$\binom{2n}{n}$和$\sum\binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$的最后一位数字
The Last Digit of $\binom{2n}{n}$ and $\sum\binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$
摘要：
令$f_{n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$，$g_{n}= \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$。令$\{a_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$\binom{2n}{n}$不能被5整除，令$\{b_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$g_n$不能被5整除。本说明找到了$a_k$、$b_k$、$\binom{2n}{n}\ mod\ 10$、$ f_{n}\ mod\ 10$和$ g_{n}\ mod\ 10$的简单公式。
英文摘要：
Let $f_{n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$, $g_{n}= \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$. Let $\{a_k\}_{k=1}$ be the set of all positive integers n, in increasing order, for which $\binom{2n}{n}$ is not divisible by 5, and let $\{b_k\}_{k=1}$ be the set of all positive integers n, in increasing order, for which $g_n$ is not divisible by 5. This note finds simple formulas for $a_k$, $b_k$, $\binom{2n}{n}\ mod\ 10$, $ f_{n}\ mod\ 10$, and $ g_{n}\ mod\ 10$.
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