Complexity of Computing Quadratic Nonresidues
N. A. Carella
本文给出了在特征为p的有限域上构造二次非剩余的新方法，并证明了在有限域上构造二次非剩余存在一个有效的确定性多项式时间算法.
This note provides new methods for constructing quadratic nonresidues in finite fields of characteristic p. It will be shown that there is an effective deterministic polynomial time algorithm for constructing quadratic nonresidues in finite fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Sums of Quadratic residues and nonresidues
众所周知，当素数$p$全等于1模4时，二次剩余之和等于二次非剩余之和。本文对$p$全等于3模4的情形给出了类似的结果。
Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue
众所周知，在短特征和中的消去（例如Burgess的估计）产生最小二次非剩余的界。自Burgess的工作以来，短特征标和的研究进展甚微，因此寻找一种新的方法来研究非剩余数是很有必要的。本说明的目标是通过长字符和来展示一种新的攻击方法，这是目前活跃的研究领域。在其他结果中，我们证明了在Pólya-Vinogradov不等式中改进常数将导致非剩余的重大进展。此外，在长字符和猜想的条件下，我们证明了任何奇原始字符（mod $k$）的最小非剩余是有界的$(\log k)^{1.4}$。
Shortest Distance in Modular Hyperbola and Least Quadratic Nonresidue
在本文中，我们研究如何小盒包含至少两个点从一个模双曲线$x y \equiv c \pmod p$。边长为$p^{1/4 + ε}$的正方形中有两个这样的点。此外，还证明了边长为$p^{1/6 + ε}$的正方形中有两个这样的点，或者最小二次非剩余小于$p^{1/(6 \sqrt{e}) + ε}$。
On Taking Square Roots without Quadratic Nonresidues over Finite Fields
我们提出了一个新的想法来计算平方根有限域，没有被赋予任何二次非剩余，没有假设任何未经证明的假设。算法是确定性的，证明是初等的。在某些情况下，平方根算法在具有$q$元素的有限域上以$\tilde{O}(\log^2 q)$位运算运行。作为应用，我们构造了一个确定性素性证明算法，该算法在$\tilde{O}(\log^3 N)$中运行，对某些整数$N$。
Exact Frequencies of Consecutive Quadratic Residue and Nonresidue Patterns Modulo a Prime
研究模奇素数\(p\)时长度为二和三的连续二次剩余与非剩余模式的精确频率，利用有限域特征和基本性质推导计数公式，对的频率由\(p \pmod 4\)分类，三元组频率依赖\(p \pmod 8\)及雅可比和\(T_p\)。
Quadratic nonresidues below the Burgess bound
对于任何奇素数$p$，令$(\cdot|p)$是勒让德符号，并且令$n_1(p)<n_2(p)<\cdots$是模$p$的正非剩余序列，即，每个PDMATHBMQ的$(n_k|p)=-1$。1957年，Burgess证明了上界$n_1(p)\ll_εp^{(4\sqrt{e})^{-1}+ε}$对任何固定的$ε>0$成立。本文证明了强界$$ n_k(p)\ll p^{(4\sqrt{e})^{-1}}\exp\big(\sqrt{e^{-1}\log p\log\log p}\,\big) $$对所有奇素数$p$成立，其中隐含常数是绝对的，条件是$$ k\le p^{(8\sqrt{e})^{-1}} \exp\big(\tfrac12\sqrt{e^{-1}\log p\log\log p}-\tfrac12\log\log p\big). $$对于固定的$ε\in(0,\frac{π-2}{9π-2}]$，我们还证明了存在一个数$c=c(ε)>0$，使得对于所有奇素数$p$和$θ\in\{\pm 1\}$的任一选择，存在具有$(n|p)=θ$的$\gg_εy/(\log y)^ε$自然数$n\le y$，条件是$$ y\ge p^{(4\sqrt{e})^{-1}}\exp\big(c(\log p)^{1-ε}\big). $$
Logarithmic derivatives of L-functions and small prime quadratic nonresidues
本文证明模素数$q$的实非主特征的$L$-函数对数导数上界，并由此推出存在至少$q^{3/50}$个小于$q$的素数$p$满足$χ(p)=-1$。
An Unconditional Improvement to the Running Time of the Quadratic Frobenius Test
在2006年的一篇论文中，Damgård和Frandsen设计了一个更快的二次Frobenius检验版本。这个测试假设扩展的黎曼假设，以找到小的nonresidues，它允许建设的二次扩张与更快的算术。在本文中，我描述了一个版本的测试使用小nonresidues，不假设任何未经证实的假设。
The Elliott-Halberstam conjecture implies the Vinogradov least quadratic nonresidue conjecture
对于每个素数$p$，令$n(p)$表示模$p$的最小二次非剩余。Vinogradov证明了每个固定$\eps>0$的$n(p) = O(p^\eps)$。该猜想源自广义黎曼假设，并且已知对几乎所有素数$p$都成立，但总体上仍然开放。在本文中，我们表明，维诺格拉多夫的猜想也遵循从埃利奥特-Halbernovel猜想的分布在等差数列的素数，从而提供了一个潜在的“非乘法”路线维诺格拉多夫猜想。我们还给出了这个参数的一个变体，该参数从张最近介绍的类型的“II型”估计中获得短中心字符和的界限，并通过Polymath项目进行改进，或者从高阶除数函数的变体上的分布水平的界限。特别是，如果我们有分布水平高于$2/3$（当导体不是无立方的）或$3/4$（如果导体是无立方的）的II型估计，我们可以得到比伯吉斯界更好的结果;从道德上讲，如果我们有分布水平分别高于$2/3$或$3/4$的第三或第四除数函数$τ_3, τ_4$的估计，我们也可以得到这样的结果。最后给出了最小原根的一些应用。
On Taking r-th Roots without r-th Nonresidues over Finite Fields and Its Applications
我们首先显示了一个确定性的算法采取$r$ -th根在$\F_q$没有被给予任何$r$ -th非剩余，其中$\F_q$是一个有限域的$q$元素和$r$是一个小素数，使$r^2$除$q-1$。作为应用，我们给出了在$\F_q$上构造$r$次非剩余、构造本原元、求解多项式方程和计算椭圆曲线“$n$次根”的确定性算法，以及广义Proth数的确定性素性检验.所有的算法都是在不假设任何未经证明的假设的情况下证明的。只有当$q-1$上的所有因子都很小，并且在$\F_q$上可以有效地构造一些原单位根时，它们才是有效的。在某些情况下，它们是已知的确定性算法中最快的。
Convolutions with probability distributions, zeros of L-functions, and the least quadratic nonresidue
假设$d$是一个概率分布。在某些温和的条件下，我们证明了$$ \lim_{x\to\infty}x\sum_{n=1}^\infty \frac{d^{*n}(x)}{n}=1,\qquad\text{where}\quad d^{*n}:=\underbrace{\,d*d*\cdots*d\,}_{n\text{ times}}. $$对于紧支撑分布$d$，我们证明了，如果$c>0$是一个给定的常数和函数$f(k):=\widehat d(k)-1$不为零的线$\{k\in{\mathbb C}:\Im\,k=-c\}$，其中$\widehat d$是$d$的傅里叶变换，那么一个有渐近展开$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{d^{*n}(x)}{n}=\frac{1}{x}\bigg(1+\sum_k m(k) e^{-ikx}+O(e^{-c x})\bigg)\qquad (x\to +\infty), $$，其中的总和是在那些零$k$的$f$，位于带$\{k\in{\mathbb C}:-c<\Im\,k<0\}$，$m(k)$是任何这样的零的重数，并且隐含的常数仅取决于$c$。对于一个给定的这种类型的分布$d$，我们简要地描述了在下半平面$\{k\in{\mathbb C}:\Im\,k<0\}$的$f$的零$k$的位置。对于奇素数$p$，令$n_0(p…
Elliptic Curve Variants of the Least Quadratic Nonresidue Problem and Linnik's Theorem
本文在 GRH 及对称幂 L 函数函子性假设下，证明椭圆曲线 Frobenius 迹符号相反或落入指定 Sato-Tate 区间的素数显式上界，改进 Bucur–Kedlaya 结果。
Irreducibility and r-th root finding over finite fields
构造有限域上的$r$次非剩余是一个基本的计算问题.一个相关的问题是在给定的特征为$p$的有限域$\mathbb{F}_q$上构造一个次数为$r^e$的不可约多项式（其中$r$是素数）（等价地，构造更大的域$\mathbb{F}_{q^{r^e}}$）。这两个问题都有著名的随机算法，但去随机化是一个开放的问题。我们给出了这两个问题及其变体之间的一些新的联系。1897年，Stickelberger证明了如果一个多项式有奇数个偶数次因子，那么它的判别式是域上的二次非剩余。我们给出了Stickelberger引理的一个推广，我们从一个有$d$的多项式$f$中构造了$r$ -th非剩余，使得$r|d$和$r\nmid\,$ #（$f(x)$的不可约因子）.我们的定理有以下有趣的结果：（1）如果$m$是一个$r$ -幂且$f$已知，我们可以在确定性的多（deg（$f$），$m\log q$）-时间中构造$\mathbb{F}_{q^m}$;（2）如果$r$是常数且$r|\gcd(m,p-1)$已知，我们可以在确定性的多（$m\log p$）-时间中找到$\mathbb{F}_{p^m}$的$r$ -次根.我们还讨论了一个比广义黎曼假设弱得多的猜想，得到了$r$ -次根的确定性多时间算法。
A fast amortized algorithm for computing quadratic Dirichlet $L$-functions
本文给出了一个计算多个二次特征标的Dirichlet $L$ -函数的算法。该算法是最佳的（对数因子）提供的考虑中的字符的导体跨越一个二元窗口。
Computing with quadratic forms over number fields
本文给出数域上二次型计算理论的基本算法。在本文的第一部分中，我们提出了算法检查，如果一个给定的非退化二次型在一个固定的数域是各向同性（分别局部各向同性）或双曲（分别局部双曲）。其次给出了计算二次型各向异性部分维数的方法。论文的第二部分致力于计算两个域不变量：水平和毕达哥拉斯数的算法。最后，我们提出了一个算法验证是否两个数域同构的Witt环（即Witt等价）。
Computing L-Functions of Quadratic Characters at Negative Integers
我们调查了一些不同的方法来计算$L(χ,1-k)$的狄利克雷字符$χ$，特别强调二次字符。主要结论是，当$k$不太大（例如$k\le100$）时，最好的方法是使用半积分权的Eisenstein级数，而当$k$很大时，最好的方法是使用全函数方程，除非$χ$的导体真的很大，在这种情况下，前一种方法再次占上风。
Computing $p$-Class Group Structure in Real Quadratic Fields: A New Approach
本文提出了一种新方法，用于计算实二次域的p-类群结构，扩展了希尔伯特类域理论并建立了类域理论与理想类之间的联系。
Computing integral points on hyperelliptic curves using quadratic Chabauty
给出了奇次超椭圆曲线上亏格等于其雅可比行列式的Mordell-Weil秩的有理数上整点的计算方法。我们的方法包括一个组合的$p$ -进近似技术在以前的工作中介绍了Mordell-Weil筛
Computing quadratic subfields of number fields
给定一个数域，如何确定它的所有子域是算法数论中的一个重要问题。如果搜索仅限于交换子域，则可以尝试使用类域理论来确定它们。为此，有必要知道分歧素数。我们证明了该子域的分歧素数可以有效地计算。利用这些信息，我们给出了算法，以确定所有的二次和循环立方子域的初始字段。该方法推广到素数度循环子域。在二次子域的情况下，我们的方法比其他方法快得多。
Computing points on bielliptic modular curves over fixed quadratic fields
本文提出 Mordell-Weil 筛，用于计算固定二次域上若干双椭圆模曲线 $X_0(N)$ 的点，并考察八个水平及 $|d|<100$ 的二次域。
Algorithms for computing maximal lattices in bilinear (and quadratic) spaces over number fields
在本文中，我们描述了一个算法，快速计算一个极大a值格在F-向量空间配备了一个非退化的双线性型，其中a是一个分式理想在数域F。然后，我们应用这个结构，给出了一个算法来计算一个a-极大格的二次空间在任何数域F的素数2是unramified。我们还发展了a值二次格在O_F的任意素数p处的p-邻元理论（包括当p| 2）并证明了它与模p的二次曲面的剩余几何的密切联系。最后，我们给出了p-邻格和精确质量公式在计算（全定）二次O_F-格的一个亏格中的类的代表集的著名应用。
Algorithms for quadratic forms over global function fields of odd characteristic
本文将arXiv：1304.0708中数域上的二次型的最新算法推广到具有奇特征的全局函数域上.首先，我们给出了判定一个给定的非退化二次型是迷向型还是双曲型的算法。其次，我们设计了一种计算二次型各向异性部分维数的方法。最后，我们提出了算法计算两个领域的不变量：水平和毕达哥拉斯数。
Computing Dirichlet character sums to a power-full modulus
Postnikov特征公式用于表示狄利克雷特征和的大部分二次指数和。二次和，然后计算使用的分析算法，以前推导出的作者。如果模数足够平滑，则这导致功率节省。作为应用，给出了一种计算复杂度指数为1/3且模足够光滑的Dirichlet L-函数的快速实用方法.
Computing relative power integral bases in a family of quartic extensions of imaginary quadratic fields
令$M$是具有整数环$\mathbb{Z}_{M}$的虚二次域，并且令$ξ$是多项式$$f\left( x\right) =x^{4}-2cx^{3}+2x^{2}+2cx+1,$$的根，其中$c\in\mathbb{Z}_{M},$ $c\notin\left\{ 0,\pm2\right\}$。我们考虑一个无限族的octic域$K_{c}=M\left( ξ\right)$的整数环$\mathbb{Z}_{K_{c}}.$我们的目标是确定所有的生成元的相对功率积分基$\mathcal{O=}\mathbb{Z}_{M}\left[ ξ\right]$在$\mathbb{Z}_{M}.$我们表明，我们的问题减少到解决系统的相对Pellian方程\[ cV^{2}-\left( c+2\right) U^{2}=-2μ,\ \ cZ^{2}-\left( c-2\right) U^{2}=2μ, \]其中$μ$是一个单位的$\mathbb{Z}_{M}$。我们完全求解了这个系统，发现$\mathbb{Z}_{M}$上的$\mathcal{O}$的幂积分基的所有非等价生成元都由$α=ξ,$ $2ξ-2cξ^{2}+ξ^{3}$给出，对于$\left\vert c\right\vert \geq159108$和$|c|\leq200$ .
Computing quadratic points on modular curves $X_0(N)$
本文改进模曲线二次点计算方法，确定亏格至多 8（素数水平时至多 10）的一批 $X_0(N)$ 上全部二次点，并给出相应椭圆曲线的 $j$-不变量及 CM 点自同态环。
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
Computing quadratic function fields with high 3-rank via cubic field tabulation
本文提出了一种算法，用于生成所有的虚的和不寻常的判别式，直到一个固定的程度界，定义了一个二次函数域的正3-秩。我们的方法利用函数场的适应性的方法，由于Belabas寻找二次数域的高3秩和一个完善的函数场版本的定理，由于哈塞。我们提供了数值数据的判别度高达11上的有限域$\mathbb{F}_{5}, \mathbb{F}_{7}, \mathbb{F}_{11}$和$\mathbb{F}_{13}$。我们的技术的一个特点是，它产生的二次函数领域的最小亏格为任何给定的3-秩。利用某些$\mathbb{F}_{q}(t)$ -自同构结合霍纳的规则，以评估多项式显着加快我们的算法在假想的情况下，这种改进是唯一的功能领域，并不适用于数域制表。这些自同构也解释了具有正3秩的域的数量中的某些整除性质。我们的数值结果与Friedman-Washington的预测结果以及Ellenberg-Venkatesh-Westerland关于有限域$\finfldq{q}$上二次函数域的分布的部分结果基本一致，其中$q \equiv -1 \pmod{3}$ .相应的数据$q \equiv 1 \pmod{3}$不同意密切与前面提到的数学和结果，但同意更密切与最近的一些数域的代数Malle和一些工作正在进行中的证明这种代数的功能领域由于加顿。
Partitions in real quadratic fields
本文研究实二次域中全正整数的分拆，提出计算分拆数的算法，证明分拆函数奇偶性结果，并刻画具有特定分拆数的二次域。
Quadratic points on $X_0(163)$
本文确定了亏格13模曲线X_0(163)的所有二次点，解决了Banwait等人的问题，并引入新方法克服三次点阻碍，通过计算除子线性等价关系在素数模下处理雅可比簇。
Hybrid Euler-Hadamard product for quadratic Dirichlet $L$-functions in function fields
本文发展了函数域上二次Dirichlet $L$ -函数的混合Euler-Hadamard乘积模型（遵循Gonek，Hughes和Keating为黎曼ζ函数引入的模型）。在计算了$L$ --函数族的前三个扭矩之后，进一步证明了该族矩的渐近公式.
A combinatorial proof of the quadratic Gauss sum
本文提出一种不依赖二次互反律的初等组合方法，通过利用二次高斯和分量的对称性结合递归方法，计算对应4的倍数的二次高斯和，为二次高斯和提供了新的证明途径。
Computing Invariants of the Weil representation
我们提出了一个算法计算基地和维数的空间的Weil表示的$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$与有限的二次模的不变量。我们证明了这些空间定义在$\mathbb{Z}$上，并且如果我们用合适的有限素域替换基域，它们的维数保持稳定。
Well-Rounded Twists of Ideal Lattices from Real Quadratic Fields
研究了实二次域中的$\mathbb{R}^2$中的理想格，给出了计算这类理想格的全圆扭曲的显式方法.我们将其应用于来自马尔可夫数的理想格，以构造具有良好球填充半径和良好最小乘积距离的非等价平面格的无限族。我们还提供了一个完整的分类，所有的实二次域，使正交格是唯一的圆满扭转格对应的整数环。
Computing the Hilbert Class Fields of Quartic CM Fields Using Complex Multiplication
设$K$是一个四次CM域，即实二次数域的全虚二次扩张。在1962年的一篇题为“论阿贝尔簇的复乘所得到的类域”的文章中，志村考虑了$K$的阿贝尔扩张的一个特殊家族$\{F_K(m) : m \in \mathbb{Z} >0 \}$，并证明了对于某些正整数m，$K$的希尔伯特类域$H_K$包含在$F_K(m)$中。我们把这个m显式化。然后，我们给出了一个算法，计算一组定义多项式的希尔伯特类字段使用字段$F_K(m)$。我们的概念验证实现该算法计算一组定义多项式的速度远远超过目前的通用库默尔算法的某些例子四次CM字段的实现。
Computing the cardinality of CM elliptic curves using torsion points
设E是椭圆曲线，它与虚二次域K的给定二次阶相乘。E的定义域是阶环类域Ω。如果素数p在Omega中完全分裂，那么我们可以将E模p的一个因子约简，并得到定义在GF（p）上的曲线Ep。已知Ep的Frobenius的踪迹最多可达符号，我们需要一种快速的方法来找到这个符号。为此，我们建议使用的Frobenius的小订单建立类不变量一拉韦伯的扭点的行动，在某种程度上让人想起的Schoof-Elkies-Atkin算法计算基数的一个给定的椭圆曲线模p。我们将我们的结果的椭圆曲线素性证明算法（ECPP）。
Computing all elliptic curves over an arbitrary number field with prescribed primes of bad reduction
本文研究了如何通过求解$S$ -单位方程来确定定义在任意数域$K$上的所有椭圆曲线在给定的有限素数集$S$之外具有好约化.给出了$\mathbb Q$和二次域上的椭圆曲线的例子。
Computing polynomials of the Ramanujan $\mathbf{t_n}$ class invariants
利用志村互反律计算了Ramanujan值$t_n$的极小多项式，其中$n\equiv 11 \mod 24$。这些多项式可用于定义虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$的Hilbert类域，并且具有比Hilbert多项式小得多的系数。
Computing the torsion of the $p$-ramified module
将素数$p$和数域$\K$固定，用$M$表示$\Ko$在$p$外无分歧的极大阿贝尔$p$ -扩张.本文的目的是研究$\Z_p$ -模$\gal(M/\Ko)$，并给出一种有效地计算其作为$\Z_p$ -模的结构的方法.然后，我们给出了数值结果，实二次域，连同解释通过Cohen-Lenstra的算法。
Computing the $p$-adic Canonical Quadratic Form in Polynomial Time
$n$ -元积分二次型是$n$ -元$x_1,...,x_n$中的形式表达式$Q(x_1,..,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}=a_{ji} \in \mathbb{Z}$ .我们提出了一个随机多项式时间算法，给定一个二次型$Q(x_1,...,x_n)$，一个素数$p$，和一个正整数$k$输出一个$\mathtt{U} \in \text{GL}_n(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$，使$\mathtt{U}$转换$Q$到其$p$ -adic规范形式。
Computing genus 2 Hilbert-Siegel modular forms over $\Q(\sqrt{5})$ via the Jacquet-Langlands correspondence
本文给出了计算窄类数为1的实二次域上Hilbert-Siegel尖点形式的Hecke本征系的一个算法。我们使用二次域$\Q(\sqrt{5})$给出一些说明性的例子。在这些例子中，我们确定希尔伯特-西格尔本征形是希尔伯特本征形的可能提升。
Explicit equivalence of quadratic forms over $\mathbb{F}_q(t)$
本文提出了一个计算$\mathbb{F}_q(t)$上多元二次型非平凡零点的随机多项式时间算法，其中$\mathbb{F}_q$是一个奇特征的有限域.该算法是基于一个适当的分裂形式成两个形式，并找到一个共同的价值观，他们都表示。本文利用一个有效的公式计算给定剩余类中固定次数不可约多项式的个数。我们应用我们的算法计算维特分解的二次型，计算一个明确的等距之间的二次型和寻找零因子的四元数代数的二次扩展$\mathbb{F}_q(t)$。
First-hit analysis of algorithms for computing quadratic irregularity
本文利用均匀分布启发式预测计算二次域中不规则素数所需时间，并探讨收集数据验证该启发式的替代方法。
Explicit isomorphisms of quaternion algebras over quadratic global fields
设$L$是$\mathbb{Q}$或$\mathbb{F}_q(t)$的可分二次扩张。我们提出了寻找$L$上四元数代数之间同构的有效算法。我们的技巧是基于计算中心单$L$ -代数的余限制的极大单侧理想。
On the Signature Calculus for finite fields of order square of prime numbers
在[Huang-Raskind 2009]中，作者证明了素数有限域上的离散对数问题是随机多项式时间等价于计算实二次域的分歧签名。在本文中，我们这样做的二次扩张的素域。
On Computing the Copositive Minimum and its Representatives
本文研究严格余正二次型的余正最小值计算问题，证明其为 NP 完全，并提出基于 LDLT 分解的最短向量实用算法，实验显示性能显著提升。
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