$\mathcal O(n)$ working precision inverses for symmetric tridiagonal Toeplitz matrices with $\mathcal O(1)$ floating point calculations
本文提出一种线性时间算法，利用严格对角占优条件，以$\mathcal O(1)$浮点运算计算对称三对角Toeplitz矩阵的逆矩阵，并构建高效并行近似求解器。
2016-11-27 cs.NA math.NA
Explicit inverse of symmetric, tridiagonal near Toeplitz matrices with strictly diagonally dominant Toeplitz part
本文研究了具有严格对角占优 Toeplitz 部分的三对角近 Toeplitz 矩阵，推导了其精确逆的紧凑形式及逆矩阵无穷范数的上界，并通过数值实验验证了其在不动点迭代中提升收敛速率与减少计算时间的有效性。
2024-06-03 cs.NA math.NA
Evaluation of small elements of the eigenvectors of certain symmetric tridiagonal matrices with high relative accuracy
Yale University（耶鲁大学）
本文研究在特定条件下，对称三对角矩阵特征向量中极小坐标（如10^{-50}）可高相对精度计算的条件，提出改进算法并进行误差分析。
2014-08-26 cs.NA math.NA
A Multigrid method for nonlocal problems: non-diagonally dominant Toeplitz-plus-tridiagonal systems
Lanzhou University（兰州大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）；University of Insubria（因斯布鲁克大学）
本文研究了非局部问题的多重网格方法，针对非对角占优的Toeplitz-plus-tridiagonal系统，提出了基于谱分析的简单限制和细化算子，以处理非Toeplitz且非弱对角占优的代数系统，并验证了多重网格方法的收敛性。
2018-08-29 cs.NA math.NA
On the eigenvalues of Toeplitz matrices with two off-diagonals
本文研究了具有“非对称稀疏三对角”结构的 Toeplitz 矩阵特征值，提出一种构造较小特设矩阵的算法，利用其特征值确定原矩阵的完整谱，并通过数值实验验证了相关猜想。
2023-05-24 cs.NA math.NA
A New Fast Direct Method For Solving Quasi-Toeplitz System of Equations
提出一种求解三对角拟Toeplitz线性方程组的新型快速直接法，适用于带Neumann边界条件的微分方程和QBD矩阵方程离散化，运行时间优于LU和PLU等经典方法。
2024-12-23 cs.NA math.NA
Theoretical results for eigenvalues, singular values, and eigenvectors of (flipped) Toeplitz matrices and related computational proposals
在最近的一系列论文中，从谱分布的意义上研究了矩阵序列$\{Y_nT_n(f)\}$的谱行为，其中$Y_n$是主反对角矩阵（或翻转矩阵），$T_n(f)$是由函数$f$生成的Toeplitz矩阵，其中$f$是勒贝格可积的且具有实傅里叶系数。这种研究也是出于计算的目的，使用（预处理）MINRES算法的相关大型线性系的解决方案。在这里，我们补充了谱研究，得到了更多的结果，这些结果在渐近和固定维数$n$上都成立，并且关于$T_n(f), Y_nT_n(f)$的特征值、奇异值和特征向量以及它们之间的几种关系：除了快速线性解算器之外，另一个目标是设计用于经由无矩阵算法计算相关光谱的特别过程，成本在计算的本征值的数量上是线性的。我们强调，非单调生成函数的情况下的挑战被认为是在目前的工作中，以前的无矩阵算法失败。数值实验的报告和评论，以显示在一个可视化的方式的理论分析的目的。
2022-07-18 cs.NA math.NA
Explicit inverse of tridiagonal matrix with applications in autoregressive modeling
National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了一类近似Toeplitz的对称三对角矩阵的显式逆，该矩阵的第一和最后一个对角线元素与其他不同，这类矩阵在复杂统计模型中用于自回归建模以引入协方差结构的依赖性，如计量经济学或空间建模，并在使用三次样条的插值问题中出现。文章展示了逆可以表示为第二类切比雪夫多项式的线性组合，并讨论了逆的性质，如行和的界、逆和其平方的迹以及随着矩阵阶数增加时的极限。
2018-12-15 cs.NA math.NA
Spectra of Tridiagonal Matrices
Oregon Institute of Technology（俄勒冈理工学院）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）
研究三对角矩阵在任意边界条件下的特征值和特征向量，发现大n时存在最多4个特殊特征值，其行为依赖于边界条件，而其他特征值变化很小，分别确定到O(n^{-2})和O(κ^n)。
2017-12-13 cs.NA math.NA
The Pascal Matrix, Commuting Tridiagonal Operators and Fourier Algebras
California State University Fullerton（加州州立大学富勒顿分校）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
研究帕斯卡矩阵的有限和无限版本，证明存在与之交换的对称三对角矩阵，通过分析相关傅里叶代数，展示帕斯卡矩阵的线性关系源于三个基本关系，并证明三对角矩阵的特征向量对定义二项变换的自然基，以及交换三对角矩阵可稳定地对角化帕斯卡矩阵。
2024-09-11 cs.NA math.NA math.SP
A generalization of the divide and conquer algorithm for the symmetric tridiagonal eigenproblem
Korea Advanced Institute of Science and Technology（韩国科学技术院）
本文提出了一种扩展的Cuppen分治算法，用于处理具有两个秩的三对角矩阵特征问题，引入了新的消去技术并给出了特征方程，展示了算法在计算速度上的优势。
2015-06-29 cs.NA math.NA
Outlier-free isogeometric discretizations for Laplace eigenvalue problems: closed-form eigenvalue and eigenvector expressions
本文为Laplace特征值问题的无离群等几何离散化推导出特征值和特征向量的闭式表达式，证明质量与刚度矩阵具有Toeplitz-Hankel结构，并推广至d维盒子，同时代数确认了样条子空间的无离群性。
2025-05-02 cs.NA math.NA math.SP
Coburn's Lemma and the Finite Section Method for Random Jacobi Operators
本文研究了有限和无限三对角随机矩阵的谱和伪谱，证明了在伪ergodic条件下，有限和无限三对角随机矩阵的谱具有特定性质，并展示了有限截断方法在求解方程和估计谱时的有效性。
2015-09-23 cs.NA math.FA math.NA
New fast divide-and-conquer algorithms for the symmetric tridiagonal eigenvalue problem
College of Computer Science, National University of Defense Technology（国防科技大学计算机学院）
本文提出两种加速分治算法，用于对称三对角特征值问题，其最坏情况复杂度为O(N²r)，利用分层半分离矩阵近似中间特征向量矩阵，两种算法在HSS构造方法上有所不同，实验表明其在大规模矩阵上效率更高。
2015-10-15 cs.NA math.NA
Perturbation bounds of eigenvalues of Hermitian matrices with block structures
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
本文通过特征向量分量大小与特征值敏感性的关系，推导了块结构Hermitian矩阵特征值的分量扰动界，并解释了Wilkinson矩阵的极端特征值现象及对称三对角QR算法中激进早期收缩的效率。
2010-08-31 cs.NA math.NA
Solving quadratic matrix equations arising in random walks in the quarter plane
在拟死亡随机过程的分析中，遇到了一类二次矩阵方程$A_1X^2+A_0X+A_{-1}=X$，其解是最小非负解$G$ .在四分之一平面上的随机游动描述的许多排队模型中，系数$A_1,A_0,A_{-1}$是具有几乎Toeplitz结构的无限三对角矩阵。在这里，我们分析了一些不动点迭代，包括牛顿迭代，计算的$G$，并引入有效的算法和加速策略，充分利用Toeplitz结构的矩阵系数和当前的近似。此外，我们提供了一个结构化的扰动分析的解决方案$G$。一些数值实验的结果表明，我们的方法的有效性报告。
2019-07-23 cs.NA math.NA
A Parallel Direct Eigensolver for Sequences of Hermitian Eigenvalue Problems with No Tridiagonalization
本文提出了一种不带三对角化的Hermitian本征值问题序列的并行直接特征求解器，记作\texttt{PDESHEP}，它将直接方法和迭代法结合起来。\texttt{PDESHEP}首先将埃尔米特矩阵约简为带状形式，然后对带状矩阵进行谱切片，最后通过反变换计算原矩阵的特征向量。因此，与传统的直接特征值求解器相比，\texttt{PDESHEP}避免了三对角化，这包括许多内存有界的操作。在这项工作中，迭代方法在\texttt{PDESHEP}是基于轮廓积分方法实现的FEAST。带状矩阵的直接法和迭代法的结合需要一些有效的数据重分布算法，从二维到一维和从一维到二维的数据结构。因此，提出了一些两步数据重新分配算法，其可以是$10\times$比ScaLAPACK例程\texttt{PXGEMR2D}更快。对于对称自洽场（SCF）本征值问题，当使用$4096$过程时，\texttt{PDESHEP}的平均速度比ELPA中最先进的直接求解器快$1.25\times$.从实际应用中获得的稠密埃尔米特矩阵和SuiteSparse集合中的大型实数稀疏矩阵的数值结果。
2022-03-18 cs.MS cs.NA math.NA
Reconstruction of tridiagonal matrices from spectral data
提出基于双对角坐标的三对角矩阵重构方法，作为de Boor-Golub算法的替代，在速度和精度上表现良好。
2005-08-04 cs.NA math-ph math.MP
Revisiting Eigenvalue-Only Divide-and-Conquer Tridiagonal Eigensolver from Algorithmic Perspective
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
针对仅需特征值的对称三对角矩阵，提出边界行分治算法，通过仅传播边界行而非完整特征向量矩阵，将内存需求从二次降至线性，并消除传统惰性回放中的不必要计算。
2026-11-11 cs.DC cs.NA math.NA
Uniform convergence of V-cycle multigrid algorithms for two-dimensional fractional Feynman-Kac equation
Lanzhou University（兰州大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文推导了V-级多网格算法对对称正定Toeplitz块三对角矩阵的均匀收敛性估计，探讨了与先前结果的联系。主要贡献包括直接处理椭圆型PDE的Toeplitz系统，以及采用简单限制和细化算子处理一般Toeplitz系统，应用于分数费曼-科茨方程差分方程生成的代数方程组。
2017-06-05 cs.NA math.NA
Structured matrix recovery from matrix-vector products
本文研究仅用少量矩阵-向量乘积恢复结构化矩阵的问题，提出基于递归投影的随机化算法，以近对数复杂度高概率恢复分层低秩矩阵。
2023-05-29 cs.NA math.NA
On certain matrix algebras related to quasi-Toeplitz matrices
本文通过构造由 $A_α$ 的幂张成的矩阵代数 $\mathcal P_α$ 的一组基，提出将对称准Toeplitz矩阵表示为 $P+H$ 的新方法，实验证明其运算效率优于现有 CQT-Toolbox。
2024-05-06 cs.NA math.NA
Exact Eigenvalues and Eigenvectors for Some n-Dimensional Matrices
本文为更广泛的$n$维非对称和非persymmetric矩阵推导了精确特征值与特征向量，扩展了解析方法，提升了物理与工程模拟的计算精度和效率。
2024-11-12 cs.NA math.NA math.SP
Analytical solutions to some generalized and polynomial eigenvalue problems
众所周知，拉普拉斯本征值问题$-Δu = λu$的有限差分离散化导致矩阵本征值问题（EVP）$A x= λx$，其中矩阵$A$是Toeplitz-plus-Hankel。Strang和MacNamara \cite{strang2014functions}给出了具有各种边界条件的三对角矩阵的解析解。我们推广的结果和发展的广义矩阵本征值问题（GEVPs）$A x= λBx$，其中所产生的有限元法（FEM）和等几何分析（IGA）的解析解。有限元矩阵是角重叠的块对角矩阵，而IGA矩阵几乎是Toeplitz + Hankel矩阵。事实上，IGA与修正的结果在Toeplitz加汉克尔矩阵给出了一个更好的数值方法。在本文中，我们致力于寻找GEVP的解析特征对，而发展更好的数值方法是我们的动机。对某些多项式本征值问题也得到了解析解。最后，我们推广了GEVP的特征向量-特征值恒等式（最近为EVP重新发现和提出），并导出了一些三角恒等式。
2021-04-12 cs.NA math.NA math.RA
An efficient hybrid tridiagonal divide-and-conquer algorithm on distributed memory architectures
National University of Defense Technology（国防科技大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；State Key Laboratory of High Performance Computing, NUDT（高性能计算国家重点实验室（NUDT））；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）；Chinese Academy of Science（中国科学院）
本文提出一种针对对称三对角矩阵的高效分解算法，利用HSS矩阵技术加速矩阵乘法，提升计算效率。
2016-12-22 cs.DC cs.MS cs.NA
A symbol based analysis for multigrid methods for Block-Circulant and Block-Toeplitz Systems
在文献中，有几个基于符号的多重网格方法的解决方案的线性系具有结构化的系数矩阵的研究。特别是，这种方法的收敛性分析已获得一个优雅的形式的情况下，由标量值函数生成的Toeplitz矩阵。在块Toeplitz设置中，也就是说，在矩阵元素是小的通用矩阵而不是标量的情况下，已经提出了一些关于特定应用的算法，并且在[7]中进行了第一次严格收敛分析。然而，利用现有的基于符号的理论工具，仍然不可能证明文献中已知的许多多重网格方法的收敛性。本文推广了已有的结果，给出了关于网格转移算子符号的更一般的充分条件，特别地，我们处理了矩阵值三角多项式在所有点处不可对角化且奇异的情形，并将新的条件用病态子空间的特征向量表示.此外，我们扩展到V-循环方法的分析证明了线性收敛速率在更强的条件下，这类似于在标量的情况下给出的。为了验证我们的理论研究结果，我们提出了一个经典的块结构问题源于有限元近似的二阶微分问题。我们专注于两个多重网格的战略，使用几何和标准的二分法网格传输运营商，我们证明，都属于投影机满足所提出的条件。此外，使用一个张量积的参数，我们提供了一个策略来构建高效的V-循环程序在块多级设置。
2021-11-12 cs.NA math.NA
Spectral distribution of Jacobi weighted histopolation matrices via GLT theory
本文研究[-1,1]上带Jacobi权重的加权直方插值问题，构造基于Jacobi多项式加权原函数的重构算子，推导矩阵的精确分解与三对角表示，并通过GLT理论分析矩阵序列的谱分布及其对数值稳定性的影响。
2026-05-22 cs.NA math.NA
Conditioning and backward error of block-symmetric block-tridiagonal linearizations of matrix polynomials
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；Universidad Carlos III de Madrid（马德里卡洛斯三世大学）；Universidade de Lisboa（里斯本大学）；Faculdade de Economia do Porto（波尔图经济与管理学院）；Boston University（波士顿大学）
本文研究了矩阵多项式块对称块三对角线性化在数值稳定性方面的表现，比较了其条件数和反向误差与其它线性化方法的差异，指出在特定条件下该线性化具有更好的数值特性。
2017-06-13 cs.NA math.NA
On the application of Laguerre's method to the polynomial eigenvalue problem
The College of Idaho（爱达荷学院）；Steckley & Associates（斯蒂克利联合公司）
本文提出利用拉格朗日迭代计算矩阵多项式特征值的方法，并基于数值范围提供有效初始估计，证明了方法的向后稳定性，并展示了对Hessenberg和三对角矩阵多项式计算的加速效果。
2017-03-26 cs.NA math.NA
Sublinear Time Low-Rank Approximation of Toeplitz Matrices
本文提出一种次线性时间算法，通过稀疏傅里叶变换和离网恢复技术，实现对带噪半正定托普利茨矩阵的近似最优低秩分解，解决了两个SODA开放问题。
2024-04-21 cs.DS cs.NA math.NA
Very Large-Scale Singular Value Decomposition Using Tensor Train Networks
我们提出了新的算法奇异值分解（SVD）的非常大规模的矩阵的基础上的低秩张量近似技术称为张量训练（TT）格式。该算法可以计算出TT格式的大规模结构矩阵的几个主要奇异值和相应的奇异向量。假设矩阵和奇异向量都允许低秩TT分解，所提出的方法的计算复杂性与矩阵大小成几何比例。所提出的方法，这被称为交替最小二乘SVD（ALS-SVD）和改进的交替最小二乘SVD（MALS-SVD），通过块TT分解近似计算左，右奇异向量。超大规模优化问题被简化为连续的小规模最优化问题，并且块TT分解的每个核张量可以通过应用任何标准最优化方法来更新。在迭代过程中自适应地确定块TT分解的最优秩，从而获得较高的逼近精度。对几类TT结构矩阵如Hilbert矩阵、Toeplitz矩阵、具有指定奇异值的随机矩阵和三对角矩阵进行了广泛的数值模拟。仿真结果表明，所提出的方法相比，标准的SVD算法和基于TT的对称特征值分解算法的有效性。
2014-12-13 cs.NA math.NA
Spectral properties of Kac-Murdock-Szegö matrices with a complex parameter
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
本文研究复参数下Kac-Murdock-Szegö矩阵的谱性质，分析其特征值和特征向量，探讨实参数大于1时特征值的连续性及近似公式。
2018-04-22 cs.NA math.NA
A Riemann--Hilbert approach to the perturbation theory for orthogonal polynomials: Applications to numerical linear algebra and random matrix theory
我们建立了一个新的扰动理论的正交多项式使用Riemann-Hilbert方法，并考虑在数值线性代数和随机矩阵理论的应用。这种新的方法表明，正交多项式关于两个措施，可以有效地比较使用的差异，其斯蒂尔切斯变换的适当选择的轮廓。此外，当两个测度接近且满足一定的正则性条件时，我们利用超椭圆Riemann曲面的θ函数导出了扰动正交多项式的精确展开式.与其他方法相比，该方法的一个关键优势是，随着多项式次数的增加，估计数仍然有效。应用这些结果分析了线性代数中的几种数值算法，包括Lanczos三对角化算法、Cholesky分解算法和共轭梯度算法。作为一个案例研究，我们研究这些算法应用到一般的加标样本协方差阵模型，考虑特征向量经验谱分布及其限制。对于第一次，我们给出精确的估计算法的输出，适用于这类广泛的随机矩阵，迭代次数发散。在这种情况下，除了一阶展开，我们还得到了一个新的介观中心极限定理相关的正交多项式和其他数量的数值算法。
2022-09-21 cs.NA math-ph math.MP
