Perturbation bounds of eigenvalues of Hermitian matrices with block structures
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
本文通过特征向量分量大小与特征值敏感性的关系，推导了块结构Hermitian矩阵特征值的分量扰动界，并解释了Wilkinson矩阵的极端特征值现象及对称三对角QR算法中激进早期收缩的效率。
2010-08-31 cs.NA math.NA
The Power Method for Non-Hermitian Dual Quaternion Matrices
本文提出非正交双四元数矩阵的幂方法，通过新Jordan-like分解解决理论难题，并通过实验验证其有效性。
2025-12-01 cs.NA math.NA
Eigenvalues of Dual Hermitian Matrices with Application in Formation Control
本文提出补充矩阵方法计算对偶Hermitian矩阵特征值，并将其与单位增益图理论结合，为多智能体编队控制中的相对构型可行性问题提供跨学科求解途径。
2024-04-01 cs.NA math.NA math.RA
Improved power methods for computing eigenvalues of dual quaternion Hermitian matrices
针对对偶四元数埃尔米特矩阵特征值计算问题，提出三种改进算法，解决了原有幂法收敛慢、特定场景失效的问题，在多智能体编队控制相关计算中展现出更优的精度与速度。
2025-05-21 cs.NA math.NA
Preconditioned eigensolvers for large-scale nonlinear Hermitian eigenproblems with variational characterizations. II. Interior eigenvalues
Temple University（天普大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；University of Louisiana at Lafayette（拉斐特路易斯安那大学）
本文提出预条件局部最小余数方法，高效计算非线性赫尔米特特征问题的内部特征值，通过改进的瑞利-里茨投影构建搜索子空间，实现鲁棒收敛。
2015-04-10 cs.NA math.NA
Generic eigenstructures of Hermitian pencils
我们得到了秩至多为$r$（含$r\leq n$）的复Hermitian $n\times n$矩阵束的一般完全特征结构.为了做到这一点，我们证明了这样的铅笔的集合是一个有限数量的丛闭包的联合，其中每个丛是一组复杂的厄米特$n\times n$铅笔具有相同的完整的本征结构（有限本征值的特定值）。我们还得到了这类丛的显式个数及其余维数。对应于一般厄米特束的$r=n$和$r<n$的情况表现出令人惊讶的差异，因为对于$r<n$，一般的完全本征结构只能包含实本征值，而对于$r=n$，它们可以包含实和非实本征值。此外，我们将看到实本征值的符号特征对于确定厄米束的一般本征结构起着相关的作用。
2022-09-21 cs.NA math.NA
Verified eigenvalue and eigenvector computations using complex moments and the Rayleigh$\unicode{x2013}$Ritz procedure for generalized Hermitian eigenvalue problems
提出了一种计算广义厄米特本征值问题区域内本征值及相应本征向量的方法。该方法利用复数矩从随机矩阵中提取感兴趣的特征分量，并利用Rayleigh $\unicode{x2013}$ Ritz过程将给定的本征值问题投影为约化的本征值问题。复矩由围道积分给出，并使用数值积分进行近似。我们将复矩中的误差分成正交的截断误差和舍入误差，并对每一个进行评估。这种误差评估的思想继承了我们以前的汉克尔矩阵方法，而所提出的方法使验证的特征向量，并需要一半的正交点的数量为以前的方法，以减少相同的顺序的截断误差。此外，Rayleigh $\unicode{x2013}$ Ritz过程方法形成能够验证特征向量的变换矩阵。数值实验表明，该方法是比以前的方法更快，同时保持验证性能和工程几乎奇异矩阵束和存在多个和几乎多个特征值。
2022-10-25 cs.NA math.NA
Numerical Optimization of Eigenvalues of Hermitian Matrix Functions
Koç University（科奇大学）
针对在盒子区域内解析依赖于参数的厄米矩阵值函数，提出一种基于分段二次下界函数的全局最小化算法，并证明其全局收敛性，有效用于极端特征值（如最大特征值或指定数量最大特征值之和）的优化。
2016-05-10 cs.NA math.NA
A Thick-Restart Lanczos algorithm with polynomial filtering for Hermitian eigenvalue problems
Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；University of Minnesota, Twin Cities（明尼苏达大学双城分校）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出结合厚重启兰茨斯算法、消去技术与新多项式滤波器，用于高效计算实对称或复埃尔米特矩阵在指定区间内的全部特征值及特征向量。
2015-12-26 cs.NA math.NA
Fast non-Hermitian Toeplitz eigenvalue computations, joining matrix-less algorithms and FDE approximation matrices
本文研究了Toeplitz矩阵$T_{n}(a)$的特征值渐近展开式，该矩阵的生成函数$a$是复值的，且在一点上具有幂奇异性.因此，$T_{n}(a)$是非厄米的，我们知道，在非厄米设置为大尺寸的特征值计算是一个不平凡的任务。我们遵循的工作Bogoya，Böttcher，Grudsky和Maximenko和推导出一个完整的渐近展开的特征值。在此之后，我们应用无矩阵算法，在Ekström，Furci，Garoni，Serra Capizzano等人的工作精神，计算这些特征值。由于内特征值和极端特征值具有不同的渐近行为，我们分别对它们进行了研究，并将结果结合起来，产生了一个高精度的全局数值和无矩阵算法。数值结果是非常精确的，所提出的算法的计算成本是独立的考虑矩阵的大小为每个特征值，这意味着一个线性成本时，所有的频谱计算。从实际应用的角度出发，我们强调所考虑的矩阵类包括源于分数阶扩散方程的数值逼近的矩阵。在最后的结论部分简要讨论了这一问题和一些开放的问题。
2022-11-28 cs.NA math.NA
Combined perturbation bounds for eigenstructure of Hermitian matrices and singular structure of general matrices
本文基于光滑分解和初等微积分技巧，推导出了Hermite矩阵特征值与特征空间或一般矩阵奇异值与奇异子空间的联合扰动界。
2025-09-12 cs.NA math.NA
The Nearest Hermitian Inverse Eigenvalue Problem Solution with Respect to the 2-Norm
Indian Institute of Technology Mandi（印度理工学院曼迪分校）；Technical University of Berlin（柏林工业大学）
本文研究在给定埃尔米特矩阵的特征值和给定埃尔米特矩阵的情况下，如何找到最接近给定算子的埃尔米特矩阵，通过随机矩阵和灰度图像测试其平滑特性。
2017-03-02 cs.NA math.NA math.RA
Fast randomized non-Hermitian eigensolver based on rational filtering and matrix partitioning
本文给出了一组计算非埃尔米特矩阵束的特征值（及相关特征向量）的有理滤波算法。我们的兴趣在于计算位于一个给定的磁盘内的特征值，和所提出的算法近似这些特征值和相关的特征向量的谐波Rayleigh-Ritz投影的子空间通过计算范围空间的有理矩阵函数通过随机测距仪。这些有理矩阵函数被设计为使得与非寻求特征值相关联的方向被阻尼到（近似）零。引入基于矩阵划分的变体，以进一步降低所提出的框架的整体复杂性。与现有的基于有理矩阵函数的特征值求解器相比，所提出的技术不需要估计位于磁盘内的特征值的数量。一些理论和实际问题进行了讨论，并通过数值实验证明了所提出的框架的竞争力。
2021-03-08 cs.NA math.NA
On the condition numbers of a multiple generalized eigenvalue
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文研究广义特征值问题中多重特征值的条件数，发现即使在Hermitian正定情况下，多重特征值通常也有多个条件数，并用左右特征向量外积的奇异值来刻画。
2011-07-12 cs.NA math.NA
Local convergence behavior of extended local optimal block preconditioned conjugate gradient method for computing eigenvalues of Hermitian matrices
Tsinghua University（清华大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
本文分析了改进的局部最优预条件共轭梯度法在计算Hermitian矩阵极值特征值时的局部收敛行为，提出了新的收敛速率分析方法，改进了现有研究成果，并扩展到广义问题。
2026-03-20 cs.NA math.NA
Generalized Jacobi Method for Computing Eigenvalues of Dual Quaternion Hermitian Matrices
本文将雅可比方法推广用于计算对偶四元数埃尔米特矩阵的所有特征对，提出带消元策略的改进版及针对特定特征值的三步雅可比方法，证明了收敛性与有限终止性，实验表明算法有效稳定且优于幂法和瑞利商迭代法。
2024-06-25 cs.NA math.NA
A hybrid Hermitian general eigenvalue solver
Swiss National Supercomputing Centre（瑞士国家超算中心）；University of Tennessee（田纳西大学）
针对材料科学和化学中需多次求解中型厄米特广义特征值问题，提出一种基于标准特征值求解器的混合GPU-CPU算法，显著优于现有库。
2012-07-07 cs.NA math.NA
Randomized algorithms for Generalized Hermitian Eigenvalue Problems with application to computing Karhunen-Loève expansion
Stanford University（斯坦福大学）
本文提出随机算法求解广义Hermitian特征值问题，避免计算B的平方根，提供收敛分析和误差界，并应用于计算Karhunen-Loève展开。
2015-05-12 cs.NA math.NA
Verified partial eigenvalue computations using contour integrals for Hermitian generalized eigenproblems
本文提出了一个厄米特广义特征值问题的部分特征值的计算方法。块Sakurai-Sugiura Hankel方法是一种轮廓积分型特征值求解器，它可以将给定的特征值问题转化为块Hankel矩阵的广义特征值问题，块Hankel矩阵的元素由复数矩组成.在这项研究中，我们评估计算复杂的时刻的所有错误。我们推导出正交的截断误差界。然后，我们考虑到数值误差的正交和严格封闭的块汉克尔矩阵的条目。每个正交点产生一个线性系，它的结构使我们能够开发一种有效的技术来验证近似解。数值实验表明，所提出的方法优于标准方法，并推断所提出的方法是潜在的有效的并行。
2019-09-25 cs.NA math.NA
Model Order Reduction for Parametric Hermitian Eigenvalue Problems: Local High-Order Approximation with Taylor-Reduced Basis Method
Institute of Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）
本文提出泰勒降阶基方法（Taylor-RBM）用于高效近似大规模参数Hermitian矩阵的特征空间，通过捕捉参数域参考点的谱投影导数信息构建近似空间，并分析其误差，提供高效组装泰勒降阶基空间的流程，结合经典多变量解析扰动理论进行谱近似分析。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a locally accelerated preconditioned steepest descent method for Hermitian-definite generalized eigenvalue problems
Peking University（北京大学）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文通过扩展经典分析技术，证明了预处理最速下降法在求解Hermitian-正定广义本征值问题中的收敛性，并推导了非渐近收敛率估计。
2016-05-30 cs.NA math.NA
A Two-level Filtered Subspace Iterative Method for Generalized Hermitian Interior Eigenvalue Problems
Xiangtan University（湘潭大学）
提出TLFSI方法，结合两级与滤波子空间迭代，高效计算广义Hermitian内部特征值问题中指定区间内的所有特征对，理论分析与数值实验验证其有效性。
2026-10-06 cs.NA math.NA
Inertia laws and localization of real eigenvalues for generalized indefinite eigenvalue problems
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Department of Mathematical Sciences, University of Essex（埃塞克斯大学数学科学系）
本文研究了广义不定特征值问题在合同变换下的惯性变化，推导出精确界，表明单个矩阵的惯性仍能提供关于特征值的有用信息，尤其当其中一个矩阵近似定义时。
2017-11-01 cs.NA math.NA
On the equivalence of the Hermitian eigenvalue problem and hypergraph edge elimination
通常用相应的邻接图或关联图来标识稀疏矩阵。对于使用高斯消去法的线性方程组的解，通过其邻接图的表示允许符号计算，该符号计算可用于预测存储器占用，并且使得能够基于几何学确定接近最优的消去排序。另一方面，厄米特本征值问题由于其固有的迭代性质，乍一看似乎回避了这种处理。在本文中，我们证明这一论断是错误的，通过显示等价的厄米特本征值问题的符号边缘消除过程。基于矩阵的关联图的符号计算可以类似于高斯消去法的符号阶段来使用，以开发减少存储器占用和计算的算法。然而，我们也表明，一个最佳的消除策略的问题仍然是NP难的，在类比的线性系的情况下。
2020-03-06 cs.NA math.CO math.NA
On the convergence of orthogonalization-free conjugate gradient method for extreme eigenvalues of Hermitian matrices: a Riemannian optimization interpretation
本文证明求解无约束 Burer-Monteiro 公式的非线性共轭梯度法等价于 Bures-Wasserstein 度量下商流形上的黎曼共轭梯度法，从而证明其全局收敛性，并通过数值实验验证了其在大规模厄米矩阵极端特征值计算中的高效性。
2023-12-02 cs.NA math.NA math.OC
Eigenvalues of non-hermitian matrices: a dynamical and an iterative approach. Application to a truncated Swanson model
我们提出了两种不同的策略，找到一个给定的，不一定是埃尔米特，矩阵$A$的特征值和特征向量。我们的方法也适用于复杂的本征值的情况下，有趣的应用物理学，特别是伪厄米量子力学的战略。我们首先考虑一个{ \em动态}的方法，根据一对常微分方程定义的矩阵$A$和它的伴随$A^\dagger$。然后，我们考虑一个扩展的所谓的权力的方法，我们证明了一个不动点定理的$A\neq A^\dagger$有用的特征值的$A$和$A^\dagger$的测定。这两种策略被应用到一些明确的问题。特别是，我们计算的特征值和特征向量的矩阵所产生的最近提出的量子力学系统，{ \em截断斯旺森模型}，我们检查的Hessenberg矩阵的一些渐近特性。
2020-02-12 cs.NA math-ph math.MP
Solving generalized eigenvalue problems by ordinary differential equations on a quantum computer
在实际中出现的许多特征值问题通常具有广义形式$A\x=λB\x$。一个特别重要的情况是对称的，即$A, B$是埃尔米特的，而$B$是正定的。求解这类特征值问题的标准算法是将它们归结为厄米特特征值问题。在量子计算机中，量子相位估计是解决厄米特本征值问题的一种有效方法。在这项工作中，我们提出了一个新的量子算法的对称广义本征值问题使用常微分方程。该算法比基于量子相位估计的标准算法具有更低的复杂度。此外，它适用于比对称更广泛的情况：$B$是可逆的，$B^{-1}A$是对角化的，所有的特征值都是实数。
2021-10-19 cs.NA math.NA quant-ph
A Parallel Direct Eigensolver for Sequences of Hermitian Eigenvalue Problems with No Tridiagonalization
本文提出了一种不带三对角化的Hermitian本征值问题序列的并行直接特征求解器，记作\texttt{PDESHEP}，它将直接方法和迭代法结合起来。\texttt{PDESHEP}首先将埃尔米特矩阵约简为带状形式，然后对带状矩阵进行谱切片，最后通过反变换计算原矩阵的特征向量。因此，与传统的直接特征值求解器相比，\texttt{PDESHEP}避免了三对角化，这包括许多内存有界的操作。在这项工作中，迭代方法在\texttt{PDESHEP}是基于轮廓积分方法实现的FEAST。带状矩阵的直接法和迭代法的结合需要一些有效的数据重分布算法，从二维到一维和从一维到二维的数据结构。因此，提出了一些两步数据重新分配算法，其可以是$10\times$比ScaLAPACK例程\texttt{PXGEMR2D}更快。对于对称自洽场（SCF）本征值问题，当使用$4096$过程时，\texttt{PDESHEP}的平均速度比ELPA中最先进的直接求解器快$1.25\times$.从实际应用中获得的稠密埃尔米特矩阵和SuiteSparse集合中的大型实数稀疏矩阵的数值结果。
2022-03-18 cs.MS cs.NA math.NA
A thick-restart Lanczos type method for Hermitian $J$-symmetric eigenvalue problems
针对Hermitian $J$ -对称矩阵提出了一种厚重启动Lanczos型算法.由于Hermitian $J$ -对称矩阵具有双重退化谱或双重重特征值，且退化特征向量之间具有简单的关系，我们可以通过将Krylov子空间的搜索空间限制在由每对退化特征向量对中的一个构成的搜索空间来改善Lanczos算法的收敛性.我们表明，Lanczos迭代是兼容的$J$ -对称性，使子空间可以分为两个子空间是相互正交的。该算法在两个子空间中的一个子空间中搜索特征向量，而不需要重数。与它们配对的其他特征向量可以通过$J$ -对称性的简单关系容易地重构。我们测试我们的算法随机生成的小密集矩阵和稀疏的大矩阵源自量子场论。
2020-09-11 cs.NA hep-lat math.NA
Exponential quantum advantages for practical non-Hermitian eigenproblems
针对现有非厄米物理研究多局限于经典可解体系、量子计算在该领域应用不足的问题，本文提出结合模糊量子本征值检测器与分治策略的量子算法，可高效求解复平面给定直线附近的非厄米本征值，实现可证明的指数级加速，可应用于PT对称破缺探测等多个领域。
2025-10-03 cond-mat.mes-hall cs.DS cs.NA
