Sobolev-Orthogonal Systems with Tridiagonal Skew-Hermitian Differentiation Matrices
我们介绍和发展的正交性理论，相对于Sobolev内积的实直线上的函数序列的三对角，斜厄米特微分矩阵。虽然这样的L2-正交系的理论已经很好地建立，但是Sobolev正交性需要新的概念和它们的分析。我们完全把这样的系统看作是正交多项式的适当加权的傅里叶变换，并给出了一些说明性的例子，包括一个Sobolev正交系，它的前导N个系数可以在$\mathcal{O}(N \log N)$运算中计算。
2022-06-15 cs.NA math.CA math.NA
Block Tridiagonal Reduction of Perturbed Normal and Rank Structured Matrices
Università di Pisa（比萨大学）
本文研究了近似正常矩阵的块三对角化方法，扩展了正常矩阵的性质到满足特定二次矩阵方程的结构化本征值问题中。
2013-06-24 cs.NA math.NA
Tridiagonal test matrices for eigenvalue computations: two-parameter extensions of the Clement matrix
Ghent University（根特大学）
本文提出了一种双参数扩展的Clement矩阵，保持了简单结构，其特征值有显式闭式表达，用于数值特征值计算的测试。
2016-12-22 cs.NA math.NA
The Pascal Matrix, Commuting Tridiagonal Operators and Fourier Algebras
California State University Fullerton（加州州立大学富勒顿分校）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
研究帕斯卡矩阵的有限和无限版本，证明存在与之交换的对称三对角矩阵，通过分析相关傅里叶代数，展示帕斯卡矩阵的线性关系源于三个基本关系，并证明三对角矩阵的特征向量对定义二项变换的自然基，以及交换三对角矩阵可稳定地对角化帕斯卡矩阵。
2024-09-11 cs.NA math.NA math.SP
Computing exponential of tridiagonal Toeplitz matrices with applications to numerical solution of the heat equation
Isfahan University of Technology（伊斯法罕理工大学）；Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
本文提出了一种计算三对角Toeplitz矩阵指数的方法，用于求解热方程，并证明了方法的稳定性。
2026-01-04 cs.NA math.NA
$\mathcal O(n)$ working precision inverses for symmetric tridiagonal Toeplitz matrices with $\mathcal O(1)$ floating point calculations
本文提出一种线性时间算法，利用严格对角占优条件，以$\mathcal O(1)$浮点运算计算对称三对角Toeplitz矩阵的逆矩阵，并构建高效并行近似求解器。
2016-11-27 cs.NA math.NA
Evaluation of small elements of the eigenvectors of certain symmetric tridiagonal matrices with high relative accuracy
Yale University（耶鲁大学）
本文研究在特定条件下，对称三对角矩阵特征向量中极小坐标（如10^{-50}）可高相对精度计算的条件，提出改进算法并进行误差分析。
2014-08-26 cs.NA math.NA
Explicit inverse of symmetric, tridiagonal near Toeplitz matrices Part II: with weakly diagonally dominant Toeplitz
本文推导了Toeplitz部分弱对角占优的对称三对角近Toeplitz矩阵精确逆的显式公式，推广至角元非对角占优情形，给出逆矩阵无穷范数上界，通过Fisher问题数值算例验证了收敛速率与上界的有效性。
2024-07-10 cs.NA math.NA
Another proof of Pell identities by using the determinant of tridiagonal matrix
Nigde University（尼代大学）；Selcuk University（塞尔丘克大学）
本文通过计算三对角矩阵的行列式（使用拉普拉斯展开）给出了Pell恒等式的另一个证明。
2011-06-30 cs.NA math.NA math.NT
Explicit inverse of symmetric, tridiagonal near Toeplitz matrices with strictly diagonally dominant Toeplitz part
本文研究了具有严格对角占优 Toeplitz 部分的三对角近 Toeplitz 矩阵，推导了其精确逆的紧凑形式及逆矩阵无穷范数的上界，并通过数值实验验证了其在不动点迭代中提升收敛速率与减少计算时间的有效性。
2024-06-03 cs.NA math.NA
Application of the Parallel Dichotomy Algorithm for solving Toeplitz tridiagonal systems of linear equations with one right-hand side
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics（计算数学与数学地球物理研究所）；Budker Institute of Nuclear Physics（布德克核物理研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）
基于二分法算法的改进，提出一种并行求解Toeplitz三对角方程组的程序，利用Toeplitz矩阵结构减少预计算量，实现单方程组和系列方程组的高效求解，在椭圆方程分离变量法算例中精度与Thomas方法相当，加速比几乎线性，适用于Toeplitz和拟Toeplitz三对角矩阵求逆等数值方法。
2015-09-27 cs.NA math.NA
Analytical Inverse For The Symmetric Circulant Tridiagonal Matrix
由于矩阵求逆算法的复杂性和运行时间（成本），求矩阵的逆是一个开放的问题，特别是当涉及到工程问题时。求逆矩阵的最佳策略是，首先将矩阵简化为简单形式，然后才开始数学过程。对于对称矩阵，优选的简单形式是三对角的。这使得三对角矩阵在应用数学和工程问题中有很高的兴趣。本文提出了一种快速、精确的求解循环对称矩阵的线性系的逆、分解和求解的解析方法。这种矩阵出现在许多研究中，它不同于普通的三对角矩阵，因为它有两个角元素。为了求逆矩阵，引入了一组矩阵，任何对称循环矩阵都可以分解成这组矩阵。在此基础上，求出了该集合的精确解析逆，从而给出了循环矩阵的逆。此外，可以使用实现的分解来执行求解线性方程，其中该矩阵作为系数矩阵出现。该方法的主要优点是它与任何其他直接法一样稳定（即，在可预测的操作数量中执行）。它是直接的，可以理解的，坚实的岩石和一个非常好的心理备份，为那些时候，当事情出错，你认为它可能是你的线性方程求解器。目前的方法和其他直接法的缺点是舍入误差的积累。
2020-09-23 cs.NA math.NA
Spectra of Tridiagonal Matrices
Oregon Institute of Technology（俄勒冈理工学院）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）
研究三对角矩阵在任意边界条件下的特征值和特征向量，发现大n时存在最多4个特殊特征值，其行为依赖于边界条件，而其他特征值变化很小，分别确定到O(n^{-2})和O(κ^n)。
2017-12-13 cs.NA math.NA
Serinv: A Scalable Library for the Selected Inversion of Block-Tridiagonal with Arrowhead Matrices
针对现有选求逆算法多为共享内存或仅支持CPU的局限，提出可扩展GPU分布式库Serinv，用于特定结构矩阵的选求逆与分解，在气候建模相关测试中实现显著性能提升与高可扩展性。
2025-03-21 cs.DC cs.NA cs.PF
Explicit inverse of tridiagonal matrix with applications in autoregressive modeling
National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了一类近似Toeplitz的对称三对角矩阵的显式逆，该矩阵的第一和最后一个对角线元素与其他不同，这类矩阵在复杂统计模型中用于自回归建模以引入协方差结构的依赖性，如计量经济学或空间建模，并在使用三次样条的插值问题中出现。文章展示了逆可以表示为第二类切比雪夫多项式的线性组合，并讨论了逆的性质，如行和的界、逆和其平方的迹以及随着矩阵阶数增加时的极限。
2018-12-15 cs.NA math.NA
New fast divide-and-conquer algorithms for the symmetric tridiagonal eigenvalue problem
College of Computer Science, National University of Defense Technology（国防科技大学计算机学院）
本文提出两种加速分治算法，用于对称三对角特征值问题，其最坏情况复杂度为O(N²r)，利用分层半分离矩阵近似中间特征向量矩阵，两种算法在HSS构造方法上有所不同，实验表明其在大规模矩阵上效率更高。
2015-10-15 cs.NA math.NA
Constraints on admissible behavior of GMRES applied to tridiagonal Toeplitz systems
School of Mathematics, Trinity College Dublin（都柏林三一学院数学学院）
本文利用Greenbaum-Strakoš理论，研究非Hermitian三对角Toeplitz矩阵上GMRES的可容许行为，证明Toeplitz结构约束了理论体现，但仍存在连续统的可达到行为。
2026-10-30 cs.NA math.NA
An efficient hybrid tridiagonal divide-and-conquer algorithm on distributed memory architectures
National University of Defense Technology（国防科技大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；State Key Laboratory of High Performance Computing, NUDT（高性能计算国家重点实验室（NUDT））；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Chinese Academy of Science（中国科学院）
本文提出一种针对对称三对角矩阵的高效分解算法，利用HSS矩阵技术加速矩阵乘法，提升计算效率。
2016-12-22 cs.DC cs.MS cs.NA
Perturbation bounds of eigenvalues of Hermitian matrices with block structures
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
本文通过特征向量分量大小与特征值敏感性的关系，推导了块结构Hermitian矩阵特征值的分量扰动界，并解释了Wilkinson矩阵的极端特征值现象及对称三对角QR算法中激进早期收缩的效率。
2010-08-31 cs.NA math.NA
Structural Packing and Dyadic Factorization of Sparse Positive Definite Matrices
Institute of Mathematics, University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；Department of Statistics, Lund University（隆德大学统计系）
本研究将嵌套剖分重构为两阶段框架，提出基于ℓ₁准则的打包算法与二元结构化矩阵分解理论，实现了大型稀疏正定矩阵的高效求逆。
2026-09-01 cs.NA math.NA stat.CO
On the eigenvalues of Toeplitz matrices with two off-diagonals
本文研究了具有“非对称稀疏三对角”结构的 Toeplitz 矩阵特征值，提出一种构造较小特设矩阵的算法，利用其特征值确定原矩阵的完整谱，并通过数值实验验证了相关猜想。
2023-05-24 cs.NA math.NA
A fast parallel algorithm for solving block-tridiagonal systems of linear equations including the domain decomposition method
Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics（计算数学与数学地球物理研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）
本文提出一种新的并行算法，用于求解具有相同块三对角矩阵但不同右端项的线性代数方程组，该算法是并行二分法在块三对角情形下的推广，并基于此实现了区域分解方法（Schur补方法）的并行化，在数千处理器上获得近线性加速比。
2013-04-03 cs.NA math.NA
Differential qd algorithm with shifts for rank-structured matrices
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
针对秩结构矩阵，提出多种拟可分离矩阵的qd算法变体，其中一种推广了三对角矩阵的dqds算法，可应用于伴随矩阵和同盟矩阵，为多项式求根提供新方法。
2012-08-17 cs.NA math.NA
On the Spectra and Pseudospectra of a Class of Non-Self-Adjoint Random Matrices and Operators
本文针对一类非自伴三对角随机矩阵（以跳跃符号模型为例），发展了谱与伪谱的分析方法，证明了有限随机矩阵的数值域和p范数ε-伪谱几乎必然收敛到无限矩阵对应物，并提出了收敛于无限矩阵谱Σ的包含序列及伪谱的上下夹逼近似。
2013-05-13 cs.NA math-ph math.MP
Compression of unitary rank--structured matrices to CMV-like shape with an application to polynomial rootfinding
Università di Pisa（比萨大学）
本文提出了一种将单位ary矩阵压缩为CMV-like形状的Lanczos型算法，并讨论其在多项式根寻找中的应用。
2013-07-08 cs.NA math.NA
The asymptotics of Wilkinson's shift iteration
本文研究Wilkinson移位迭代在简单谱Jacobi矩阵上的收敛速率，证明对无算术级数谱收敛为三次，并构造了收敛为二次的极限矩阵及初始条件集合的Cantor结构。
2006-09-05 cs.NA math.NA math.SP
Spectral Analysis of Block Diagonally Preconditioned Multiple Saddle-Point Matrices with Inexact Schur Complements
University of Padua（帕多瓦大学）；University of Trieste（的里雅斯特大学）；International Centre for Numerical Methods in Engineering (CIMNE)（国际数值工程中心）
本文研究了多重鞍点矩阵在块对角预条件下的谱特性，推导了特征值界并验证了近似Schur补矩阵的有效性。
2026-02-05 cs.NA math.NA
Coburn's Lemma and the Finite Section Method for Random Jacobi Operators
本文研究了有限和无限三对角随机矩阵的谱和伪谱，证明了在伪ergodic条件下，有限和无限三对角随机矩阵的谱具有特定性质，并展示了有限截断方法在求解方程和估计谱时的有效性。
2015-09-23 cs.NA math.FA math.NA
A Multigrid method for nonlocal problems: non-diagonally dominant Toeplitz-plus-tridiagonal systems
Lanzhou University（兰州大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）；University of Insubria（因斯布鲁克大学）
本文研究了非局部问题的多重网格方法，针对非对角占优的Toeplitz-plus-tridiagonal系统，提出了基于谱分析的简单限制和细化算子，以处理非Toeplitz且非弱对角占优的代数系统，并验证了多重网格方法的收敛性。
2018-08-29 cs.NA math.NA
Spectral distribution of Jacobi weighted histopolation matrices via GLT theory
本文研究[-1,1]上带Jacobi权重的加权直方插值问题，构造基于Jacobi多项式加权原函数的重构算子，推导矩阵的精确分解与三对角表示，并通过GLT理论分析矩阵序列的谱分布及其对数值稳定性的影响。
2026-05-22 cs.NA math.NA
Kalman smoothing and block tridiagonal systems: new connections and numerical stability results
IBM T.J. Watson Research Center（IBM T.J.沃森研究中心）；Applied Physics Lab University of Washington（华盛顿大学应用物理实验室）；Department of Mathematics University of Washington（华盛顿大学数学系）；Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione, University of Padova（帕多瓦大学信息工程系）
本文从优化和代数角度分析RTS、MF和M三种卡尔曼平滑算法，揭示它们与块三对角矩阵分解方法的新联系，并比较其数值稳定性。
2013-07-24 cs.NA math.NA math.OC
Reducing Internal State in Eigenvalue-Only Divide-and-Conquer Tridiagonal Eigensolvers
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
针对仅需特征值的对称三对角矩阵，提出边界行分治算法，通过仅传播边界行而非完整特征向量矩阵，将内存需求从二次降至线性，并消除传统惰性回放中的不必要计算。
2026-05-26 cs.DC cs.NA math.NA
Eigenvalue bounds for preconditioned symmetric multiple saddle-point matrices with block-triangular preconditioners
University of Padua（帕多瓦大学）；The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文推导了带块三角预条件子的预条件对称多重鞍点矩阵的特征值界，证明非零虚部复特征值的分布范围，且数值结果验证该界能准确描述预条件矩阵的特征值分布。
2026-08-26 cs.NA math.NA
Global algorithms for maximal eigenpair
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文提出两种全局算法，用于在广泛设定中计算最大特征对，包括实数和复数矩阵，扩展了之前对三对角矩阵和不可约矩阵的研究。
2017-06-23 cs.NA math.NA math.OC
Explicit inverse of nonsingular Jacobi matrices
Departament de Matemàtiques, UPC, BarcelonaTech（巴塞罗那理工大学数学系）
本文研究了三对角矩阵（雅可比矩阵）可逆的充要条件，并显式计算其逆矩阵。方法涉及求解与二阶线性差分方程相关的斯图姆-刘维尔边值问题，通过离散薛定谔算子和线性差分方程的最新进展得出结果。
2018-07-17 cs.NA math.CO math.NA
