Fast Algorithms for Displacement and Low-Rank Structured Matrices
Shivkumar Chandrasekaran, Nithin Govindarajan, Abhejit Rajagopal
本文介绍基于位移和低秩结构的快速矩阵算法设计与实现，探讨其理论基础和应用价值。
本文教程介绍了基于位移和各种低秩结构的快速矩阵算法的发展。
This tutorial provides an introduction to the development of fast matrix algorithms based on the notions of displacement and various low-rank structures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the singular values of matrices with high displacement rank
本文提出基于ADI的低秩求解器，针对具有快速衰减奇异值的矩阵方程，提供新的理论和实用收益，包括高位移秩矩阵类的奇异值界推导、高秩右端项的Lyapunov和Sylvester方程求解算法，以及实现谱精度的低秩Poisson求解器。
Structured mapping problems for linearly structured matrices
研究线性结构矩阵的映射特性，确定满足AX=B的矩阵A及映射X到B的矩阵，并分析最小范数解，用于探讨近似特征对和不变子空间的结构回溯误差及结构伪谱。
Structured strong linearizations of structured rational matrices
结构有理矩阵，如对称，反对称，哈密尔顿，反对哈密尔顿，埃尔米特和仿埃尔米特有理矩阵出现在许多应用中。近年来，有理矩阵的线性化被引入到有理矩阵的极点、特征值、特征向量、最小基和最小指标的计算中。对于结构有理矩阵，需要构造保结构线性化，以保持有理矩阵的特征值和极点的对称性。为了构造结构有理矩阵的保结构线性化，我们提出了一类Fiedler-like束，并证明了Fiedler-like束是结构有理矩阵的保结构强线性化的丰富来源.当$G(λ)$具有相同的结构时，我们构造了有理矩阵$G(λ)$的对称、反对称、Hamilton、反对称Hamilton、Hermitian、反对称Hermitian、仿Hermitian和仿反对称Hermitian强线性化.进一步，当$G(λ)$是实对称的，我们表明，$G(λ)$的实对称线性化的传递函数保持Cauchy-Maslov指数的$G(λ).$我们描述的恢复的特征向量，最小基和最小指数的$G(λ)$从那些的线性化的$G(λ)$，并表明恢复是操作自由的。
Structured matrices and inverses
本文研究具有小位移秩的结构化矩阵，证明其多种逆（包括秩亏矩阵的Moore-Penrose逆）仍保持结构，从而实现快速求逆与存储优化。
Eigenvector sensitivity under general and structured perturbations of tridiagonal Toeplitz-type matrices
本文研究了三对角Toeplitz型和Toeplitz型矩阵在一般和结构扰动下的特征向量敏感性，分析了其敏感性特性及误差界。
Structured inverse least-squares problem for structured matrices
本文研究结构矩阵的逆最小二乘问题，确定所有解及最小范数解，指出对于谱范数存在无限多最小范数解，而对于Frobenius范数唯一。
On the singular values of matrices with displacement structure
本文通过极值问题推导出具有位移结构矩阵奇异值的显式界，证明Hankel矩阵的奇异值可被低秩矩阵近似，同时推导出其他类型矩阵的类似结果。
Fast measure modification of orthogonal polynomials via matrices with displacement structure
本文揭示了正交多项式测度修改问题中 Gram 矩阵的位移结构，将连接系数计算的复杂度从 $\mathcal{O}(n^3)$ 降至 $\mathcal{O}(n^2)$，并针对带状矩阵和 Chebyshev 多项式利用低秩结构进一步优化了近似 Cholesky 分解的效率。
Structured Backward Errors of Sparse Generalized Saddle Point Problems with Hermitian Block Matrices
本文在保持稀疏模式与 Hermitian 结构条件下推导广义鞍点问题的结构化向后误差，构造最优向后扰动，并通过数值实验验证其可靠性及用于评估数值方法的强向后稳定性。
On the eigenvalues of a class of matrices with displacement structure arising in optimal control
本文提出研究具有特定位移结构矩阵特征值的框架，通过三角矩阵分解和参数分析，提供计算特征值的方法，支持参数对解的影响分析。
Condition numbers for the Moore-Penrose inverse and the least squares problem involving rank-structured matrices
本文针对Cauchy-Vandermonde矩阵和{1,1}-准可分矩阵等秩结构化矩阵，建立了计算Moore-Penrose逆与最小范数最小二乘问题结构化混合条件数和分量条件数上界的通用框架，并通过数值实验验证了结构化有效条件数计算成本更低且数值更小。
On normal and structured matrices under unitary structure-preserving transformations
本文为正规且（斜）哈密顿及（斜）埃尔米特矩阵提出酉结构保持变换下的结构化规范形，并概述了相应算法。
smt: a Matlab structured matrices toolbox
本文介绍了一个用于Matlab的结构化矩阵工具箱smt，实现了循环矩阵和Toeplitz矩阵的优化存储与快速运算，并提供测试矩阵、循环预处理器和快速Toeplitz线性系统求解算法。
Global properties of eigenvalues of parametric rank one perturbations for unstructured and structured matrices
考虑了单位圆上$A+τuv^*$作为$τ\in\Comp$或$τ\in\Real$或$τ=\e^{\iiθ}$的函数的特征值的一般性质。特别地，讨论了特征值的整体解析公式的存在性问题。此外，还详细讨论了用$τ\to\infty$求特征值的极限.考虑了以下几类矩阵：复矩阵（无附加结构）、实矩阵（无附加结构）、复$H$ -自伴矩阵和实$J$ -哈密尔顿矩阵.
Density of diagonalizable matrices in sets of structured matrices defined from indefinite scalar products
对于$\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n$上$B= \pm B^H \in Gl_n(\mathbb{C})$的（不定）标积$[x,y]_B = x^HBy$，我们证明了可对角化矩阵集在所有$B$ -自伴，$B$ -斜伴，$B$ -酉和$B$ -正规矩阵的集合中是稠密的.
Compression Properties for large Toeplitz-like matrices
本文利用位移结构彻底解释了大型类Toeplitz矩阵的压缩性质，为HSS等分层低秩近似中的重要子矩阵提供了数值秩显式界限，并提出了高效的自适应超快速秩结构求解器压缩策略。
Structured matrices in the application of bivariate interpolation to curve implicitization
本文探讨了双变量多项式插值在有理代数曲线隐式化中的非标准应用，分析了三种基于相同插值空间的方法及其计算复杂度，并强调了Kronecker积在此应用中的优势。
Efficient arithmetic operations for rank-structured matrices based on hierarchical low-rank updates
本文提出基于分层低秩更新的算法，实现对H²矩阵的乘积、逆及分解的近线性复杂度运算，通过递归过程和局部低秩更新提升计算效率。
Advances on the recovery of (perturbed) Cauchy matrices
本文提出了一类通用的Cauchy参数恢复算法，并引入基于位移的近似方法，通过数值实验展示了其更高的准确性。
Parallelizing Sequential Sweeping on Structured Grids -- Fully Parallel SOR/ILU preconditioners for Structured n-Diagonal Matrices
提出一种重叠区域分解结合多前沿扫描的方法，在保持原顺序算法效率的同时，并行化结构化网格上的SOR和ILU预条件子扫描过程。
Orthogonal iterations on Structured Pencils
本文提出了一类基于正交迭代的快速子空间跟踪算法，其结构矩阵/束可以表示为酉矩阵的小秩扰动。该算法依赖于一个更新的数据稀疏分解-命名为LFR分解-使用正交Hessenberg矩阵。这些新的子空间跟踪器达到每次更新仅$O(nk^2)$操作的复杂度，其中$n$和$k$分别是矩阵和小秩扰动的大小。
Block Tridiagonal Reduction of Perturbed Normal and Rank Structured Matrices
本文研究了近似正常矩阵的块三对角化方法，扩展了正常矩阵的性质到满足特定二次矩阵方程的结构化本征值问题中。
Differential qd algorithm with shifts for rank-structured matrices
针对秩结构矩阵，提出多种拟可分离矩阵的qd算法变体，其中一种推广了三对角矩阵的dqds算法，可应用于伴随矩阵和同盟矩阵，为多项式求根提供新方法。
Fast solvers for two-dimensional fractional diffusion equations using rank structured matrices
考虑了含分数阶导数的时空扩散方程在空间域和一维或二维空间域的离散化问题。在时间上采用隐式Euler格式，在空间上采用有限差分或有限元，得到一系列稠密的大规模线性系，描述解在时间上的行为。我们证明了在一维上下文中产生的系数矩阵的秩结构，可以有效地表示使用分层格式（$\mathcal H$ -矩阵，HODLR）。这些矩阵的非对角块的秩的定量估计。我们分析使用HODLR算法解决一维的情况下，我们比较这种策略与现有的方法，利用Toeplitz结构的GMRES迭代的先决条件。数值试验表明，HODLR格式的方便时，至少需要一个合理的低数量的时间步长。最后，我们解释了如何利用这些属性来设计快速求解器的二维空间域的问题，可以重新表述为矩阵方程。实验结果表明，该方法的基础上使用的秩结构的算法是特别有效的，优于目前的最先进的技术。
Error analysis of a partial pivoting method for structured matrices
在信号处理问题的解中出现的许多矩阵具有特殊的位移结构。例如，自适应滤波和到达方向估计产生Toeplitz类型的矩阵。Gohberg，Kailath和Olshevsky（GKO）最近的方法允许快速高斯消去法与部分旋转这样的结构矩阵。在本文中，舍入误差分析进行的柯西和Toeplitz变种的GKO方法。它示出的误差增长取决于某些辅助向量，生成元，这是由GKO算法计算的增长。它还表明，在某些情况下，在发电机的增长可以是大的，所以误差的增长是远远大于将遇到正常的高斯消去法与部分枢轴。提出了一种改进的算法来执行一种类型的行列旋转，它可以改善这个问题。
A gradient system approach for Hankel structured low-rank approximation
秩亏汉克尔矩阵是几个应用的核心。然而，在实践中，由于例如测量误差和计算误差，这些矩阵的系数是有噪声的，因此通常所涉及的矩阵是满秩的。这激发了Hankel结构低秩逼近问题。结构化的低秩近似问题，一般来说，没有一个全局和有效解技术。本文提出了一种基于两级迭代的局部最优化方法。实验结果表明，该算法通常达到良好的精度，并表现出更高的鲁棒性相对于初始近似，相比其他方法。
Provable Low-Rank Tensor-Train Approximations in the Inverse of Large-Scale Structured Matrices
本文研究大规模结构化矩阵逆的TT低秩特性，提出可计算验证的充分条件，证明多类PDE对应的微分算子导出矩阵的逆具有低秩TT格式，开发高效TT逆矩阵算法，数值实验验证了理论与方法的有效性。
Generation of orthogonal rational functions by procedures for structured matrices
计算关于离散内积正交的有理函数序列的递推系数的问题被表述为Hessenberg矩阵束的逆本征值问题。提出了两个程序来解决这个逆本征值问题，通过合理的Arnoldi迭代和通过更新程序，使用酉相似变换。后者被证明是数值稳定的。这个问题和这两个程序一般考虑双正交有理函数的双线性型。这导致一束三对角矩阵的逆本征值问题。对于双正交有理函数，三对角束意味着短的递归关系，这比正交的情况更有效。然而，解决这个问题的程序必须依赖于非幺正运算，并且可能不是数值稳定的。
Preserving spectral properties of structured matrices under structured perturbations
本文主要研究结构矩阵在结构扰动下的特征值保持性、Jordan结构和补不变子空间。确定扰动和保结构扰动，使得扰动矩阵将给定子空间再生为不变子空间，并保持未扰动矩阵的一对互补不变子空间。这些结果被进一步利用，以获得结构保持扰动修改某些特征值的一个给定的结构矩阵和重现一组所需的特征值，同时保持约旦链不变。此外，还得到了结构矩阵的无溢出结构扰动，其秩等于被修改的特征值（包括重数）的个数，并且保留了其余特征值和相应的Jordan链，这些特征值和Jordan链不需要已知.本文所考虑的特殊结构矩阵构成了对应于正交对称标积的Jordan和李代数。
Compression of unitary rank--structured matrices to CMV-like shape with an application to polynomial rootfinding
本文提出了一种将单位ary矩阵压缩为CMV-like形状的Lanczos型算法，并讨论其在多项式根寻找中的应用。
Fast Hessenberg reduction of some rank structured matrices
本文提出两种快速算法，用于约简结构矩阵A=D+UV^H，通过两阶段方法和消去亚对角线，实现O(n²k)复杂度的高效约简。
Numerical methods for accurate computation of the eigenvalues of Hermitian matrices and the singular values of general matrices
本文综述了计算埃尔米特矩阵特征值和一般矩阵及几类结构矩阵奇异值的数值方法。重点是方法背后的主要原则，即使在传统方法条件不佳的情况下，也能保证高精度。首先，它示出了一个特定的结构中的误差在一个有限精度的算法的实现允许一个更好的措施的灵敏度和高精度的计算是可能的，尽管一个大的经典条件数。这种由有限精度计算引起的结构化误差在某些算法中是例如条目方向或列方向小的，这比通常认为的仅当在Frobenius矩阵范数中测量时一般小的误差好得多。专门定制的扰动理论，这种结构的扰动埃尔米特矩阵保证更好的界限，相对误差的计算特征值。其次，我们回顾了一种非传统的方法来精确计算的奇异值和特征值的一些臭名昭著的病态结构矩阵，例如，柯西，范德蒙和汉克尔矩阵。精确算法的显著特征是使用定义这种矩阵的内参数来获得非正交因子分解，例如\textsf{LDU}因子分解，然后计算由此计算的因子的乘积的奇异值。最先进的软件的状态进行了讨论。
Verified error bounds for the singular values of structured matrices with applications to computer-assisted proofs for differential equations
本文提出两种验证结构化矩阵$R^{-H}AR^{-1}$奇异值的方法：一种用SVD计算因子验证所有奇异值，另一种无需SVD估计最小奇异值下界，且在微分方程解验证中高效解决了原计算耗时与内存问题。
Characterizations of structured Bohemian matrices and their Inner and Outer Bohemian Inverses
本文针对元素取自$\mathbb{P}=\{0, \pm 1\}$的波西米亚矩阵，定义并刻画了秩一及I、II、III类更高秩子类，研究其内、外波西米亚逆的集合与基数，给出了相关刻画及显式公式。
A Fast Algorithm for the Inversion of Quasiseparable Vandermonde-like Matrices
本文提出快速高斯消去算法，用于求解多项式Vandermonde-like矩阵，并进一步推导出准分离、半分离和well-free矩阵的快速求逆算法，复杂度为O(n²)。
A gallery of diagonal stability conditions with structured matrices (and review papers)
本文对矩阵稳定性（特别是对角矩阵稳定性）和矩阵可稳定性的各种条件和特征进行了总结和回顾。
Structured Backward Errors for Special Classes of Saddle Point Problems with Applications
本文针对具有循环、Toeplitz及对称-Toeplitz结构和稀疏模式的鞍点问题，构造保结构最小扰动矩阵并计算结构化向后误差，应用于加权正则化最小二乘问题，数值实验验证了其在评估算法强向后稳定性中的价值。
Adaptive multiplication of rank-structured matrices in linear complexity
本文提出了一种新的线性复杂度下乘以 $\mathcal{H}^2$-matrices 的通用算法，通过自适应构造基和两阶段压缩策略，克服了以往算法的结构限制，数值实验证明其速度显著提升。
Structure-Informed Bounds on the Kronecker Rank of Block-Structured Matrices
本文利用矩阵-张量框架，通过内块张成和外块张成的维度相等性，推导了具有内外结构的块矩阵的Kronecker秩的理论界，并应用于Toeplitz、Hankel、带状和稀疏模式等结构的上界估计。
Structured Matrix Approximations via Tensor Decompositions
我们提供了一个计算框架，用于近似一类结构化矩阵;在这里，术语结构是非常一般的，并且可以指规则的稀疏模式（例如，块状带状），或者更高度结构化（例如，对称块Toeplitz）。我们的目标是揭示{ \it额外的潜在结构}，这将反过来导致计算效率的算法时，新的结构化矩阵近似采用的地方，原来的运营商。我们的方法有三个步骤：将结构化矩阵映射到张量，使用张量压缩算法，并将压缩后的张量映射回来，以获得两种不同的矩阵表示--Kronecker乘积和块低秩格式。张量分解的使用使我们能够发现问题中的潜在结构，并导致原始矩阵的压缩表示，可以在应用中有效地使用。由此产生的矩阵近似是内存有效的，易于计算，并保留错误，这是由于在Frobenius范数的张量压缩。我们的框架是非常通用的。我们说明了我们的方法的能力，揭示块低秩格式的结构矩阵从两个应用程序：系统辨识，空时协方差阵。此外，我们证明了我们的方法可以发现SuiteSparse集合中的几个矩阵上的结构化Kronecker产品结构的总和。最后，我们表明，我们的框架是足够广泛的，包括和改善其他相关的结果，从文献中，我们说明了一个三维模糊算子的近似。
Linear-Complexity Black-Box Randomized Compression of Rank-Structured Matrices
本研究提出一种秩结构矩阵的随机压缩黑盒算法，仅通过矩阵对向量的作用重构矩阵，对HBS矩阵样本量为O(k)，具备真正线性复杂度且支持并行流式运行。
Spectral Schur analysis of structured moment matrices for quadratic histopolation
本文通过结构矩矩阵的谱施乌尔分析，提出了一种改进二次历史插值稳定性和条件数的方法，利用特征值优化提升全局重建系统的性能。
H2-MG: A multigrid method for hierarchical rank structured matrices
本文提出H2-MG算法，将H2矩阵逼近与多重网格方法结合，用于高效求解含核矩阵的大型系统，兼具时间和内存效率及快速收敛性，并验证了其线性复杂度和有效性。
Rapid factorization of structured matrices via randomized sampling
提出利用随机采样技术，对具有低秩离对角块的结构化矩阵，在O(N k^2)时间内构造所有离对角块的近似低秩分解。
Rank-$1$ matrix differential equations for structured eigenvalue optimization
提出并研究了一种求解大型结构矩阵特征值最优化问题的新方法。考虑的一类最优化问题涉及到计算结构化伪谱及其极值点，以及结构化矩阵接近问题，如计算结构化距离不稳定性或奇异性。该结构可以是一般的线性结构，并且包括例如具有给定稀疏模式的大矩阵、具有给定范围和协范围的矩阵以及哈密尔顿矩阵。值得注意的是，特征值优化可以在复（或实）秩1矩阵的流形上执行，这会显著减少存储量，并且在某些情况下会减少计算成本。该方法依赖于一个约束梯度系统和投影的梯度到切空间的流形的复杂秩- $1$矩阵。结果表明，在局部极小点附近，该投影非常接近恒等映射，因此计算上有利的秩-1投影系统的局部行为类似于计算上昂贵的梯度系统。
Compressing rank-structured matrices via randomized sampling
本文提出通过随机采样高效压缩秩结构矩阵，针对HODLR和HBS矩阵，展示其构造方法及复杂度，简化矩阵运算实现。
An Adaptation for Iterative Structured Matrix Completion
从已知条目的子集预测矩阵的缺失条目的任务被称为\textit{matrix completion}。在当今数据驱动的世界中，数据完成无论是主要目标还是预处理步骤都至关重要。结构化矩阵补全包括数据不是均匀随机丢失的任何设置。在最近的工作中，修改的标准核范数最小化（NNM）矩阵完成已被开发，以考虑到\emph{sparsity-based}结构的缺失条目。这种结构的概念在包括推荐系统在内的许多设置中都是有动机的，其中条目被观察到的概率取决于条目的值。我们建议调整迭代重加权最小二乘（IRLS）算法的低秩矩阵完成，以考虑到稀疏结构的缺失条目。我们还提出了一个迭代的梯度投影为基础的实现算法，可以处理大规模矩阵。最后，我们提出了一个强大的阵列的数值实验矩阵的大小，秩和结构的水平。我们表明，我们提出的方法是与调整后的NNM小尺寸的矩阵，往往优于IRLS算法在结构化设置的矩阵大小$1000 \times 1000$。
Approximated structured pseudospectra
本文提出一种基于选择合适秩一或投影秩一扰动计算矩阵伪谱和结构伪谱的新方法，通过分析特征值敏感性，提升计算效率和洞察力。
Faster Linear Algebra Algorithms with Structured Random Matrices
本文提出遗忘子空间注入（OSI）性质以统一分析结构化随机降维，证明其支撑低秩近似与最小二乘回归，并给出多类OSI矩阵及接近最优的加速效果。
Complexity bounds on neural networks for the solution of structured linear systems of equations
本文研究了ReLU神经网络求解对称正定稀疏矩阵线性方程组的复杂度上限，结合改良Richardson和共轭梯度法特性，提出与矩阵规模和条件数相关的显式层数和神经元数量界限。
Spectral Statistics of Lattice Graph Structured, Non-uniform Percolations
本文研究了晶格图结构非均匀渗流的谱统计特性，利用Girko发展的随机主方程方法，推导出随机图的谱分布的确定性等价分布，并通过模拟验证结果。
Perturbation theory of transfer function matrices
在极小条件下，有理传递函数矩阵$R(λ)$的零点是相关多项式系统矩阵$P(λ)$的特征值。在本文中，我们定义了一个结构的条件数的简单特征值$λ_0$的（局部）极小多项式系统矩阵$P(λ)$，这反过来是一个简单的零$λ_0$的传递函数矩阵$R(λ)$。由于任意有理矩阵都可以表示为多项式系统矩阵的传递函数，我们的分析给出了有理矩阵$R(λ)$简单零点的结构扰动理论。为了捕获$R(λ)$的所有零点，不管它们是否是极点，我们考虑根向量的概念。作为主要结果的推论，我们特别注意$λ_0$不是$R(λ)$的极点的特殊情况，因为在这种情况下，结果变得简单，并且在实际中是有用的.我们还比较了我们的结构化条件数与Tisseur的非结构化条件数的矩阵多项式的特征值，并表明，后者可以无限大。最后，我们通过数值实验证实了我们的分析。
Toeplitz Momentary Symbols: definition, results, and limitations in the spectral analysis of Structured Matrices
GLT序列理论是分析和逼近结构矩阵的奇异值和特征值的有力工具。利用广义似然变换理论，可以导出一个函数，它描述序列的奇异值或特征值分布，后者是在精确假设下的。然而，对于所考虑的序列的矩阵大小的小值，近似可能不如期望的那样好，因为在GLT符号的构造中，忽略了小范数和低秩扰动。另一方面，LFA可以用于以类似的方式为离散化构造多项式符号，其中存在几何信息，但保留小的范数扰动。本文的主要重点是引进的概念序列的“Toeplitz瞬时符号”，与一个给定的序列截断Toeplitz矩阵。我们以与GLT理论相同的方式构造符号，但我们保留了小范数贡献的信息。低秩的贡献仍然被忽视，我们给出了一个想法的原因，为什么这是可以忽略不计的，在某些情况下，为什么它不是在其他情况下，意识到，在存在高的非正态性的相同的低秩扰动可以产生显着的变化的特征值分布。此外，相对于LFA符号的不同之处在于，GLT符号和Toeplitz瞬时符号更一般，并且适用于更大类的矩阵。我们显示的方法，从而导致更高的精度在某些情况下相比，GLT符号的适用性。最后，由于许多应用程序和他们的分析，它往往是必要的，以考虑非正方形Toeplitz矩阵，我们形式化，并提供了一些有用的定义，适用于非正方形Toeplitz瞬时符号。
Transient dynamics under structured perturbations: bridging unstructured and structured pseudospectra
本文提出结构化 ε-稳定性半径概念，将非结构化与结构化伪谱统一到联合伪谱框架中，并设计了基于梯度系统秩1矩阵微分方程的高效算法，计算成本与现有秩1算法相当。
Structured Condition Numbers of Structured Tikhonov Regularization Problem and their Estimations
本文研究了结构化Tikhonov正则化问题的结构化条件数，推导了其显式表达式，并提出快速条件估计算法，通过数值实验验证了结构化条件数的优越性。
Compact representations of structured BFGS matrices
对于一般的大规模最优化问题，存在紧致表示，其中递归拟牛顿更新公式被表示为紧致矩阵分解。对于目标函数包含附加结构的问题，所谓的结构化拟牛顿法利用可用的二阶导数信息和近似不可用的二阶导数。本文给出了两个结构化Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno更新公式的紧致表示。紧凑表示实现了有效的有限存储器和初始化策略。两个有限的内存线搜索算法的描述和测试的问题，包括一个真实世界的大规模成像应用的集合。
Efficient Variational Quantum Linear Solver for Structured Sparse Matrices
提出一种基于替代基和酉补全的高效VQLS方法，解决结构化稀疏矩阵求解中LCU项随矩阵规模二次增长的问题，使张量积项呈对数增长，并设计了高效量子电路。
$O(N)$ distributed direct factorization of structured dense matrices using runtime systems
本文将异步运行时系统 PaRSEC 用于 HSS-ULV 结构化稠密矩阵直接分解，解决层级合并的并行难题，并在 Fugaku 上相对 STRUMPACK 与 LORAPO 取得最高 2 倍加速且精度相当或更优。
sTiles: An Accelerated Computational Framework for Sparse Factorizations of Structured Matrices
本文提出GPU加速框架sTiles，通过tile算法、结构感知任务调度和left-looking Cholesky变体高效分解箭头形稀疏对称矩阵，相比CHOLMOD等实现最高11.08倍加速。
Efficient Quantum Access Model for Sparse Structured Matrices using Linear Combination of Things
针对 PDE 中结构化稀疏矩阵的 LCU 分解项数二次增长问题，提出非酉 Sigma 基及数值/半解析分解方法，并借助酉完备化构建高效量子电路，实现分解规模指数级改进。
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