Log Crepant Birational Maps and Derived Categories
Yujiro Kawamata
我们将关于导出等价和K-等价的猜想推广到对数情形，并在复曲面情形下证明了这一猜想。
We extend the conjecture on the derived equivalence and K-equivalence to the logarithmic case and prove it in the toric case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Decomposition of log crepant birational morphisms between log terminal surfaces
证明了对数终止面间的对数收缩双有理态射可分解为对数跳跃型除子收缩态射和对数下降型除子收缩态射。重复这两种收缩，我们从任何对数极小曲面得到一个极小对数极小曲面。
On the invariance of irregular Hodge numbers under crepant birational equivalences
研究朗道 - 金兹堡模型\((U,f)\)中扭曲德拉姆上同调\(\mathrm{H}^k_{\mathrm{dR}}(U,f)\)的非正则霍奇数，证明其在crepant双有理等价下不变，类似巴蒂列夫 - 孔采维奇定理对卡拉比 - 丘流形霍奇数的结论。
The Crepant Transformation Conjecture implies the Monodromy Conjecture
本文证明了在\cite{CIJ}中研究的Lawrence复曲面DM叠加的crepant双有理变换的crepant变换猜想隐含了由Braverman，Maulik和Okounkov提出的关于超复曲面叠加的辛分解的相关壁交叉的单值性猜想。
Birational complexity of log Calabi-Yau 3-folds
本文研究log Calabi-Yau 3-折叠的双有理复杂度，证明其取值于{0,2,3}，并构造具有到射影空间收缩的crepant双有理模型，通过标准$\mathbb{P}^1$-链的几何刻画实现。
Poisson deformations and birational geometry
设π：Y -> X是具有良好C^*-作用的仿射辛簇X的可缩投射分解.我们用两种方法解释二阶上同调H^2（Y，C）。首先，H^2（Y，C）是Y的Picard群，用C张量化。通过X的不同分辨率的大量锥，H^2（Y，C）中存在一个自然的腔室结构。H ^2（Y，C）的第二种解释是Y的普适泊松变形$\mathcal Y$的底空间。设D \subset H ^2（Y，C）是对应的泊松簇不是仿射的轨迹。则D是有限个超平面的并，它给出了H^2（Y，C）中的一个腔室结构。这两个腔室结构重合。
Wall-Crossings in Toric Gromov-Witten Theory II: Local Examples
在本文中，我们分析了六个例子的双有理复曲面orbifolds之间的转换：三个crepant决议，两个crepant部分决议，和翻转。我们研究了这些变换对零格Gromov-Witten不变量的影响，证明了每种情况下的Coates-Corti-Iritani-Tseng/Ruan形式的Crepant归结猜想。我们的研究结果表明，这种形式的Crepant解决猜想也可能持有更一般的crepant双有理变换。他们还建议，阮的原始Crepant分辨率猜想应修改，包括适当的“量子修正”，并没有阮的原始猜想或上同调Crepant分辨率猜想的crepant部分决议的情况下直接推广。我们的方法是基于复曲面orbifolds镜像对称。
Stability conditions and crepant small resolutions
本文描述了与三维可裂小分辨相联系的三角化范畴上的稳定性条件空间。由此产生的空间具有腔室结构，使得每个腔室对应于一个双有理模型以及一个特殊的傅立叶-向井变换。我们观察到这些空间是有限维向量空间的某些开子集上的覆盖空间，并确定了它们的甲板变换。
On the Crepant Resolution Conjecture in the Local Case
在本文中，我们分析了四个例子的双有理变换之间的局部卡-丘3-倍：两个crepant决议，crepant部分决议，和翻转。我们研究了这些变换对零格Gromov-Witten不变量的影响，证明了每种情况下的Coates-Corti-Iritani-Tseng/Ruan形式的Crepant归结猜想。我们的研究结果表明，这种形式的Crepant解决猜想也可能持有更一般的crepant双有理变换。他们还建议，阮的原始Crepant分辨率猜想应修改，包括适当的“量子修正”，并没有阮的原始猜想或上同调Crepant分辨率猜想的crepant部分决议的情况下直接推广。我们的方法是基于复曲面orbifolds镜像对称。
Birational geometry of quiver varieties and other GIT quotients
证明了满足自然条件的Nakajima簇的所有投影收缩分解也是Nakajima簇。更一般地，我们分类的小双有理模型的许多几何不变理论（GIT）的承诺，通过引入一个充分条件的GIT商的仿射品种$V$的作用下，约化群$G$是一个相对的Mori梦空间。两个令人惊讶的例子说明我们的新条件是最优的。当条件成立时，我们表明，线性化地图确定了一个区域的GIT风扇与森室分解的相对可移动的锥$V /\!/_θ G$。若$V/\!/_θ G$是$Y\!\!:= V/\!/_{0} G$的一个投影置信分辨，则$Y$的每一个投影置信分辨都是通过改变$θ$得到的。在适当的条件下，我们表明，这是一种情况下，对双曲型品种和hypertoric品种。同样地，对于任何非平凡共轭类都是初级的有限子群$Γ\subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$，我们得到了$\mathbb{C}^3/Γ$的每一个射影收缩分解都是$θ$ -稳定$Γ$ -星座的细模空间的简单几何证明.
Equivariant birational types and derived categories
本文从导出范畴的视角研究了有理曲面和三维簇的等变双有理几何。
Derived Categories and Birational Geometry
2005年在西雅图的AMS夏季研究所的调查文章。
Birational complexity and conic fibrations
本文研究了log Calabi-Yau对的极值复杂度与圆锥纤维化的关系，并引入了新的复杂度度量标准，探讨了其在birational超刚性、Fano超曲面等领域的应用。
Equivariant birational geometry of cubic fourfolds and derived categories
本文从导出范畴角度研究等变双有理性，构造了有限群在光滑三次四维流形上非线性化但稳定线性化的作用实例。
All toric l.c.i.-singularities admit projective crepant resolutions
众所周知，所有可嵌入仿射空间中的超曲面的完全相交的阿贝尔商奇点的底层空间都可以通过所有维度上的射影环面等变的可折双有理态射来整体求解。在本文中，我们将这一结果推广到整个复曲面l.c.i.-奇点我们的证明利用中岛的分类定理和一些特殊的技术，从复曲面和离散几何。
Birational geometry and derived categories
本文基于JDG 2017：Conference on Geometry and Topology会议上的演讲。综述了连接双有理几何和导出范畴的DK假设的最新进展，指出光滑射影簇的K-等价应对应于其导出范畴的等价，K-不等式应对应于完全忠实嵌入.
Birational geometry and localisation of categories
这个版本纠正了命题6.3.2的一个错误证明，并简化了第6节中的论述。
Induced nilpotent orbits and birational geometry
一般来说，复单李代数\g中的幂零轨道闭包不具有可分解性。但是，它总是有一个Q因子终端的极小模型计划。根据B. Fu，幂零轨道闭包只有当它是Richardson轨道时才有可解性，且可解性是作为它的Springer映射得到的.本文将这个结果推广到\g $是经典的Q-阶乘终结.在这里，诱导轨道起着重要的作用，而不是理查森轨道。
Log Calabi--Yau pairs of complexity zero and arbitrary index
本文刻画了复杂度为零且指数任意的对数 Calabi--Yau 对，并证明双有理复杂度为零的对数 Calabi--Yau 对存在 crepant 双有理模型，即广义 Bott 塔。
Quotient categories, stability conditions, and birational geometry
本文研究不可约光滑射影簇上的凝聚层范畴被余维大于c的层的满子范畴支撑的商范畴。这个范畴有同调维数c。作为这个的应用，我们将描述在c=1的情况下在其导出范畴上的稳定性条件空间。此外，我们描述了这些商范畴之间的所有确切的等价关系，在这种特殊的情况下，这是密切相关的分类问题，双有理几何。
Some examples of Calabi-Yau pairs with maximal intersection and no toric model
已知最大交对数标准Calabi-Yau曲面对相对于复曲面对是crepant双有理的。这在高维中不成立：本文给出了一些不允许复曲面模型的最大相交卡-丘对的例子。
Curve-counting invariants for crepant resolutions
我们构造曲线计数不变量的Calabi-Yau三倍$Y$配备一个占主导地位的双有理态射$π:Y \to X$。我们的不变量推广了Pandharipande和Thomas的稳定对不变量，当$π:Y\to Y$是恒等式时，它们会出现。我们的主要结果是一个PT/DT-型公式，当$Y$是$X$（满足硬Lefschetz条件的Calabi-Yau orbifold $\mathcal{X}$的粗空间）的一个cripant分辨率时，我们的不变量的分拆函数与Donaldson-Thomas分拆函数相关联。在这种情况下，我们的分拆函数等于轨道$\mathcal{X}$的Pandharipande-Thomas分拆函数。我们的方法包括定义一个新的概念的稳定性层依赖于态射$π$。我们的概念推广了$π$是$Y$上的恒等式的情况下的边坡稳定性恢复。我们的证明是一个推广的Bridgeland的证明PT/DT对应通过霍尔代数和乔伊斯的集成地图。
Derived categories and birationality
我们讨论的问题，发现条件之间的推导等价的两个光滑的投影品种$X$和$Y$，这意味着$X$和$Y$是双有理的。我们考虑的条件的类型是在精神上寻找经典Torelli定理的范畴类似。我们研究，特别是，一个概念的强过滤导出等价和研究的情况下，强过滤导出等价意味着双理性。我们还考虑了我们的主要问题的一个开放式变体。
Non-Commutative Deformations of Derived McKay Correspondence for A(n) singularities
本文证明导出McKay对应可扩展到A(n)环面曲面奇点的交换与非交换crepant解消的半泛非交换形变之间，从而推广了经典的导出等价结果。
Flops and derived categories
本文将Fourier-Mukai技巧应用于三重双有理几何。特别地，我们证明了双有理Calabi-Yau三重有等价的导出范畴.为了做到这一点，我们展示了翻转如何自然地作为反常相干层的模空间出现。
Note on the Bondal-Orlov Functors for Toric DM Stacks
我们计算了复曲面DM栈的crepant双有理变换的局部K-理论群上的一般等变Bondal-Orlov函子的显式公式。我们回顾了Bondal-Orlov函子在有界导出范畴上给出等价的一些事实。应用两次这些函子，我们得到了导出范畴的Seidel-Thomas球面扭曲。
Gromov-Witten Theory of Toric Birational Transformations
研究了一般复曲面壁交叉对亏格为零的Gromov-Witten理论的影响。给出了两个在GIT变分下通过跨壁联系的完全复曲面轨道折叠$X_+$和$X_-$，证明了它们各自的$I$ -函数通过线性变换和渐近展开联系起来.我们使用这种比较推导出一个类似的结果，双有理完全相交$X_+$和$X_-$。这将以前作者在Acosta-Shoemaker中的工作推广到复曲面簇中完全相交的情况，并将Coates-Iritani-Jiang关于crepant变换猜想的一些结果推广到非零偏差的情况。
Equivalences of Families of Stacky Toric Calabi-Yau Hypersurfaces
给定两个不同复曲面簇上的同一反正则线性系，我们给出了相应stacky超曲面的部分crepant分解之间的一个导出等价性。这些应用包括：导出统一的复曲面镜建设，计算皮卡德晶格的线性系的四次曲面，和双理性减少里德的名单，以81个家庭。
Derived categories view on rationality problems
本文讨论光滑投射簇的导出范畴的结构与其双有理性质之间的关系。我们提出了一个可能的定义的双有理不变量，导出范畴类似的中间雅可比，并讨论其可能的应用程序的几何素Fano三倍和立方四倍。
Noncommutative crepant resolutions of $cA_n$ singularities via Fukaya categories
本文通过计算圆柱面相对于$n$点除子的wrapped Fukaya范畴，建立了与$cA_n$奇点crepant消解导出范畴的镜像等价，并揭示了其上的辫子群作用及导出压缩代数的几何模型。
Gabriel's theorem and birational geometry
推广了Meinhardt和Partsch的工作，证明了两个簇在余维c上同构当且仅当它们的凝聚层范畴的某些等价子是等价的。这个结果介于加布里埃尔的重建定理和两个簇是双有理的当且仅当它们具有相同的函数域。
Categories derivees et geometrie birationnelle
代数簇上相干层的导出范畴最初是一种技术工具，在过去的二十年里，它已经成为代数簇双有理研究中的一个重要不变量。受到Kontsevich同调镜像对称猜想和Mori的极小模型程序的启发，双有理不变性和导出范畴的极小化问题已经出现。我们提出的主要结构和证明在3维和特定类别的触发器。
Toric Exoflops and Categorical Resolutions
本文研究了通过部分紧化和birational变换将带规范的Landau-Ginzburg模型转化为范畴解析的条件，探讨了在toric堆栈中完全交集的范畴解析等价性。
Characteristic numbers of crepant resolutions of Weierstrass models
本文计算了F-理论中椭圆纤维四重$Y$对偶的Weierstrass模型与具有规范群$Y$的规范理论对应的临界分辨的特征数。与五重映射的情形相反，四重映射的Chern数和Pontryagin数在crepant双有理映射下是不变的。由此可见，陈省身和庞特里亚金数是独立的选择一个crepant决议。我们给出了欧拉特征线、全纯亏格、Todd亏格、$L$亏格、$\hat{A}$亏格以及M-理论中出现的曲率不变量$X_8$的结果.我们还表明，某些特征类是独立的选择Kodaria纤维表征组$G$。这就是$\int_Y c_1^2 c_2$、算术亏格和$\hat{A}$ -亏格的情况。因此，只要知道$\int_Y c_2^2$和欧拉特征线$χ(Y)$，就足以确定椭圆四重纤维的所有陈数。我们考虑$G=$ SU（$n$）的情况为（$n=2,3,4,5,6,7$）、USp（$4$）、Spin（$7$）、Spin（$8$）、Spin（$10$）、G $_2$、F $_4$、E $_6$、E $_7$或E $_8$。
Perverse schobers and birational geometry
反常schobers是反常层的范畴类比。我们发现，这样的结构自然出现在同调极小模型程序，研究双有理变换，如触发器的效果，在连贯的导出范畴。更准确地说，翻转数据类似于反常束的双曲茎。本文的第一部分研究了相对维数为1的触发器所对应的范畴的schober型图，特别是确定了这类schober中系数为（紧支）的上同调的范畴类似物。在第二部分中，我们考虑的例子提供了一个“网的触发器”的Grothendieck决议与约化李代数g和研究相应的schober型图。对于g=sl（3），我们将此图与Schubert、Semple等人研究的经典完备三角形空间联系起来。
Mukai flops and derived categories
本文证明了由Mukai触发器连接的dim 2n的两个光滑投射簇具有等价的有界导出范畴。更准确地说，假设$ϕ: X - - \to X^+$是一个中心为$Y \subset X$和$Y^+ \subset X^+$的向井翻牌。在我们的例子中，由$ϕ$的图定义的自然因子$Φ: D(X) \to D(X^+)$不是完全忠实的。相反，令$X \to {\bar X}$和$X^+ \to {\bar X}$为中心的双有理收缩映射，并将${\hat X} := X \times_{{\bar X} X^+$。则${\hat X}$是具有两个不可约分支的正规交叉簇。这个${\hat X}$定义了一个函子$Ψ: D(X) \to D(X^+)$。我们将证明这个$Ψ$是等价的。最近，Wierzba和Wisniewski宣布，两个双有理等价的复射影辛4-折叠是由一个有限序列的Mukai触发器连接的。我们的结果表明，$D(X)$是一个双有理不变量的复射影辛4倍。
Deformation of tilting-type derived equivalences for crepant resolutions
我们说两个代数簇的导出范畴之间的精确等价是倾斜型的，如果它是用倾斜丛构造的。本文的目的是了解倾斜型等效的crepant决议下变形的行为。作为本文方法的一个应用，我们研究了分层Mukai触发器和分层Atiyah触发器在倾斜丛中的导出等价性。
A twist on ring morphisms and crepant contractions
本文研究环同态的扭构造及其在Frobenius精确范畴中的导出自同构性，推导出非交换扭与球扭的关系，并扩展了crepant收缩的研究。
Schematic Functorialities of Birational Motivic Homotopy Categories
该研究将 n-双有理动机同伦范畴提升为预层，推导单分支概型双有理动机同伦范畴的分解性质，给出双有理等价的检测方法，并证明稳定双有理态射等诱导完全忠实嵌入。
Derived categories of quartic double fivefolds
该研究通过扭曲的Calabi-Yau三重线构造了四次双五重线的导出范畴，并验证了Kuznetsov的有理性猜想和Reid的非交换幻想。
D-equivalence and K-equivalence
设$X$和$Y$是$\mathbb{C}$上的光滑投影簇。如果相干层的有界复形的导出范畴等价于三角范畴，则称它们为{ \it $D$ -等价};如果它们是双有理等价的，并且它们的典范除子的拉回到一个共同的分解重合，则称它们为{ \it $K$ -等价}。我们期望这两个等价至少对于双有理等价簇是一致的。本文将对上述问题作部分回答。
Flops and Equivalences of derived Categories for Threefolds with only Gorenstein Singularities
本文的主要目的是证明反常点层的Bridgeland模空间对于某些flopping压缩给出了flops，由flops的双有理对应给出的Fourier-Mukai变换是有界导出范畴之间的等价。
Atomic decompositions for derived categories of G-surfaces
本文提出了一种基于G-极小模型程序和Sarkisov链接分解的方法，用于G-表面导出范畴的原子分解，从而验证了Konsevich的二维猜想。
Flops of G-Hilb and equivalences of derived categories by variation of GIT quotient
对于SL（3，C）中的有限子群G，Bridgeland，King和Reid证明了G-簇的模空间是商C^3/G的一个可分解.本文考虑由Kronheimer引入并由Sardo Infirri进一步研究的模空间M_θ，它与G-Hilb在GIT参数θ的特定选择下一致.对于G的Abel算子，证明了C^3/G的每一个投射收缩分解对某个参数θ同构于M_θ.关键的一步是通过适当的傅立叶-向井变换的模空间的K-理论的GIT室的描述。我们还揭示了位于相邻GIT室中的参数的模量M_θ的导出范畴之间的显式等价性。
Weight truncation for wall-crossings in birational cobordisms
我们开发的技术的重量截断的背景下，双有理协边墙交叉，平行于[HL 15，BFK 19]。更准确地说，对于每一个这样的跨壁，我们嵌入有界以上的导出范畴的相干层的半稳定部分作为一个半正交和的堆栈的问题。我们的构造不需要任何光滑性假设，并且在跨墙的两侧表现出强对称性。作为一个应用，我们表明，对于满足适当的正则性条件的跨壁，局部上同调复形的一定的对偶意味着存在一个完全忠实函子/等价的导出范畴下跨壁。
Derived categories of coherent sheaves
讨论了代数簇上凝聚层的导出范畴。我们专注于非奇异的Calabi-Yau簇的情况下，并考虑两个未解决的问题：证明双有理簇有等价的导出范畴，并计算组导出自等价。我们还介绍了空间的稳定性条件的三角范畴，并解释其相关性，这两个问题。
Birational Motivic Homotopy Theories and the Slice Filtration
本文是努力定义一个类似的切片过滤不稳定motivic同伦类别的一部分。我们的方法的灵感来自于这样一个事实，即三角结构不发挥相关作用的建设双有理同伦范畴，以及工作的卡恩-Sujatha \cite{K-theory/0596}双有理动机，其中存在的连接层之间的切片过滤和双有理不变量明确建议。我们的主要结果表明，本文所构造的双有理motivic稳定同伦范畴与切片滤子的正交分量范畴是等价的。依赖于这个等价性，我们能够描述射影空间（包括$\mathbb P ^{\infty}$），Thom空间和爆破的切片。
Mirror symmetry for perverse schobers from birational geometry
反常schober是反常层的范畴类似物。例子出现品种承认触发器，确定由图的导出范畴的连贯层相关联的触发器：在本文中，我们构建镜像合作伙伴等schobers，确定由图的daviaya范畴停止，例如在2和3维。解释这些schobers支持的轨迹在镜像模空间，我们证明了同调镜像对称之间的等价关系。我们的建设使用的连贯性建设的对应关系和最近的结果Ganatra赦免Shende有关的schobers某些类别的建设层。作为应用，我们得到新的镜像对称证明奇异品种与我们的例子，通过评估我们的镜像schobers的范畴化的上同调算子的Bondal-Kapranov-Schechtman。
Derived $Θ$-stratifications and the $D$-equivalence conjecture
$Θ$ -分层理论将平滑曲线上的向量丛的模的经典分层（Harder-Narasimhan-Shatz分层）推广到可以由代数栈表示的任何模问题。使用派生的代数几何，我们开发了一个结构理论，这是一个完善的局部上同调理论，为导出范畴的准相干复杂的代数堆栈配备了$Θ$ -分层。然后，我们将其应用到$D$ -等价猜想，它预测，双有理等价的卡-丘流形有等价的导出范畴的相干层。证明了与$K3$曲面上Gieseker半稳定凝聚层的光滑模空间双有理等价的任意两个投射Calabi-Yau流形具有等价的导出范畴.这建立了第一个已知的情况下，$D$ -等价猜想的双有理等价类的尺寸大于3。
Hodge theory of cubic fourfolds, their Fano varieties, and associated K3 categories
这些是在学校的讲座笔记“超曲面的双有理几何”在加尔尼亚诺在2018年3月。主要目标是讨论与三次四重函数自然相关的霍奇结构。重点是霍奇和晶格理论方面的许多技术细节制定明确。更多的几何或衍生结果只是暗示。
Derived categories of resolutions of cyclic quotient singularities
对作用在光滑簇$X$上的循环群$G$，若不动点轨迹的法丛的$G$ -等变分解中只有一个特征标，本文研究了轨道折叠$[X/G]$的导出范畴和爆破分解$\widetilde Y \to X/G$ .一些结果概括了已知的事实$X = A^n$与对角$G$ -行动，而其他结果也是新的，在这种基本情况下。特别地，当不动点轨迹的余维数等于$|G|$时，我们研究了等价$D^b(\widetilde Y) \cong D^b([X/G])$下的诱导张量积，并给出了一个“flop-flop=twist”型公式.我们还介绍了候选人的一般建设的范畴crepant决议内的衍生类别的一个给定的几何奇点的分解和测试这些候选人的循环商奇点。
On the structure of equivariant derived categories
本文讨论等变凝聚层导出范畴与GIT商导出范畴的结构，强调受限局部上同调理论，并展示双有理变形影响、范畴补全及广义辫群作用等应用。
Derived categories of Fano threefolds and degenerations
本文利用奇点的范畴吸收技术，证明了特定度数德尔佩佐三维簇导出范畴非平凡分支及相关分解可光滑形变至对应亏格素法诺三维簇导出范畴非平凡分支，修正并证明了相关猜想，还描述了模空间紧化及边界分支。
Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories
设G是一个非奇异复三重群M的有限自同构群，使得典范丛Ω_M作为G层是局部平凡的.本文证明了M中G-簇的参数化的Hilbert方案Y= GHilbM是X=M/G的一个可靠的分解，并证明了Y上的相干层与M上的相干G-层之间存在一个导出的等价关系（Fourier- Mukai变换）。这将Y的K理论与M的等变K理论等同起来，从而推广了经典的McKay对应。一些更高维度的扩展是可能的。
Derived categories of Thaddeus pair moduli spaces via d-critical flips
我们证明了光滑射影曲线上的Thaddeus对的模空间与对偶对的模空间通过d-临界翻转联系起来，d-临界翻转是第二作者引入的虚双有理变换.然后我们证明了这些模空间上相干层的导出范畴之间的全忠实函子的存在性。我们的结果证明了Bondal-Orlov的d-临界类比，Kawamata的D/K等价猜想，也证明了Diaconescu在ADHM层上引入的Donaldson-Thomas型不变量的跨壁公式的一个分类.
Derived-natural automorphisms on Hilbert schemes of points on generic K3 surfaces
本文从导出范畴的角度研究一般K3曲面上点的Hilbert概形的双有理和双正则自同构，刻画了由底层K3曲面的导出范畴的自等价诱导的双有理和双正则对合。
Non-commutative localizations of additive categories and weight structures; applications to birational motives
在本文中，我们证明了“非交换局部化”的任意添加剂范畴（推广那些定义的Cohn环）是密切（和自然）与重量结构。用权结构$w$的中心态射的集合$S$对任意三角化$C$进行局部化，得到赋予权结构$w'$的三角化范畴。$w'$的心是由$S$对$w$的心的非对易定位的某种幂等完成。后者是科恩环局部化的自然范畴版本，即连接心形的函子在所有使$S$的元素可逆的加法函子中是通用的。特别是，以$C=K^b(A)$的添加剂$A$，我们得到了一个非常有效的工具，用于计算添加剂本地化的$A$由$S$，使用它，我们推广了格拉西莫夫和Malcolmson的计算。我们将我们的结果应用到某些类别的双理性动机的基础计划$U$（推广那些定义的卡恩和Sujatha）。当$U$是完满域的谱时，所得到的权结构与第一作者在以前的论文中定义的Chow和Gersten权结构相容。对于一般的$U$，结果是全新的。我们还考虑了权结构与其相邻的t-结构（局部化）的关系。在'motivic'设置提到这产生的自然推广的'二元性'之间的双理性动机和双理性层与转移建立的卡恩和Sujatha。
Nodal quintic del Pezzo threefolds and their derived categories
本文为节点五次 del Pezzo 三维簇构造川又型半正交分解，将其导出范畴分解为有限维代数的导出范畴，通过双有理映射到二次曲面纤维化实现。
Homologically finite-dimensional objects in triangulated categories
本文研究三角范畴的同调有限维对象，定义相关范畴性质并讨论无亏格收缩，通过几何代数例子说明概念，还证明奇异簇导出范畴半正交分解与其光滑化导出范畴的双射。
Residual categories of quadric surface bundles
证明了二次曲面丛的剩余范畴在下列假设下等价于某些概型的（扭曲）导出范畴。情形1：二次曲面丛具有光滑截面。情况2：二次曲面束的全空间是光滑的，并且底面是光滑的表面。我们提供了两个证明的情况1描述的计划作为双曲约化和作为一个子计划的相对希尔伯特计划的线，分别。在情形2中，扭曲格式通过对相对的希尔伯特线格式进行双有理变换而得到。最后，我们将结果应用到某些完全相交的二次曲面。
Derived categories of small toric Calabi-Yau 3-folds and counting invariants
我们首先构造了一个仿射复曲面Calabi-Yau 3-fold的一个小的cretant分辨率和一个具有超势的一个特定的cretant分辨率之间的一个导出等价。在此等价条件下，我们建立了反常协调系统计数不变量的母函数的穿墙公式。作为应用，我们提供了一些关于Donaldson-Thomas，Pandeharipande-Thomas和Szendroi不变量的方程。最后，我们表明，模空间与一个连续的突变给出的序列实现为模空间与原始序列通过改变稳定性条件。
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