Towards an axiomatization of the theory of higher categories
B. Toen
我们定义了“（1，infty）-范畴理论”的概念，并证明了这样的理论在等价条件下是唯一的。
We define a notion of "theory of (1,infty)-categories", and we prove that such a theory is unique up to equivalence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Projectively generated $d$-abelian categories are $d$-cluster tilting
在Jasso工作的基础上，我们证明了任意射影生成的$d$ -阿贝尔范畴等价于具有足够射影的阿贝尔范畴的$d$ -簇倾斜子范畴.这支持了$d$ -阿贝尔范畴是$d$ -簇倾斜子范畴的良好公理化的主张。
Higher exact dg-categories
本文引入n-精确微分格范畴概念，证明其在特定条件下具有n-exangulated结构，揭示了n-精确微分格范畴对n-exangulated类的dg增强作用。
Factorisation and Cohomology of Higher Categories
我们构造了一个迭代法，用于将小严格n-范畴分解成一个唯一的（直到同构）小1-范畴的集合。在此之后，我们发展的理论，包括一个大类的$\infty$ -范畴。我们使用这种因式分解来定义高阶范畴的上同调理论。最后，我们讨论了低维范畴分解的一些具体例子。
Enrichment of Algebraic Higher Categories
我们提供了一个丰富的定义，适用于各种各样的范畴结构，概括Leinster的理论丰富的$T$ -multicategories。作为一个新的丰富的结构的例子，我们详细描述了丰富的幺半范畴和丰富的双范畴的例子，重点是monoidal双范畴作为广泛方便的基础的丰富。
Recollements in stable $\infty$-categories
我们发展了稳定的$\infty$ -范畴设置中的元素理论。在Beilinson、Bernstein和Deligne的公理化中，双元情形提供了Grothendieck的“六个函子”在派生范畴之间的推广。在给定$\mathbf{D}^0, \mathbf{D}^1$上的$t$ -结构$\mathfrak{t}_0,\mathfrak{t}_1$的情况下，单元$\mathbf{D}^0\leftrightarrow \mathbf{D} \leftrightarrow \mathbf{D}^1$中的函子之间的伴随关系在$\mathbf{D}$上诱导出一个“简化的”$t$-结构$\mathfrak{t}_0\uplus\mathfrak{t}1$。这样一个经典的结果在三角范畴的背景下是众所周知的，在稳定的$\infty$ -范畴的背景下被重铸，并研究了相关（$\infty$ -范畴）因子分解系统的性质。在分层空间的几何情况下，出现了各种各样的重叠元素，它们与层的交叉点的组合学“良好地相互作用”，以给出定义明确的、关联的$\uplus$运算。由此我们推出了$n$ -折叠胶合$\mathfrak{t}_0\uplus\cdots\uplus \mathfrak{t}_n$的一个广义结合性质，它在任何稳定$\infty$ -范畴中都是有效的.
Higher Central Extensions in Mal'tsev Categories
G. Janelidze作为范畴伽罗瓦论中覆盖态射的抽象概念的特殊例子。最近，这一概念被推广到任意半阿贝尔范畴并在其中进行了研究。在这篇文章中，我们进一步扩展范围到确切的Mal'tsev范畴和更远的范畴。
Monads on higher monoidal categories
我们研究了单子在具有多个单子结构的范畴上的作用。我们确定的结构和条件，保证较高的monoidal结构继承的范畴代数单子。Monoidal monad和comonoidal monad在这个层次结构中作为基本情况出现。作用于对偶范畴的单子构成了下一种情况。我们涵盖了一般情况下的$n$ -幺半范畴，并讨论了几个自然发生的例子，其中$n\leq 3$。
Data structures for quasistrict higher categories
我们提出了新的准严格高阶范畴的数据结构，其中结合律和单位律严格成立。与传统的高阶范畴的代数定义相比，我们的方法具有较低的公理复杂性，并且我们用它给出了拟严格4-范畴的一个实用定义。它也适合于计算机实现，我们利用这一点给出了一个新的机器验证的代数证明，每一个adjunction的1-细胞在一个准严格的4类可以提升到一个连贯的adjunction满足蝴蝶方程。
Weakly globular Tamsamani N-categories and their rigidification
我们引入一类新的更高的范畴结构称为弱球状Tamsamani n-范畴。这些推广了高阶范畴的Tamsamani-Simpson模型，通过使用弱球性的新范式来削弱高级范畴结构。我们证明了这个新的结构是适当的等价于一个更简单的作者以前介绍的，所谓的弱球形n-倍范畴。
A skew approach to enrichment for Gray-categories
针对Gray-范畴范畴缺少能建模弱高维变换的幺半双闭结构的问题，该系列首篇论文提出了其上的多种斜幺半闭结构，分别可刻画高松变换与高伪变换。
Involutive Weak Globular Higher Categories
本文利用Jacque Penon的方法研究了对合弱球形$ω$ -范畴的概念。特别地，我们给出了$ω$ -球集上自由自对偶球$ω$ -岩浆和自由严格对合球$ω$ -范畴的结构，以及它们之间的压缩.对合弱球形$ω$ -范畴的单子定义通常是通过代数给出的。在我们的例子中，附加函数是从“自由函子“中获得的，它将上述收缩与每个$ω$ -球形集合相关联。文中还给出了对合弱球形$ω$ -范畴的一些例子。
Higher Categories and Slices of Globular Operads
本文基于球状算子展示理论给出了切片的具体定义，并计算了多个关键$n$-范畴理论的切片，以验证Batanin关于切片能分离各维度代数结构并判定全弱等价性的猜想。
Associative $n$-categories
我们定义了新的完全组合模型的高阶范畴。我们的定义是基于连接的高阶范畴的"有向空间"。有向空间局部建模流形图，这是分层的n-立方体，使地层是横向的n-立方体的旗叶理。本论文的第一部分发展了一个流形图的组合模型，称为奇异n-立方体。在第二部分中，我们应用这个模型来建立我们的高阶范畴的概念。奇异n-立方体是空间的“有向三角剖分”，并分解成子空间或层的集合。奇异的n-立方体可以自然地分为两类。第一个，其态射本身是丛，用于奇异（n +1）-立方体的归纳定义。第二，其态射是“开放”的基础变化，承认（外延，单）因子分解系统。单态性将被称为立方体的嵌入。满态将被称为塌缩，并描述三角剖分如何被粗化。每个立方体都有一个唯一的粗三角剖分，称为其标准形。规范形的存在使得（组合表示的）流形图的等式关系是可判定的。作为流形图的组合框架的主要应用，我们给出了各种概念的高阶范畴的代数定义。也就是说，我们定义了结合n-范畴，给出了结合n-范畴和给出了结合n-广群。所有这三个概念将有严格的单位和协会，唯一的弱相干同伦，但我们开发了一种机制，恢复通常的相干数据弱n-类别，如协会和五边形及其更高的类似物。这将激发这样的猜想，即结合高阶范畴理论等价于它的完全弱对应物。
Characterizations of higher derivations and higher differential torsion theories in Eilenberg-Moore categories of monads
本文研究了在Eilenberg-Moore范畴中单调子的更高导出及其与更高微分torsion理论的关系。
Higher Witt Groups for 2-Categories I: Centralizers
本文研究 multifusion 2-范畴中三类2-函子的中心化子，证明其封闭性，刻画非退化条件，并建立局部模与自由模的关系及分解性质。
Weak identity arrows in higher categories
弱高阶范畴有十几种定义，它们都放松了箭头合成的概念。这里提出了一种新的方法，而不是身份箭头的概念被削弱-这些被暂时称为公平类别。这种方法在本质上是单纯的，但通常的单纯范畴$Δ$被“有色序数”的某种“胖”δ所取代，其中的退化映射只达到同伦。第一部分的论述是针对广大的数学读者，并载有简要介绍简单的观点，高阶范畴一般。它解释了如何定义公平的$n$范畴几乎是强加给我们的三个标准的想法。第二部分陈述了关于公平范畴的一些基本结果，并给出了例子。证明了公平2-范畴范畴等价于具有严格合成律的双范畴范畴。公平3类对应于具有严格组成法则的三类。该理论的主要动机是辛普森的弱单位猜想，根据该猜想，具有严格复合律和弱单位的$n$ -广群胚应该模拟所有同伦$n$ -类型。一个版本的证明，这一猜想在3维宣布，获得联合工作与A。乔亚尔技术细节和对应用程序的更全面处理将在其他地方出现。
Enriched Sets and Higher Categories
我们引入了丰富集的概念，作为一个抽象的丰富的类别，一类丰富集。丰富集的集合本身被描述为在丰富集的类别上丰富的集合。我们介绍了一种方法，用于从一个给定的丰富集的建设，一些额外的数据，并为“函子”从这样的丰富集，从而应该产生的丰富集的丰富集。
Higher extensions in exact Mal'tsev categories: distributivity of congruences and the $3^n$-Lemma
本文的目的是更好地理解$n$ -三次扩张和$3^n$ -图之间的对应关系，它们可以被看作是非交换的Yoneda扩张，在非交换代数结构的（上）同调中很有用。我们研究了一个高维版本的coequaliser/内核对的adjunction，其中涉及$n$倍自反图与$n$倍箭头在任何确切的Mal'tsev类别。我们首先要问自己，这个附加条件是如何限制于范畴的等价的。这导致了一个有效的$n$倍等价关系的概念，对应于$n$倍正则满射。我们根据Bourn所谓的并行$n$ -折叠等价关系（当$n=2$时）来描述这些关系。然后，我们进一步限制等价性，目的是表征$n$ -立方扩展。我们找到了一个同余分布条件，从而得到了一个在精确Mal'tsev范畴中有效的反正规化的$3^n$ -引理.本文给出了半阿贝尔范畴中短正合列的一个$3^n$ -引理，它涉及到正规子范畴的并与交之间的分配性条件.即使在阿贝尔的情况下，这也是新的。
Representable diagrammatic sets as a model of weak higher categories
发展Kapranov和Voevodsky的想法，我们介绍了一个模型的基础上有向复合体，组合表示粘贴图的弱欧米茄范畴。我们建议这是一个方便的框架，更高的维度重写。我们定义的图形集上的一类有向复合体提出粘贴图与球形边界的预层。图集有结构面和退化运算，但没有结构复合。我们定义了一个概念的等价细胞在一个图解集，并说，一个图解集是可表示的，如果所有粘贴图与球形边界连接到单个细胞-他们的弱复合材料-由一个高维等价细胞。本文发展了可表示图集的基本理论，证明了图集的等价单元满足期望的性质。我们研究了严格ω-范畴的神经作为RDSs，证明了2-截断RDSs等价于双范畴。最后，我们连接的组合学的图解集和单纯集，并证明了一个版本的同伦假设的“groupoidal”RDS：存在一个几何实现函子的图解集，诱导同构的组合和经典的同伦群，它有一个同伦右逆。
Consciousness in a Higher Categorical Context
本文在更高范畴背景下，通过微观可逆性和意识概念，提出两种对偶的Segal范畴表示方法。
Higher weak (co)limits, adjoint functor theorems, and higher Brown representability
证明了弱（余）完备$n$ -范畴的一般伴随函子定理。这类$n$ -范畴包含了（共）完备$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴，所以这些$n$ -范畴一般不允许所有的小（共）极限.我们还引入了（同伦）$n$ -范畴的Brown可表示性，并证明了紧生成的$n$ -范畴的局部化的Brown可表示性定理.这类$n$ -范畴包括可表示$\infty$-范畴的同伦$n$-范畴（如果$n \geq 2$）和可表示稳定$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴（对于任何$n \geq 1$）.
Pseudo-functors modelling higher structures
我们引入了一个新的更高的范畴结构称为弱球形n-fold范畴。这种结构是基于迭代的内部范畴和弱球性的概念。我们确定了一个合适的类的伪函子，其严格化产生弱球形n倍类别。
Higher categories
该文为数学物理百科撰写，介绍高阶范畴同伦理论，并重点说明 $\infty$-范畴与 $(\infty,n)$-范畴等基本对象的定义动机。
Foundations of Algebraic Theories and Higher Dimensional Categories
泛代数通过将各种代数结构表示为方程理论或抽象克隆来统一地捕捉它们。代数结构在数学和相关领域中的普遍存在已经产生了泛代数的几个变体，例如对称运算、非对称运算、广义运算和单子。这些泛代数的变体称为代数理论的概念。在本论文的第一部分，我们开发了一个统一的框架，包括所有上述例子的概念代数理论。我们的关键观察是，代数理论的每个概念都可以被识别为一个幺半范畴，以这样一种方式，理论对应于其中的幺半群对象。我们引入了一个范畴结构称为元模型，这是理论模型定义的基础。我们还考虑代数理论的概念之间的态射，这是一个monoidal版本的profunctors。每一个强么半群函子都会产生一对这样的态射，并且提供了一种统一的方法来建立代数理论中不同概念的模型范畴之间的同构。一个一般的结构-语义伴随性结果和一个双范畴的泛性质泛属性的范畴的模型。在本文的第二部分，我们从一般的代数结构研究转移到一个特殊的代数结构：高维范畴。在几个现有的定义更高的维度范畴，我们选择看一个由Batanin提出，后来由Leinster完善。我们表明，广泛的范畴的概念在Batanin和Leinster的定义中起着核心作用。利用这一点，我们概括了他们的定义，允许丰富的任何本地可呈现的广泛的范畴。
A Model for the Higher Category of Higher Categories
我们利用完备Segal空间的纤维化构造了四个完备Segal空间：Reedy单形空间、Segal空间、完备Segal空间和空间。此外，我们表明，每一个都带有一个通用的纤维化，分类Reedy左纤维化，Segal coCartesian纤维化，coCartesian纤维化和左纤维化，并证明这些是可表示的纤维化。最后，我们使用准范畴和完整的Segal空间之间的等价性，提出类似的结构使用准范畴的纤维化。
A generalization of higher rank graphs
我们引入我们所谓的“广义高阶$k$ -图”作为一类类别配备了大小的概念。它们不仅扩展了更高秩的$k$ -图，而且还扩展了第一作者所引入的Levi范畴作为群图的范畴集。我们证明了广义高阶$k$ -图的例子可以用群胚和高阶图的Zappa-Szép积来构造。
On higher monoidal $\infty$-categories
本文对$\infty$ -运算的有限序列$\mathbf{O}^{\otimes}$引入了$\mathbf{O}$ -monoidal $\infty$ -范畴的概念，它是高阶幺半范畴概念在$\infty$ -范畴背景下的推广.我们证明了由coCartesian $\mathbf{O}$ -monoidal $\infty$ -范畴和右伴随lax $\mathbf{O}$ -monoidal函子构成的$\infty$-范畴等价于由Cartesian $\mathbf{O}_{\rm rev}$ -monoidal $\infty$ -范畴和左伴随oplax $\mathbf{O}_{\rm rev}$ -monoidal函子构成的$\infty$-范畴的对范畴，其中$\mathbf{O}^{\otimes}_{\rm rev}$是由$\mathbf{O}^{\otimes}$反序得到的序列.
On Strict Higher C*-categories
本文定义了严格对合高阶范畴、严格高阶 C*-范畴及高阶 Fell 丛，提出松弛交换性质以避免 Eckmann-Hilton 坍缩，从而构造出源于超矩阵和超 C*-代数的非平凡非交换示例，并探讨其在非交换几何与关系量子理论中的应用。
A theorem of Retakh for exact $\infty$-categories and higher extension functors
该研究针对正合∞范畴，通过双纤维化定义扩张∞范畴，证明其稳定包络不变且构成Ω谱以推广Retakh定理，还验证了其同伦群与对应外三角范畴的高阶扩张群自然同构。
Algebraic models for higher categories
在一般模型范畴中引入了代数同分对象的概念，建立了代数同分对象的（组合）模型范畴结构。在此基础上，我们提出了代数Kan复形作为oo-群胚的代数模型，代数拟范畴作为（oo，1）-范畴的代数模型。此外，我们给出了一个明确的证明同伦假设。
Higher quasi-categories vs higher Rezk spaces
在Joyal的n-cell范畴Θ_n的预层上引入n-拟范畴的概念作为模型范畴结构的映射对象。我们的定义来自于Cisinski和Joyal的一个想法。然而，我们表明，这个想法必须稍微修改，以获得一个合理的概念。本文构造了n-拟范畴的模型范畴与Rezk Θ_n-空间的模型范畴之间的两个Quillen等价，证明了n-拟范畴是（\infty，n）-范畴的模型.当n = 1时，我们恢复了Joyal和Tierney在拟范畴和完备Segal空间之间定义的两个Quillen等价.
Algebras of higher operads as enriched categories
我们描述了正规化$ω$ -操作和球集范畴上的某些松弛monoidal结构之间的对应关系。正如普通的幺半范畴一样，我们有一个在宽松的幺半范畴中丰富的范畴概念。在上述对应关系中，我们还提供了一个给定的规范化$ω$ -操作数的代数之间的等价性，和类别丰富的球形集的诱导松弛monoidal结构。
Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category
本文介绍了线性幺半范畴范畴的重写理论。这些范畴是我们将定义为线性（n，p）范畴的一个特例。我们还将定义线性（n，p）-多道图，线性适应的n-多道图，目前线性（n - 1，p）-范畴。然后，我们专注于线性（3，2）-多道图给出线性幺半范畴的介绍。最后我们给出了这个理论在线性（3，2）-多道生理记录图中的应用，利用van Ostroom定义的重写性质：递减性，用一种新的方法证明了AOB范畴上的一个基定理。
Some remarks on higher Morita categories
本文重新考察代数与双模的双重$\infty$-范畴构造，给出Segal条件更简洁的证明并与Lurie构造比较，进而用归纳方法证明$E_n$-代数的高阶Morita范畴可正确解环。
Yoneda's lemma for internal higher categories
我们发展了任意$\infty$ -topos内部的高阶范畴理论中的一些基本概念。我们定义内部左，右纤维化，并证明了一个版本的Grothendieck建设和米田引理的内部类别。
Segal-type models of higher categories
高阶范畴理论是一个非常活跃的研究领域，它的迅速发展是由于它渗透到各种科学领域。它的影响力延伸到关键的数学学科，特别是同伦理论，代数几何和代数，数学物理，包括在逻辑，计算机科学和超越的重要应用。高阶范畴提供了一种统一的语言，其最大的优势在于它能够在不同的领域之间架起桥梁，并发现新的应用程序。在这个基础性的工作中，我们介绍了一种新的方法来高阶范畴。它建立在迭代内部范畴理论的基础上，这是最简单的可能的更高范畴结构之一，通过采用一个新颖而非常简单的“弱球性”假设，并证明由此产生的模型提供了一个完全通用的弱n-范畴理论。后者是最复杂的高级结构之一，对应用至关重要。我们表明，这种新的模型的“弱球状n重范畴”是适当的等价于研究模型的弱n-范畴由于Tamsamani和辛普森。
Homotopy cartesian diagrams in n-angulated categories
Bergh和Thaule证明了对于n角范畴，高次映射锥公理等价于高次八面体公理。本文利用同伦卡氏图给出了高阶映射锥公理的几个新的等价表述，并将其应用于解释高阶八面体公理。
On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories
我们公理化了$(\infty,n)$ -范畴理论。证明了$(\infty,n)$ -范畴的理论空间是一个$B(\mathbb{Z}/2)^n$ .本文证明了Rezk的完备Segal $Θ_n$ -空间，Simpson和Tamsamani的Segal $n$ -范畴，第一作者的$n$ -fold完备Segal空间，Kan和第一作者的$n$ -相对范畴，以及任何$(\infty,n-1)$ -范畴模型中的完备Segal空间对象都满足我们的公理.因此，这些理论在某种程度上都是等价的，直到$(\mathbb{Z}/2)^n$的作用。
Flagged higher categories
引入了\emph{flagged $(\infty,n)$-categories}，证明了它们等价于Joyal范畴${\mathbfΘ}_n$上的Segal层.因此，标记的$(\infty,n)$类别提供了Segal层的模型无关公式。这一结果推广了空间中的$n$ -广群对象是有效的这一说法，正如我们所解释的那样。一路上，我们建立了一个有用的表达式，这样的Segal层的univalent完成。最后，我们猜想一个特征的标记$(\infty,n)$ -范畴的堆栈上的$(\infty,n)$-范畴，满足下降的colimit图，不产生可逆的$i$ -态射的任何$i$。
Stable homotopy theory of higher categories
本文证明反转自同态范畴操作产生高阶范畴的稳定同伦理论，其中范畴谱表示同调理论，并建立范畴Brown表示定理及Hurewicz和Eilenberg-Zilber定理。
Homotopy theory of higher categories
这是一本关于高阶范畴的书的初稿，它是通过重复西格尔的方法来实现的，正如塔姆萨马尼对$n$ -神经的定义和佩利西耶的论文一样。如果$M$是一个易处理的左固有范畴模型范畴，我们在$M$ -前范畴上构造了一个易处理的左固有范畴模型结构.然后，可以迭代该过程，导致$(\infty, n)$ -范畴的模型范畴。
Higher commutator conditions for extensions in Mal'tsev categories
在正合Mal'tsev范畴的等价关系对范畴上定义了一个Galois结构，并在更高的交换子条件下刻画了中心扩张和双中心扩张.这些结果既推广了与正合Mal'tsev范畴中的Abelianization函子有关的结果，也推广了与内自反图范畴到内群胚子范畴的映射有关的结果.在群、预交叉模、李代数的预交叉模、紧群等范畴中给出了一些例子和应用。
Cartesian closed 2-categories and permutation equivalence in higher-order rewriting
我们提出了一个语义置换等价的高阶重写。这种语义发生在Carnival闭2-范畴中，并被证明是合理的和完备的。
Higher Operads, Higher Categories
高维范畴论是研究n-范畴、运算、辫状幺半范畴和其他类似的奇异结构。它从拓扑学、量子代数、数学物理、逻辑学和理论计算机科学等不同领域汲取灵感。这是关于这个主题的第一本书，奠定了它的基础。许多例子都给出了整个。也有一个介绍性的章节激励topologists的主题。
Induced model structures for higher categories
我们给出了一个新的准则，保证了沿着一个允许两个伴随的函子左诱导模型结构的存在性。这在函子在同伦范畴水平上诱导幂等元的假设下起作用。作为应用，我们在立方集、预导子、标记单纯集和单纯空间上构造了新的模型结构，用于刻画$\infty$ -范畴和$\infty$ -广群胚.
Higher-dimensional generalization of abelian categories via DG-categories
本文提出阿贝尔n-截断DG范畴作为阿贝尔范畴的高维推广，统一了普通阿贝尔范畴与稳定DG范畴，并证明其同伦范畴具有外三角和预三角结构，同时建立了满-单分解等经典理论的高维类比。
Higher inductive types in $(\infty,1)$-categories
本文在具有有限极限的$(\infty,1)$-范畴中定义高阶归纳类型，证明相关范畴有限可展示且初始对象存在，并证明初始对象的全局截面函子保持高阶归纳类型。
Homomorphisms of higher categories
我们描述了一个建设，每个代数指定的概念，高维范畴关联的概念同态保留的范畴结构，只有弱可逆的高细胞。结构是这样的，这些同态承认一个严格的结合和unital组成。我们给出了这种构造的两个应用。第一是三大类;这里我们没有得到Gordon，Power和Street定义的三同态，而只是得到了在适当意义上等价的东西。第二个是Batanin的弱欧米茄类别。
A simplicial category for higher correspondences
在这项工作中，我们提出了一个实现Lurie的预测，内部纤维$p: X \rightarrow A$分类的$A$索引图在一个“高阶范畴“，其对象是$\infty$ -类别，态射是它们之间的对应和更高的态射是更高的对应。我们将得到这一点作为一个推论的一个更一般的结果，其中分类所有单纯映射之间的普通单纯集以类似的方式。单纯集（和$\infty$ -范畴）之间的对应是属于范畴的原函子（或双模）概念的推广。当范畴、函子和原函子被组织在一个双重范畴中时，我们将展示单纯集、单纯映射和对应作为单纯范畴的一部分。这使我们能够做出准确的陈述并提供证据。我们的主要工具是双范畴语言，我们也在单纯范畴的上下文中使用它。
Algebras of higher operads as enriched categories II
系统地构造Gray张量积的高维类似物是高阶范畴理论中的一个开放问题。在本文中，我们继续[7]的工作，使球状运算[4]的机制适应这项任务。所得到的理论包括2-范畴的Gray张量积和Gray范畴的Crans张量积[12]。此外，许多以前的工作的球形方法高阶范畴理论简化了我们的新的基础，我们说明了这一点，通过加快帐户的许多方面的郑的分析[11] Trimble的定义的弱n-范畴。作为应用，我们得到了辫子monoidal 2-范畴的一个“Ekmann-Hilton”结果，并给出了A-无穷代数的一个张量积的构造.
Higher Auslander's defect and classifying substructures of n-exangulated categories
本文为 $n$-正合范畴建立 Auslander 亏格与 Auslander-Reiten 对偶公式，并利用亏格范畴分类其子结构。
Multitensor lifting and strictly unital higher category theory
在这篇文章中，我们扩展了松弛monoidal结构的理论，也被称为multitensors，和单子上的丰富的图形，他们产生的范畴。我们的第一个主要结果--多重张量的提升定理--使我们能够看到2-范畴的格雷张量积和格雷范畴的克兰斯张量积是这个框架的一部分。我们定义弱n-范畴严格单位的一个概念，减少高运算，使用代数弱因子分解系统的理论。我们的第二个主要结果是在具有严格单位的弱n-范畴上建立一个松弛张量积，使得关于这个张量积的丰富范畴恰是具有严格单位的弱（n+1）-范畴。
Higher dualizability and singly-generated Grothendieck categories
设$k$为字段。我们表明，局部可呈现，$k$ -线性范畴$\mathcal{C}$ dualizable在这个意义上的单位函子可以恢复为$\coprod_i x_i\otimes f_i$的对象$x_i\in \mathcal{C}$和左伴随$f_i$从$\mathcal{C}$到$\mathrm{Vect}_k$是产品的副本$\mathrm{Vect}_k$。这部分证实了Brandenburg、作者和T.约翰逊-佛瑞德受此启发，我们还刻画了Grothendieck范畴包含一个对象$x$的性质，每个对象是一个上幂的$x$：他们正是范畴的非奇异内射右模的简单，正则，右自内射环的类型I或III。
The coalgebraic enrichment of algebras in higher categories
我们证明了：给定$\mathcal{C}$一个可表示对称的Monoidal $\infty$ -范畴和任意本质小的$\infty$ -运算元$\mathcal{O}$，$\mathcal{C}$中的$\mathcal{O}$ -代数的$\infty$ -范畴在$\mathcal{C}$中的$\mathcal{O}$ -余代数的可表示对称Monoidal $\infty$ -范畴上是丰富的、张量化的和余张量化的.我们提供了一个更高的范畴模拟的普遍测量余代数。对于通常意义上的类别，Hyland、López Franco和Vasilakopoulou证明了这一结果。
Singularity categories via higher McKay quivers with potential
将Kalck-Yang关于三维Gorenstein商奇点的定理推广到任意维数，引入带势的高阶McKay箭图，并证明奇点范畴等价于小丛范畴，同时将Cohen-Macaulay模范畴等价于Higgs范畴，并处理非Gorenstein情形。
Higher Frobenius-Schur Indicators for Pivotal Categories
我们定义更高的Frobenius-Schur指标的线性枢轴幺半范畴的对象。我们证明了它们是范畴不变量，并且取值于分圆整数。我们还定义了$k$ -线性半单刚性幺半范畴上的单位元内函子的一族自然自同态，我们称之为Frobenius-Schur自同态。对于一个$k$ -线性半单枢轴幺半范畴--其中两个概念都被定义--，Frobenius-Schur指标可以被计算为Frobenius-Schur自同态的迹。
Fibrations in Oriented Category Theory
从定向范畴论角度研究高阶范畴纤维化，给出其等价特征，表明纤维化范畴构成定向范畴，研究其与定向拉回相互作用并构建相关纤维化版本及格罗滕迪克构造。
Polygraphs: From Rewriting to Higher Categories
本专著以Polygraphs（多图）为统一概念，结合同伦代数视角在严格高维范畴下研究重写理论，分低维应用与高维同伦两部分，推广了代数结构连贯性结果。
Substitudes, Bousfield localization, higher braided operads, and Baez-Dolan stabilization
这个简短的说明报告联合工作与迈克尔Batanin对一个通用的机器证明贝兹多兰稳定定理的各种模型的高阶范畴，基于替代，Bousfield本地化，同伦贝克Chevalley广场。我提供了一个路线图，我们最近的论文，并包括新的成果证明贝兹多兰稳定定理Tamsamani弱$n$类，更高的Segal类，阿拉的$n$准类，和carnival模型的Segal和完整的Segal对象由于伯格纳和Rezk。我还试图澄清与更高的编织操作的联系，以及我们更普遍的稳定机制。
Higher-dimensional categories with finite derivation type
我们研究收敛（终止和合流）表示的n-范畴。利用测谎仪（或computad）的概念，我们介绍了同伦性质的有限导子类型的n-范畴，推广了一个由Squier介绍的词重写系统。我们通过使用临界分支的概念来刻画此属性。特别地，我们定义了n-范畴具有有限导子型的充分条件。通过实例，我们提出了几种基于2-范畴导子的3-多道生理记录仪收敛表示的研究方法。
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