New sums mixing harmonic numbers and central binomial coefficients
Independent Researcher, 76520 Franqueville-Saint-Pierre, France；Independent Researcher, 72764 Reutlingen, Germany
本文提出了一种混合调和数与中心二项式系数的新和类，并建立了相关幂和的递归解。
2026-02-01 math.NT
Proof of Sun's conjecture on the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z. W. Sun：$$ (2n-1){3n\choose n}| \sum_{k=0}^{n}{6k\choose 3k}{3k\choose k}{6(n-k)\choose 3(n-k)}{3(n-k)\choose n-k}. $$，方法是显示左侧除右侧的每个被加数。
2013-01-21 math.NT
Sylvester's Theorem and the Non-integrality of a certain Binomial Sum
本文证明了对于任何正整数$n$和$r\in \{1,2,3,4,5,6\}$以及对于$n\le r-1$，$S(n,r):=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{k}{k+r}$都不是整数.这部分地回答了[3]的一个猜想。
2015-08-19 math.NT
Super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是有理p-adic整数。令$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别表示伯努利多项式和欧拉多项式。在本文中，我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\equiv (-1)^{\langle a\rangle_p}+ p^2t(t+1)E_{p-3}(-a)\pmod{p^3}$$和$a\not\equiv -\frac 12\pmod p$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac 1{2k+1}\equiv \frac{1+2t}{1+2a} +p^2\frac{t(t+1)}{1+2a}B_{p-2}(-a)\pmod{p^3},$$，其中$\langle a\rangle_p\in\{0,1,\ldots,p-1\}$满足$a\equiv \langle a\rangle_p\pmod p$和$t=(a-\langle a\rangle_p)/p$。取$a=-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$在上述同余式中，我们解出了Z.W.太阳本文还建立了$\sum_{k=0}^{p-1}k\binom ak\binom{-1-a}k,\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac…
2014-07-28 math.NT
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
2020-02-27 math.NT
The Last Digit of $\binom{2n}{n}$ and $\sum\binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$
令$f_{n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$，$g_{n}= \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$。令$\{a_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$\binom{2n}{n}$不能被5整除，令$\{b_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$g_n$不能被5整除。本说明找到了$a_k$、$b_k$、$\binom{2n}{n}\ mod\ 10$、$ f_{n}\ mod\ 10$和$ g_{n}\ mod\ 10$的简单公式。
2013-02-01 math.CO math.NT
Quartic residues and sums involving $\binom{4k}{2k}$
令$p$是奇素数，令$m\not\equiv 0\pmod p$是有理p-adic整数。本文揭示了四次剩余与和$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}$之间的关系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$q$是一个素数，其形式为$4k+1$，因此$q=a^2+b^2$与$a,b\in\Bbb Z$。当$p\nmid ab(a^2-b^2)q$时，我们证明了对于$r=0,1,2,3$，$p^{\frac{q-1}4}\equiv (\frac ab)^r\pmod q$当且仅当$$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\Big(\frac{a^2}{16q}\Big)^k\equiv (-1)^{\frac{p^2-1}8a+\frac{p-1}2\cdot \frac{q-1}4}\Big(\frac pq\Big) \Big(\frac ab\Big)^r\pmod p,$$，其中$(\frac pq)$是Legendre符号。我们还建立了$m=17,18,20,32,52,80,272$病例中$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}\pmod p$的全等性。
2013-12-02 math.NT
Congruences for sums involving $\binom{rk}{k}$
Università di Milano–Bicocca（米兰比可卡大学）；Università di Roma “Tor Vergata”（罗马托维加塔大学）
研究了模$p$下形式为$\sum_k\binom{rk}{k}x^k/k$的有限和的同余性质，通过两种互补方法获得模$p^2$下的同余式，用有限多项式对数表达式表示。
2026-03-16 math.NT
Factors of Some Lacunary q-Binomial Sums
本文证明了缺项$q$的一个整除性结果--二项式和$$ \sum_{k\equiv r\pmod{c}}(-1)^kq^{\binom{k}{2}}\qbinom{n}{k}{q}\qbinom{(k-r)/c}{l}{q^{c}}. $$
2012-06-03 math.CO math.NT
Congruences involving $\binom{4k}{2k}$ and $\binom{3k}k$
设$p$是一个大于3的素数。本文主要确定$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}(-1)^k$，$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k, \sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-1)^k$和$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-3)^k$模$p$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。
2011-08-24 math.CO math.NT
On sums involving products of three binomial coefficients
本文主要利用Zeilberger算法研究三个二项式系数乘积项和的同余关系。让$p>3$是一个素数。我们证明了对于所有具有$d\equiv (p+1)/2\pmod2$的$d\in\{0,\ldots,p-1\}$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+d}}{64^k}\equiv 0\pmod{p^2}$$.如果$p\equiv 1\pmod4$和$p=x^2+y^2$具有$x\equiv 1\pmod4$和$y\equiv 0\pmod2$，那么我们通过确定$x$ mod $p^2$通过$$(-1)^{(p-1)/4}\,x\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{k+1}{8^k}\binom{2k}k^2\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{2k+1}{(-16)^k}\binom{2k}k^2\pmod{p^2}.$$来显示$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}\equiv 2p-2x^2\pmod{p^2}\ \ \mbox{and}\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+1}^2}{(-8)^k}\equiv-2p\p…
2014-04-28 math.CO math.NT
Divisibility of some binomial sums
利用$q$ -同余，证明了某些二项式和的整除性.例如，对于任意整数$ρ,n\geq 2$、$$\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1) \binom{2k}{k}^ρ\cdot (-4)^{ρ(n-1-k)} \equiv 0\pmod{2^{ρ-2}n\binom{2n}{n}}.$$
2018-08-09 math.CO math.NT
Congruences of multiple sums involving invariant sequences under binomial transform
我们将证明几个同余模幂的素数，如$$ \sum_{0<k_1<...<k_{n}<p}\leg{p-k_{n}}{3} {(-1)^{k_{n}}\over k_1... k_{n}}\equiv {lll} -{2^{n+1}+2\over 6^{n+1}} p B_{p-n-1}({1\over 3}) &\pmod{p^2} &{if $n$ is odd} -{2^{n+1}+4\over n6^n} B_{p-n}({1\over 3}) &\pmod{p} &{if $n$ is even}. $$其中$n$是一个正整数和$p$是素数，使$p>\max(n+1,3)$。
2009-11-05 math.NT
A double-sum analogue of Whipple's summation formula and a restricted sum formula for multiple binomial sums
Faculty of Mathematics, Kyushu University（九州大学数学系）
该研究证明了Whipple的{}_3F_2求和公式的双重和模拟式，并将其应用得到Igarashi参数化多重zeta级数特殊情形下多重二项和的受限求和公式
2026-08-12 math.CA math.NT
Proof of conjectures on series with summands involving $ \binom{2k}{k}8^k/(\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k})$
该研究借助 level 8 分圆多重 zeta 值，证明并推广了含二项式系数比的两类无穷级数恒等式，给出涉及 $\pi$、$\sqrt2$ 与二阶调和数的精确闭式结果。
2024-01-25 math.CA math.NT
Some supercongruences modulo $p^2$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文证明了关于$$\align &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{54^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{4k}{2k}}{128^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{432^k}, &\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}{k}}{m^k}, \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{m^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\f{\binom{2k}k\binom{3k}{k}\binom{6k}{3k}}{m^k}\mod {p^2}.\endalign$$的几个超同余，从而解决了孙志伟和作者的一些问题。
2011-01-05 math.CO math.NT
For which 2-adic integers $x$ can $\sum_k \binom xk^{-1}$ be defined?
令$f(n)=\sum_k \binom nk^{-1}$。在以前的文章中，我们定义了一个p进整数x，f（x）是p-可定义的，如果lim $f(x_j)$存在于$Q_p$中，其中$x_j$表示$x$的模$p^j$约化。我们证明了如果p是奇数，那么-1是$Z_p-N$中唯一的元素f（x）是p-可定义的。对于p=2，我们证明了如果x的二进制展开式中的1最终非常稀疏，则f（x）是2-可定义的。本文给出了f（x）对更多的2-adic整数是2-可定义的一些证明。我们讨论在何种程度上我们可以证明这些假设。
2013-01-11 math.NT
On some divisibility properties of binomial sums
本文考虑两个特殊的二项式和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(20k^2+8k+1){\binom{2k}{k}}^5 (-4096)^{n-k-1} \end{align*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(120k^2+34k+3){\binom{2k}{k}}^4\binom{4k}{2k} 65536^{n-k-1}, \end{align*}，它们是由Guillera关于$\frac{1}{π^2}$的两个级数得到的.我们考虑了它们的整除性质，证明了对所有整数$n\geq 2$，它们都能被$2n^2 \binom{2n}{n}^2$整除.这些整除性质比He用WZ-方法证明了上述两个和可被$2n \binom{2n}{n}$整除的结果更强。
2016-11-04 math.CO math.NT
Congruences involving $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$
为$n=0,1,2,...$定义$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$。这些数$g_n=g_n(1)$与Apéry数和Franel数密切相关。本文建立了涉及$g_n(x)$的几个基本同余.例如，对于任何素数$p>5$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k}\equiv 0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k^2}\equiv 0\pmod p.$$这类似于Wolstenholme对任何素数$p>3$的经典同余$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\equiv0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv0\pmod p$$。
2016-07-19 math.CO math.NT
How to prove this polynomial always has integer values at all integers
以下问题是由用户“Kevin”在Mathoverflow上提出的。如何证明这个多项式在所有整数处都有整数值？$$P_m(x)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{m} \binom{x+j}{j} \binom{x-1}{j} \binom{j}{i} \binom{m}{i} \binom{i}{m-j} \frac{3}{(2i-1)(2j+1)(2m-2i-1)}.$$我们提供答案。
2015-09-30 math.NT
On sums of binomial coefficients modulo p^2
设p为奇素数，a为正整数。本文研究和$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}/m^k$ mod p^2，其中h，m是p进整数，m \not =0（mod p）.例如，我们证明了如果h \not =0（mod p）并且p^a>3，则$$ sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-h/2)^k =(\frac{1-2h}{p^a})(1+h((4h-2)^{p-1}/h^{p-1}-1)) (mod p^2),$$，其中（-）表示雅可比符号。这是另一个值得注意的一致性：如果p>3，则$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{p^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-1)^k =3^{p-1}(\frac{p^a}3) (mod p^2).$$
2010-06-15 math.CO math.NT
New congruences involving products of two binomial coefficients
设$p>3$为素数，$a$为正整数。我们证明了如果$p\equiv1\pmod 4$或$a>1$则$$\sum_{k=0}^{\lfloor\frac34p^a\rfloor}\frac{\binom{2k}k^2}{16^k}\equivł(\frac{-1}{p^a}\r)\pmod{p^3}$$和$(-)$是Jacobi符号，这证实了Z.- W.太阳我们还建立了以下新的同余式：\begin{align*}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{27^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{2^p+1}3\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{(2k+1)432^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{3^p+1}4\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}{(2k+1)64^k}\equiv&ł(\frac{-1}p\r)2^{p-1}\pmod{p^2}. \end{align*}注意，在2003年Rodriguez-Villeguez提出了关于$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\bino…
2016-01-19 math.CO math.NT
On 2-adic orders of some binomial sums
证明了对任意非负整数$n$和$r$，二项式和$$ \sum_{k=-n}^n\binom{2n}{n-k}k^{2r} $$可被$2^{2n-\min\{α(n),α(r)\}}$整除，其中$α(n)$表示$n$的二进制展开式中1的个数.这证实了郭和曾的一个猜想。
2010-08-31 math.CO math.NT
On the divisibility of sums of even powers of $q$-binomial coefficients
证明了最近由Guo，Schlosser和Zudilin提出的关于$q$ -二项式系数的偶次幂和的整除性猜想.我们的证明依赖于两个$q$ -调和级数同余式。
2021-10-19 math.CO math.NT
On sums of binomial coefficients and their applications
本文研究组合和$[n,r]_m=\sum_{k\equiv r (mod m)}\binom {n}{k}$与交错和$\sum_{k\equiv r (mod m)}(-1)^{(k-r)/m}\binom{n}{k}$的递归性，其中m>0，$n\ge 0$和r为整数.例如，我们表明，如果$n\ge m-1$，那么$$\sum_{i=0}^{\lfloor(m-1)/2\rfloor}(-1)^i\binom{m-1-i}i [n-2i,r-i]_m=2^{n-m+1}.$$我们也将这样的结果调查伯努利和欧拉多项式。我们的方法在很大程度上依赖于作者建立的身份[整数2（2002）]。
2008-07-14 math.CO math.NT
Some $q$-congruences involving central $q$-binomial coefficients
假设$p$是奇素数，$m$是不能被$p$整除的整数。孙和陶拉索[高级应用数学，45（2010），125- 148]给出了所有$d=0,1, \ldots n$和$n= p^a$的$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k+d}/(km^k)$模$p$，其中$a$是正整数。本文在$m=2, 4$对任意正整数$n$的情形下给出了这些同余的$q$ -类似.
2021-10-20 math.NT
Supercongruences for sums involving $\binom ak^m$
设$p$是奇素数，$a$是有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理$p$-adic整数.本文利用WZ方法建立了$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak^2(-1)^k(1-\frac 2ak)$模$p^2$和$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak^r(1-\frac 2ak)^s$模$p^4$的同余式，其中$r\in\{3,4\}$和$s\in\{1,3\}$ .
2022-04-21 math.CO math.NT
Parametric binomial sums involving harmonic numbers
我们提出了明确的公式，以下家庭的参数二项式和涉及调和数$p=0,1,2$和$|t|\leq1$。$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}t^k}{k^p\binom{n+k}{k}}\quad \mbox{and}\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k^p\binom{n+k}{k}}. $$我们还将第一类Stirling数与黎曼ζ函数之间的关系推广到了多Γ函数，并给出了一些应用. $$ ζ(n+1)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{s(k,n)}{kk!}, \quad n=1,2,3,... . $$作为例子，\begin{equation*} ζ(3)=\frac{1}{7}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}4^k}{k^2\binom{2k}{k}},\quad \mbox{and}\quad ζ(3)=\frac{8}{7}+\frac{1}{7}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k-1}4^k}{k^2(2k+1)\binom{2k}{k}}, \end{equation*}是Apéry常数$ζ(3)$的新级数表示。
2021-05-09 math.CA math.NT
Congruences for certain lacunary sums of products of binomial coefficients
证明了对任意素数$p$和任意自然数$\ell, m,$和$s$使得$0<s<p$，下列三个同余式\begin{align*}\sum_{i\ge \ell+1}(-1)^{m-i} {m \choose i}{m+s-1+i(p-1) \choose m+s-1+\ell(p-1)} &\equiv 0 \bmod p\\ \sum_{i\ge 0}(-1)^{m-i} {m \choose i}{\ell+ip \choose m+s-1}&\equiv 0 \bmod p^m\\ \sum_{j,i\ge \ell}(-1)^{j-i}{m \choose j} {j \choose i}{j+s-1+i(p-1) \choose j+s-1+\ell(p-1)}&\equiv 0 \bmod p^{m-\ell} \end{align*}成立.相应的同余式涉及Adelberg多项式，它可以显式计算，为这些和提供封闭形式的表达式，即使$p$不是素数，当同余式不一定成立时也有效。
2020-08-03 math.NT
Congruences concerning binomial coefficients and binary quadratic forms
设$p>3$为素数。本文得到了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^3}{(-8)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{(-192)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{(-144)^k}\ \text{and} \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{648^k}$$模$p^2$的同余式，以及$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}k^3\frac{w(k)}{m^k}$模$p^2$的部分结果，其中$m\in\{1,16,-64,256,-512,4096\}$和$w(k)\in\{k^2,k^3,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3}, \frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}\}$ .
2022-11-24 math.CO math.NT
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
2019-10-29 math.CO math.NT
On congruences related to central binomial coefficients
已知$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$和$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$ .本文得到了它们的p-adic类似物，如$$\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=3\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)= pE_{p-3} (mod p^2),$$，其中p>3是素数，E_0，E_1，E_2，.是欧拉数。除此之外，我们还推导出了与中心二项式系数有关的其它一些同余式。此外，我们还提出了一些推论，其中一个推论指出，对于任何奇素数p，如果（p/7）=1且p=x^2+7y^2且x，y为整数，则我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$，如果（p/7）=-1则有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$，即，p= 3，5，6（mod 7）。
2011-08-02 math.CO math.NT
On two conjectural supercongruences of Z.-W. Sun
本文主要利用由${}_4F_3$超几何变换得到的恒等式$$ \sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2=16^n\sum_{k=0}^n\frac{\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}\binom{2k}{k}^2}{(-16)^k} $$证明了Sun的两个代数超同余.对任意素数$p>3$，证明了\begin{gather*} \sum_{n=0}^{p-1}\frac{n+1}{8^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2\equiv(-1)^{(p-1)/2}p+5p^3E_{p-3}\pmod{p^4},\\ \sum_{n=0}^{p-1}\frac{2n+1}{(-16)^n}\sum_{k=0}^n\binom{2k}{k}^2\binom{2n-2k}{n-k}^2\equiv(-1)^{(p-1)/2}p+3p^3E_{p-3}\pmod{p^4}, \end{gather*}，其中$E_{p-3}$是$(p-3)$第欧拉数.
2020-04-25 math.CO math.NT
Proofs of power sum and binomial coefficient congruences via Pascal's identity
一个经常被引用的定理说，对于n > 0和素数p，如果p-1整除n，则第一个p的n次幂之和等于-1模p，否则等于0。我们调查的主要成分在几个已知的证据。然后，我们给出了一个初等证明，使用一个身份证明的权力和帕斯卡在1654年。一个应用是一个简单的证明一个同余某些总和的二项式系数，由于厄米和巴赫曼。
2010-10-30 math.HO math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{f_n\}$是由$f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$给出的弗兰纳数，令$p>5$是素数。本文主要是对$m=5,-16,16,32,-49,50,96$进行$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$的测定。令$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$。我们还确定了$m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$的$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$。
2015-05-04 math.CO math.NT
Cubic congruences and sums involving $\binom{3k}k$
令$p$是大于$3$的素数，令$a$是有理p-adic整数。本文试图确定$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并实现三次同余与和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$之间的联系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$a_1,a_2,a_3$是有理p-adic整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$和$PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$ .本文证明了同余$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$的解的个数只依赖于$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$ .设$q$是一个素数，其形式为$3k+1$，因此$4q=L^2+27M^2$与$L,M\in\Bbb Z$。当$p\not=q$和$p\nmid L$时，我们建立了$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$模p的同余关系，从而证明了$x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$有三个…
2013-11-20 math.CO math.NT
Supercongruences involving dual sequences
本文研究了一些涉及对偶序列的复杂超同余。对于$n=0,1,2,\ldots$定义$$d_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk2^k$$和$$s_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk\binom{x+k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k\binom xk\binom{-1-x}k.$$对于任何奇素数$p$和$p$ -adic整数$x$，我们确定$\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kd_k(x)^2$和$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)d_k(x)^2$模$p^2$ ;例如，我们建立新的$p$ -adic同余$$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kd_k(x)^2\equiv(-1)^{\langle x\rangle_p}\pmod{p^2},$$，其中$\langle x\rangle_p$表示与$x\equiv r\pmod p$的最小非负整数$r$。对于任意素数$p>3$和$p$ -进整数$x$，我们确定了$\sum_{k=0}^{p-1}s_k(x)^2$模$p^2$（或$p^3$，如果$x\in\{0,\ldots,p-1\}$），并证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)s_k(x)^2\equiv0\pmod{p^2}.$$.
2017-04-20 math.CO math.NT
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
2011-04-05 math.CO math.NT
Two new kinds of numbers and related divisibility results
主要介绍了由$$R_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\frac1{2k-1}\quad\ (n=0,1,2,...)$$和$$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k(2k+1)\quad\ (n=0,1,2,...).$$给出的两类新的数，发现这类数具有许多有趣的算术性质.例如，如果$p\equiv1\pmod 4$与$p=x^2+y^2$是素数（其中$x\equiv1\pmod 4$和$y\equiv0\pmod 2$），则$$R_{(p-1)/2}\equiv p-(-1)^{(p-1)/4}2x\pmod{p^2}.$$ Also，$$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}S_k\in\mathbb Z\ \ {and}\ \ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k(x)\in\mathbb Z[x]\quad\text{for all}\ n=1,2,3,...,$$其中$S_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j(2j+1)x^j$。对于任何正整数$a$和$n$，我们证明了，令人惊讶的是，$$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a\in\mat…
2018-11-10 math.CO math.NT
New congruences for central binomial coefficients
设p是素数，a是正整数。在本文中，我们确定了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$模$p$，对于所有d=0，.，例如，我们证明了如果$p\not=2,5$，则$$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$，其中F_n是第n个Fibonacci数，（-）是Jacobi符号。我们还证明了当p>3时，有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$，其中B_n表示n阶Bernoulli数.
2010-04-01 math.CO math.NT
New super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是具有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理p-adic整数。本文利用Bernoulli多项式和欧拉多项式建立了$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}k, \quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}k\binom ak\binom{-1-a}k \quad\text{and}\quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}{2k-1}\pmod {p^2}$$的同余式。我们还给出了模$p^2$同余的一些变换公式。
2016-05-30 math.CO math.NT
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
2011-06-02 math.CO math.NT
Note on super congruences modulo $p^2$
令$p$是奇素数，并且令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak\binom{-1-a}k}{m^k} \equiv 0\pmod p \quad\hbox{implies}\quad\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak \binom{-1-a}k}{m^k}\equiv 0\pmod {p^2}.$$
2015-03-11 math.CO math.NT
Sums of powers of binomials, their Apéry limits, and Franel's suspicions
本文显式确定了二项式系数幂和的Apéry极限，并在假设递归可通过创造性望远镜法获得的前提下，证明了关于这些序列递归阶的Franel猜想的最小阶版本。
2022-03-19 math.CA math.CO math.NT
p-adic valuations of some sums of multinomial coefficients
令$m$和$n>0$为整数。假设$p$是一个素数，可除$m-4$，但不可除$m$。证明了$ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k})$和$ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k})$至少是$ν_p(n)$，其中$ν_p(x)$表示$x$的$p$-adic赋值.此外，如果$p>3$，则为$$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\bi{2k}k}{m^k}=\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)})$$和$$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k}=\frac{C_{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)}),$$，其中$C_k$表示加泰罗尼亚数$\binom{2k}{k}/(k+1)$。这隐含着郭、曾的几种观点。并证明了$n>1$是素数当且仅当$$\sum_{k=0}^{n-1}multinomial{(n-1)k}{k,...,k}=0 (mod n),$$，其中$multinomial{k_1+...+k_{n-1}}{k_1,...,k_{n-1}}$表示…
2011-04-13 math.CO math.NT
Supercongruences involving products of two binomial coefficients
本文给出了素$p>3$的模幂的一些新的超同余.设$d\in\{0,1,\ldots,(p-1)/2\}$。我们证明了$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+d}}{8^k}\equiv 0\ (\mbox{mod}\ p)\ \ \ \mbox{if}\ d\equiv \frac{p+1}2\ (\mbox{mod}\ 2),$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+d}}{16^k} \equiv\left(\frac{-1}p\right)+p^2\frac{(-1)^d}4E_{p-3}\left(d+\frac12\right)\pmod{p^3},$$，其中$E_{p-3}(x)$表示次数为$p-3$的欧拉多项式，而$(-)$表示Legendre符号。本文还包含了其它一些结果，如$$\sum_{k=0}^{p-1}k^{(1+(\frac{-1}p))/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{864^k}\equiv0\pmod{p^2}.$$
2013-10-30 math.CO math.NT
Two congruences involving harmonic numbers with applications
调和数$H_n=\sum_{0<k\le n}1/k\ (n=0,1,2,\ldots)$在数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。借助于一些组合恒等式，我们建立了以下两个新的同余式：$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_k\equiv\frac13\left(\frac p3\right)B_{p-2}\left(\frac13\right)\pmod{p}$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_{2k}\equiv\frac7{12}\left(\frac p3\right)B_{p-2}\left(\frac13\right)\pmod{p},$$，其中$B_n(x)$表示$n$次Bernoulli多项式.作为应用，我们确定了$\sum_{n=1}^{p-1}g_n$和$\sum_{n=1}^{p-1}h_n$模$p^3$，其中$$g_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\quad\mbox{and}\quad h_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2C_k$$与$C_k=\binom{2k}k/(k+1)$ .
2016-02-24 math.CO math.NT
Supercongruences via Beukers' method
本文利用 Beukers 基于模形式提出的统一方法，证明了第一作者关于若干涉及二项式系数和 Apéry 型数的和式模素数立方同余式的猜想。
2024-09-19 math.CA math.CO math.NT
Super congruences and Euler numbers
设$p>3$为素数。本文证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}/2^k=(-1)^{(p-1)/2}-p^2E_{p-3} (mod p^3),$$ $$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}/k=(-1)^{(p+1)/2}8/3*pE_{p-3} (mod p^2),$$ $$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}^2/16^k=(-1)^{(p-1)/2}+p^2E_{p-3} (mod p^3)$$，其中E_0，E_1，E_2，.是欧拉数。我们的新方法是组合性质的。我们还制定了许多关于超同余关系的公式，并将其中大部分与欧拉数或伯努利数联系起来。受超同余研究的启发，我们还对$π^2$、$π^{-2}$和常数$K:=\sum_{k>0}(k/3)/k^2$（带（-）Jacobi符号）提出了7个新的级数猜想，其中两个是$$\sum_{k=1}^\infty(10k-3)8^k/(k^3\binom{2k}{k}^2\binom{3k}{k})=π^2/2$$和$$\sum_{k>0}(15k-4)(-27)^{k-1}/(k^3\binom{2k}{k}^2\binom{3k}k)=K.$$
2011-11-03 math.CO math.NT
Evaluations of $ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2\binom{3k}{k}}$ and related series
本文利用多对数约简研究含中心三项式系数倒数的无穷级数，将其表示为不同层的分圆多重 zeta 值，并在指定区间内得到两类级数的闭式。
2024-01-22 math.CO math.NT
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
2009-09-28 math.CO math.NT
Some new series for $1/π$ motivated by congruences
在本文中，我们推出了一个家庭的六个新系列的$1/π$ ;例如，$$\sum_{n=0}^\infty\frac{41673840n+4777111}{5780^n}W_n\left(\frac{1444}{1445}\right) =\frac{147758475}{\sqrt{95}\,π}$$其中$W_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2(n-k)}{n-k}x^k$。为此，我们将我们的系列转换为Cooper在2012年研究的$$\sum_{n=0}^\infty\frac{an+b}{m^n}\sum_{k=0}^n\binom nk^4$$类型的系列。此外，我们还提出了由同余关系引起的$1/π$的$17$新级数，例如，我们猜想$$\sum_{k=0}^\infty\frac{4290k+367}{3136^k}\binom{2k}kT_k(14,1)T_k(17,16)=\frac{5390}π,$$，其中$T_k(b,c)$是$(x^2+bx+c)^k$展开式中$x^k$的系数.
2023-02-22 math.CO math.NT
Evaluations of some series of the type $\sum_{k=0}^\infty(ak+b)x^k/\binom{mk}{nk}$
本文利用 beta 函数求值了形如 $\sum_{k=0}^\infty(ak+b)x^k/\binom{mk}{nk}$ 的级数，给出了具体的求和恒等式，建立了一个计算 $\log n$ 的高效公式，并提出了相关级数的猜想。
2025-03-03 math.CO math.NT
