Converting of algebraic Diophantine equations to a diagonal form with the help of generalized integer orthogonal transformation, maintaining the asymptotic behavior of the number of its integer solutions
本文提出了一种新的广义整数正交变换，它由一个已知的正交变换和基向量拉伸组成，保持了代数丢番图方程整数解个数的渐近性态。作者表明这种转换的性质，他收到的算法，寻找广义整数正交变换的代数丢番图方程的二阶对角形式的矩阵元素。本文举例说明利用整数广义正交变换将二阶代数方程化为对角形式，并确定这些方程整数解的渐近性态。
2017-04-07 math.NT
Estimating of the number of natural solutions of homogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
与Hardy和Littlewood（CM）的圆方法不同，本文提出了一种方法，它可以对整系数代数丢番图方程的自然（整数）解的个数进行较低的估计。利用该方法得到了任意变量数的整系数对角型齐次代数丢番图方程自然解个数的下估计.利用CM方法得到了一类齐次丢番图方程的自然解个数的上界，其中$k \geq \log_2 s$为方程的次数，$s$为变量个数.还得到了整数系数的齐次代数丢番图方程的自然解个数的上界。研究了整系数对角型齐次丢番图方程自然解个数的上下估计之间的关系。
2016-04-27 math.NT
On the size of Diophantine $m$-tuples in imaginary quadratic number rings
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。最近证明了在正整数中不存在丢番图五元组。我们在虚二次域的整数环中研究了同样的问题。通过使用间隙原理证明丢番图逼近，我们表明，$m\leqslant 42$。与正整数中类似结果的证明相比，我们的证明相对简单。
2018-07-05 math.NT
The Diophantine equation $x^4\pm y^4=iz^2$ in Gaussian integers
本文利用椭圆曲线求出了$\mathbb Q(i)$上丢番图方程$x^4\pm y^4=iz^2$的所有解。利用同样的方法，我们给出了Hilbert关于方程$x^4\pm y^4=z^2$在高斯整数中只有平凡解的结果的一个新的证明.
2010-05-10 math.NT
Is there an algorithm which takes as input a Diophantine equation, returns an integer, and this integer is greater than the number of integer solutions, if the solution set is finite?
设E_n={x_i=1，x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}。对于正整数n，设f（n）表示E_n的子系统在整数x_1，.中的最大有限解总数，x_n。我们证明：（1）函数f是严格递增的，（2）如果一个从正整数到正整数的非减函数g对任意n都满足f（n）\geq g（n），则g的有限重丢番图表示不存在，（3）如果题目的问题有肯定答案，则存在一个可计算的严格递增函数g，使得f（n）\leq g（n）对任意n都满足，且g的有限重丢番图表示不存在.
2014-03-22 math.NT
On the extensions of the Diophantine triples in Gaussian integers
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。本文研究了高斯整数$\mathbb{Z}[i]$中的丢番图三元组$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$到丢番图三元组的可扩性。类似的单参数族$\{k-1, k+1, 4k\}$在Franušić的前一篇论文中进行了研究，其中证明了丢番图四元组的扩张是唯一的（具有元素$16k^3-4k$）。在有理数中已经研究了具有相同形式$\{k-1, k+1, 16k^3-4k\}$的三元组族。在求解丢番图对$\{k-1, k+1\}$的可扩性问题时，它是一个特例，在这种情况下，不可能使用与其他情况相同的方法。正如作者（Bugeaud、Dujella和Mittette）所指出的，困难出现是因为$k+1$和$16k^3-4k$之间的差距不够大。我们在这里发现同样的困难，而试图使用丢番图逼近。然后利用图中的线性型部分地解决了这个问题。
2019-05-22 math.NT
A hypothetical upper bound on the heights of the solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions
设f（1）=1，对每个正整数n，f（n+1）=2^{2^{f（n）}}.我们猜想如果系统S \subseteq {x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}} \cup {x_i+1=x_k：i，k \in {1，.，n}}在非负整数x_1，.，x_n，则每个这样的解（x_1，...，x_n）满足x_1，...，x_n \leq f（2n）.我们证明：（1）猜想意味着存在一个算法，它以一个丢番图方程作为输入，返回一个整数，并且这个整数大于整数的高度（非负整数，正整数，有理）解，如果解集是有限的，（二）这个猜想意味着一个丢番图方程是否只有1/2个有理解的问题是可以用预言机判定的用于判定丢番图方程是否有有理解，（3）该猜想意味着用判定丢番图方程是否有整数解的预言机判定丢番图方程是否只有100个整数解的问题，（4）该猜想意味着如果集合M \subseteq N有有限重丢番图表示，则M是可计算的。
2017-06-07 math.NT
On the Diophantine equations f (x) = g(y)
丢番图方程整数解的有限性或无穷性的研究一直被认为是文献中的标准问题。本文对Z[x]-幺半群中的f（x）和q1，…，qm的条件下，研究了丢番图方程（y + q1）（y + q2）…（y + qm）= f（x）有n个整数解。在ABC猜想的假设下，研究了丢番图方程f（x）= g（y）整数解有限的条件.
2019-02-11 math.NT
Positive Integer Solutions of Certain Diophantine Equations Involving Lucas-Balancing numbers
本文考虑$x^{2}-8C_{n}xy+ 16y^{2}=\pm2^{r}$，$x^{4}-8C_{n}x^{2}y+ 16y^{2}=\pm2^{r}$和$x^{2}-8C_{n}xy^{2}+ 16y^{4}=\pm2^{r}$形式的丢番图方程，研究其任意正整数解的存在性.此外，解决方案体现在平衡，佩尔和卢卡斯-佩尔数。
2018-08-24 math.NT
Is the quartic Diophantine equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$ solvable for any integer $h$?
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$，其中$h$是一个固定的任意正整数，已被一些作者研究过.目前，通过计算机搜索，对于$h \le 5000$和$A, B, C, D \le 100000$的所有正整数值，除了一些数字之外，该方程的整数解是已知的，而对于$h$的任意正整数值，该丢番图方程的解是未知的。Gerardin和Piezas分别用$5$和$2$的次数多项式给出了$h$时，找到了该方程的解。当$h$由$2$、$3$和$4$的次数多项式给出时，Choudhry也给出了该方程的一些新解.本文利用椭圆曲线理论研究了这类丢番图方程，其中$h$是一个固定的任意有理数.本文给出了某些$h$值的丢番图方程的一些解，特别是对于那些在$A, B, C, D \le 100000$的范围内还没有找到解的值.当$h$由$3$，$4$的次数多项式给出时，给出了丢番图方程的一些新的参数解.最后给出了两种解法，只要其中一种正确，就可以求解任意有理数$h$的上述丢番图方程.
2017-02-21 math.NT
Note on the diophantine equation X^t+Y^t=BZ^t
本文得到了丢番图方程X^t+Y^t=BZ^t对有理数B和素数t的整数解X，Y，Z的新结果，验证了文中所解释的一些条件.
2010-03-16 math.NT
Four integer parametrizations for the monoclinic Diophantine piped
给出了双正交单斜丢番图平行六面体的四种整数参数化。
2017-06-02 math.HO math.NT
On the Diophantine equation cy^l=(x^p-1)/(x-1)
设p，c是不同的奇素数，l \ge 2是整数.我们找到了丢番图方程cy^l=（x^p-1）/（x-1）无整数解的充分条件
2012-06-03 math.NT
A Note on the Quartic Diophantine Equation $A^4+hB^4=C^4+hD^4$
丢番图方程$A^4+hB^4=C^4+hD^4$的整数解对于$h < 1000$的所有正整数值都是已知的。虽然对于$h$的任意正整数值的上述丢番图方程的解是未知的，但Gerardin和Piezas发现了当$h$分别由5次和2次多项式给出时该方程的解。本文给出了当$h$由$2,\;3$和4次多项式给出时该方程的几种新解。
2016-08-19 math.NT
On systems of Diophantine equations with a large number of integer solutions
设E_n={x_i+x_j=x_k，x_i \cdot x_j=x_k：i，j，k \in {1，.，n}}。对于每个整数n \geq 13，J. Browkin定义了一个系统B_n \subseteq E_n，它在整数x_1，.，x_n，其中b_n \in N\{0}和序列{b_n}_{n=13}^ \infty迅速趋于无穷大。对于每个整数n \geq 12，我们定义一个系统T_n \subseteq E_n，它在整数x_1，.，x_n，其中t_n \in N\{0}且lim_{n \to \infty} t_n/b_n= \infty。
2015-10-26 math.NT
The Diophantine equation xy=z^n; for n=2,3,4,5,6; the Diophantine equation xyz=w^2; and the Diophantine system: xy=v^2 and yz=w^2
在这项工作中，我们实现了三个目标。首先，我们确定了三变量丢番图方程xy=z^2;（n= 2，3，4，5，6）的整族正整数解.当n=2时，我们得到一个3参数解族;当n=3时，得到一个5参数解族;当n=4时，也是如此。对于n=5，一个7参数解族;对于n=6也是如此。分别参见定理2至定理6。本文的第二个目标是确定xyz=w^2的所有正整数解。这是在定理7中完成的;解集用六个独立参数来描述。最后，在定理8中，我们实现了我们的第三个目标：确定五元丢番图系统xy=v^2和yz=w^2的所有正整数解。解集用八个参数表示。本文共包括四篇参考文献。
2013-07-17 math.NT
On the Diophantine equation $dx^2+p^{2a}q^{2b}=4y^p$
本文研究了丢番图方程的可解性，其中$d>1$是无平方数整数，$p, q$是不同的奇素数，$x,y,a,b$是未知正整数，且有$\gcd(x,y)=1$ .我们描述了这个方程的所有整数解，然后利用主要结果推导出关于它的一些变体的整数解的一些结果。这里采用的方法是小学的性质，主要是基于存在的原始因子的某些Lehmer数。
2021-11-10 math.NT
A Survey on the Ternary Purely Exponential Diophantine Equation $a^x + b^y = c^z$
设$a$，$b$，$c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文研究了三元纯指数丢番图方程$a^x + b^y = c^z$的正整数解$(x,y,z)$的一些未解决的问题及相关工作。
2018-11-09 math.NT
On the Diophantine equation $pq=x^2+ny^2$
令$n$为正整数。讨论了不整除$n$的奇素数对$p$和$q$，使得丢番图方程$pq=x^2+ny^2$在$x$和$y$中有整数解.作为它的例子，我们分类所有这样的对$p$和$q$时，$n=5$和$14$。
2014-04-17 math.NT
An estimate for Frobenius' diophantine problem in three dimensions
本文给出了不可表示为三个给定整数的正线性组合的最大整数的上、下界，证明了Beck，Einstein和Zacks提出的一个上界的错误.
2011-05-07 math.NT
Integral solutions of certain Diophantine equation in quadratic fields
设$K= \mathbf{Q}(\sqrt{d})$是二次域，$\mathcal{O}_{K}$是它的整数环.研究了丢番图方程$r + s + t = rst = 2$在$\mathcal{O}_{K}$中的可解性.证明了除$d= -7, -1, 17$和$101$外，该系统在其它二次域的整数环中不可解。
2022-05-29 math.NT
On the Diophantine equation X^{2N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z^5
证明了对任意奇素数p，正整数α，非负整数β和γ，丢番图方程X^{2 N} + 2^{2 alpha} 5^{2 beta} p^{2 gamma} = Z ^5，当X，Z，N在Z^+中，N > 1且gcd（X，Z）= 1时，无解.
2014-09-08 math.NT
Some experiments with Ramanujan-Nagell type Diophantine equations
斯蒂勒证明了丢番图方程$x^2+119=15\cdot 2^{n}$恰好有六个正整数解。受此结果的启发，我们对具有多个解的Ramanujan-Nagell型$x^2=Ak^{n}+B$的丢番图方程的构造很感兴趣.这里，$A,B\in\Z$（因此$A, B$不一定是正的）和$k\in\Z_{\geq 2}$是给定的整数。特别是，我们证明了，对于每个$k$存在一个无限集$\cal{S}$包含对整数$(A, B)$，使每个$(A,B)\in \cal{S}$，我们有$\gcd(A,B)$是无平方和丢番图方程$x^2=Ak^n+B$至少有四个解决方案的正整数。利用$k>2$构造了几个$x^2=Ak^n+B$形式的丢番图方程，每个方程包含五个非负整数解.例如，方程$y^2=130\cdot 3^{n}+5550606$正好有五个解，其中$n=0, 6, 11, 15, 16$。我们还发现新的例子方程$x^2=A2^{n}+B$有六个解决方案的正整数，例如以下丢番图方程有正好六个解决方案：\begin{equation*} \begin{array}{ll} x^2= 57\cdot 2^{n}+117440512 & n=0, 14, 16, 20, 24, 25, x^2= 165\cdot 2^{n}+26404 & n=0, 5, 7, 8, 10, 12. \end{array} \…
2014-09-29 math.NT
Equal values of certain partition functions via Diophantine equations
令$A\subset \N_{+}$和by $P_{A}(n)$表示整数$n$从集合$A$分割成部分的数目。本文证明了$P_{A}(x)=P_{B}(y)$形式的丢番图方程整数解的存在性的几个结果，其中$A, B$是某些有限集.
2021-09-24 math.NT
A biquadratic Diophantine equation associated with perfect cuboids
一个完美的欧拉长方体是一个长方体，它有整数条边和整数条面对角线，其空间对角线也是整数。这样的长方体还没有被发现，它们的不存在也没有被证明。理想欧拉长方体由具有自然$S_3$对称性的四个丢番图方程组成的方程组描述。最近这些方程因式分解关于这个$S_3$对称性和因子方程推导。本文将因子方程转化为$E$ -形式，然后化为一个单一的双二次方程。
2012-07-17 math.NT
On primitive integer solutions of the Diophantine equation $t^2=G(x,y,z)$ and related results
本文研究了$T^2=G(\overline{X}),\; \overline{X}=(X_{1},\ldots,X_{m})$形式的丢番图方程，其中$m=3$或$m=4$和$G$是特定的齐次五次形式.首先证明了若$F(x,y,z)=x^2+y^2+az^2+bxy+cyz+dxz\in\Z[x,y,z]$和$(b-2,4a-d^2,d)\neq (0,0,0)$成立，则丢番图方程$t^2=nxyzF(x,y,z)$在整数系数多项式$x, y, z, t$中有解，且不存在正次数多项式公因子.在$a=d=0, b=2$的情况下，我们证明了所考虑的丢番图方程有无穷多个原始整数解。作为我们的结果的一个应用，我们证明了对于每个$n\in\Q\setminus\{0\}$的丢番图方程\begin{equation*} T^2=n(X_{1}^5+X_{2}^5+X_{3}^5+X_{4}^5) \end{equation*}有一个解决方案在互质（非齐次）多项式在两个变量的整数系数。我们还提出了一种方法，有时允许我们证明更一般的五次丢番图方程的形式$T^2=aX_{1}^5+bX_{2}^5+cX_{3}^5+dX_{4}^5$，其中$a, b, c, d\in\Z$的原始整数解的存在性。特别是，我们证明了，对于每个$m, n\in\Z\setminus\{0\},$的丢番图方程\begin{e…
2015-02-25 math.NT
A diophantine problem concerning third order matrices
本文找到了一个三阶幺模矩阵，它的元素都不是$1$或$-1$，使得当矩阵的每一元素都被它的立方所取代时，得到的矩阵也是幺模的.进一步，我们发现三阶平方整数矩阵$(a_{ij})$，整数$a_{ij}$都不是$1$或$-1$，使得$\det{(a_{ij})}=k$和$\det{(a_{ij}^3)}=k^3$，其中$k$是非零整数。
2021-10-25 math.NT
Creating Decidable Diophantine Equations
本文推广Matiyasevich的论证，提出一种生成无穷多个解可由线性递推完全刻画的丢番图方程的方法，并构造出唯一整数根为Tribonacci数连续三元组的整系数多项式。
2024-06-10 math.NT
Some Diophantine equations and inequalities with primes
这些不等式涉及非整数指数c>1的素数的s次幂和。这里s =2、3、4或5。方程类似，在求和之前取整数部分;这里s = 3或5。新的范围c被发现在所有情况下，许多解决方案的素数存在。
2020-08-27 math.NT
On primitive integer solutions of the Diophantine equation $x^3\pm y^3=a^k\pm b^k$
本文从理论和实验角度研究丢番图方程$x^3±y^3=a^k±b^k$，证明$k=4,6$时方程有无穷多互质正整数解，计算了$k=5,7$且$\text{max}\{a,b\}≤50000$的全部互质正整数解。
2025-08-24 math.NT
A symmetric diophantine equation involving biquadrates
本文研究了丢番图方程$\sum_{i=1}^na_ix_i^4= \sum_{i=1}^na_iy_i^4$，其中$n \geq 3$和$a_i,\,i=1,\,2,\,\ldots,\,n$是任意整数.虽然最近已经给出了一种方法来获得这样的方程的数值解，它似乎是一个明确的参数，这个丢番图方程尚未公布。对于任意的$a_i$值和任意的正整数$n \geq 3$，我们得到了该方程的多参数解，并推导出当$n=3$和$n=4$ .这样得到的数值解比以前得到的这类方程的整数解小小于得多。
2017-03-02 math.NT
An Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations II
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文通过分析三元纯指数丢番图方程$a^x+b^y=c^z$解的间隙法则，证明了若$\max\{a,b,c\}\geq 10^{62}$，则方程至多有两个正整数解$(x,y,z)$ .
2018-08-19 math.NT
Counting rational points close to $p$-adic integers and applications in Diophantine approximation
我们找到了一些$n$ -维$p$ -进整数的$ψ$ -近似的有理点的数量的上界和下界。格点计数技术被用来找到的上界的结果，和鸽子洞原理风格的论点被用来找到下界的结果。我们利用这些结果来寻找一组$p$ -adic加权的同时可逼近点的豪斯多夫维数，这些点与$p$ -adic坐标超平面相交。对于下界的结果，我们表明，一组有理点，$τ$ -近似一个$p$ -进整数形成一组共振点，可以用来构建一个局部无处不在的矩形系统。
2021-03-26 math.NT
A note on the Diophantine equation $2^{n-1}(2^{n}-1)=x^3+y^3+z^3$
受Farhi最近结果的启发，我们证明了对于每个$n\equiv \pm 1\pmod{6}$，标题丢番图方程至少有两个整数解.因此，我们得到每个（偶数）完满数是三个整数立方的和。此外，我们还给出了一些计算结果，并提出了一些问题和解答。
2017-05-02 math.NT
Solution of certain Diophantine equations in Gaussian integers
针对满足特定同余和勒让德符号条件的素数 p、q，论文利用两族椭圆曲线的挠点与 Q(i) 上的秩，证明两类四次高斯整数丢番图方程仅有平凡解。
2025-10-04 math.NT
On the Shorey-Tijdeman Diophantine equation involving terms of Lucas sequences
令$r\ge 1$为整数，${\bf U}:=\{U_n\}_{n\ge 0}$为$U_0=0,~U_1=1$给出的Lucas序列，$U_{n+2}=rU_{n+1}+U_n$为$n\ge 0$。本文介绍了如何求丢番图方程$AU_{n}+BU_{m}=CU_{n_1}+DU_{m_1}$的整数解$r\ge 1$，$0\le m<n,~0\le m_1<n_1$，$AU_n\ne CU_{n_1}$，其中$A,B,C,D$是给定的整数，$A\ne 0,~B\ne 0$，$m,n,m_1,n_1$是非负整数未知数，$r$也是未知数.
2021-08-18 math.NT
Is there an algorithm that decides the solvability of a Diophantine equation with a finite number of solutions?
For a positive integer n, let θ(n) denote the smallest positive integer b such that for each system S \subseteq {x_i \cdot x_j=x_k, x_i+1=x_k: i,j,k \in {1,...,n}} which has a solution in positive integers x_1,...,x_n and which has only finitely many solutions in positive integers x_1,...,x_n, there exists a solution of S in ([1,b] \cap N)^n. We conjecture that there exists an integer δ \geq 9 such that the inequality θ(n) \leq (2^{2^{n-5}}-1)^{2^{n-5}}+1 holds for every integer n \geq δ. We prove: (1) for every integer n>9, the inequality θ(n)<(2^{2^{n-5}}-1)^{2^{n-5}}+1 implies that 2^{2^{n-…
2017-02-09 math.NT
On a Conjecture of Sun Zhi-Wei and Related Diophantine Equations
对于任何整数$m\ge0$，我们记得三角形数就是那些$\mathbf{T}(m)=\frac{m(m+1)}{2}$。孙志伟的一个猜想指出，具有任意$n>2$的整数$2^n\pm n$不可能是三角数.这项工作的动机是证实这一猜想。
2022-02-17 math.NT
S-Diophantine quadruples with $\mathbf{S=\{2,q\}}$
令$S$表示素数集合，令$a_1,\ldots,a_m$是正的不同整数。如果对于所有$i\not=j$，$a_ia_j+1=s_{i,j}$都是$S$ -整数，我们称$m$ -元组$(a_1,\ldots,a_m)$为$S$ -丢番图元组.本文证明了，如果$S=\{2,q\}$与$q\equiv 3\; (\bmod\, 4)$或$q<10^9$，则不存在$S$ -丢番图四元组（即~ $m=4$）.对于两个任意素数$p,q<10^5$，我们得到了同样的结果.
2014-07-25 math.NT
The Diophantine equation $aX^{4} - bY^{2} = 1$
作为Thue-Siegel方法的一个应用，我们解决了Walsh的一个猜想：对于固定的正整数$a$和$b$，丢番图方程$aX^{4} - bY^2=1$至多有两个正整数解$X$和$Y$ .由于存在无穷多对$(a,b)$，其中存在两个这样的解，因此该结果是尖锐的。
2009-03-10 math.NT
$k$-Diophantine $m$-tuples in Finite Fields
本文定义了一个$k$ -丢番图$m$ -元组是一组$m$正整数，使得任何$k$不同的正整数的乘积比一个完满平方小1.我们研究了有限域$\mathbb{F}_p$中奇素数$p$的这些集合，并保证了当$p$大于某个显式下界时，存在一个$k$ -丢番图m-元组.我们还给出了$\mathbb{F}_p$中3-丢番图三元组个数的公式以及$k$ -丢番图$k$ -元组个数的渐近公式.
2022-01-17 math.NT
Gauss Integers and Diophantine Figures
本文利用高斯整数给出了顶点为整数坐标点的满Erdoes图的几何。这些图称为丢番图。
2002-03-07 math.MG math.NT
On the existence of $S$-Diophantine quadruples
设$S$是素数的集合。我们称一个不同的正整数$m$元组$S$ -丢番图，如果对于所有的$i\neq j$，整数$s_{i,j}:=a_ia_j+1$只有来自集合$S$的素因子，即如果所有的$s_{i,j}$都是$S$ -单位。在本文中，我们证明了没有$S$ -丢番图四元组（即~如果$S=\{3,q\}$，则存在$m=4$）。此外，我们表明，对于所有的素数$(p,q)$与$p<q$和$p\equiv 3\mod 4$没有$\{p,q\}$丢番图四元组存在，只要$(p,q)$是不是一个Wieferich素数对。
2018-07-09 math.NT
A Upper Bound for the Number of Solutions of Ternary Purely Exponential Diophantine Equations
设$a,b,c$是与$\min\{a,b,c\}>1$互质的固定正整数.本文将Gel'fond-Baker方法与初等方法相结合，证明了若方程$\max\{a,b,c\}>5\times 10^{27}$成立，则方程$a^x+b^y=c^z$至多有三个正整数解$(x,y,z)$ .
2017-02-11 math.NT
On the Diophantine equation $(5pn^{2}-1)^{x}+(p(p-5)n^{2}+1)^{y}=(pn)^{z}$
设$p$是一个素数，其中$p>3$，$p\equiv 3\pmod{4}$和$n$是一个正整数。本文证明了丢番图方程$(5pn^{2}-1)^{x}+(p(p-5)n^{2}+1)^{y}=(pn)^{z}$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$，其中$pn \equiv \pm1 \pmod 5$ .作为另一个结果，我们证明了丢番图方程$(35n^{2}-1)^{x}+(14n^{2}+1)^{y}=(7n)^{z}$只有正整数解$(x,y,z)=(1,1,2)$，其中$n\equiv \pm 3% \pmod{5}$或$5\mid n$ .在证明中，我们利用了Jacobi符号的性质和Baker方法。
2020-02-26 math.NT
On the exponential Diophantine equation $(n-1)^{x}+(n+2)^{y}=n^{z}$
假设$n$是一个正整数。本文证明了指数型丢番图方程$$(n-1)^{x}+(n+2)^{y}=n^{z},\ n\geq 2,\ xyz\neq 0$$只有正整数解$(n,x,y,z)=(3,2,1,2), (3,1,2,3)$ .主要的证明工具是Baker的理论和Bilu-Hanrot-Eschertier关于Lucas数的本原因子的结果。
2020-03-28 math.NT
Exponents of Diophantine Approximation and Sturmian Continued Fractions
设x为实数，n为正整数。定义了丢番图逼近的四个指数，它们是Mahler和Koksma定义的指数w_n（x）和w_n^*（x）的补充.当n=2，x是一个实数，其连分数展开式与某些正整数的Sturmian序列一致时，我们计算了它们的六个值，直到初始项。特别地，我们得到了这样一个连分数x的二次根号逼近的精确指数。
2004-06-03 math.NT
A family of diophantine equations of the form x^4 +2nx^2y^2+my^4=z^2 with no solutions in (Z+)^3
本文证明了如下结果（定理1）：设n是正整数，p是奇素数，且n与0模4全等，p与3模8全等，或者n与2模4全等，p与7模8全等。除此之外，假设下列之一成立：（i）n^2-p>0且正整数是素数，或者（ii）n^2-p<0且正整数N=-m=-（n^2-p）是素数。则丢番图方程x^4 + 2nx^2y^2 + my^4 =z^2无正整数解。证明方法是基本的，因为它只使用了同余式的论点，费马最初应用的（无限）下降法，以及三元丢番图方程x^2+ly^2=z^2，l是正整数的正整数通解。我们在第9页和第10页以两个表格的形式提供了53个数字例子;在第10-12页提供了历史评论。
2009-05-20 math.NT
There is no Diophantine $D(-1)$--quadruple
一组正整数的性质，其中任何两个产品是一个完满平方继承称为丢番图$D(-1)$ -集。这样的对象通常是通过一个系统的广义佩尔方程自然连接到一套审查。本文介绍了一种新的研究丢番汀$D(-1)$的方法--四元组。主要的新颖性是揭示了一个二次方程的各种参数描述一个假设的$D(-1)$ -四倍整数条目。结合大量的计算，这一想法导致确认的猜想，根据没有丢番图$D(-1)$ -四重。
2020-10-19 math.NT
Diophantine equations involving Euler's totient function
本文研究了含有Euler函数$ϕ$和Lucas型序列的方程.特别地，我们证明了方程$ϕ(x^m-y^m)=x^n-y^n$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a+1, a, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a$是正整数，方程$ϕ((x^m-y^m)/(x-y))=(x^n-y^n)/(x-y)$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a, b, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a, b$是具有$a>b\ge 1$的整数.
2017-11-01 math.NT
The Shuffle Variant of a Diophantine equation of Miyazaki and Togbé
2012年，T. Miyazaki和A. Togbé给所有的解决方案丢番图方程$(2am-1)^x+(2m)^y=(2am+1)^z$和$b^x+2^y=(b+2)^z$在正整数$x,y,z,$ $a>1$和$b\ge 5$奇数。在本文中，我们提出了一个类似的问题（我们称之为丢番图方程的Miyazaki和Togbé的洗牌变体）。本文首先证明了丢番图方程$(2am+1)^x+(2m)^y=(2am-1)^z$只有正整数解$a>1,m,x,y,z$的解$(a, m, x, y, z)=(2, 1, 2, 1, 3)$和$(2,1,1,2,2)$.然后利用这个结果，证明了丢番图方程$b^x+2^y=(b-2)^z$在正整数$x,y,z$和$b$中只有解$(b,x, y, z)=(5, 2, 1, 3)$和$(5,1,2,2)$.
2021-05-21 math.NT
Practical solution of some families of quartic and sextic diophantine hyperelliptic equations
本文利用初等数论研究了有理整数上的如下形式的丢番图方程：$y^2=(x+a)(x+a+k)(x+b)(x+b+k)$，$y^2=c^2x^4+ax^2+b$和$y^2=(x^2-1)(x^2-α^2)(x^2-(α+1)^2).$.我们用$f(x),$的判别式的因子来表示它们的整数解，其中$y^2=f(x)$ .
2022-11-16 math.NT
On a diophantine equation of M. J. Karama
对每一个正整数$n$，构造了丢番图方程$x^n - y^n = z^{n+1}$的无穷多个正整数解.
2017-02-08 math.NT
Yet another $S$-unit variant of Diophantine tuples
证明满足任意两数之积为给定多项式在正整数$S$-单位处取值的整数三元组仅有有限个，基于Corvaja和Zannier的结果及Schmidt子空间定理。
2019-10-21 math.NT
