Yoneda's lemma for internal higher categories
Louis Martini
我们发展了任意$\infty$ -topos内部的高阶范畴理论中的一些基本概念。我们定义内部左，右纤维化，并证明了一个版本的Grothendieck建设和米田引理的内部类别。
We develop some basic concepts in the theory of higher categories internal to an arbitrary $\infty$-topos. We define internal left and right fibrations and prove a version of the Grothendieck construction and of Yoneda's lemma for internal categories.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Yoneda Lemma for Elementary Higher Toposes
我们证明了Yoneda引理内的一个小学高拓扑，推广Yonda引理的空间。
Yoneda Lemma for Simplicial Spaces
本文研究了任意单纯空间的Yoneda引理。我们这样做，通过引入左纤维化的单纯空间和研究其相关的模型结构，协变模型结构。特别是，我们证明了一个识别原则的协变等价在任意单纯空间和不变性的协变模型结构的完整Segal空间等价。
The internal Yoneda lemma for locally Cartesian closed $\infty$-categories
在有限完备、局部笛卡尔闭的∞-范畴\(\C\)中阐述并证明约当引理等的内部版本，证明仅用有限极限等，不依赖外部约当引理，并应用于初等∞-拓扑斯，恢复相关定理。
Yoneda lemma for complete Segal spaces
本文用完备Segal空间的语言给出了无穷范畴的Yoneda引理的一个完备证明。
A relative Yoneda Lemma (manuscript)
我们通过一个相对的Yoneda引理构造了集值右Kan-扩张。
Yoneda lemma
本文研究富集图范畴中的名称指派性质，并将米田引理推广到富集原图传输之间的连续变换上。
Stable $\infty$-Operads and the multiplicative Yoneda lemma
我们为每个$\infty$ -运算$\mathcal{O}^\otimes$构造了具有一定有限极限的新的$\infty$ -运算的谱对象和交换群对象在$\mathcal{O}$。我们表明，这些都是普遍稳定的响应。添加剂$\infty$ -从$\mathcal{O}^\otimes$获得的操作物。我们推断，对于一个稳定的（resp。加法）对称monoidal $\infty$ -范畴$\mathcal{C}$ Yoneda嵌入因子通过从$\mathcal{C}$到谱的$\infty$ -范畴的精确、反变函子的$\infty$ -范畴（分别为.连接谱），并承认一定的乘法细化。作为应用，我们证明了具有Smash积的谱的对称幺半群$\infty$ -范畴Sp的正合松弛对称幺半群内函子中的单位函子Sp $\to$ Sp是初始的.
A remark on Yoneda's Lemma
Yoneda 'e引理是关于给定可表示协变（逆变，reps.）的所有自然变换的典范同构函子（从局部小范畴到集范畴）到协变（反变，代表）函子本文指出，给定任意可表示函子和任意函子，我们有从给定可表示函子到给定函子的“子集”函子的规范自然变换，“集合了所有的自然变换“。
Enriched Yoneda Lemma
我们提出了一个版本的丰富Yoneda引理的常规（而不是无穷大）类别。我们要求基幺半范畴有余极限，但不要求它是闭的或对称的。
Yoneda Lemma for $\mathcal{D}$-Simplicial Spaces
对于一个小范畴$\mathcal{D}$，我们定义了范畴$\mathcal{D}\timesΔ$上的单纯预层的纤维化，我们称之为局部化的$\mathcal{D}$ -左纤维化。我们发现这些纤维化可以被看作是一个模型结构，本地化的$\mathcal{D}$协变模型结构，这是Quillen等价于一类函子值的单预层$\mathcal{D}$，其中Quillen等价通过广义的Grothendieck建设。我们使用我们的理解，这种结构的纤维化和弱等价在这个模型结构的详细表征，特别是获得米田引理。我们应用这个一般框架来研究$(\infty,n)$范畴的笛卡尔纤维化，对于通过单纯预层产生的$(\infty,n)$范畴的模型，如$n$ -fold完备Segal空间。特别是，这导致了$(\infty,n)$ -范畴的笛卡尔纤维化的Yoneda引理和Grothendieck构造。
Notes on Moduli theory, Stacks and 2-Yoneda's Lemma
这篇笔记是对模理论的基本方面的一个调查，并附有一些例子。在这方面，本文档的目的之一是理解栈的引入如何通过使用栈的2-范畴来规避对应模函子$\mathcal{F}$的不可表示性问题。为此，我们将简要地回顾2-范畴论的基础知识，并提出米田引理的2-范畴版本。
A bivariant Yoneda lemma and $(\infty,2)$-categories of correspondences
大家都知道，如果你有一个双变同调论，满足一个碱基变化公式，你就得到了一类对应的表示。对于其中协变和逆变转移映射相互邻接的理论，这些数据实际上是等价的。换句话说，一个2-范畴的对应是将一组满足基变化公式的右伴随附加到一个给定的1-范畴上的通用方法。通过Yoneda范式的双变形式，给出了高阶范畴理论中对应的定义，并证明了双变函子的一个扩张定理。此外，在二维Grothendieck结构存在的条件下，我提供了上述泛性质的证明。从道德上讲，这些方法采用了高阶范畴理论的“内在逻辑”：它们没有明确地使用任何特定的模型。
Constructing a fully homomorphic encryption scheme with the Yoneda Lemma
本文利用米田引理统一解释多种经典同态加密系统，提出 Yoneda Encryption Scheme 框架，并据此设计无需自举即可支持任意加密乘加序列的全同态加密方案 ACES。
Yoneda lemma and representation theorem for double categories
本文研究取值于 $\mathbb{C}\mathrm{at}$ 的正规松弛双预层，建立其米田引理、与离散双纤维化的 Grothendieck 2-等价，以及由双终对象刻画的表示定理。
Fibrations and Yoneda's lemma in an $\infty$-cosmos
我们使用术语$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子来表示$\infty$ -宇宙中的对象和态射：一个满足一些公理的简单丰富范畴，让人想起一个丰富的范畴的对象。拟范畴、Segal范畴、完备Segal空间、标记单纯集、迭代完备Segal空间、$θ_n$ -空间以及它们各自的纤维化版本都是这个意义上的$\infty$ -范畴。本系列以前的工作表明，$\infty$ -范畴和$\infty$ -函子的基本范畴论只能参照$\infty$ -宇宙的公理来发展;实际上，大部分工作是同伦2-范畴、$\infty$ -范畴、$\infty$ -函子和自然变换的严格2-范畴的内部工作。在准范畴的$\infty$ -宇宙中，我们精确地重新获得了由Joyal和Lurie发展的相同的范畴论，尽管我们的定义自然是2-范畴的，没有利用区分每个模型的组合细节。本文介绍了一类$\infty$ -函子--carnivibration及其群胚变体。笛卡尔纤维化形成了一个基石，在抽象处理的“类范畴”结构的一个洛杉矶街，并发挥了重要作用，在卢里的工作准范畴。在建立了它们的基本理论之后，我们陈述并证明了Yoneda引理，它具有可表示纤维化映射的拟范畴与纤维在其表示元上的拟范畴之间的等价形式。一个配套文件将应用这些结果建立一个演算的模块之间的$\infty$类别，这将被用来定义和研究点态Kan扩展沿$\infty$…
Yoneda lemma for enriched infinity categories
我们继续研究丰富的无穷范畴，使用的定义相当于Gepner和Haugseng。在我们的方法中，丰富的无穷范畴是在一个特别设计的丰富的箭图幺半范畴的结合幺半群。证明了当基本范畴M中的么半群结构来自于直积时，我们的定义本质上等价于通过Segal对象的方法。此外，我们比较了我们的概念与概念的左张量在M上，并证明了一个版本的Yoneda引理在这种情况下。版本2：更正了2.6.2中的错误。版本3：一些小的更正。版本4：增加了第8节，描述了丰富类别的对应关系。当基本幺半范畴M是一个具有Carnival结构的Prototopos时，我们证明了对应范畴等价于[1]上的丰富范畴范畴.第5版：更改了术语（以前的bicartesian fibrations变为bibrations），纠正了一些印刷错误。版本6：增加了第2.11节，涉及操作筛。根据裁判的要求进行了一些更正和澄清。版本7：最终版本，被数学进展接受。版本8：对2.8.9-2.8.10进行了轻微更正。
From Yoneda to Topoi morphisms
本文仅用米田引理、自然变换技巧与基础范畴论，重新证明拓扑斯理论中site态射分类、平坦性与左正合性等价两个核心结果，推导过程初等且主线清晰。
Formalizing the $\infty$-Categorical Yoneda Lemma
本研究借助支持合成∞-范畴理论的新型证明助手Rzk，首次实现∞-范畴理论结论的形式化，核心成果包括范畴论基本定理米田引理的形式化，且框架内构造自动具备自然性或函子性。
The Yoneda Ext and arbitrary coproducts in abelian categories
在Ab4和Ab4* 阿贝尔范畴中，有一些著名的恒等式涉及Ext双函子、余积和乘积，它们具有足够的投射和足够的内射。也就是说，对于每个这样的范畴$\mathcal{A}$，同构$\operatorname{Ext}^n (\bigoplus_{i\in I}A_{i},X) \cong \prod_{i\in I} \operatorname{Ext}^n(A_{i},X)$和$\operatorname{Ext}^n (X,\prod_{i\in I}A_{i}) \cong \prod_{i\in I}\operatorname{Ext}^n (X,A_{i})$总是存在。本文的目的是证明Ab4和Ab4* 阿贝尔范畴中的Yoneda Ext的相似同构，不需要足够的投射或内射。所需的同构构造显式使用限制和colimits。
Yoneda extensions of abelian quotient categories
设$\mathcal{A}$是本质小阿贝尔范畴，$\mathcal{C}$是$\mathcal{A}$的Serre子范畴.考虑商函子$q:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{A}/\mathcal{C}$。对于一个对象$A\in \mathcal{A}$和一个非负整数$k$，我们研究了自然映射$q_{X,A}^i: \rm Ext^i_{\mathcal{A}}(X,A)\rightarrow Ext^i_{\mathcal{A}/\mathcal{C}}(q(X),q(A))$对每个$X\in \mathcal{A}$和每个$i\in\{0,1,\cdots,k\}$可逆的条件.最后给出了主要定理的一个应用。
A Yoneda-Style Embedding for Virtual Equipments
在本文中，我们展示了一个“米田”式的嵌入任何虚拟设备到虚拟设备的类别丰富。我们表明，这种嵌入保持组成，是满的2细胞和箭头，共反射proarrows。
The Yoneda embedding in simplicial type theory
本文在 simplicial 类型理论中构建 Yoneda 入射，发展预层范畴理论，并证明 Quillen 定理 A。
An elementary proof of the naturality of the Yoneda embedding
本文以简短初等论证证明∞-范畴中Yoneda嵌入的自然性，并说明逐点为该嵌入的自然变换空间可缩。
Formal balls of ${\sf Q}$-categories
Edalat和Heckmann关于度量空间的形式球模型的构造被Kostanek和Waszkiewicz推广到${\sf Q}$ -范畴。本文研究了Quantale ${\sf Q}$的结构对${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完备性与其形式球集的有向完备性之间联系的影响。在${\sf Q}$是具有连续t-范$\&$的区间${\sf Q}$的情况下，证明了为了使每个${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完全性等价于其形式球集的有向完全性，一个充要条件是t-范$\&$是阿基米德的。
Compact convolution
我们陈述了一个Yoneda型引理，它导致各种函子范畴是紧闭的。
Formal category theory in augmented virtual double categories
本文在增广虚拟双范畴中形式化Kan扩张、Yoneda嵌入、全范畴与小余完备化等经典范畴论概念，并证明Yoneda嵌入存在性等价于相应内hom存在性，同时给出沿泛态射提升Yoneda嵌入的一般结果。
On the Cartesian closedness of [0,1]-Cat and some of its subcategories
本文研究了[0,1]-Cat的笛卡儿闭性，并证明其等价于多个子类别的笛卡儿闭性。
Diagonal Lemma for Presheaves on Eilenberg-Zilber Categories
本文研究了Eilenberg-Zilber范畴上的对角引理，证明了在Kan-Quillen模型结构下，双层简复形的逐层弱等价可诱导对角简复形的弱等价。
Supermaps on generalised theories
本文基于超映射理论，建立了一个Yoneda引理，用于描述任意电路理论中的高阶量子操作，并应用于boxworld的高阶过程和高阶真实量子理论的定义。
Enriched infinity categories I: enriched presheaves
这是第一个一系列的文件丰富的无穷范畴，寻求减少丰富的高阶范畴理论的高等代数的presentable无穷范畴，这是更好地理解，可以接近通过泛性质。在本文中，我们引入了一个丰富的无穷范畴上的丰富的预层。我们证明了最熟悉的性质的预层的类似物。例如，我们计算极限和colimits的预层，证明所有的预层的colimits的可表示的预层，并证明一个版本的米田引理。
Enriched indexed categories
我们发展了一个范畴理论，它同时（1）在一个具有有限乘积的基范畴S上被索引，（2）在一个S-索引的幺半范畴V上被丰富。这包括经典的丰富范畴，索引和纤维范畴，以及作为特殊情况的内部范畴。然后，我们描述了适当的概念，“限制”这样丰富的索引类别，并表明，他们承认“自由cocompletions”构建像往常一样与米田嵌入。
Schanuel's Lemma for Exact categories
在正合范畴的背景下，从同调代数出发，证明了Schanuel引理的一个内射形式。
Obstruction theory for objects in abelian and derived categories
在本文中，我们发展的障碍理论提升复合物，直到拟同构，导出范畴的平坦幂零变形的阿贝尔范畴。作为特例，我们还得到了Yoneda Ext-群上物体提升的相应障碍理论。在附录中我们证明了复形的极小导形变的存在性。
Weakly exact categories and the snake lemma
推广了正合范畴的概念，引入了弱正合范畴。蛇引理在此一般设置的证明。给出了弱正合范畴中同调代数的一些应用。
The Cuboid Lemma and Mal'tsev categories
证明了正则范畴$\mathcal C$是Mal'tsev范畴当且仅当非正规化$3 \times 3$引理的强形式在$\mathcal C$中成立.在这个版本的$3 \times 3$引理中，垂直精确分叉被沿着任意态射的正则满态的拉回所取代。它决定的图的形状建议称之为长方体引理。作为马尔采夫范畴（= $2$ -可置换）的规则范畴的这种新的特征类似于先前对古尔萨范畴（= $3$ -可置换）获得的特征。我们还分析了长方体引理的“相对”版本，并将我们的结果扩展到该上下文中。
The Kaplansky-Walker Lemma for additive categories
本文针对带直和的幂等完全加法范畴建立Kaplansky-Walker型引理，将其应用于紧生成三角范畴，得到投射模相关定理及可数对象直和的同构细化结果。
On $2$-star-permutability in regular multi-pointed categories
$2$ --在与Z. Janelidze和A. Ursini是正规马尔采夫范畴和正规减法范畴的一般化。在这篇文章中，我们首先将这些范畴用我们称之为星正则推出的概念来描述。然后，我们表明，$3 \times 3$引理特征正常的减法范畴和长方体引理特征定期Mal'tsev范畴的特殊情况下，一个更一般的同调引理的星正合序列。我们证明了$2$ -星置换等价于这个引理对星正则范畴的有效性。
Higher extensions in exact Mal'tsev categories: distributivity of congruences and the $3^n$-Lemma
本文的目的是更好地理解$n$ -三次扩张和$3^n$ -图之间的对应关系，它们可以被看作是非交换的Yoneda扩张，在非交换代数结构的（上）同调中很有用。我们研究了一个高维版本的coequaliser/内核对的adjunction，其中涉及$n$倍自反图与$n$倍箭头在任何确切的Mal'tsev类别。我们首先要问自己，这个附加条件是如何限制于范畴的等价的。这导致了一个有效的$n$倍等价关系的概念，对应于$n$倍正则满射。我们根据Bourn所谓的并行$n$ -折叠等价关系（当$n=2$时）来描述这些关系。然后，我们进一步限制等价性，目的是表征$n$ -立方扩展。我们找到了一个同余分布条件，从而得到了一个在精确Mal'tsev范畴中有效的反正规化的$3^n$ -引理.本文给出了半阿贝尔范畴中短正合列的一个$3^n$ -引理，它涉及到正规子范畴的并与交之间的分配性条件.即使在阿贝尔的情况下，这也是新的。
Variations of the Shifting Lemma and Goursat categories
我们证明了Mal'tsev和Goursat范畴可以通过移位引理的更强的变化来表征，移位引理经典地表示为三个同余$R$，$S$和$T$，并刻画了同余模簇.我们首先证明了正则范畴$\mathcal C$是Mal'tsev范畴当且仅当移位引理对$\mathcal C$中同一对象上的自反关系成立。证明了正则范畴$\mathcal C$是Goursat范畴当且仅当移位引理对自反关系$S$以及$\mathcal C$中的自反正关系$R$和$T$成立.特别地，这提供了泛代数的$2$ -可置换簇和$3$ -可置换簇和拟簇的新的特征。
The Two-Square Lemma and the connecting morphism
我们得到了Fay，Hardie和Hilton在1989年对阿贝尔范畴和Generalov在1994年对前阿贝尔范畴（在特殊情况下）证明的二平方引理的推广.我们还证明了Snake引理的连接同态的两个定义在符号上的等价性。
Schur's lemma for exact categories implies abelian
我们表明，对于一个给定的确切范畴，存在一个双射之间的半砖（成对的Hom正交集的砖）和长度宽的子范畴（确切的扩展封闭的长度交换子范畴）。特别地，我们证明了一个长度正合范畴是阿贝尔的当且仅当简单对象形成一个semibrick，即舒尔引理成立。
The Zassenhaus lemma in star-regular categories
群论中的Noether同构定理和Zassenhaus引理在一个合适的范畴上下文中有一个非指向的版本，这是W. Tholen在他的博士论文。本文将这些结果与O。Wyler在M. Gran，Z. Janelidze和A.乌尔西尼一些具体的例子，这些结果举行的类别进行了详细研究。
Homological lemmas for (non-abelian) group-like structures by diagram chasing in a self-dual context
本文通过引入'诺特形式'的上下文，展示了如何在非阿贝尔群状结构范畴中，利用自对偶方法处理同调引理。
Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I -- Elements of parametrized higher category theory
我们介绍了参数化$\infty$理论的基本要素-范畴和它们之间的函子。这些概念被定义为$\infty$ -范畴和它们之间的函子的适当纤维化。在这个阶段，我们尽可能多地举例子。简单的操作，如形成对立和形成函子$\infty$ -范畴，变得稍微更多地参与参数化设置，但我们解释了如何执行这些建设。所有这些结构都可以明确地进行，而不需要采取诸如拉直之类的绝望行为。这个Exposé的主要结果是：（1）$T$ - $\infty$-范畴的$T$ -对象在任何$\infty$ -范畴中的一个普遍特征，（2）$T$ - $\infty$ -范畴的一个内部Hom的存在性，以及（3）一个参数化的Yoneda引理。
A characterization of closed subfunctors through $3\times 3$-lemma property in extriangulated categories
本文在外三角范畴中引入子函子的3×3-引理性质，证明加法子函子闭当且仅当满足该性质，推广了Buan的结果，并给出饱和真类的新刻画。
Key lemma and universal localization
本文研究了在任何基变换下仍保持局部化的无穷范畴局部化方法及其实现原理。
Facets of congruence distributivity in Goursat categories
通过对泛代数中三角引理和梯形引理的变形，给出了具有等价关系分配格的正则Mal'tsev范畴的新刻画.然后，我们给出了新的等价分配Goursat范畴（扩展$3$ -置换品种）通过三角形和梯形引理的变化，涉及自反和积极的关系。
Homological Lemmas in a Non-pointed Context
本文证明经典同调引理的非点态版本在配备适当偏序单余反射子范畴的正则原模范畴中成立，并给出酉环、布尔代数、海廷代数、MV-代数及其拓扑模型和基本拓扑斯对偶范畴等实例。
Exact Categories
我们在Quillen意义下的正合范畴中考察了同调代数的基本性质。所有的图引理都是直接从公理证明的，特别是five引理，3 x 3-引理和snake引理。简要讨论了正合函子、幂等完备性和弱幂等完备性。然后，我们表明，它是可能的，以构建一个确切的类别没有任何嵌入到阿贝尔范畴的导出范畴，我们素描德利涅的方法导出函子。构造具有阿贝尔范畴中的值的经典导出函子可以轻松地转换为精确范畴，即，给出了投射分解的比较定理和马蹄引理的证明。在讨论了一些例子后，我们在附录中详细说明了Gabriel-Quillen嵌入定理的证明。
Deconstructibility and the Hill lemma in Grothendieck categories
Grothendieck范畴的一个满子范畴称为可解构的，如果它由某个对象集的所有超限扩张组成。这个概念为结构理论和Grothendieck范畴的子范畴的近似构造提供了一个方便的框架。它还允许在Grothendieck范畴上的复范畴上构造模型结构和t-结构。在本文中，我们的目标是建立解构类的基本结果，并概述如何将这些应用在上述领域。这与Gillespie、Enochs、Estrada、Guil Asensio、Murfet、Neeman、Prest、Trlifaj等人最近的工作有关。
On Congruence Modular Varieties and Gumm Categories
在（B-Gran，2004）中，给出了移位引理的范畴表述，移位引理是在（Gumm，1983）中引入的所有泛代数中的同余模簇的一个特征。从通过点$¶\EE$（B，2005）的纤维化的纤维的性质来表征这个移位引理开始，在Mal'tsev范畴发生的模型上，我们将研究三个方向：1）一个新的方向：遵循由这个表征自然提供的阿贝尔分裂满态的金线; 2）一个或多或少预期的方向：在衡量之间的距离转移引理的后果在品种的背景下，更一般的范畴之一; 3）一个相当惊人的现象，我应该称之为代数晶体学，这是在介绍中描述。
Pre-triangulated categories are triangulated
我们证明了一个更强的版本的八面体公理在一个预三角范畴。证明使用了一个新的引理，这是基于一个弱逆蛇引理的点加性范畴中的正合序列。
Ideal cotorsion theories in triangulated categories
本文研究了三角范畴的扩张闭子范畴中弱真三角形类的理想余挠对。这种方法使我们能够扩展最近由Fu，Herzog等人发展的理想近似理论，并对Salce引理，Wakamatsu引理和Christensen的Ghost引理等标准结果的理想形式提供简化的证明.在本文的最后一部分中，我们应用该理论，以研究在紧生成的范畴和上同调函子到Grothendieck范畴的投射类（特别是本地化或粉碎子范畴）之间的连接。
Several results on exact sequences in categories of modules over trusses
本文在truss上模范畴中建立了蛇引理和九引理，推进了truss上模理论的范畴论研究。
Basic Category Theory
本教材面向数学背景薄弱的读者，以泛性质为核心，通过伴随函子、可表函子和极限三种方式阐述该概念，结合大量例子与细致解释，帮助理解范畴论基础。
On free abelian categories for theorem proving
给出了同调代数中定理证明的计算方法。这种方法是基于计算的自由阿贝尔范畴的加法范畴$\mathbf{A}$。我们表明，自由阿贝尔范畴是服从显式计算时，我们可以决定同伦方程在$\mathbf{A}$。作为我们研究的一些结果，我们恢复了Dowker在蛇引理中关于连接同态$\partial$的显式公式，我们发现了一个普遍意义上的$\partial$是唯一的，并且我们给出了一个改进的5-引理.
Homology and homotopy in semi-abelian categories
理论的阿贝尔范畴证明是非常有用的，提供了一个公理框架的同源性和上同调模环，特别是阿贝尔群。多年来，一个类似的范畴框架一直缺乏非交换（上）同调，其中的主题包括非阿贝尔群，环，李代数等的概念，半阿贝尔范畴由于Janelidze，Marki和Tholen允许一个统一的研究等范畴的许多重要的同调性质。例如，在任何半阿贝尔范畴中，经典的图引理（短五引理，3 × 3引理，蛇引理，Noether同构定理）成立。本文的重点是，半阿贝尔框架确实非常适合于研究非阿贝尔（上）同调和相应的同伦理论。它描述了一个范畴同源理论的基础，该理论统一了经典（共）同调论的许多基本方面，例如，群、李代数和交叉模。从（真）链复形和单纯对象的同调出发，引入了Barr-Beck余三重同调的半阿贝尔形式.系统的研究理论的贝尔不变量在这种情况下产生的范畴版本的霍普夫公式（描述第二个同源对象的条件）和Stallings-Stammbach序列。我们得到了一个泛系数定理，一个版本的Hochschild-Serre序列，和解释的第二上同调群的同构类的中心扩张。此外，Quillen模型范畴结构的同伦的单纯对象和内部范畴的研究，并显示出兼容各自的半阿贝尔概念的同源性。
Exact Sequences in Non-Exact Categories (An Application to Semimodules)
我们考虑一个概念的确切序列在任何-不一定确切-指向范畴相对于一个给定的（E;M）-因子分解结构。我们应用这一概念引入并研究了半环上半模的正合序列的一个新概念。几个同调结果证明了使用新的概念的准确性，包括一些限制版本的短五引理和蛇引理打开大门，引进和调查的同调对象在这样的范畴。我们的研究结果特别适用于各种交换幺半群扩展结果同调品种相对同调品种。
A Homological View of Categorical Algebra
该研究为范畴代数的同调与同伦方法构建基础，选取从z-正合范畴到阿贝尔范畴等多层公理框架并厘清其关系，开发含基本图引理的范畴计算工具，发现其可用于弱范畴环境。
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