Structured matrices and inverses
Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota（明尼苏达大学数学及其应用研究所）；Thomson-Sintra（汤姆逊-辛特拉）
本文研究具有小位移秩的结构化矩阵，证明其多种逆（包括秩亏矩阵的Moore-Penrose逆）仍保持结构，从而实现快速求逆与存储优化。
2008-03-16 cs.NA math.NA
Two iterative formulas of largest and smallest singular value of nonsingular matrices
我们得到一个迭代公式，逐步收敛到最小的奇异值。类似地，我们得到了一个递减收敛到最大奇异值的迭代公式。
2022-05-27 cs.NA math.NA
A note on the singular value decomposition of idempotent and involutory matrices
该研究明确了幂等矩阵不同取值奇异值的精确数量，推导了能揭示其左右奇异向量紧密联系的奇异值分解形式，并将相关思路用于补充对合矩阵奇异值的已有研究结果。
2024-03-08 cs.NA math.NA
Inverting the sum of two singular matrices
针对两个奇异矩阵之和 $\widetilde{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\mathbf{e}D\mathbf{f}^*$，论文在秩与可逆性条件下给出两种显式求逆公式，并导出奇异矩阵的行列式引理。
2024-04-05 cs.NA math.NA math.RA
A note on algebraic Riccati equations associated with reducible singular M-matrices
University of Regina（里贾纳大学）
研究可约奇异M矩阵相关代数Riccati方程的最小非负解猜想，提升对求解该解的倍增算法行为的理解
2015-03-24 cs.NA math.NA
Compression Properties for large Toeplitz-like matrices
本文利用位移结构彻底解释了大型类Toeplitz矩阵的压缩性质，为HSS等分层低秩近似中的重要子矩阵提供了数值秩显式界限，并提出了高效的自适应超快速秩结构求解器压缩策略。
2025-06-25 cs.NA math.NA
Newtonian potentials of Legendre polynomials on rectangles have displacement structure
本文提出利用满足显式递推关系的复积分来表示矩形上勒让德多项式的牛顿位势及其梯度，从而完全避免奇异积分求积，并利用递推的位移结构实现快速精确计算。
2025-06-03 cs.NA math.NA
A note on the singular value decomposition of (skew-)involutory and (skew-)coninvolutory matrices
$n \times n$对合矩阵$A$的奇异值$σ>1$成对出现$(σ, \frac{1}σ),$，而奇异值$σ= 1$可以成对出现$(1,1)$或单独出现。奇异值对的左、右奇异向量是紧密相连的。这个环节是用来重新制定的奇异值分解（SVD）的对合矩阵的特征分解。这显示了对合矩阵的奇异值与其特征值之间的一种有趣关系。对于（斜）卷积矩阵的奇异值分解、奇异值和共特征值也有类似的结果.
2019-07-28 cs.NA math.NA
Advances on the recovery of (perturbed) Cauchy matrices
Università di Pisa（比萨大学）；Università degli Studi di Udine（乌迪内大学）
本文提出了一类通用的Cauchy参数恢复算法，并引入基于位移的近似方法，通过数值实验展示了其更高的准确性。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Necessary and Sufficient Criterion for Singular or Nonsingular of Diagonally Dominant Matrices
Department of Computer Science and Technology,Capital University of Economics and Business（首都经济贸易大学计算机科学与技术学院）
本文提出对对角占优矩阵奇异性的必要和充分条件，通过角度方程组和相似性分析，结合网络动力系统等应用，解决矩阵奇异性的判定问题。
2025-11-29 cs.NA math.DS math.NA
On the smallest singular value of multivariate Vandermonde matrices with clustered nodes
本文证明了节点在复单位圆上的多元矩形范德蒙矩阵的最小奇异值的下界。节点是“离网”的，节点组群集，并且所研究的最小奇异值由节点到特定群集中的所有其他节点的反向距离的乘积来界定。通过还提供最小奇异值的上界，这完全解决了单变量情况和多变量情况下的节点对，两者都包括合理的尖锐常数。对于较大的集群，我们表明，最小的奇异值也取决于集群内的几何配置。
2019-07-16 cs.NA math.NA
A harmonic Lanczos bidiagonalization method for computing interior singular triplets of large matrices
School of Science, Dalian Nationalities University（大连民族学院理学院）
提出调和Lanczos双对角化方法计算大型矩阵内部奇异三元组，证明在特定条件下近似奇异三元组收敛，并结合隐式重启技术开发算法，数值实验验证其高效性。
2010-01-19 cs.NA math.NA
A Fast Algorithm for the Inversion of Quasiseparable Vandermonde-like Matrices
本文提出快速高斯消去算法，用于求解多项式Vandermonde-like矩阵，并进一步推导出准分离、半分离和well-free矩阵的快速求逆算法，复杂度为O(n²)。
2014-01-09 cs.NA cs.SC math.NA
Numerical methods for accurate computation of the eigenvalues of Hermitian matrices and the singular values of general matrices
本文综述了计算埃尔米特矩阵特征值和一般矩阵及几类结构矩阵奇异值的数值方法。重点是方法背后的主要原则，即使在传统方法条件不佳的情况下，也能保证高精度。首先，它示出了一个特定的结构中的误差在一个有限精度的算法的实现允许一个更好的措施的灵敏度和高精度的计算是可能的，尽管一个大的经典条件数。这种由有限精度计算引起的结构化误差在某些算法中是例如条目方向或列方向小的，这比通常认为的仅当在Frobenius矩阵范数中测量时一般小的误差好得多。专门定制的扰动理论，这种结构的扰动埃尔米特矩阵保证更好的界限，相对误差的计算特征值。其次，我们回顾了一种非传统的方法来精确计算的奇异值和特征值的一些臭名昭著的病态结构矩阵，例如，柯西，范德蒙和汉克尔矩阵。精确算法的显著特征是使用定义这种矩阵的内参数来获得非正交因子分解，例如\textsf{LDU}因子分解，然后计算由此计算的因子的乘积的奇异值。最先进的软件的状态进行了讨论。
2020-06-04 cs.NA math.NA
A Hierarchical Singular Value Decomposition Algorithm for Low Rank Matrices
Indian Institute of Technology-Madras（印度马德拉斯理工学院）
本文提出了一种基于树结构的合并-截断算法，用于高效计算低秩矩阵的截断奇异值分解，该方法适用于任意大小的矩阵，且在单核运行时能显著提升速度，误差通常低于3%。
2019-05-10 cs.NA math.NA
Existence of $\mathcal{H}$-matrix approximants to the inverse of BEM matrices: the hyper-singular integral operator
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
研究超奇异积分算子在闭合曲面上的离散化，证明对应系统矩阵的逆可被分块低秩矩阵以指数速率近似，涵盖$\mathcal{H}$-矩阵的数据稀疏格式，针对两种离散化方法证明近似结果。
2015-03-06 cs.NA math.NA
Verified error bounds for the singular values of structured matrices with applications to computer-assisted proofs for differential equations
本文提出两种验证结构化矩阵$R^{-H}AR^{-1}$奇异值的方法：一种用SVD计算因子验证所有奇异值，另一种无需SVD估计最小奇异值下界，且在微分方程解验证中高效解决了原计算耗时与内存问题。
2025-02-14 cs.NA math.NA
A note on the hyperbolic singular value decomposition without hyperexchange matrices
本文给出了一种新的双曲型奇异值分解（HSVD）公式，它适用于任意复（或实）矩阵，且不含超交换矩阵和冗余不变参数。在我们的公式中，我们只使用伪酉（或伪正交）矩阵的概念。我们表明，计算HSVD在一般情况下减少到计算的特征值，特征向量和广义特征向量的一些辅助矩阵。新配方更自然，对某些应用程序更有用。它自然包括普通的奇异值分解。
2020-05-03 cs.NA math-ph math.MP
Takagi factorization of matrices depending on parameters and locating degeneracies of singular values
本文研究参数依赖矩阵的Takagi分解，给出光滑性与一般性结果，证明奇异值为零或重数时的余维数为2，并开发数值方法定位参数空间中的简并点，研究其密度。
2021-10-29 cs.NA math.NA
Fast, High-Accuracy, Randomized Nullspace Computations for Tall Matrices
University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；EPF Lausanne（洛桑联邦理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出RLOBPCG方法，通过随机预处理与LOBPCG结合，高效计算高矩阵的最小奇异向量，实现高精度和速度提升。
2026-02-18 cs.NA math.NA
Factorized sparse approximate inverse preconditioning for singular M-matrices
TU Berlin, Institut für Mathematik（柏林工业大学数学研究所）
本文提出了一种因子化稀疏近似逆预条件方法，用于处理奇异M矩阵，证明了该方法在特定非零模式限制下的有效性及性质。
2025-12-25 cs.NA math.NA
Phase Factors in Singular Value Decomposition and Schmidt Decomposition
在复矩阵A的奇异值分解（SVD）中，奇异向量或特征向量Af和Af A对于复相位因子是唯一的。因此，SVD中的两个酉矩阵直到相位因子的对角矩阵（相位因子矩阵）是唯一的。此外，这两个相位因子矩阵的积，或具有相同奇异值的相应奇异向量的相位因子的积，是唯一的。在施密特分解中，相位因子矩阵是单独作用于子系统的相位旋转算子。我们在这里总结了三个简单的步骤，以一致地执行SVD和施密特分解，包括相位因子。
2022-03-23 cs.NA math.NA quant-ph
An Algorigtm for Singular Value Decomposition of Matrices in Blocks
提出两种块矩阵奇异值分解方法（经济分解和全分解），避免处理大于最大块的矩阵，适用于矩阵规模受限场景，并在文档-术语矩阵上验证。
2008-06-07 cs.IR cs.NA math.AC
Clusters in Markov Chains via Singular Vectors of Laplacian Matrices
假设$T$是一个随机阵。我们提出了一个算法，用于识别与$T$相关的马尔可夫链中的簇。该算法本质上是递归的，为了识别簇，它使用与拉普拉斯矩阵$I-T.$的第二小奇异值相关联的左奇异向量的符号模式。我们证明了一些结果，证明了算法的方法，并说明了算法的性能与几个数值例子。
2021-08-28 cs.DM cs.DS cs.NA
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
Recycling Randomness with Structure for Sublinear time Kernel Expansions
Google（谷歌）
本文提出通过结构矩阵近似各种核函数的方法，扩展了快速食品构造，并通过理论分析和实验验证了结构化矩阵在提升核方法性能中的有效性。
2016-05-29 cs.LG cs.NA math.NA
