Lower bounds in some power sum problems
Johan Andersson
研究了幂和问题max_{v=1,...,m}| sum_{k=1} ^n z_k^v|并利用Fejer核的性质，在么模复数z_k和m_（cn^2）的情况下，对常数c>1，给出了新的下界.
We study the power sum problem max_{v=1,...,m} | sum_{k=1}^n z_k^v | and by using features of Fejer kernels we give new lower bounds in the case of unimodular complex numbers z_k and m cn^2 for constants c>1.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lower bounds for high moments of zeta sums
本文研究和式∑_{n≤x}n^{it}的高阶矩，证明了该高阶矩的无条件下界。
Lower bounds on odd order character sums
Paley的一个经典结果表明，有无穷多个二次特征$χ\mod{q}$，其特征和与$\sqrt{q}\log \log q$一样大;这意味着Montgomery和Vaughan的条件上界不能被改进。在本文中，我们得到了类似的下界的特征标和奇阶，这是最好的可能，鉴于相应的条件上界最近得到的第一作者。
On the power mean of a sum analogous to the Kloosterman sum
本文利用特征和的分析方法研究了一类类似Kloosterman和的幂平均。
Integer Powers Expressed as Nested Sums of Lower Powers modulo 2, 3
本文探索将正整数幂表示为较小正整数幂嵌套和的恒等式，建立了连续递减幂的基础恒等式并以此证明 Fermat 小定理，随后推导并严格证明了模2和模3的整数幂表示恒等式。
A lower bound on high moments of character sums
本文针对大素数证明了 Dirichlet 特征和 $2k$ 次矩的下界，该界在广义黎曼假设下常数因子范围内最优，并利用相同方法得出 theta 函数矩的精确下界。
A Positive Lower Bound for the Sum of Log-Reciprocal Twin Prime Products via Weighted Sieve
本文通过改进加权筛法，证明了孪生素数乘积对数倒数之和的正下界，从而推导出孪生素数对的无限性。
On an exponential power sum
本文运用组合技术推导出一个递推恒等式，将负幂指数幂和用正幂指数幂和表示，并据此推导出前k个自然数的奇数幂和公式，结合Faulhaber公式可在某些情况下获取Bernoulli数。
On some generalizations of the sum of powers of natural numbers
本文考虑了自然数的幂和的一些推广。特别地，研究了其母函数是经典幂和的母函数的幂的和类。所谓的二项式和也被认为是。在某些情况下，解决了构造多项式以计算相应和的值的问题。
Perfect powers that are sums of consecutive squares
我们确定所有可以写成最多10个连续平方和的完美幂。
A lower bound for classical Kloosterman sums and an application
研究经典克洛斯特曼和的下界，并应用于皮尔森追踪公式，推导出显式下界，改进了朱恩和萨拉迪的定理，允许权重和模数独立变化。
The sum $\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}$ for q a power of 3
我们证明了$\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}\equiv q^2\pmod{3q^2}$当q>1时是3的幂，正如最近Z.W. Sun和R.陶拉索我们更精确的结果实际上意味着，$(1/q^2)\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}$模3的固定任意幂的值与q无关，对于q，3的幂足够大，并且显示了如何有效地计算这样的值。
A quadratic lower bound for subset sums
设A是可加阿贝尔群G的有限非空子集，且设G（A）表示可表示为A的某个子集的和的所有群元素的集合.我们证明了|（A）|>= |H| + 1/64| A H|其中H是π（A）的稳定子。我们的结果意味着，对于Z/nZ的单位集A，当|A| >= 8 \sqrt{n}时，有∑（A）= Z/nZ。这个推论首先由Erdés和Heilbronn证明，对于n素数，Vu（用一个较弱的常数）证明，对于一般的n。
Bernoulli numbers and sums of powers of integers of higher order
利用高阶Bernoulli数给出了高阶整数幂和多项式的一个表达式。
p-adic l-functions and sums of powers
本文给出了与欧拉数有关的p进L函数及幂和的显式表达式。
On gaps between sums of four fourth powers
我们证明了，几乎所有的$N$有一个和的四个四次幂的间隔$(N-N^γ,N]$，所有的$γ>4059/16384=0.24774..$。
Long large character sums
在本文中，我们证明了一个下界$\underset{χ\neq χ_0}{\max}\bigg|\sum_{n\leq x} χ(n)\bigg|$，当$x= \frac{q}{(\log q)^B}$。这改善了格兰维尔和Soundararajan的结果大字符总和时，范围的总和是广泛的。当$B$为零时，我们的下界恢复了大多数字符的字符和的期望最大值。
Sums of powers of consecutive q-integers
给出了k-1以内的正整数的n次幂和的q-模拟。
Power sums of Hecke's eigenvalues and application
利用Kim & Shahidi关于高阶对称幂的最新结果，改进了Rankin关于Hecke特征值的幂和的一些估计.作为应用，改进了Kohnen，Lau & Shparlinski关于同号Hecke特征值个数的下界.
On the Sum and Product of Distinct Prime Factors of an Odd Perfect Number
我们提出了一个奇完满数的不同的素因子的和与积的下界，它提供了一个奇完满数的大小作为其不同的素因子的数量的函数的下界。
Sums of even ascending powers
Freiman和Scourfield证明了任何足够大的整数都可以写成一定数量的偶数次幂的和。我们使用圆的方法来提供这个数字的第一个明确的界限，并表明，任何足够大的整数可以写为133个上升的偶数幂的总和。
Perfect powers in sum of three fifth powers
本文确定了等差数列中三个五次幂之和的完全幂。更准确地说，我们完全解决了丢番图方程$$ (x-d)^5 + x^5 + (x + d)^5 = z^n,~n\geq 2, $$，其中$d,x,z \in \mathbb{Z}$和$d = 2^a5^b$与$a,b\geq 0$。
Sums of products involving power sums of $φ(n)$ integers
引入了一个有理数序列作为Bernoulli数列的推广.然后使用Faà di Bruno公式的应用程序获得涉及这个广义序列的项的产品和。这些乘积和类似于高阶Bernoulli数，并且用于开发涉及幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$的乘积和的封闭形式表达式，所述幂和$\displaystyle Ψ_k(x,n):=\sum_{d|n}μ(d)d^k S_k(\frac{x}{d}), n\in\mathbb{Z}^+$通过默比乌斯函数$μ$和实变量或复变数$x.$的通常幂和$\displaystyle S_k(x):=\frac{B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.$来定义。
Evaluating Binomial Character Sums Modulo Powers of Two
我们表明，对于任何模$2^m$字符，$χ_1, χ_2,$的完全指数和，$$ \sum_{x=1}^{2^m}χ_1(x) χ_2(Ax^k+B), $$有一个简单的显式评估。
On Waring's problem in sums of three cubes for smaller powers
我们给出了最小$s$的一个上界，它具有如下性质：对于$2\leq k\leq 4.$情形，每个足够大的整数都可以表示为正$s$的正$k$次幂之和
The Generalization of Faulhaber's Formula to Sums of Arbitrary Complex Powers
本文将Faulhaber公式推广到任意复幂和$m\in\mathbb{C}$ .这些形式为$\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}k^{m}$和$\sum_{k=1}^{n}k^{m}$的和的求和公式，其中$x\in\mathbb{R}^{+}$和$n\in\mathbb{N}$是基于涉及第一类斯特林数的级数加速度。虽然众所周知，从欧拉-麦克劳林求和公式得到的相应表达式是发散的，但我们的求和公式都是非常迅速收敛的。
The growth of digital sums of powers of 2
本文给出了$2^n$在10进制下的位数之和大于$\log_4 n$的初等证明。特别地，$2^n$的位数和的极限是无限的。
Applications of some exponential sums on prime powers: a survey
关于素幂可加性问题的一些最新结果的综述。
Sums of fourth powers of Fibonacci and Lucas numbers
我们得到了所有形式为\mbox{$\sum_{k = 1}^n {F_{mk}{}^4 }$}和\mbox{$\sum_{k = 1}^n {L_{mk}{}^4 }$}及其交替形式的和的封闭形式表达式，其中$F_i$和$L_i$分别表示Fibonacci数和Lucas数。我们的结果补充了那些研究交替和的Melham。
The combinatorial method to compute the sum of the powers of primes
我们将把计算$π(x)$的组合算法推广到计算$k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$的和${F(x) = \sum_{p \leq x} p^k}$。算法的详细阐述包括与实现细节。
Sums of products of Kloosterman sums to prime power moduli
本文针对素幂模下的Kloosterman和乘积和，证明了新的强幂节省界，通过利用p进可微性的初始项估计完全指数和的方法实现，为相关数论问题提供了量化的对齐分析。
On the sum of two squares and at most two powers of 2
我们证明，有无穷多个整数不能表示为两个整数的平方和，最多两个非负整数2的权力。
A note on the alternating sums of powers of consecutive q-integers
本文构造了一个新的q-欧拉数和多项式。利用这些数和多项式，我们根据Euler的一个思想，给出了连续q-整数的交错幂和的有趣公式。
On the mean average of integer partition as the sum of powers
本文研究了函数$r_{k,s}(n)$，即$r_{k,s}(n)$的（有序）表示数为$s$的正$k$次幂之和，其中整数为$k,s\ge 2$ .我们检查函数的平均值，或者等价地，检查\begin{equation*} \sum_{m=1}^n r_{k,s}(m). \end{equation*}
Cancellations between Kloosterman sums modulo a prime power with prime arguments
我们得到了一个非平凡界之间的Kloosterman和模一个大的素数权力与一个总理的论点运行在很短的时间间隔，这反过来又是基于一个新的估计双线性和Kloosterman和取消。这些结果是类似物的Kloosterman和模一个素数由不同的作者所获得的。然而，底层的技术是不同的，并允许我们从更短的范围开始获得非平凡的结果。
Representing numbers as the sum of squares and powers in the ring $\mathbb{Z}_n$
对于一般正整数$n$，我们研究了在$\mathbb{Z}_n$中将数字表示为两个平方和。利用这些信息，我们作出了一些正整数密度，可以表示为两个平方和的$2$在$\mathbb{N}$的权力。
Binomial Character Sums Modulo Prime Powers
我们表明，二项式和相关的乘法字符和$$ \sum_{\stackrel{x=1}{(x,p)=1}}^{p^m} χ(x^l(Ax^k +B)^w),\hspace{3ex} \sum_{x=1}^{p^m} χ_1 (x)χ_2(Ax^k +B), $$有一个简单的评价足够大的$m$（$m\geq 2$，如果$p\nmid ABk$）。
Certain floor function sums over powers
利用$r\geq 2$研究了当$f$支持$r$次幂时的和$$ S_f(x) = \sum_{n\leq x} f\left(\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor\right) $$.这个限制使我们能够给出非平凡的估计的误差项之一的渐近展开的$S_f(x)$。我们还陈述了与我们的结果相关的几个问题。
Tangent power sums and their applications
对整数$m, p,$研究了切幂和$\sum^m_{k=1}\tan^{2p}\frac{πk}{2m+1}.$，证明了对每一个$m, p,$，它都是整数，对固定的p，它是$m$中的一个$2p.$次多项式，给出了这些多项式的递归、渐近和显式公式，并指出了它们与Newman基数和$2m.$的关系
Integers that are sums of two rational sixth powers
证明了$164634913$是两个有理数六次幂之和而不是两个整数六次幂之和的最小正整数。如果$C_{k}$是曲线$x^{6} + y^{6} = k$，我们使用从$C_{k}$到椭圆曲线的态射的存在性，以及Mordell-Weil筛，来排除对于各种$k$在$C_{k}$上存在有理点。
An explicit evaluation of $\nth{10}$-power moment of quadratic Gauss sums and some applications
本文对奇素数$p$估计了一个多元特征和\begin{align*} \sum_{a=2}^{p-2}\sum_{b=1}^{p-1}\sum_{c=2}^{p-2}\sum_{d=1}^{p-1}\left(\frac{a^2-b^2}{p}\right)\left(\frac{b^2-1}{p}\right) \left(\frac{c^2-d^2}{p}\right)\left(\frac{d^2-1}{p}\right)\left(\frac{a^2c^2-1}{p}\right), \end{align*}.借助于上述特征和的估计，我们利用特征和的估计和分析方法研究了广义二次高斯和的十次均值。
Elementary Bounds on Digital Sums of Powers, Factorials, and LCMs
本文通过初等数论方法，给出了数字幂、倍数、阶乘和最小公倍数的数字和的下界，并证明了Stewart定理。
Lower bounds on the projective heights of algebraic points
如果$α_1,\ldots,α_r$是代数数，使得对于某个整数$N$，$$N=\sum_{i=1}^rα_i \ne \sum_{i=1}^rα_i^{-1}$$，则Beukers和Zagier的定理给出了$$\sum_{i=1}^r\log h(α_i)$$的最佳可能下界，其中$h$表示Weil高度。我们将这个结果推广到允许$N$是任何全实代数数。我们的推广包括Schinzel定理的一个后果，它限制了一个全实代数整数的高度。
Integers Represented as a Sum of Primes and Powers of Two
证明了每一个充分大的偶数是两个素数和正好13个2的幂的和。在广义黎曼假设下，可以用7代替13。与以前的工作在这个问题上，证明避免了数值计算与明确的零自由区域的狄利克雷L-函数。该论证使用了一种新的技术来约束由2的幂形成的指数和很大的集合的测度。
Fourth power mean of the general $s$-dimensional Kloosterman sum mod $p$
该研究属于数论领域，通过求解模p同余方程解数、结合特征和估计与解析方法，得到了一般s维超Kloosterman和四次幂均值的渐近公式。
On the Lower Bound of the Divisibility of Exponential Sums in Binomial Case
Francis Castro等[2]计算了与二项式$F(X) = aX^{d_1} + bX^{d_2}$在$\mathbb{F}_p$上的指数和族的整除性，并对相关工作提出了一个猜想.我们在这里研究这个问题。
Conjectures involving a generalization of the sums of powers of integers
考虑一类自然包含整数幂和的和。关于这些款项的代表性的一些说明。
How to sum powers of balancing numbers efficiently
平衡数与斐波那契数一样，具有一个比内公式。使用这个，平衡数的任意幂的部分和可以显式求和。为此，作为第一步，功率$B_n^l$被表示为$B_{mn}$的线性组合。这样的表达式的总和，然后很容易使用生成函数。
New lower bounds for cardinalities of higher dimensional difference sets and sumsets
令$d \geq 4$是自然数，并且令$A$是$\mathbb{R}^d$的有限非空子集，使得$A$不包含在超平面的平移中。在这种情况下，我们表明，\[ |A-A| \geq \bigg(2d - 2 + \frac{1}{d-1} \bigg) |A| - O_{d}(|A|^{1- δ}), \]的一些绝对常数$δ>0$，只依赖于$d$。这提供了一个尖锐的主项，因此回答了Ruzsa和Stanchescu的问题，直到$O_{d}(|A|^{1- δ})$错误项。我们还证明了$\mathbb{R}^d$中限制型差集和非对称和集的新的下界。
A New Lower Bound for the Distinct Distance Constant
张序列的倒数和不等于距离常数。本文引入了一个具有较大倒数和的$B_2$ -序列，并给出了Mian-Chowla序列和Zhang序列倒数和的一个更精确的估计.
A Short Proof of a Known Relation for Consecutive Power Sums
给出了前m个正整数的连续幂和之间最简单关系的一个新的简短证明。
Metric theory of lower bounds on Weyl sums
我们证明了集合$\mathbf{x}\in [0,1)^d$的Hausdorff维数，使得$$ \left|\sum_{n=1}^N \exp\left(2 πi\left(x_1n+\ldots+x_d n^d\right)\right) \right|\ge c N^{1/2} $$对无穷多个自然数$N$成立，对于$d \ge 3$至少为$d-1/2d$，对于$d=2$至少为$3/2$，其中$c$是只依赖于$d$的常数。这改进了先前第一和第三作者对于$d\ge 3$的下界。我们也得到了类似的Hausdorff维数的集合的大项$xn^d$。
Power moments of Kloosterman sums
本文给出了剩余类环上Kloosterman和的任意整幂矩估计的一个本质处理。对于素数模，我们得到明确的估计，并为素数幂模，我们证明了具体的公式使用计算与Igusa zeta函数。
$T$-adic exponential sums of polynomials in one variable
研究了一元一元多项式的$T$ -adic指数和.证明了以多项式的最高两个指数表示的显式算术多边形是T-adic指数和的$C$ -函数的牛顿多边形的下界。这个界给出了$p$ -幂阶指数和的$L$ -函数的牛顿多边形的下界。
Power sums in hyperbolic Pascal triangles
本文给出了用$q\ge5$确定对应于$\{4,q\}$的双曲杨辉三角形行元素的幂和的方法。该方法是基于线性递归的理论，并证明了结果通过评估的$k^{th}$功率和范围$2\le k\le 11$。
Twisted exponential sums of polynomials in one variable
研究了一元一元多项式的扭曲$T$ -adic指数和.证明了以多项式的最高两个指数表示的显式算术多边形是扭曲T-adic指数和的$C$ -函数的牛顿多边形的下界。这个界给出了扭曲$p$幂阶指数和的$L$函数的牛顿多边形的下界。
Recurrence Relations for k-Fold Nested Power Sums
本文推导了k重嵌套幂和的递推关系，并讨论了其与已有研究成果的关联。
A Lower Bound for the Size of a Sum of Dilates
令$A$是整数的子集，令$2\cdot A+k\cdot A=\{2a_1+ka_2 : a_1,a_2\in A\}$。Y. O. Hamidoune和J.Ru证明了：如果$k$是奇素数，$A$是有限整数集，使得$|A|>8k^k$，则$|2\cdot A+k\cdot A|\ge (k+2)|A|-k^2-k+2$ .本文将这个结果推广到$k$是奇素数的幂和$k$是两个奇素数的乘积的情形。
Sums and products along sparse graphs
在他们1983年的开创性论文中，Erdés和Szemerédi证明了任何$n$不同的整数都会导致$n^{1+ε}$不同的对和或许多不同的乘积，并证明了$n^{2-o(1)}$的下界。他们进一步提出了这个问题的一个推广，其中和和积是沿着给定图$G$在$n$标记顶点上的边取的。他们为至少有$n^{1+ε}$边的一般图证明了和积定理的一个版本。在这项工作中，我们考虑稀疏图的和积定理，并表明，这个问题已经有重要的后果时，$G$是一个匹配（即，$n/2$不相交边）：任何整数和积的$n^{1/2+δ}$形式的下界都蕴涵着原始Erdens-Szemerédi问题的$n^{1+δ}$的下界。相反，在实数上，匹配的最小和积是$Θ(\sqrt{n})$，因此这种方法有可能实现专门用于整数的下界。我们继续给这个问题在不同的设置的下限和上限。此外，我们提供了紧边界的总和沿扩展。在我们的证明中的一个关键因素是减少从一个匹配的最大数量的整数转换成完满平方的和产品。这个问题最初是由欧拉研究的，我们利用椭圆曲线分析得到了欧拉结果的一个更强形式。
On sumfree subsets of hypercubes
我们考虑了离散超立方体$\{1,...,n\}^k$中包含的大和自由集的可能大小，并确定了最大大小的上界和下界，因为$n$变大了。我们还讨论了一个连续的类似物，我们的下界仍然有效，我们的上界可以加强，我们认为这两个问题的推广到$l$ -fold-sumfree集。
Powers of Gauss sums in quadratic fields
在过去的二十年中，许多研究者研究了高斯和的{ \it指标$2$ }，其中由下面有限域的特征$p$生成的群在${\mathbb Z}/m{\mathbb Z}$的单位群中具有指标$2$，其中所涉及的乘法特征标的阶为$m$. Yang和Xia~（2010）给出了评价指标$2$ Gauss和问题的完整解决方案。特别地，已知在这种情况下高斯和的某些非零整数幂在二次域中。另一方面，Chowla~（1962），McEliece~（1974），Evans~（1977，1981）和Aoki~（1997，2004，2012）研究了{ \it纯}高斯和，其中某些非零整数幂在有理数域上。本文研究了某些整数幂在二次域上的高斯和。这类高斯和是指标$2$高斯和的推广，也是纯高斯和在二次域上的推广。
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