Recent progress and open questions on the numerical index of Banach spaces
Vladimir Kadets, Miguel Martin, Rafael Paya
本文的目的是通过介绍近年来发现的一些结果和提出一些相关的开放问题，来回顾最近关于巴拿赫空间的数值指标的研究的最新进展。
The aim of this paper is to review the state-of-the-art of recent research concerning the numerical index of Banach spaces, by presenting some of the results found in the last years and proposing a number of related open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Banach spaces with polynomial numerical index 1
当巴拿赫空间具有Radon-Nikodrom性质时，我们刻画了多项式数值指标为1的空间.引入了全纯数值指标的概念，得到了全纯数值指标为1的巴拿赫空间在具有Radon-Nikodrom性质时的特征.
An index of summability for pairs of Banach spaces
我们引入了巴拿赫空间对的可和性指数的概念;对于巴拿赫空间E; F，这个指数起着一种测度的作用，它表示从E到F的m-齐次多项式如何远离绝对和。在某些情况下，计算最佳的可和性指数。
A covering index for Banach spaces
本文基于单位球的有限凸覆盖，为Banach空间引入新的同构量 $Θ_X$，并利用其与一致凸性和一致光滑性渐近模的紧密联系，实现对若干经典Banach空间的计算。
Two-dimensional Banach spaces with Polynomial numerical index zero
研究了多项式数值指标为零的二维巴拿赫空间。
Estimating the index of summability of pairs of Banach spaces
设$E_{1},...,E_{m},F$是巴拿赫空间. $\left(E_{1}\times\cdots\times E_{m},F\right) $的可和性指数是一种度量$m$ -线性算子$T:E_{1}\times\cdots\times E_{m}\rightarrow F$离多重和有多远的度量.本文估计了几对巴拿赫空间$.$的可和指数
On the Lipschitz numerical index of Banach spaces
我们提供了一些新的结果Lipschitz数值半径和指数，最近推出。更确切地说，我们给出了Lipschitz数值指标的一些重赋范结果，引入了Lipschitz数值半径达到函数的概念以证明对于任意巴拿赫空间稠密性失效，并研究了Lipschitz形式的Daugavet中心.进一步讨论了向量值函数空间、巴拿赫空间、Köthe-Bochner空间和含有增一补子空间族稠密并的巴拿赫空间的绝对和的Lipschitz数值指标.
Estimation of the Szlenk index of reflexive Banach spaces using generalized Baernstein spaces
对于每一个序数$α< ω_1$，我们证明了一个可分的，自反的Banach空间的基础和Szlenk指数$ω^{α+1}$的存在，这是普遍的类可分的，自反的巴拿赫空间$X$，使Szlenk指数$Sz(X), Sz(X^*)$不超过$ω^α$ .
Concerning the Bourgain $ell_1$ index of a Banach space
一个众所周知的论点詹姆斯产量，如果一个巴拿赫空间$X$包含$\ell_1^n$的一致然后$X$包含$\ell_1^n$的几乎等距。在第一部分的文件中，我们将这个想法的有序$\ell_1$指数的Bourgain。在后半部分中，我们利用所得结果计算了某些巴拿赫空间的$\ell_1$ -指数。进一步证明了不含$\ell_1$的可分巴拿赫空间的$\ell_1$ -指标对某个可数序数$α$必具有$ω^α$的形式.
On joint numerical radius of operators and joint numerical index of a Banach space
推广了巴拿赫空间上算子的数值域和数值半径的概念，引入了巴拿赫空间上算子元组的联合数值域和联合数值半径的概念.我们研究了联合数值域的凸性。我们证明了联合数值半径定义一个范数当且仅当数值半径在相应的空间上定义一个范数。然后证明了在有限维巴拿赫空间上，联合数值半径可以由极值点求出。在此基础上，我们引入了巴拿赫空间的联合数值指标的概念。我们对巴拿赫空间的直和也作了同样的探索。应用这些结果，最后计算了一些经典巴拿赫空间的联合数值指标.
On the numerical index of polyhedral Banach spaces
本文针对有限维实多面体 Banach 空间，提出仅利用有限多个泛函在单位球面上的作用来估计数值指标的一般方法，并首次给出了一族三维情形的精确数值指标。
Estimation of the Szlenk index of Banach Spaces via Schreier spaces
对于每个序$α<ω_1$，我们证明了存在一个具有基和Szlenk指标$ω^{α+1}$的空间，它对Szlenk指标不超过$ω^α$的空间类是普适的.我们的证明涉及到开发一个表征，其中巴拿赫空间嵌入空间的FDD上Schreier空间估计。
Concerning the Szlenk index
讨论了正则族的剪枝和着色引理。我们讨论了几个应用这些引理计算的Szlenk指数的某些$w^*$紧子集的对偶的可分巴拿赫空间。应用包括估计的Szlenk指数的Minkowski总和，无限直和可分的巴拿赫空间，常数减少，和三个空间性质。我们还考虑利用正则族构造具有指定Szlenk指标的巴拿赫空间。作为结果，我们给出了可列序数作为Banach空间的Szlenk指标的一个特征，证明了以前的一个普适性结果的最优性，并计算了可分巴拿赫空间的内射张量积的Szlenk指标.
A characterization of Banach spaces with numerical index one
本文研究了$ L(X)_w^* $单位球的极值性质，推导出数值指数为一的Banach空间几何特征，扩展了McGregor对有限维空间的刻画，并改进了相关结果。
On the numerical radius of Lipschitz operators in Banach spaces
利用与Banach空间理论中数值指标类似的Lipschitz数值指标，研究了巴拿赫空间上Lipschitz算子的数值半径.给出了数值半径的一个刻划，得到了巴拿赫空间具有Lipschitz数值指数1的一个充要条件.作为应用，我们证明了真正的郁郁葱葱的空间和$C$丰富的子空间的Lipschitz数值指数为1。利用Lipschitz算子的$\hat{a}$群可微性，用RNP刻画了可分巴拿赫空间的Lipschitz数值指标.最后，证明了Lipschitz数值指标对空间和向量值函数空间的$c_0$ -、$l_1$ -和以及$l_\infty$ -和具有稳定性.由此证明了$C(K)$空间、$L_1(μ)$ -空间和$L_\infty(ν)$空间的Lipschitz指数为1.
Lipschitz vs Linear Numerical Index in certain Banach spaces
针对实 Banach 空间中 Lipschitz 与线性数值指数是否一致的问题，本文利用 Gaussian 卷积微分和不变均值两种线性化技术，证明在可分或对偶空间中二者相等。
Banach spaces of bounded Szlenk index
对于可数序数a，我们用C_a表示可分自反巴拿赫空间类，其Szlenk指标和对偶空间的Szlenk指标都有界于a。我们证明了每个C_a都有一个可分的自反泛空间。我们还证明了类C_{omega^{a*omega}}中的空间嵌入到具有基的同类空间中。由此我们推出每个C_a在C[0，1]的子空间的Effros-Borel结构中是解析的。
On a second numerical index for Banach spaces
对具有非平凡李代数的实巴拿赫空间引入了第二个数值指标，作为数值半径与算子模李代数的商之间的最佳等价常数.我们提出了一些例子和结果有关的绝对和，对偶，向量值函数空间\ldots表明，在许多情况下，这第二个数值指数的行为不同于一个经典的数值指数。作为主要结果，我们证明了希尔伯特空间具有第二数值指标1，并且是具有单无条件基和非平凡李代数的巴拿赫空间中唯一具有这一性质的空间.此外，还给出了数值半径的Bishop-Phelps-Bollobás性质的一个应用.
Numerical index of absolute sums of Banach spaces
本文研究了巴拿赫空间绝对和的数值指标，给出了绝对和的数值指标小于或等于和项的数值指标的下确界的一般条件，并给出了不等式成立的例子，覆盖了已知的$c_0$ -，$\ell_1$ -和$\ell_\infty$ -求和，并给出了$E$ -求和的新结果，其中$E$具有RNP和$n(E)=1$（特别是有限维$E$具有$n(E)=1$）。我们还证明了含有一补稠密增并集的巴拿赫空间$Z$的数值指标大于或等于这些子空间的数值指标的极限上界。利用这些结果，我们给出了一个详细的简短的证明已经知道的事实，即所有的无限维$L_p(μ)$ -空间的数值指标一致。
On a generalization of Bourgain's tree index
对巴拿赫空间$X$、巴拿赫空间空间序列$(Y_n)$和具有无条件基的巴拿赫空间$Z$，D. Alspach和B. Sari在$X$中引入了一个布尔增益树的推广，称为$(\oplus_n Y_n)_Z$ -树。证明了任何可分巴拿赫空间都有一个同构于$(\oplus_n Y_n)_Z$的子空间，该空间有一棵序为$ω_1$的$(\oplus_n Y_n)_Z$ -树.本文给出了这个结果的两个新的证明。
Banach Spaces of Bounded Szlenk Index II
对于每一个$α<ω_1$，我们建立了一个可分Banach空间的存在，其Szlenk指数是$ω^{αω+1}$，这是普遍的所有可分巴拿赫空间的Szlenk指数不超过$ω^{αω}$。为了证明这一结果，我们提供了一个内在的特征，其中巴拿赫空间嵌入到一个空间允许FDD的上估计。
The Szlenk power type and tensor products of Banach spaces
证明了Szlenk指数至多为$ω$的巴拿赫空间的内射张量积的Szlenk幂型公式.我们还表明，Szlenk电源类型以及可求和的Szlenk指数是可分离的确定，我们延长了我们最近的一些结果有关的直和。
Concerning summable Szlenk index
将可和Szlenk指标的概念从Banach空间推广到任意弱$^*$ -紧集.证明了弱$^*$ -紧集具有可和Szlenk指标当且仅当其弱$^*$ -闭绝对凸壳具有可和Szlenk指标.因此，我们提供了[Draga and Kochanek 2016]中关于Szlenk指数在$c_0$直和下的可求和性的结果的一个新的简短证明。我们还利用这个结果证明了两个巴拿赫空间的内射张量积具有可和的Szlenk指标，如果两个空间都有，这回答了[Draga and Kochanek 2017]中的一个问题。作为这个结果的最后一个结果，我们证明了一个可分的Banach空间具有可和的Szlenk指标当且仅当它嵌入到一个具有渐近$c_0$有限维分解的Banach空间中，这推广了[Odell et al 2008]中的一个结果。我们还在具有可和Szlenk指标的算子类$\mathfrak{S}$上引入了理想范数$\mathfrak{s}$，并证明了$(\mathfrak{S}, \mathfrak{s})$是Banach理想.对于$1\leqslant p\leqslant \infty$，我们证明了精确的结果关于Szlenk指数的可和性的$\ell_p$直接和的一组操作。
Diameter, radius and Daugavet index of thickness of slices in Banach spaces
构造具有r-BSP性质的Banach空间，其单位球切片直径下确界为1，否定Ivakhno问题；并证明Daugavet性质空间可重赋范使厚度指数大于2-ε且存在小直径切片。
The Szlenk index of injective tensor products and convex hulls
给定任意Banach空间$X$和$X^*$的任意弱 *-紧子集$K$，我们计算$K$的弱 *-闭凸包的Szlenk指标作为$K$的Szlenk指标的函数.作为应用，我们计算了两个算子的任意单射张量积的Szlenk指数。特别地，我们计算了单射张量积$\tens$的Szlenk指数，它是由$Sz(X)$和$Sz(Y)$表示的.作为另一个应用，我们给出了Banach空间中作为Szlenk指标出现的序数，以及作为Bourgain $\ell_1$或$c_0$指标出现的序数的一个完全特征.
Szlenk and $w^\ast$-dentability indices of the Banach spaces $C([0,α])$
设$α$是一个无穷序数，$γ$是满足$ω^{ω^γ}\leq α< ω^{ω^{γ+1}}$的唯一序数.证明了紧序区间$[0,\,α]$上连续标量值函数的Banach空间$C([0,\,α])$的Szlenk指数等于$ω^{γ+1}$，$w^\ast$ -可凹性指数等于$ω^{1+γ+1}$ .
Szlenk indices of convex hulls
本文研究了定义在对偶巴拿赫空间子集上的非紧性的一般测度及其导子和$ω$ -迭代。我们引入了非紧性的可凸性和次线性测度的概念，并研究了与之相关的分片导子和片导子的性质。我们将所得结果应用于非紧性的Kuratowski测度和巴拿赫空间的Szlenk指数的研究。由此得到可分巴拿赫空间的Szlenk指标与凸Szlenk指标总是相等的.对于任意可数序数$α$，我们还利用等价重赋范的存在性给出了Szlenk指数以$ω^{α+1}$为界的巴拿赫空间的一个刻划.这推广了Knaust，Odell和Schlumprecht关于Szlenk指数等于$ω$的巴拿赫空间的一个结果.
Index of continuous families of bounded linear operators in Banach spaces and application
本文定义了由拓扑空间$\mathbb{X}$参数化到巴拿赫空间$X.$的连续弗雷德霍姆算子族的一个解析指标，并讨论了连续有界线性算子族的Weyl谱，研究了它的连续性.
Proximity to $\ell_p$ and $c_0$ in Banach spaces
我们构造了一类极小树，并利用这类树建立了一般树的一些染色定理。在这些树和着色定理的应用是量化的Bourgain $\ell_p$和$c_0$指数，二元化的Bourgain $c_0$指数，建立尖锐的积极和消极的结果，常数减少，并估计Bourgain $\ell_p$指数的任意巴拿赫空间$X$在一个子空间$Y$和商$X/Y$。
Note on distortion and Bourgain $\ell_1$ index
研究了度量接近$\ell_1$的不同概念与巴拿赫空间可畸变性之间的关系。主要结果是：当Banach空间的所有子空间的Bourgain $\ell_1$指标均大于$ω^α$，$α<ω_1$时，该Banach空间包含任意可畸变子空间或$\ell_1^α$ -渐近子空间.
Banach Spaces Of The Type Of Tsirelson
对（M，theta），其中M是点态拓扑中N紧的有限子集族，且0<theta < 1，我们给出一个Tsirelson型巴拿赫空间T_M^theta .证明了若M的Cantor-Bendixson指数大于n且θ>{1/n}，则T_M^θ是自反的.此外，如果M的Cantor-Bendixson指数大于Ω，则T_M^θ不包含任何l^p，而如果M的Cantor-Bendixson指数是有限的，则T_M^θ包含一些l^p或c_o。特别地，如果M ={ A子集N：|A| leq n }且{1/n}<θ <1，则T_M^θ同构于某个l^p。
Factorization of Asplund operators
给出了巴拿赫空间上具有收缩FDD的算子$A:X\to Y$分解巴拿赫空间$Z$使得$Z$的Szlenk指标等于$A$的Szlenk指标的充要条件.证明了对任意序数$ξ\in (0, ω_1)\setminus\{ω^η: η<ω_1\text{\ a limit ordinal}\}$，存在一个具有收缩基和Szlenk指数$ω^ξ$的巴拿赫空间$\mathfrak{G}_ξ$，使得对任意可分巴拿赫空间$X$和任意Szlenk指数小于$ω^ξ$的算子$A:X\to Y$，$A$通过子空间和$\mathfrak{G}_ξ$的商因子分解，并且如果$X$具有收缩FDD，$A$通过$\mathfrak{G}_ξ$因子分解.
Free objects in Banach space theory
本文综述了与Banach空间相关的三类自由对象（Lipschitz自由空间、全纯自由空间和自由Banach格）的最新进展，并重点探讨了这些发展之间的相似性。
Equivalence after extension and Schur coupling for Fredholm operators on Banach spaces
Schur耦合（SC）和扩张后等价（EAE）是巴拿赫空间上有界算子的重要关系。30年来，人们一直认为前者蕴涵着后者，但直到最近Ter Horst，Messerscheland，Ran和Roelands才通过构造一对EAE而非SC的弗雷德霍姆算子证明了这一点。基于这一结果，我们研究了弗雷德霍姆算子的EAE和SC重合的情况。属于EAE的弗雷德霍姆算子具有相同的弗雷德霍姆指数。令人惊讶的是，我们发现，对于每一个整数$k$和每一对巴拿赫空间$(\mathcal{X},\mathcal{Y})$，要么没有一对分别作用在$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$上的索引为~ $k$的弗雷德霍姆算子是SC，要么每一对这种类型的EAE也是SC。关于指数为~弗雷德霍姆算子EAE与SC是否重合问题$k$只依赖于基础巴拿赫空间$\mathcal{X}$和$\mathcal{Y}$的几何，而不依赖于算子本身的性质。我们量化这一发现，通过引入两个数值指数捕捉EAE和SC的重合，并提供了一些例子说明这些指数的可能值。值得注意的是，这包括一个例子，表明上述结果的特尔霍斯特等人，这是基于一对基本上不可比的巴拿赫空间，不扩展到投影不可比的巴拿赫空间。
Concerning $q$-summable Szlenk index
对于每个序数$ξ$和每个$1\leqslant q<\infty$，我们定义了$ξ$ - $q$ -可求和Szlenk指标的概念.当$ξ=0$和$q=1$，这恢复了通常的可求和Szlenk指数的概念。定义了任意弱$^*$ -紧集上算子鞅型范数的超限渐近模拟$α_{ξ,p}$.我们证明了这个量是由赋范集决定的，并确定了Szlenk指标的$ξ$ -Szlenk幂型和$ξ$ - $q$ -可和性.这一事实使我们能够证明，在$α_{ξ,p}$规范下的算子的行为以最强的方式传递到Banach空间的内射张量积。进一步，我们结合Schlumprecht的一个结果证明了一个关于$α_{ξ,p}$幂型具有良好行为的可分Banach空间可以嵌入到一个具有收缩基且在$α_{ξ,p}$下具有相同行为的Banach空间中，特别是它可以嵌入到一个具有收缩基且具有相同$ξ$ -Szlenk幂型的Banach空间中.最后，我们完全阐明了$α_{ξ,p}$范数在$\ell_r$直和下的行为。这使我们能够给出一个替代的证明结果布鲁克关于Szlenk指数的$\ell_p$和$c_0$直接和的运营商。
The Szlenk index of $L_p(X)$ and $A_p$
给定一个Banach空间$X$，$X^*$的一个$w^*$ -紧子集和$1<p<\infty$，我们给出了$K$的Szlenk指标和$L_p(X)^*$的一个相关子集的Szlenk指标之间的最优关系.作为应用，在给定Banach空间$X$的情况下，利用$X$的Szlenk指标证明了$L_p(X)$的Szlenk指标的一个最优估计.这将哈耶克和Schlumprecht的一个结果推广到不可数序数。更一般地说，给定一个算子$A:X\to Y$，我们根据$A$的Szlenk指数提供“逐点$A$“算子$A_p:L_p(X)\to L_p(Y)$的Szlenk指数的估计。
Numerical index and Daugavet property of operator ideals and tensor products
证明了任意算子理想的数值指标小于或等于整环和值域的数值指标的最小值。进一步，我们证明了紧算子理想或弱紧算子理想的数值指数小于或等于整环的对偶的数值指数，这个结果提供了有趣的例子.我们还证明了巴拿赫空间的投射或内射张量积的数值指数小于或等于任何因子的数值指数。最后，证明了如果两个巴拿赫空间的射影张量积具有Daugavet性质，且其中一个因子的单位球是片可数确定的或其对偶包含范数的Fréchet可微点，则另一个因子继承Daugavet性质.如果两个巴拿赫空间的内射张量积具有Daugavet性质，并且其中一个因子包含范数的Fréchet可微点，则另一个因子具有Daugavet性质。
A note on the relationship between the Szlenk and $w^*$-dentability indices of arbitrary $w^*$-compact sets
证明了巴拿赫空间的对偶空间的任意$w^*$ -紧子集的Szlenk和$w^*$ -可齿性指标之间的最优估计.对于巴拿赫空间对偶的一个给定的$w^*$ -紧凸子集$K$，我们引入了一个两人博弈，其获胜策略决定了$K$的Szlenk指数.本文给出了巴拿赫空间和算子的$w^*$ -可凹性指标的应用。
Prescribed Szlenk index of separable Banch spaces
在以前的工作中，第一个命名的作者描述了一套$\cal P$的所有值的Szlenk指数的可分巴拿赫空间。证明了对任意整数$n$和$\cal P$中的任意序数$α$，存在可分Banach空间$X$使得$X$的$k$阶对偶的Szlenk对于$\{0,..,n-1\}$中的所有$k$等于第一无限序数$ω$，对于$k=n$等于$α$.其中一个要素是证明Lindenstrauss空间和它的对偶都有一个Szlenk指数等于$ω$。我们还表明，任何元素的$\cal P$可以实现为一个自反Banach空间的一个Szlenk指标与无条件基。
Characterization Conditions and the Numerical Index
本文综述了关于大类巴拿赫空间的数值指标$n(\cdot)$的一些最新结果，包括向量值$\ell_p$ -空间和巴拿赫空间的$\ell_p$ -和，其中$1\leq p < \infty$ .特别是通过定义Banach空间$X$的范数上的两个条件，即局部特征条件（LCC）和全局特征条件（GCC），我们能够证明如果$X$上的范数满足（LCC），则$n(X) = \displaystyle\lim_m n(X_m).$对于其中$ \mathbb{N}$被有向无限集$S$替换的情况，我们将证明$X$满足（GCC）的类似结果。我们的方法的动机是这样一个事实，即$ n(L_p(μ, X))= n(\ell_p(X)) = \displaystyle \lim_m n(\ell_p^m (X))$ \cite {aga-ed-kham}.
A Bourgain-like property of Banach spaces with no copies of $c_0$
利用指数刻画了巴拿赫空间中$c_{0}$的副本存在性.作为应用，我们给出了弱无条件柯西级数的James偏差定理和Bessaga-Petroczynski定理的新证明。
The group of isometries of a Banach space and duality
我们构造了一个实巴拿赫空间的例子，它的满射等距群没有一致连续的单参数半群，但它的对偶的满射等距群包含无穷多个一致连续的单参数半群。还示出了关于数值指数、厄米算子和耗散算子的其它例子。
Convexity and smoothness of Banach spaces with numerical index one
我们证明了数值指标为1的巴拿赫空间除非是一维的，否则不能具有良好的凸性或光滑性。例如，它的单位球上没有WLUR点，它的范数不是Frechet光滑的，它的对偶范数既不是光滑的也不是严格凸的。实际上，如果空间具有（严格较弱的）替代Daugavet性质，这些结果也成立。本文构造了无限维$L_1$空间的一个（非完全）严格凸预对偶（它满足一个包含数值指标~1的lushness性质）.另一方面，我们证明了一个郁郁葱葱的实巴拿赫空间既不是严格凸也不是光滑的，除非它是一维的。特别地，如果实空间$C[0,1]$的子空间$X$是光滑的或严格凸的，则$C[0,1]/X$包含$C[0,1]$的副本。最后，我们证明了任何无限维实空间的对偶包含$\ell_1$的一个副本。
The Maslov index in symplectic Banach spaces
考虑固定巴拿赫空间中拉格朗日子空间的Fredholm对偶曲线具有连续变化的（弱）辛结构。假设指数为零，我们得到了全巴拿赫空间的连续变化分裂为辛子空间对的内在结果。使用这样的分解，我们定义曲线的Maslov指数辛减少到经典的有限维的情况下。证明了重复辛约化的传递性，得到了Maslov指标在辛约化下的不变性，同时恢复了Maslov指标的所有标准性质.作为应用，我们考虑了具有变化的主象征和变化的极大区域且不一定是Dirac型的椭圆算子曲线。对于这类算子曲线，我们在有边界流形上导出了变适定边界条件的解悬谱流公式，并得到了分块流形上谱流的分裂.
Limit Theorems for Numerical Index
本文改进了一个大类巴拿赫空间数值指标的极限定理，包括向量值$\ell_p$ -空间和巴拿赫空间的$\ell_p$ -和，其中$1\leq p \leq \infty$ .我们首先证明了$ n_1(X) = \displaystyle \lim_m n_1(X_m)$的一个修改的数值指标$n_1(\, .\,)$。然后，我们建立了如果$X$上的范数满足局部特征条件，则$n(X) = \displaystyle\lim_m n(X_m).$。我们还给出了一个巴拿赫空间的例子，其中局部特征条件得到满足。
On Daugavet indices of thickness
灵感来自R。Whitley的厚度指数最近引入了巴拿赫空间的Daugavet厚度指数。我们继续调查这个指数的行为，并考虑两个新版本的Daugavet指数的厚度，这有助于我们解决一个开放的问题，连接的Daugavet指数与Daugavet方程。此外，我们将通过建立精确的界来改进以前已知的关于巴拿赫空间直和上的Daugavet指标的估计。作为我们的结果的结果，我们证明，对于每一个$0<δ<2$，存在一个巴拿赫空间的单位球切片的凸组合的直径的下确界正好是$δ$，解决了一个公开的问题，从文献。最后，我们证明了Ivakhno在2006年提出的一个关于切片半径和直径之间关系的公开问题有一个否定的答案。
Skew-adjoint linear relatioins between Banach spaces
本文证明了辛 Banach 空间中极大迷向子空间扰动的稳定性，以及指标为 0 的斜伴随 Fredholm 关系核的模 2 维数稳定性，并刻画了其路径连通分支。
Separable elastic Banach spaces are universal
一个巴拿赫空间$X$是弹性的，如果有一个常数$K$，使得每当一个巴拿赫空间$Y$嵌入到$X$，那么有一个$Y$嵌入到$X$与常数$K$。证明了$C[0,1]$嵌入到可分无限维弹性巴拿赫空间中，从而对所有可分巴拿赫空间都是普适的.这证实了约翰逊和奥德尔的一个猜想。证明使用递增嵌入到$X$的$C(K)$空间的可数紧凑$K$的增加的复杂性。为了实现这一目标，我们开发了一个推广的Bourgain的基础指数，适用于无条件和巴拿赫空间，并证明了加强这些$C(K)$的弱注入性的特殊可再生的基础上实现。
Some results about the Schroeder-Bernstein Property for separable Banach spaces
我们构造了一个相互非同构的可分巴拿赫空间的连续统，这些空间是互补的。因此，这些空间的Schroeder-Bernstein指数都是$2^{\aleph_0}$。我们的构造是基于W. T. Gowers和B. 1997年，莫雷。我们还使用经典的描述集合论方法，如在V. Ferenczi和C. Rosendal等人的一些结果。Casazza和N. J. Kalton关于具有无条件有限维Schauder分解的空间的Schroeder-Bernstein性质。
A new metric invariant for Banach spaces
证明了如果巴拿赫空间$X$的Szlenk指标大于第一无限序数$ω$或其对偶的Szlenk指标大于$ω$，则所有具有双曲距离度量的有限整数序列的树嵌入到$X$中.我们证明了当$X$被假设为自反时，反之亦然。作为应用，我们展示了新的类的巴拿赫空间是稳定的粗Lipschitz嵌入下，因此一致同胚。
Slicely Countably Determined Banach spaces
我们引进了一类切片可数确定的巴拿赫空间，其中特别包含所有的空间与RNP和所有的空间没有副本的$\ell_1$。我们提出了许多例子和这个类的几个属性。给出了具有Daugavet性质和替代Daugavet性质的巴拿赫空间、lush空间和数值指标为1的巴拿赫空间的一些应用。特别是，我们表明，一个真正的无限维Banach的对偶替代Daugavet属性包含$\ell_1$和运营商不固定的副本$\ell_1$的替代Daugavet属性的空间满足替代Daugavet方程。
On thickness and thinness of Banach spaces
本文的目的是补充和扩展惠特利的薄度和厚度指数在三个主要方向的一些最近的结果。首先，我们研究了形成巴拿赫空间的$\ell_p$ -和时的两个指数，并得到了它们表现得相当不同的公式。其次，我们考虑了空间和子空间的指数之间的关系。最后，每个包含$c_0$拷贝的巴拿赫空间$X$都可以等价地重赋范，使得在新的范数下$c_0$是$X$中的M-理想，并且$X$的厚指数和薄指数都等于1。
On metric characterizations of tree and fragmentability indices of Banach spaces
本文引入两个序数指标（二叉树指标和蔓延树指标）作为Banach空间的线性不变量，证明它们也是双Lipschitz不变量，并通过序数高度的二叉或可数分支钻石图的子Lipschitz嵌入性刻画其值，进而应用于完备可分度量空间和双Lipschitz嵌入的泛函Banach空间，并讨论这些树指标与经典的可碎片化指标（如齿形性、弱可碎片化和Szlenk指标）的联系。
On k-smoothness of operators between Banach spaces
该研究引入光滑性指标探究Banach空间间有界线性算子的k-光滑性，推导了Hilbert空间的相关刻画，证明多面体空间间秩1算子的k-光滑性依赖空间维度而非几何，推广改进了现有结果。
Vector-valued Walsh-Paley martingales and geometry of Banach spaces
Rademacher型$p$（$1\leq p\leq2$）的概念在巴拿赫空间的局部理论中起着重要的作用.在\cite{mas88}马肖尼认为削弱这一概念，并表明，为巴拿赫空间$X$弱Rademacher型$p$意味着Rademacher型$r$的所有$r<p$。与Rademacher型$p$和弱Rademacher型$p$一样，我们通过在各自的定义中用Haar函数替换Rademacher函数来引入Haar型$p$和弱Haar型$p$的概念。证明了弱Haar型$p$对所有$r<p$都蕴涵Haar型$r$.这解决了Pisier \cite{pis75}遗留的问题。方法是比较不同指标集的Haar型理想范数。
On the embeddability of the family of countably branching trees into quasi-reflexive Banach spaces
本文将F. Baudier，N. Kalton和G. Lancien关于可数分枝树族在自反Banach空间中的不可嵌入性，其Szlenk指数和来自对偶的Szlenk指数都等于第一无限序数$ω$。特别是，我们表明，家庭的可数分支树既不嵌入到詹姆斯空间$\mathcal{J}_p$，也不进入其对偶空间$\mathcal{J}_p^*$为$p\in(1,\infty)$。
Numerical index and duality
我们提出了一个例子的巴拿赫空间的数值指数是严格的大于的数值指数的对偶，给出了一个否定的答案，一直潜伏自七十年代初。我们还显示了一个特殊的情况下，其中的数字索引的空间和它的对偶之一重合。
$α$-minimal Banach spaces
一个具有Schauder基的巴拿赫空间被称为是$α$ -极小的，对于某个可数序数$α$，如果对于任意两个分块子空间，一个到另一个的Bourgain嵌入指数至少是$α$。我们证明了一个二分法的特点时，巴拿赫空间有一个$α$ -极小子空间，这有助于正在进行的项目，由W。T. Gowers，通过识别特征子空间来分类可分巴拿赫空间。
Completion problem of upper triangular $3\times3$ operator matrices on arbitrary Banach spaces
本文研究了任意Banach空间上3×3上三角算子矩阵的补全问题，利用Harte的指数定理和Banach空间嵌入技术，推广了Han等人结论，并探讨了高维上三角算子的可逆性条件。
The number of weakly compact sets which generate a Banach space
我们考虑生成巴拿赫空间X的弱紧子集的最小数目的基数不变量CG（X）。研究了该指标在传递到子空间时的行为，它与弱拓扑中Lindelof数的关系以及其它相关问题。
Khinchin inequality and Banach-Saks type properties in rearrangement-invariant spaces
{ \it我们研究了所有参考不变（= r. i.）函数空间$E$在$[0,1]$上，使得存在$0<q<1$，其中$ \Vert \sum_{_{k=1}}^nξ_k\Vert_{E}\leq Cn^{q}$，其中$\{ξ_k\}_{k\ge 1}\subset E$是$[0,1]$上的独立同分布对称随机变量的任意序列，并且$C>0$不依赖于$n$。我们完整地刻画了所有具有这一性质的Lorentz空间，并补充了Rodin和Semenov关于Orlicz空间$exp(L_p)$，$p\ge 1$的经典结果.我们进一步将我们的结果应用到研究的Banach-Saks指标集在r. i。空间.
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