，并计算了幂和的指数母函数和普通母函数。我们表示这些生成函数的指数和几何多项式，并显示其连接到其他有趣的系列。特别是，我们显示他们的连接到一个有趣的问题Ovidiu Furdui。
Sums of fourth powers of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到了所有形式为\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{mk}{}^4 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{mk}{}^4 }$}及其交替形式的和的封闭形式表达式，其中$F_i$和$L_i$分别表示Fibonacci数和Lucas数。我们的结果补充了那些研究交替和的Melham。
An identity on the $2m$-th power mean value of the generalized Gauss sums
本文利用组合和分析的方法证明了$m\geq 2$的广义二次高斯和的$2m$次幂均值的一个精确计算公式。这解决了He和Zhang的猜想[“On the $2k$ -th power mean value of the generalized quadratic Gauss sums”，Bull. Korean Math.Soc.48（2011），No.1，9-15]。
Basic trigonometric power sums with applications
给出了几种正、余弦的正整数次幂和的非三角组合形式的变换。结果被应用到生成函数的推导和封闭的路径上的行走和在一个周期的数量。
A note on the sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了Barnes Bernoulli数和二次多项式的q-模拟，回答了Schlosser问题的一部分.最后，我们处理的q-模拟的权力和连续积分。
The powers of two as sums over partitions
本文研究了将$2$的自然幂表示为整数分拆上的和的两种方法。首先我们考虑一个由N表示的公式。J. Fine，它允许我们用多项式系数来表示二项式系数，作为分区上的和。第二种方法调用中心二项式系数及其生成函数的对数微分。一些实验结果表明，存在其他的方法分解的权力$2$的总和分区。
Distribution of short sums of classical Kloosterman sums of prime powers moduli
Corentin Perret-Gentil证明了，在一些非常一般的条件下，短和$\ell$ -进迹函数在有限域的变化中心的法律收敛到一个高斯随机变量或向量。主要输入为P。~ Deligne等分布定理，N.~ Katz的作品和\cite{MR3338119}的调查结果。特别地，这适用于N.~研究的$2$维Kloosterman和$\mathsf{Kl}_{2,\mathbb{F}_q}$。当字段$\mathbb{F}_q$变大时，\cite{MR955052}和\cite{MR1081536}中的Katz。本文考虑了素数幂模\par的规范化经典Kloosterman和的短和的情况，因为$p$在素数中趋于无穷大，而$n\geq 2$是一个固定整数。在一些非常自然的条件下，证明了该方法向实值标准高斯随机变量的收敛律。
L-functions of symmetric powers of the generalized Airy family of exponential sums
本文研究了与广义Airy指数和族相关的仿射直线上ell-adic层的k次对称幂的L-函数。我们计算这个有理函数的次数和无穷远处的局部因子。
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
Ternary codes associated with symplectic groups and power moments of Kloosterman sums with square arguments
本文构造了与辛群Sp（2，q）和Sp（4，q）相关的两个三元线性码.这里q是3的幂。在此基础上，我们得到了具有平方变元的Kloosterman和的幂次矩和它们的偶次幂次矩关于码中权的频率的递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用辛群Sp（2n，q）的“高斯和”的显式表达式来完成的。
Codes Associated with $O(3,2^r)$ and Power Moments of Kloosterman Sums with Trace One Arguments
我们构造了一个与正交群$O(3,q)$相关的二元线性码$C(O(3,q))$。这里$q$是2的幂。然后得到了迹为1的Kloosterman和的奇次幂矩关于码$C(O(3,q))$和$C(Sp(2,q))$中权的频率的递推公式.这是通过Pless幂矩恒等式和利用正交群的高斯和的显式表达式来完成的。
On p-adic q-l-functions and sums of powers
构造了q-欧拉数在负整数上插值的p-adic解析连续函数，并给出了n中p-adic的一个显式幂级数展开式.
Computing Dirichlet character sums to a power-full modulus
Postnikov特征公式用于表示狄利克雷特征和的大部分二次指数和。二次和，然后计算使用的分析算法，以前推导出的作者。如果模数足够平滑，则这导致功率节省。作为应用，给出了一种计算复杂度指数为1/3且模足够光滑的Dirichlet L-函数的快速实用方法.
Elementary Bounds on Digital Sums of Powers, Factorials, and LCMs
本文通过初等数论方法，给出了数字幂、倍数、阶乘和最小公倍数的数字和的下界，并证明了Stewart定理。
Mean values of arithmetic functions and application to sums of powers
本文研究了算术函数的均值，并将其应用于幂和的整数表示问题，提供了新的上界和下界结果。
Short Kloosterman sums to powerful modulus
得到了幂模$q$的不完全Kloosterman和的估计.和的长度$N$位于间隔$e^{c(\log{q})^{2/3}}\le N\le \sqrt{q}$中。
Certain floor function sums over powers
利用$r\geq 2$研究了当$f$支持$r$次幂时的和$$ S_f(x) = \sum_{n\leq x} f\left(\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor\right) $$.这个限制使我们能够给出非平凡的估计的误差项之一的渐近展开的$S_f(x)$。我们还陈述了与我们的结果相关的几个问题。
Integer ratios of consecutive alternating power sums
本文给出了正整数对$(k,n)$的一个特征，对$(k,n)$，两个连续的交替幂和之比$$ \frac{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n+1} n^k}{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n}(n-1)^k} $$是一个整数。
On powers that are sums of consecutive like powers
令$k \ge 2$为偶数，令$r$为非零整数。我们证明了对于几乎所有的$d \ge 2$（在自然密度的意义下），方程$$ x^k+(x+r)^k+\cdots+(x+(d-1)r)^k=y^n, \qquad x,~y,~n \in \mathbb{Z}, \qquad n \ge 2, $$没有解。
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
More on Faulhaber's theorem for sums of powers of integers
本文考虑arXiv：1912.07171中建立的关于第一个$n$正整数的幂和$S_k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$的定理，并证明了它可用于证明Faulhaber的经典定理对于奇数和偶数$k$的情形.
Sums of products of power sums
对于任何两个算术函数$f,g$，令$\bullet$是交换和结合算术卷积$(f\bullet g)(k):=\sum_{m=0}^k \left( \begin{array}{c} k m \end{array} \right)f(m)g(k-m)$，对于任何$n\in\mathbb{N},$，$f^n=f\bullet \cdots\bullet f$是$f\in \mathcal{S}.$的$n-$倍积对于任何$x\in\mathbb{C},$，令$\mathcal{S}_0=e$是环$(\mathcal{S},\bullet,+)$的乘法恒等式，$\mathcal{S}_x(k):=\frac{\mathcal{B}_{x+1}(k+1)-\mathcal{B}_{1}(k+1)}{k+1},~x\neq 0$表示由伯努利多项式$\mathcal{S}^N_x(k)(x)$定义的幂和。Faulhaber公式，推导出。进一步研究了$α-$ Euler数\cite{JS9}（Apostol Bernoulli数的一种变体）及其乘积和的一些性质，利用这些性质得到了$η_α(k):=\sum_{n=0}^{\infty}α^n n^k,~0<|α|<1,~k\in\mathbb{N}_0$形式的无穷级数的乘积和及其Abel和的封闭形式表达式，特别是给出了著名Bernoulli数的封闭…
Matrix Kloosterman sums modulo prime powers
本文研究素数幂模的矩阵 Kloosterman 和，将既有素数模结果推广到素数幂情形，给出最优界，并指出其与 $\mathrm{GL}_n$ 上 horocyclic 流的联系。
Evaluating Binomial Character Sums Modulo Powers of Two
我们表明，对于任何模$2^m$字符，$χ_1, χ_2,$的完全指数和，$$ \sum_{x=1}^{2^m}χ_1(x) χ_2(Ax^k+B), $$有一个简单的显式评估。
Sums of Like Powers and Some Dense Sets
本文引入了$P$ -序列的概念，并将其性质应用于实数的可表示性研究。$P$ -序列的另一个应用是产生Prouhet-Tarry-Escott对。
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
The growth of digital sums of powers of 2
本文给出了$2^n$在10进制下的位数之和大于$\log_4 n$的初等证明。特别地，$2^n$的位数和的极限是无限的。
On the period of the continued fraction for values of the square root of power sums
本文证明了：如果对$\ZZ$上的幂和$α$，$\sqrt{α(n)}$的连分数的周期长度对无穷多个偶数（分别为1）是常数. odd）$n$，则$\sqrt{α(n)}$允许对所有偶数（resp. odd）$n$，除了多个;特别地，对于这样的$n$，部分幂次可以由相同种类的幂和表示。
Plane curves in boxes and equal sums of two powers
给定一个绝对不可约的三元形式$F$，本文的目的是给出方程F=0的整数解的个数的更好的上界，这些解被限制在非常不平衡的盒子里.作为主要结果的一个应用，得到了两个相似幂和相等时的一个新的贫量估计。
Sums of Fibonacci numbers close to a power of 2
在本文中，我们发现所有的和两个斐波那契数，这是接近2的幂。作为推论，我们也确定所有卢卡斯数接近2的幂。在这项工作中使用的主要工具是由于Matveev和Dujella-Pethö版本的Baker-Davenport减少方法在丢番图逼近的线性型的下界。本文继续和扩展了陈和崔的工作。
Exploring the Representation of Large Positive Integers as Sums of Prime Powers and Integer Powers: Analysis with Positive Density Subsets
本文利用转换原理研究大正整数表示为素数幂与整数幂之和的问题，其中素数和整数幂分别取自正密度子集，拓展了加法数论中的表示理论。
On Waring's problem in sums of three cubes for smaller powers
我们给出了最小$s$的一个上界，它具有如下性质：对于$2\leq k\leq 4.$情形，每个足够大的整数都可以表示为正$s$的正$k$次幂之和
Sums of powers of integers and hyperharmonic numbers
本文给出了包含超调和数和第二类Stirling数的第一类$n$正整数的幂和公式$S_k(n)$.然后，利用超调和数的显式表示，将此公式推广到任意等差数列的幂和。此外，我们还将伯努利多项式表示为超调和多项式和第二类Stirling数。最后，我们将所得到的$S_k(n)$的公式推广到$n$的负值。
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