Structured matrices and inverses
Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota（明尼苏达大学数学及其应用研究所）；Thomson-Sintra（汤姆逊-辛特拉）
本文研究具有小位移秩的结构化矩阵，证明其多种逆（包括秩亏矩阵的Moore-Penrose逆）仍保持结构，从而实现快速求逆与存储优化。
2008-03-16 cs.NA math.NA
Condition numbers for the Moore-Penrose inverse and the least squares problem involving rank-structured matrices
本文针对Cauchy-Vandermonde矩阵和{1,1}-准可分矩阵等秩结构化矩阵，建立了计算Moore-Penrose逆与最小范数最小二乘问题结构化混合条件数和分量条件数上界的通用框架，并通过数值实验验证了结构化有效条件数计算成本更低且数值更小。
2024-08-04 cs.NA math.NA
On normal and structured matrices under unitary structure-preserving transformations
本文为正规且（斜）哈密顿及（斜）埃尔米特矩阵提出酉结构保持变换下的结构化规范形，并概述了相应算法。
2020-03-10 cs.NA math.NA
smt: a Matlab structured matrices toolbox
Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Cagliari（卡利亚里大学数学与计算机科学系）
本文介绍了一个用于Matlab的结构化矩阵工具箱smt，实现了循环矩阵和Toeplitz矩阵的优化存储与快速运算，并提供测试矩阵、循环预处理器和快速Toeplitz线性系统求解算法。
2009-03-30 cs.NA math.NA
Global properties of eigenvalues of parametric rank one perturbations for unstructured and structured matrices
考虑了单位圆上$A+τuv^*$作为$τ\in\Comp$或$τ\in\Real$或$τ=\e^{\iiθ}$的函数的特征值的一般性质。特别地，讨论了特征值的整体解析公式的存在性问题。此外，还详细讨论了用$τ\to\infty$求特征值的极限.考虑了以下几类矩阵：复矩阵（无附加结构）、实矩阵（无附加结构）、复$H$ -自伴矩阵和实$J$ -哈密尔顿矩阵.
2020-07-02 cs.NA math.NA
Density of diagonalizable matrices in sets of structured matrices defined from indefinite scalar products
对于$\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$上$B= \pm B^H \in Gl_n(\mathbb{C})$的（不定）标积$[x,y]_B = x^HBy$，我们证明了可对角化矩阵集在所有$B$ -自伴，$B$ -斜伴，$B$ -酉和$B$ -正规矩阵的集合中是稠密的.
2020-07-01 cs.NA math.NA math.RA
Structured matrices in the application of bivariate interpolation to curve implicitization
本文探讨了双变量多项式插值在有理代数曲线隐式化中的非标准应用，分析了三种基于相同插值空间的方法及其计算复杂度，并强调了Kronecker积在此应用中的优势。
2005-12-19 cs.NA math.NA
Efficient arithmetic operations for rank-structured matrices based on hierarchical low-rank updates
本文提出基于分层低秩更新的算法，实现对H²矩阵的乘积、逆及分解的近线性复杂度运算，通过递归过程和局部低秩更新提升计算效率。
2014-07-03 cs.NA math.NA
A gradient system approach for Hankel structured low-rank approximation
秩亏汉克尔矩阵是几个应用的核心。然而，在实践中，由于例如测量误差和计算误差，这些矩阵的系数是有噪声的，因此通常所涉及的矩阵是满秩的。这激发了Hankel结构低秩逼近问题。结构化的低秩近似问题，一般来说，没有一个全局和有效解技术。本文提出了一种基于两级迭代的局部最优化方法。实验结果表明，该算法通常达到良好的精度，并表现出更高的鲁棒性相对于初始近似，相比其他方法。
2020-09-04 cs.NA math.NA
Characterizations of structured Bohemian matrices and their Inner and Outer Bohemian Inverses
本文针对元素取自$\mathbb{P}=\{0, \pm 1\}$的波西米亚矩阵，定义并刻画了秩一及I、II、III类更高秩子类，研究其内、外波西米亚逆的集合与基数，给出了相关刻画及显式公式。
2025-08-23 cs.NA math.NA
Parallelizing Sequential Sweeping on Structured Grids -- Fully Parallel SOR/ILU preconditioners for Structured n-Diagonal Matrices
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
提出一种重叠区域分解结合多前沿扫描的方法，在保持原顺序算法效率的同时，并行化结构化网格上的SOR和ILU预条件子扫描过程。
2010-08-22 cs.NA math.NA
Orthogonal iterations on Structured Pencils
本文提出了一类基于正交迭代的快速子空间跟踪算法，其结构矩阵/束可以表示为酉矩阵的小秩扰动。该算法依赖于一个更新的数据稀疏分解-命名为LFR分解-使用正交Hessenberg矩阵。这些新的子空间跟踪器达到每次更新仅$O(nk^2)$操作的复杂度，其中$n$和$k$分别是矩阵和小秩扰动的大小。
2021-04-22 cs.NA math.NA
Fast multiplication, determinants, and inverses of arrowhead and diagonal-plus-rank-one matrices over associative fields
本文考虑F^（nxn）中的箭头矩阵和对角加秩一矩阵，其中F在R，C或H中。H是一个非交换的四元数域。我们给出统一的公式快速矩阵向量乘法，决定因素，并考虑矩阵的逆。这些公式在交换和非交换代数中都成立，在这个意义上是统一的。算法复杂度为O（n）大多数公式也适用于分块矩阵。
2022-12-21 cs.NA math.NA
Bidiagonal Decompositions of Vandermonde-Type Matrices of Arbitrary Rank
我们提出了一种方法，以获得新的显式表达式的双对角分解的范德蒙和相关的矩阵，如（q-，h-）伯恩斯坦范德蒙的，等等。这些结果将已有的非奇异矩阵的表达式推广到任意秩的矩阵。对于上述类型的全非负矩阵，新的分解可以在浮点运算中有效地计算，并且具有较高的分量精度。反过来，矩阵计算（例如，特征值计算）也可以有效地执行并且达到高的相对精度。
2022-10-18 cs.NA math.NA
Literature survey on low rank approximation of matrices
矩阵的低秩逼近在文献中已有很好的研究。奇异值分解、列主元QR分解、秩显示QR分解（RRQR）、插值分解等是经典的确定性低秩逼近算法。但是这些技术非常昂贵（对于$n\times n$矩阵需要$(O(n^{3})$操作）。在文献中有几种随机算法，它们不像经典技术那样昂贵（但复杂度不是n的线性）。因此，当矩阵维数很大时，构造矩阵的低秩逼近是非常昂贵的。还有一些替代技术，如Cross/Skeleton approximation，它给出了n中线性复杂度的低秩近似。本文对低秩逼近技术作了简要的回顾，并给出了许多技术的广泛参考。
2016-06-21 cs.NA math.NA
A generalized Nystrom method with column sketching for low-rank approximation of nonsymmetric matrices
本文将经典 Nyström 方法扩展到非对称矩阵，提出带列草图的广义 Nyström 低秩逼近方法，在保持稳定性的同时提升精度与速度，实验验证了其稳健性。
2024-10-29 cs.NA math.NA
Block Tridiagonal Reduction of Perturbed Normal and Rank Structured Matrices
Università di Pisa（比萨大学）
本文研究了近似正常矩阵的块三对角化方法，扩展了正常矩阵的性质到满足特定二次矩阵方程的结构化本征值问题中。
2013-06-24 cs.NA math.NA
Approximated structured pseudospectra
SAPIENZA Università di Roma（罗马大学）；Kent State University（肯特州立大学）
本文提出一种基于选择合适秩一或投影秩一扰动计算矩阵伪谱和结构伪谱的新方法，通过分析特征值敏感性，提升计算效率和洞察力。
2016-11-14 cs.NA math.NA
Fast solvers for two-dimensional fractional diffusion equations using rank structured matrices
考虑了含分数阶导数的时空扩散方程在空间域和一维或二维空间域的离散化问题。在时间上采用隐式Euler格式，在空间上采用有限差分或有限元，得到一系列稠密的大规模线性系，描述解在时间上的行为。我们证明了在一维上下文中产生的系数矩阵的秩结构，可以有效地表示使用分层格式（$\mathcal H$ -矩阵，HODLR）。这些矩阵的非对角块的秩的定量估计。我们分析使用HODLR算法解决一维的情况下，我们比较这种策略与现有的方法，利用Toeplitz结构的GMRES迭代的先决条件。数值试验表明，HODLR格式的方便时，至少需要一个合理的低数量的时间步长。最后，我们解释了如何利用这些属性来设计快速求解器的二维空间域的问题，可以重新表述为矩阵方程。实验结果表明，该方法的基础上使用的秩结构的算法是特别有效的，优于目前的最先进的技术。
2019-08-10 cs.NA math.NA
On the singular values of matrices with high displacement rank
Cornell University（康奈尔大学）
本文提出基于ADI的低秩求解器，针对具有快速衰减奇异值的矩阵方程，提供新的理论和实用收益，包括高位移秩矩阵类的奇异值界推导、高秩右端项的Lyapunov和Sylvester方程求解算法，以及实现谱精度的低秩Poisson求解器。
2018-01-11 cs.NA math.NA
On compact wavelet matrices of rank m and of order and degree N
提出了一种基于欧几里得空间坐标的紧致小波矩阵新参数化方法，通过Wiener-Hopf分解高效构造矩阵，并讨论了应用。
2011-09-17 cs.NA math.NA
Preserving spectral properties of structured matrices under structured perturbations
本文主要研究结构矩阵在结构扰动下的特征值保持性、Jordan结构和补不变子空间。确定扰动和保结构扰动，使得扰动矩阵将给定子空间再生为不变子空间，并保持未扰动矩阵的一对互补不变子空间。这些结果被进一步利用，以获得结构保持扰动修改某些特征值的一个给定的结构矩阵和重现一组所需的特征值，同时保持约旦链不变。此外，还得到了结构矩阵的无溢出结构扰动，其秩等于被修改的特征值（包括重数）的个数，并且保留了其余特征值和相应的Jordan链，这些特征值和Jordan链不需要已知.本文所考虑的特殊结构矩阵构成了对应于正交对称标积的Jordan和李代数。
2020-06-16 cs.NA math.NA math.OC
A gallery of diagonal stability conditions with structured matrices (and review papers)
本文对矩阵稳定性（特别是对角矩阵稳定性）和矩阵可稳定性的各种条件和特征进行了总结和回顾。
2023-01-01 cs.NA cs.SY eess.SY
Low Rank Approximation of Dual Complex Matrices
对偶复数可以表示2D空间中的刚体运动。对偶复矩阵与旋量理论联系在一起，在许多领域有着潜在的应用。本文研究了对偶复矩阵的低秩逼近问题。我们定义了对偶复向量的$2$ -范数和对偶复矩阵的Frobenius范数。这些范数是非负的对偶数。建立了对偶复矩阵的酉不变性。研究了平方对偶复矩阵的特征值，证明了一个$n \times n$对偶复埃尔米特矩阵恰有$n$特征值，且特征值是对偶数.给出了对偶复矩阵的奇异值分解定理，定义了对偶复矩阵的秩和可观秩，并研究了它们的性质。建立了对偶复矩阵的Eckart-Young类定理，并给出了一个用截断奇异值分解求对偶复矩阵低秩逼近的算法框架。对偶复矩阵的奇异值分解也为利用这些矩阵进行主成分分析提供了一个基本工具。数值实验报告。
2022-01-30 cs.NA math.NA math.RA
Rank-$1$ matrix differential equations for structured eigenvalue optimization
提出并研究了一种求解大型结构矩阵特征值最优化问题的新方法。考虑的一类最优化问题涉及到计算结构化伪谱及其极值点，以及结构化矩阵接近问题，如计算结构化距离不稳定性或奇异性。该结构可以是一般的线性结构，并且包括例如具有给定稀疏模式的大矩阵、具有给定范围和协范围的矩阵以及哈密尔顿矩阵。值得注意的是，特征值优化可以在复（或实）秩1矩阵的流形上执行，这会显著减少存储量，并且在某些情况下会减少计算成本。该方法依赖于一个约束梯度系统和投影的梯度到切空间的流形的复杂秩- $1$矩阵。结果表明，在局部极小点附近，该投影非常接近恒等映射，因此计算上有利的秩-1投影系统的局部行为类似于计算上昂贵的梯度系统。
2022-06-19 cs.NA math.DS math.NA
Faster Linear Algebra Algorithms with Structured Random Matrices
Department of Computing and Mathematical Sciences, California Institute of Technology（加州理工学院计算与数学科学系）
本文提出遗忘子空间注入（OSI）性质以统一分析结构化随机降维，证明其支撑低秩近似与最小二乘回归，并给出多类OSI矩阵及接近最优的加速效果。
2026-11-06 cs.DS cs.NA math.NA
Compact representations of structured BFGS matrices
对于一般的大规模最优化问题，存在紧致表示，其中递归拟牛顿更新公式被表示为紧致矩阵分解。对于目标函数包含附加结构的问题，所谓的结构化拟牛顿法利用可用的二阶导数信息和近似不可用的二阶导数。本文给出了两个结构化Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno更新公式的紧致表示。紧凑表示实现了有效的有限存储器和初始化策略。两个有限的内存线搜索算法的描述和测试的问题，包括一个真实世界的大规模成像应用的集合。
2022-07-29 cs.MS cs.NA econ.EM
