Bounds for the Solutions of Cubic Diophantine Equations
Howard Kleiman
本文的原始版本没有考虑f（x，y）= x^3 + p（y）x + q（y）= 0在ZXZ中可能有解（x_0，y_0），即使w_0 =（-3D（y_0））^（1/2）是无理数。
The original version of this paper did not take into account that there may be solutions (x_0, y_o)in Z X Z of f(x,y) = x^3 + p(y)x + q(y) = 0 even though w_0 = (-3D(y_0))^(1/2) is irrational.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Cubic diophantine inequalities for split forms
用$s_0^{(r)}$表示最小整数，如果$s \ge s_0^{(r)}$和$F$是一个三次型，$s$变量中的实系数分成$r$部分，则$F$在非零整数点取任意小值。我们为$r \le 6$绑定了$s_0^{(r)}$。
Diophantine problems related to cyclic cubic and quartic fields
我们对求解有理系数多项式$f, g$中的同余式$f^3+g^3+1\equiv 0\pmod{fg}$和$f^4-4g^2+4\equiv 0\pmod{fg}$感兴趣。此外，我们提出的计算结果的所有整数点的某些一个参数曲线的亏格1和3，有关的三次和四次域，分别。
Solving Quadratic and Cubic Diophantine Equations using 2-adic Valuation Trees
对于固定整数$D \geq 0$和$c \geq 3$，我们演示了如何使用序列的$2$ -adic赋值树来分析$x^2+D=2^cy$和$x^3+D=2^cy$形式的丢番图方程，对于$y$奇数。此外，我们显示什么值$D \in \mathbb{Z}^+$，数字$x^3+D$将产生无限的估值树，导致无限的解决方案，上述丢番图方程。
The Mordell-Schinzel conjecture for cubic diophantine equations
基于Mordell和Schinzel的工作，证明三次丢番图方程$xyz=G(x,y)$有无穷多个解。
Constructing Simultaneous Diophantine Approximations of Certain Cubic Numbers
对于只有一个实嵌入的三次域$K$和$α,β\in K$，我们证明了如何构造正整数的增序列$\{m_n\}$和子序列$\{ψ_n\}$，使得（对于某些可构造的常数$C_1,C_2>0$）对于所有的$n$都是$\max\{\|m_nα\|,\|m_nβ\|\}<\frac{C_1}{m_n^{1/2}}$和$\|ψ_nα\|<\frac{C_2}{ψ_n^{1/2}\log ψ_n}$.因此，我们得到了$ψ_n\|ψ_nα\|\|ψ_nβ\|<\frac{C_1 C_2}{\log ψ_n}$，从而给出了关于$(α,β)$对的Littlewood猜想的一个有效证明.我们的证明是初等的，只使用代数数论和连分式理论的标准结果。
Small prime solutions to cubic Diophantine equations
设a1，...，a9是非零整数，n是任何整数。假设a1 +…+ a9 = n（mod 2）和（ai，aj）= 1，其中1 <= i < j <= 9。我们将证明：（i）如果不是所有aj的符号都相同，则三次对角方程a1p1^3 +. + a9p9^3 = n有素解满足pj << n^{1/3} + max{ |aj| }^{20+ e};（ii）若所有aj均为正且n >> max{ |aj| }^{61+e}，则三次对角方程a1p1^3 +. + a9p9^3 = n可溶于素数pj。这个结果是由S.K.K. Choi和J. Liu。为了证明这些结果，我们将使用Hardy-Littlewood圆方法，我们将概述。最后，我们将对这个特殊问题的一些可能的推广做一个说明。
Best simultaneous Diophantine approximations for some pairs of algebraic numbers
本文计算了不满足性质（F）的三次Pisot数对的最佳丢番图逼近序列。
On the Diophantine equation in the form that a sum of cubes equals a sum of quintics
我们证明了某些$5th$幂的和可以写成某些三次数的和
A diophantine sum with factorials
本文给出了一个含因子的丢番图方程的解，它可以写成三次型，也可以写成二项式系数之和。给出了高次形式的一些解，并将一些解与一个不可解的费马大定理方程联系起来。
On the Diophantine equations X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+...+a_nU_n^{t_n}, k=3,4
本文利用椭圆曲线理论求解丢番图方程X^3+Y^3+Z^3+aU^k=a_0U_0^{t_0}+.+ a_nU_n^{t_n}，k= 3，4其中n，ti是自然数，a，a_i是固定的任意有理数。我们试图将上述丢番图方程的每一种情形变换到正秩的三次椭圆曲线上，从而得到每种情形的无穷多个整数解。我们还解决了这些丢番图方程的一些值的n，a，a_i，t_i，并获得无限多的解决方案，为每一种情况下，并显示在其他事情，如何总和四个，五个，或更多的三次可以写为总和的四个，五个，或更多的双二次以及总和的5次幂，6次幂等。
Complete description of rational points of Diophantine equation x4+y4=z4+w4
本文考虑丢番图方程x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4（1）构造了一类三次曲线，证明了四次曲线x ~ 4 + y ~ 4 = z ~ 4 + w ~ 4上的每个有理点都可以映射到这类曲线上的一个点。我们还证明了相反的情况：属于我们的曲线族的每个有理点都可以映射到Quartica上的一个有理点。(2)我们找到我们的家庭曲线对应的一个参数的解决方案伦纳德欧拉。我们构造了几个新的参数解决方案，我们Quartica，使用参数解决方案的伦纳德欧拉和代数运算的三次曲线。(3)We提出了一个算法，以找到所有的有理点在我们的Quartica。
A Family of Cubic Diophantine Equations and 4-Chains
在一个简单的整数链中，如果$u_{i-1}$、$u_i$和$u_{i+1}$是链中的三个连续项，并且这对$(u_{i-1}, u_i)$具有某个属性，那么下一对$(u_i, u_{i+1})$也具有相同的属性。我们将简单链的概念推广到$n$ -链，其中$n$是正整数，如果一对$(u_{i-1}, u_{i})$具有某种性质，那么第二对$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i})$也具有相同的性质.在这种情况下，我们将$(u_{i-1}, u_{i}, u_{i+1})$和$(u_{\pm n+i-1}, u_{\pm n+i}, u_{\pm n+i+1})$称为匹配三元组。利用$4$ -链研究了一类三次丢番图方程，包括$x^3 + y^3 + x +y +1 = xyz$和其它三个方程.我们表明，一对整数$(x, y)$满足这四个方程之一，当且仅当$x$和$y$是连续的条款的$4$链。我们的主要结果是，如果三元组$(u, t, vw)$是一个$4$ -链的三个连续项的有序列表，其中$|t|$是素数，$t$不整除$(u-v)$，三元组$(v, t, uw)$是第二个$4$ -链的三元组并且它匹配第一个三元组，那么三元组$(-w, t, -uv)$是第三个$4$ -链的三元组并且它匹配另外两个三元组.
The Repulsion Motif in Diophantine Equations
问题的存在有关的积分和有理点的三次曲线的日期至少可以追溯到丢番图。西格尔在这些方程的现代理论中迈出了重要的一步，他证明了一个非奇异的平面三次方程只有100多个积分解。例子表明，简单的方程可以有非常大的积分解决方案相比，其系数的大小。霍尔的一个猜想试图通过简单地根据定义方程的系数来限制积分解的大小来改善这一点。事实证明，类似的现象似乎在另一种意义上接近整体的解决方案中起作用。我们描述这些结构作为一个基本的主题-排斥-在丢番图方程理论的说明。
A solution to a problem of Cassels and Diophantine properties of cubic numbers
本文证明了几乎任何实数对a，b都满足Littlewood猜想的非齐次一致版本：（*）对于R中的所有x，y，liminf_{|n|\to\infty} |n| <na-x> <nb-y> = 0，其中<->表示到最近整数的距离.即使存在一个满足（*）的对，也解决了50年代的卡塞尔问题。证明了如果1，a，b是一个全实数域，则a，b满足（*）.进一步证明了，若1，a，b对Q线性相关，则a，b不能满足（*）.然后应用结果给出了一种新类型的对角群的不规则轨道闭包的例子。
Automatic Solving of Cubic Diophantine Equations Inspired by Ramanujan
在拉马努金的《失落的笔记本》中，有一个惊人的恒等式，它列举了无穷多个三次费马大定理的“几乎是反例”，却没有任何迹象表明他是如何发现它的。1995年，迈克尔·赫希霍恩（Michael Hirschhorn）以一种辉煌的方式解释了拉马努金可能是如何做到这一点的，基于四个立方之和的某个多项式恒等式。更早的时候，Eri Jabotinsky在1946年发表的一篇文章中（在一本青少年数学杂志上）解释了拉马努金是如何发现赫希霍恩方法所需的多项式恒等式的。在这里，我们结合这两个辉煌的想法（这可能是或可能不是拉马努金如何做到这一点），自动化，并推广，通过开发一个算法来解决一大类三次丢番图方程。我们对这个问题的兴趣在读了艾米·阿尔兹瑙尔的（b）之后重新燃起。安德鲁斯）令人愉快的儿童书籍“梦想无限的男孩”（蜡烛芯出版社），2020年，拉马努金的身份出现在其中一个插图中。
An unexpected meeting between the $P^{3}_{1}$-set and the cubic-triangular numbers
一个$m$正整数集$\{x_{1},\ldots,x_{m}\}$称为大小为$m$的$P^{3}_{1}$ -集，如果集合中任意三个元素的乘积加1是立方整数。如果存在一个整数$y\not\in S$使得$S\cup\{y\}$仍然是一个$P^{3}_{1}$ -集，则称$P^{3}_{1}$ -集$S$是可扩展的.现在，让我们考虑丢番图方程$u(u+1)/2=v^{3}$，它的整数解产生我们所说的三角形数。本文的目的是同时证明$P^{3}_{1}$ -集$\{1,2,13\}$是不可扩张的，$n=1$是唯一的正三角数，通过证明这两个问题在我们用$p$-adic分析求解的丢番图方程$2x^{3}-y^{3}=1$上相遇.
Subconvexity for additive equations: pairs of undenary cubic forms
本文研究整系数对角三次方程对。对于一类具有11个或更多变量的丢番图系统，我们能够建立在一个大盒子中的积分解的数量至少与预期的数量级一样大。
An analogue of Liouville's Theorem and an application to cubic surfaces
我们证明了任意代数簇上点的丢番图逼近中刘维定理的一个强类似物。利用这个定理证明了第一作者在$¶^3$中关于三次曲面的一个猜想。
On Bounds and Diophantine Properties of Elliptic Curves
本文研究了莫尔德尔方程的整数解数量界及椭圆曲线的丢番图性质，通过分析高秩曲线对改进了解的数量下界。
Bounds on the number of Diophantine quintuples
我们考虑丢番图五元组$\{a, b, c, d, e\}$。这些是不同的正整数的集合，其中任何两个元素的乘积小于完满平方。这是假设，有没有丢番图五元组，我们改进目前的估计，表明有至多$1.9\cdot 10^{29}$丢番图五元组。
Rational solutions of pairs of diagonal equations, one cubic and one quadratic
本文通过获得指数和 $αx^3+βx^2$ 的 32/3 阶矩的最优估计，在局部可解性假设下证明变量数超过 10 时一对三次和二次对角方程存在非平凡整数解。
An optimal bound for the ratio between ordinary and uniform exponents of Diophantine approximation
本文给出了任意维上同时丢番图逼近和线性型的丢番图逼近的平凡指数和一致指数之比的一个下界.这个下界由Schmidt和Summerer证明，并且已经在维度$2$和$3$中示出。这个下界是在参数数的几何的背景下提出的规则系统中达到的，因此是最优的。
Construction of Bhaskara Pairs
对于固定的比值a/b，我们构造了二次-三次方程耦合系统a^2+b^2=x^3和a^3+b^3=y^2的整数解{a，b}.
Prime Hasse principles via Diophantine second moments
本文在 Hooley-Manin 猜想下证明几乎所有模 9 非 ±4 的素数可表示为三个立方数之和，该猜想在标准统计假设下可处理。
Sharp bounds for symmetric and asymmetric Diophantine approximation
2004年，J.C.童发现边界的近似质量经常连分数收敛的有理数，表示在边界的前一个和下一个近似。我们用几何方法改进了他的结果，并给出了精确的上界和下界。我们还计算了这些界限发生的渐近频率。
An Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations II
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文通过分析三元纯指数丢番图方程$a^x+b^y=c^z$解的间隙法则，证明了若$\max\{a,b,c\}\geq 10^{62}$，则方程至多有两个正整数解$(x,y,z)$ .
Upper bounds for the uniform simultaneous Diophantine exponents
给出了超越数$ξ\in\mathbb{R}$的一致同时丢番图指数$\widehatλ_n(ξ)$的几个上界.最重要的一个关系是当$k$基本上小于$n$时，$\widehatλ_n(ξ)$和普通的同时指数$ω_k(ξ)$。特别地，在具有适当选择的$ω_k(ξ)=k$的一般情况下，$\widehatλ_n(ξ)$的上限变得与$\frac{3}{2n} + O(n^{-2})$一样小，这基本上优于$\frac{2}{n} + O(n^{-2})$的当前已知的最佳无条件界限。对于$n$的偶数值，我们还改进了$\widehatλ_n(ξ)$的一个无条件上界.
A Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文将Gel'fond-Baker方法与初等方法相结合，证明了若方程$\max\{a,b,c\}>5\times 10^{27}$成立，则方程$a^x+b^y=c^z$至多有三个正整数解$(x,y,z)$ .
An estimate for Frobenius' diophantine problem in three dimensions
本文给出了不可表示为三个给定整数的正线性组合的最大整数的上、下界，证明了Beck，Einstein和Zacks提出的一个上界的错误.
Simultaneous two-dimensional best Diophantine approximations in the Euclidean norm
证明了二维最佳丢番图逼近关于欧氏范数的增长指数的一个新的下界。
On the Diophantine equation F_{n}-F_{m}=2^{a}
本文对非负整数m、n和a中的丢番图方程进行了全面求解。为了证明我们的结果，我们使用下界的线性型在图和一个版本的Baker-Davenport减少方法在丢番图逼近。
A hypothetical upper bound on the heights of the solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions
设f（1）=1，对每个正整数n，f（n+1）=2^{2^{f（n）}}.我们猜想如果系统S \subseteq {x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}} \cup {x_i+1=x_k：i，k \in {1，.，n}}在非负整数x_1，.，x_n，则每个这样的解（x_1，...，x_n）满足x_1，...，x_n \leq f（2n）.我们证明：（1）猜想意味着存在一个算法，它以一个丢番图方程作为输入，返回一个整数，并且这个整数大于整数的高度（非负整数，正整数，有理）解，如果解集是有限的，（二）这个猜想意味着一个丢番图方程是否只有1/2个有理解的问题是可以用预言机判定的用于判定丢番图方程是否有有理解，（3）该猜想意味着用判定丢番图方程是否有整数解的预言机判定丢番图方程是否只有100个整数解的问题，（4）该猜想意味着如果集合M \subseteq N有有限重丢番图表示，则M是可计算的。
Diophantine approximation and deformation
我们将函数域上的某些曲线与给定的代数幂级数相关联，并表明这些曲线的Kodaira-Spencer映射的秩上的界意味着幂级数的指数上的界，更一般的曲线给出较低的指数。如果我们把Vojta关于高度不等式的猜想通过适当的变形理论条件加以修正，转移到有限特征线上，那么我们看到，产生一般曲线的数目接近Roth界。我们还证明了一个层次的指数界逼近的代数量的有界度。
Estimating of the number of integer (natural) solutions of inhomogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
利用Hardy和Littlewood的圆方法，研究了无自由元的非齐次代数丢番图对角型方程的整数（自然）解个数的上界.本文给出了显式变元非齐次代数丢番图对角方程自然解个数的上界。他在论文中开发了一种方法，该方法允许您对具有整数系数的代数丢番图方程的自然（整数）解的数量进行低估计。作者用这种方法得到了几类任意变量的非齐次代数丢番图对角方程（包括图厄方程）的整数（自然）解个数的下估计.
An effective bound on Generalized Diophantine m-tuples
对于非零整数$n$和$k\geq2$，具有性质$D_k(n)$的广义丢番图$m$元组是$m$正整数$S = \{a_1,a_2,\ldots, a_m\}$的集合，使得$a_ia_j + n$是$1\leq i< j\leq m$的$k$次幂。定义$M_k(n):= \sup\{|S| : S$具有属性$D_k(n)\}$。在最近的一项工作中，第二作者，S。Kim和M. R. Murty证明了$M_k(n)$是$O(\log n)$，对于固定的$k$，当我们改变$n$时。本文给出了$M_k(n)$的有效上界。特别是，我们表明，对于$k\geq 2$，$M_k(n) \leq 3\,ϕ(k)\, \log n$，如果$n$足够大于$k$。
Effective Approximation and Diophantine Applications
利用Thue-Siegel方法，我们对由$(t-a)Q(t)+P(t)=0$型方程定义的某些单参数代数数族的Liouville无理性测度进行了有效的改进.我们应用这些到一些相应的丢番图方程。我们得到的解决方案的大小，这取决于多项式$a$，和这些解决方案的数量，这是独立的$a$，在某些情况下，甚至独立的程度的方程的界限。
Quartic Index Form Equations and Monogenizations of Quartic Orders
通过考虑某些经典的丢番图方程，即四次数域上的指数型方程，以及三次和四次Thue方程，建立了四次单齐化数的上界.
On the Exponential Diophantine Equation $(F_{m+1}^{(k)})^x-(F_{m-1}^{(k)})^x = F_n^{(k)}$
本文利用代数中线性型的下界和连分数的性质，明确地求出了标题为丢番图方程的所有解。此外，我们在丢番图逼近中使用了一个版本的Baker-Davenport约化方法，这是由于Dujella和Pethö。本文推广了\cite{Patel}以前的工作。
Extension of a Diophantine triple with the property $D(4)$
本文给出了具有性质$D(4)$的丢番图$m$ -元组的三元组到四元组的扩张数的一个上界。在某些特殊情况下，我们也证实了关于这种扩张的唯一性的猜想。
Estimating of the number of natural solutions of homogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
与Hardy和Littlewood（CM）的圆方法不同，本文提出了一种方法，它可以对整系数代数丢番图方程的自然（整数）解的个数进行较低的估计。利用该方法得到了任意变量数的整系数对角型齐次代数丢番图方程自然解个数的下估计.利用CM方法得到了一类齐次丢番图方程的自然解个数的上界，其中$k \geq \log_2 s$为方程的次数，$s$为变量个数.还得到了整数系数的齐次代数丢番图方程的自然解个数的上界。研究了整系数对角型齐次丢番图方程自然解个数的上下估计之间的关系。
On solutions of the Diophantine equation $\mathcal{P}_m-L_n=c$
\noindent在这篇文章中，我们确定所有的整数$c$至少有两个表示之间的差异两个线性递归序列。这是皮莱方程的一个变体。这个方程是一个指数丢番图方程。我们的主要定理的证明使用了线性型的下界，连分数的性质，以及丢番图逼近中的Baker-Davenport约化方法。
On the Diophantine equation $σ_{2}(\overline{X}_{n})=σ_{n}(\overline{X}_{n})$
本文研究了丢番图方程的正整数解集$S(n)$。特别地，对于给定的$n$，我们证明了解的个数的有界性，给出了$σ_{2}(\overline{X}_{n})$和$σ_{n}(\overline{X}_{n})$的公共值的精确上界以及变量$x_{n}$在解中出现的最大值.此外，我们列举了$n\leq 16$的所有解决方案，并讨论了$S(n)$的元素上的$x_{n}/x_{n-1}$的值的集合。
Quantitative Diophantine approximation with congruence conditions
在这篇简短的论文中，我们证明了一个定量版本的欣钦-Groshev定理的同余条件。我们的论点依赖于一个经典的论点施密特计数通用格点，这反过来又依赖于一定的方差约束的空间格。
Absolute Bound On the Number of Solutions of Certain Diophantine Equations of Thue and Thue-Mahler Type
设$F \in \mathbb Z[x, y]$是度$d \geq 7$和容度1的不可约二元形式。令$α$是$F(x, 1)$的根，并假定域扩展$\mathbb Q(α)/\mathbb Q$是伽罗瓦。证明了对任意充分大的素数幂$p^k$，满足$\gcd(x, y) = 1$和$1 \leq t \leq (p^k)^λ$的整数$(x, y, t)$中的Thue型$$ |F(x, y)| = tp^k $$丢番图方程的解的个数不超过$24$ .这里$λ= λ(d)$是一个正的单调递增函数，当$d$趋于无穷大时，它趋近于1。我们还证明了，对于每一个充分大的素数$p$，Thue-Mahler型$$ |F(x, y)| = tp^z $$丢番图方程在整数$(x, y, z, t)$中的解的个数使得$\gcd(x, y) = 1$，$z \geq 1$和$1 \leq t \leq (p^z)^{\frac{10d - 61}{20d + 40}}$不超过1992.我们的证明遵循丢番图近似的两个原则，即广义非阿基米德间隙原则和Thue-Siegel原则的组合。
Diophantine Approximations on Definable Sets
考虑$\mathbb{R}^n$上一个实解析函数的消失轨迹限制为$[0,1]^n$。我们限制了高度有界的有理点的数量，这些点可以很好地近似这个集合。我们的结果是制定和证明的上下文中的O-最小结构，给出了一个一般的框架，上面提到的集。它补充了定理的皮拉-威尔基，产生了一个界的数量相同的质量的有理点的有界高度，躺在一个可定义的集。我们把注意力集中在多项式有界的O-极小结构，允许代数点的有界度，并提供了一个估计，是统一的一些家庭的可定义集。我们应用这些结果来研究固定长度的单位根的总和是小模。
Random diophantine equations of additive type
使用圆方法结合格点计数参数，我们证明了几乎所有的齐次丢番图方程的加法型和次数$k$在多个$4k$变量，局部-整体原理成立。此外，我们的方法表明，几乎所有这样的方程有一个非平凡的整数解有一个非常小的这样的解决方案，界接近最好的可能。
Mordell's equation : a classical approach
我们用$|k| \leq 10^7$对所有非零整数$k$求解丢番图方程$Y^2=X^3+k$。我们的方法使用这些方程和立方图厄方程之间的经典连接。后者可以通过与格基约简相结合的矩阵中的线性型的下界在算法上进行处理。
Diophantine equations in moderately many variables
给出了方程组$f_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$，$1 \leq i \leq r$的有界高度的积分解的个数的上界，其中$f_i$是整系数多项式。通过推广的方法，由于希斯-布朗的估计，使用一定的$q$ -模拟范德尔Corput的方法，不同程度的多项式系统的情况下。我们的研究结果适用于更广泛的$n$，在多项式$f_i$的程度方面，比用圆的方法得到的界限。
Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
Explicit Bounds For The Diophantine Equation A!B! = C!
方程A的非平凡解！B！B！C！是正整数（A，B，C）的三元组，其中A $\le$ B $\le$ C -- 2。证明了唯一的非平凡解是（6，7，10），并在C = 106时验证了该猜想.关于参数的相对大小的几个估计是已知的，例如Erd{<$}s C-B $\le$ 5 log log C给出的估计，或者Bhat和Ramachandra C-B $\le$（1/ log 2+o（1））log log C给出的估计。我们检查猜想B $\le$ 10 3000，并给出更好的明确的界限，如C - B $\le$ log log（B+1）log 2 -- 0.8803。
Diophantine exponents for standard linear actions of $\mathrm{SL}_2$ over discrete rings in $\mathbb{C}$
我们给出了各种丢番图指数的上限和下限与标准的线性行动$\mathrm{SL}_2 ( \mathcal{O}_K )$上打孔复平面$\mathbb{C}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$，其中$K$是一个数域的整数环$\mathcal{O}_K$是离散的，在任何复数的单位距离内。结果与Laurent和Nogueira关于$\mathrm{SL}_2 ( \mathbb{Z} )$作用于$\mathbb{R}^2 \setminus \{ \mathbf{0} \}$的结果相似，尽管对我们来说，只有在一组零测度之外才能得到一致的好界。
Determination of the asymptotic behavior of the number of natural solutions for certain types of diagonal Diophantine equations
本文得到了边为$N$的超立方体中下列对角丢番图方程自然解个数的渐近上界：$x_1 = x_2^k+...+x_s^k$，$x_1^k = x_2^k+...+x_s^k$，$x_1 = \sum_{j=2}^s {x_j}^{k_j}$，其中$k,s,k_j$为自然数.
On the Non-negative Integer Solutions to Diophantine Equations $F_n - F_m = 7^a$ and $F_n - F_m = 13^a$
本文研究了方程$F_n-F_m=p^a$的解，其中$p$是$7$或$13$，以及$n>m\geqslant 0$，$a\geqslant 2$ .我们证实了Erduvan和Keskin的猜想，证明了这个丢番图方程没有解。我们将使用的线性形式的下界在矩阵（贝克的理论）和一个版本的贝克-达文波特约化方法丢番图近似。
Improved upper bounds on Diophantine tuples with the property $D(n)$
本文研究具有性质 $D(n)$ 的 Diophantine 元组最大规模 $M_n$，通过证明中间元素贡献为 $O(\log\log|n|)$，将上界改进为 $M_n\leq(2+o(1))\log|n|$。
An absolute bound for generalized Diophantine tuples over polynomial rings
研究特征0代数闭域上多项式环中广义丢番图数组的大小，对于k≥18证明除必要例外族外|A|≤6，结合行列式准则、Mason-Stothers定理推广和组合零点定理。
Counting rational points close to $p$-adic integers and applications in Diophantine approximation
我们找到了一些$n$ -维$p$ -进整数的$ψ$ -近似的有理点的数量的上界和下界。格点计数技术被用来找到的上界的结果，和鸽子洞原理风格的论点被用来找到下界的结果。我们利用这些结果来寻找一组$p$ -adic加权的同时可逼近点的豪斯多夫维数，这些点与$p$ -adic坐标超平面相交。对于下界的结果，我们表明，一组有理点，$τ$ -近似一个$p$ -进整数形成一组共振点，可以用来构建一个局部无处不在的矩形系统。
An Improved Upper Bound for the Dirichlet Spectrum in Diophantine Approximation
通过引入Cantor型集F_4^*并证明其对数厚度大于1，结合Cantor集的和集结果，将射线原点常数δ的上界改进至约0.94866。
On the Diophantine equation $X^2+p^m=p_1^{n_1}p_2^{n_2}$
该研究针对含三个不同奇素数的丢番图方程 $X^2+p^m=p_1^{n_1}p_2^{n_2}$，通过二次域因式分解等方法得到相关指数的显式界，证明固定素数时方程解的个数有限。
Decidability of multiplicative matrix equations and related Diophantine problems
本文研究了代数数域上乘法矩阵方程的可判定性，通过有效方法分析丢番图问题，提出了解的大小和数量的显式界，并探讨了对称矩阵系统的相关计数问题。
Binary quadratic forms and sums of powers of integers
在这篇方法论论文中，我们首先回顾了经典的三次丢番图方程$a^3 + b^3 + c^3 = d^3$，并考虑了特定的一类解$q_1^3 + q_2^3 + q_3^3 = q_4^3$，其中每个$q_i$是一个二元二次型。接下来，我们将注意力转向熟悉的第一个$n$正整数的幂和$S_k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k$，并将平方$S_k^2$、$S_m^2$和乘积$S_k S_m$表示为幂和的线性组合。这些表达式，连同三次方程的上述二次形式解，允许生成$Q_1^3 + Q_2^3 + Q_3^3 = Q_4^3$形式的无限数量的关系，其中每个$Q_i$是幂和的线性组合。本文还简要地考虑了二次丢番图方程$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$和$a^2 + b^2 = c^2$，并给出了用整数幂和表示的一族相应的解$Q_1^2 + Q_2^2 + Q_3^2 = Q_4^2$和$Q_1^2 + Q_2^2 = Q_3^2$.
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