Reflection Groups. A Contribution to the Handbook of Algebra
Meinolf Geck, Gunter Malle
这是一篇关于有限复反射群理论的综述文章。没有证据，但许多参考资料包括在内。
This is a survey article on the theory of finite complex reflection groups. No proofs are given but numerous references are included.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some Remarks Concerning Tilting Modules and Tilted Algebras. Origin. Relevance. Future. (An appendix to the Handbook of Tilting Theory)
这是即将出版的《倾斜理论手册》的附录，由安杰莱里-休格尔、哈佩尔和克劳斯编辑。附录的第一部分提供了倾斜理论核心的概要。第2部分是专门的主题，倾斜模块和倾斜代数已被证明是相关的。第1和第2部分都包含历史注释和回忆。最后的第3部分是一个简短的报告，对一些引人注目的最近的发展是由集群理论的福明和Zelevinsky的动机。特别是，我们将引导读者的基本性质集群倾斜代数，倾斜代数和集群倾斜代数之间的关系，而且集群类别提供了一个普遍的设置，所有相关的倾斜和集群倾斜代数。此外，我们将把注意力集中到集群倾斜对象的复杂性，并表现出这种复杂性的初步描述。
Classification of graded Hecke algebras for complex reflection groups
有限外尔群的分次Hecke代数与Springer对应的几何密切相关。Drinfeld的一个构造产生GL（V）的任何有限子群的分次Hecke代数的一个类似物。本文将Drinfeld构造法应用于复反射群而得到的所有代数进行了分类。通过给出明确的（虽然非平凡的）同构，我们证明了由Lusztig构造的有限实反射群的分次Hecke代数都同构于由Drinfeld构造得到的代数。分类表明，存在代数获得Drinfeld的建设不是分次Hecke代数定义的Lusztig为真正的，以及复杂的反射群。
Centers of Hecke Algebras of Complex Reflection Groups
我们提供了一个双重版本的Geck-Rouquier定理的中心Iwahori-Hecke代数，它也涵盖了复杂的情况。对于已知对称迹猜想成立的8个秩为$2$的复反射群，我们给出了它们的Hecke代数$H$的一个新的忠实矩阵模型.这些模型使$H$内部的具体计算成为可能。对于八个组中的每一个，我们计算$H$的中心的显式整基。
Representations of quivers and mixed graphs
这是“线性代数手册“第2版的综述文章，Chapman & Hall/CRC，2014年。一个非正式的介绍表示的箭图和有限维代数从线性代数学家的角度来看。将线性表示的概念推广到混合图的表示，从而可以研究线性映射系统和双线性或半双线性型。将这类系统的分类问题归结为线性映射系统的分类问题。
Reflection group presentations arising from cluster algebras
我们给出了一个有限的晶体反射群的介绍在相应的集群代数的有限型的任意种子和解释介绍在相关的根系的同伴基地。
Hecke algebras and symplectic reflection algebras
目前的文章是一个简短的调查理论的Hecke代数，特别是Kazhdan-Lusztig理论，并在理论的辛反射代数，特别是合理的Cherednik代数。重点是Hecke代数和合理的Cherednik代数之间的连接，可以让我们获得一个广义Kazhdan-Lusztig理论，或至少其应用，所有复杂的反射群。
Reflection functors and representations for continuous wreath-product symplectic reflection algebras
我们引入了“连续变形预投射代数”，它依附于A_{\infty}，A_{+\infty}，D_{\infty}型的无限仿射Dynkin箭图.定义了一个对称群与这些代数的环积的单参数变形族，并利用SL（2，C）的无限约化子群的广义McKay对应，建立了相应的圈积型连续辛反射代数的Morita等价.我们给出了Morita等价在连续圈积辛反射代数的表示论中的应用。特别地，我们利用Crawley-Boevey和Holland关于变形预投射代数表示论的结果，得到了秩为1的连续圈积辛反射代数的有限维不可约表示的一个完全分类.在更高的秩，我们延长GAN的定义的反射函子的连续的情况下，我们使用这样的函子找到一个有趣的类的有限维表示。
Clifford theory for Yokonuma--Hecke algebras and deformation of complex reflection groups
定义并研究了Yokonuma-Hecke代数上的对称群的作用.这导致了两类代数的定义。第一个是连接的图像代数的辫群内的横沼-Hecke代数，并反过来与代数定义的Auberdi和Juyumaya被称为代数的辫子和领带。第二个可以看作是G（d，p，n）型复反射群的新变形。我们提供了几个介绍代数和一个完整的研究，他们的表示论使用Clifford理论。
Fusion algebras for imprimitive complex reflection groups
本文证明了Malle引入的非本原复反射群的Fourier矩阵定义了结构常数不一定为正而是整数的融合代数。因此他们定义了Z-代数。结果得到，所有已知的属于谱的傅里叶矩阵都定义了具有整数结构常数的代数。
Reflections and torsion theories for selfinjective algebras
我们从两项倾斜复形诱导的挠理论的角度引入了自内射代数的反射概念。作为应用，我们确定了与反射相关的Brauer树的变换。特别是，我们提供了一种方法，将每一个布劳尔树到布劳尔线。
Constructing representations of Hecke algebras for complex reflection groups
研究了与某些有限复反射群相关联的Hecke代数的表示和结构。我们首先描述计算方法的建设这些代数的不可约表示，包括推广的概念，$W$ -图的情况下，复杂的反射群。然后，我们使用这些技术来找到模型的所有不可约表示的情况下，复杂的反射群的尺寸最多为3。利用这些模型，我们能够验证Hecke代数结构的一些重要命题。
Reflection functors and symplectic reflection algebras for wreath products
本文构造了模范畴上的反射函子，这些模范畴是模的预投射代数的变形圈积上的模。这些函子给出了与在外尔群作用下处于同一轨道的类属参数相关联的范畴的等价性。给出了圈积群的辛反射代数的表示论的应用。
Algebras associated with Pseudo Reflection Groups: A Generalization of Brauer Algebras
给出了一种将代数$B_G (Υ) $与每个伪反射群$G$联系起来的方法。当$G$是单缀型Coxeter群时，证明了$B_G (Υ)$同构于Cohen，Gijsbers和Wales[10]引入的广义单缀型Brauer代数.证明了当$G$是秩2的Coxeter群时，$B_G (Υ)$具有胞状结构，并且对一般参数是半单的.在构造的过程中，我们引入了BMW代数的一个Cherednik型联络，并将Lawrence-Krammer表示推广到与所有伪反射群相关联的复辫群.
Symplectic reflection algebras
这些课堂讲稿是基于作者在2012年6月MSRI暑期学校“非交换代数几何”的介绍课程。整个重点是例子来说明辛反射代数的许多不同方面。练习包括在每个讲座结束时，为了让学生得到这些代数更好的感觉。
Completions of symplectic reflection algebras
本文研究了辛反射代数的补的结构。我们的结果提供了一个减少到更小的代数。我们将这一约化应用于双边理想和Harish-Chandra双模的研究。
Category O for the rational Cherednik algebra associated to the complex reflection group G_12
本文描述了复反射群G12的有理Cherednik代数H_c（G12，h）在范畴O中的不可约表示，其中反射表示h为任意复参数c.特别地，我们确定了不可约的有限维表示，并计算了它们的特征。
On the cyclotomic Hecke algebras of complex reflection groups
继定义Rouquier的“家庭的字符”的外尔群和其推广的情况下，复杂的反射群，已经出现在工作的Broue-Kim和马勒Rouquier，我们表明，这些“家庭”依赖于一个数字数据的组，它的“本质超平面”。利用这一特征，我们提供了所有例外复反射群的分圆Hecke代数的Rouquier块的确定算法和结果。
Twisted symplectic reflection algebras
本文引入了扭辛反射代数的概念，并利用G的忠实作用描述了扭辛反射代数与非忠实G-作用相联系的表示范畴。
Idempotents for Birman-Murakami-Wenzl algebras and reflection equation
通过在上下表的量子内容序列上对多元有理函数连续求值，得到了Birman-Murakami-Wenzl代数的一个完备的两两正交极小幂等元系.一个副产品的建设是一个单参数家庭的融合程序的Hecke代数。描述了Brauer代数两种不同融合过程的经典极限。
Dirac cohomology for symplectic reflection algebras
在Drinfeld引入的Hecke代数的框架下，统一定义了Dirac算子和Dirac上同调的概念。我们推广了Lusztig分次仿射Hecke代数的Dirac上同调理论。我们将这些结构的情况下辛反射代数定义的Etingof-Ginzburg，特别是合理的Cherednik代数的真实或复杂的反射群参数t，c。作为应用，我们给出了O类模的幺正性准则，并证明了Calogero-Moser空间的0-纤维可以用Vogan最初定义的一种“Dirac态射”来描述实半单李群。
Harish-Chandra homomorphisms and symplectic reflection algebras for wreath-products
本文的主要结果是在扩展Dynkin算子的表示空间上，利用微分算子代数的量子哈密尔顿约化，自然地构造了与环积相关的辛反射代数中的球面子代数.这样一种结构的存在已在[EG]中得到证实。本文还对与圈积相关的广义预投射代数和辛反射代数的反射函子和移位函子给出了一种新的研究方法。
The freeness conjecture for Hecke algebras of complex reflection groups, and the case of the Hessian group G26
我们回顾了关于自由度猜想的最新进展，该猜想在20世纪90年代由Broué，Malle和Rouquier提出，用于与复反射群相关的一般Hecke代数，特别是我们详细地揭示了与普通情况的主要区别之一，即缺乏0-Hecke代数。最后证明了这个猜想的一个新的例子，Shephard-Todd分类中的例外群G26，即Hessian构形的最大自同构线性群.
Centralizers in the Hecke algebras of complex reflection groups
有限实反射群的Hecke代数的抛物子代数的中心化子的初等描述能推广到复反射群的情形吗？在本文中，我们开始回答这个问题，建立两个方向的结果。首先，在密切类似的条件下存在的真实情况下，我们给出了明确的系数之间的关系，在一个元素集中的发电机。其次，我们介绍了一种工具，用于处理复杂情况下的一个主要挑战-某些双陪集的“不稳定性”-通过定义和使用一个双陪集图。我们使用这些结果找到整基的中心化的发电机以及中心的Hecke代数的类型$G_4$和$G(4,1,2)$。关键词：复反射群; Hecke代数;中心;中心化子;模;双陪集。
Rigid reflections of rank 3 Coxeter groups and reduced roots of rank 2 Kac--Moody algebras
在最近的一篇文章中，K. H. Lee和K.李，刚性反射定义为任何考克斯特群通过非自交曲线的黎曼曲面上的标记曲线。当Coxeter群由一个非循环的群产生时，刚性反射与群的刚性表示有关。对于一类秩$3$ Coxeter群，本文证明了从对称秩$2$ Kac-Moody代数的约化正根集到相应秩$3$ Coxeter群的刚性反射集上存在一个自然双射.本文证明了这一猜想。
On Two Theorems About Symplectic Reflection Algebras
本文对J.Alev，M.A. Farinati，T. Lambre和A.L. Solotar：第一个关于Weyl代数W的某些扭双模的Hochschild上同调空间，第二个关于Smash积G * W的Hochschild上同调空间（G是SP（2n）的有限子群），作为应用，给出了P.Etingof和V.Ginzburg的一个定理的新证明，这表明辛反射代数是G * W的变形（事实上，所有可能的变形）。
Symplectic reflection algebras in positive characteristic
给出了正特征代数闭域k上辛反射代数的基本性质。这些代数总是在其中心上的有限模，与特征0的情况相反。对于有理数Cherednik代数的子类，我们确定了PI度和Goldie秩，并证明了中心的Azumaya轨迹和光滑轨迹重合。
Unitary representations of Hecke algebras of complex reflection groups
我们开始研究复反射群的Hecke代数的酉表示。给出了复数上对称群$\mathfrak{S}_n$的Hecke代数的一个完全分类.有趣的是，在\cite{ESG}中研究的A型有理切雷德尼克代数的范畴$\OO$中的酉表示通过\cite{GGOR}中定义的KZ函子对应于相应的Hecke代数的酉表示。
Representations of symplectic reflection algebras and resolutions of deformations of symplectic quotient singularities
本文给出了与圈积（参数t=0）相关联的辛反射代数的生成表示的导出范畴与相干层的导出范畴在这些代数的中心谱的一个credant分解上的三角范畴的等价性.
Geodesic Normal Forms and Hecke Algebras for the Complex Reflection Groups G(de,e,n)
利用Corran-Picantin和Corran-Lee-Lee关于G（e，e，n）和G（de，e，n）（d > 1）的表示，建立了复反射群一般级数G（de，e，n）的测地正规形.这需要精心设计的组合技术，以明确地确定最小的字代表的元素G（德，e，n）。利用这些测地正规形，我们构造了与复反射群G（e，e，n）和G（d，1，n）相关联的Hecke代数的自然基.作为应用，我们得到了这类群的BMR自由猜想的一个新证明。
On a Small Version of the Reflection Equation Algebra
本文给出了与GL_N在奇偶单位根处相关的小反射方程代数的另一种表示，并利用该表示分类了其不可约表示，随后推广到一族代数并应用于U_q(sl_N)融合范畴的模范畴研究。
Dipper Donkin Quantized Matrix Algebra and Reflection Equation Algebra at root of unity
本文在单位单位根上研究了标题中的量子化矩阵代数。给出了秩为$2$的量子化矩阵代数上的单模的完全分类以及一类有限维不可分解模.
Reflection functors on quiver Hecke algebras
本文针对任意可对称化 Kac-Moody 型的箭图 Hecke 代数构造反射函子，并证明其范畴化了 Lusztig 的辫子对称性。
Generalized graded Hecke algebra for complex reflection group of type G(r,1,n)
研究了Ram和Shepler定义的G（r，1，n）型复反射群上的广义分次Hecke代数的表示论.我们利用这个代数在相应的辛反射代数中的一个实现来证明一个PBW定理。定义了主列模，并证明了它们的不可约准则.
Poisson orders, symplectic reflection algebras and representation theory
我们引入一类新的代数称为泊松序。这类代数包括Etingof和Ginzburg的辛反射代数，单位根上的量子群，正特征限制李代数的包络代数。通常，我们从泊松几何的角度研究这类代数，展示它们的表示论和一些著名的尺规作图法之间的联系。作为一个应用程序，我们采用我们的研究结果辛反射代数，完成工作的Etingof和金兹伯格时，这些代数是有限的中心，并提供了一个框架，研究他们的表示论在后一种情况下。
Centralizer algebras of the primitive unitary reflection group of order $96$
在幺正反射群中，标题上的一个因其在例如编码理论和数论中的重要性而被挑出来。本文从描述这个群的不可约表示开始，然后研究中心化代数在张量表示中的半单结构。
Procesi bundles and Symplectic reflection algebras
在这项调查中，我们描述了Procesi丛之间的相互作用的辛解决方案的商奇点和辛反射代数。Procesi丛由Haiman构造，更一般地，由Bezrukavnikov和Kaledin构造。辛反射代数是Etingof和Ginzburg在完全一般性下定义的斜群代数代数的变形。构造并分类了Procesi丛，证明了球面辛反射代数之间的同构，给出了分圆有理Cherednik代数的圈Macdonald正性和局部化定理的证明.
Deformed preprojective algebras and symplectic reflection algebras for wreath products
本文确定了一个对称群与一个仿射Dynkin群的变形预投射代数的圈积的PBW变形。特别是，我们表明，有一个参数，这不是来自变形的预投射代数。证明了PBW变形与相应的圈积的辛反射代数是Morita等价的。
Gelfand-Kirillov conjecture for symplectic reflection algebras
利用双导子的形式构造了一类代数的函子.这些代数扩展到更高维度的Crawley-Boevey和Holland的变形预投射代数的构造，并包含与圈积相关的辛反射代数。我们用这个结构来证明辛反射代数的商域是“有理的”，从而证实了Etingof和Ginzburg的一对代数。
q-Schur algebras and complex reflection groups, I
我们证明了A型有理Cherednik代数的范畴O等价于q-Schur代数上的模（参数不是半整数），从而提供了简单模的特征公式.我们对B_n（d）进行了推广。我们证明了一个“抽象”的翻译原则。这些结果来自于某些覆盖Hecke代数的最高范畴的唯一性。我们还提供了复反射群的Hecke代数的半单性准则。
Lie algebras generated by reflections in types BCD
研究B和D型Weyl群作为李代数的结构，确定由反射生成的李子代数的结构。
A factorisation theorem for the coinvariant algebra of a unitary reflection group
我们证明了下面的定理。设$G$是复厄米特空间$V=\mathbb{C}^\ell$中酉反射生成的有限群，$G'$是$G$的任意反射子群.设$\mathcal{H}(G)$是$V$上的$G$ -调和多项式空间.存在分次$\mathcal{N}$ -模的保度同构$ξ:\mathcal{H}(G')\otimes\mathcal{H}(G)^{G'}\overset{\sim}{\longrightarrow}\mathcal{H}$，其中$\mathcal{N}:=N_{\rm{GL}(V)}(G)\cap N_{\rm{GL}(V)}(G')$和$\mathcal{H}^{G'}$是$\mathcal{H}$的$G'$ -不动点空间.这推广了道格拉斯和戴尔的抛物子群的真实反射群的结果。
Symplectic reflection algebras
本文综述了辛反射代数的表示论的最新研究成果，特别关注与辛商奇点及其分解的关系，箭图的表示空间以及O范畴。
Derived equivalences for Symplectic reflection algebras
本文研究了辛反射代数的导出等价。我们建立了一个版本的导出局部化定理的范畴之间的模辛反射代数和范畴的相干层量子化的Q-阶乘终结的辛商奇点。要做到这一点，我们构建了一个Procesi层的终结，并表明，量化的终结是简单的层代数。我们还将简述一些应用：推广的Bernstein不等式和跨壁函子的反常性。
Murnaghan-Nakayama rules for characters of Iwahori-Hecke algebras of the complex reflection groups G(r,p,n)
复反射群$G(r,p,n)$的无穷级数的Iwahori-Hecke代数是最近由Ariki和Koike，Broué和Malle，以及Ariki的工作中构造的.本文给出了计算这类代数的不可约特征标的Murnaghan-Nakayama型公式。我们的方法是在我们的早期文件中，我们得出的Murnaghan-Nakayama规则的经典外尔群的Iwahori-Hecke代数的字符的推广。在这两篇论文中，我们都受到了C。Greene，他通过对Young正规表示中的对角矩阵元素求和，给出了不可约对称群特征标的Murnaghan-Nakayama公式的新推导。我们使用Ariki和Koike给出的$G(r,p,n)$的Iwahori-Hecke代数的类似表示。
Hall algebras and quantum symmetric pairs II: reflection functors
最近，作者提出了一个$\imath$ Hall代数方法，以（通用）$\imath$量子群产生的量子对称对。本文构造并研究了BGP型反射函子，这些函子导致与非循环$\imath$颤动相关的$\imath$ Hall代数的同构。对于Dynkin箭图，$\imath$ Hall代数上的这些对称性诱导了泛$\imath$量子群的自同构，这些自同构被证明满足与对称对的受限外尔群相关联的辫群关系;实际上，这些自同构对于非循环箭图/Kac-Moody设置仍然成立。这导致了概念上的$q$ -根向量和PBW基地（通用）准分裂$\imath$量子群的ADE型。
Reflection Theory of Nichols Algebras over Coquasi-Hopf Algebras with Bijective Antipode
本文研究了带有双射反射的coquasi-Hopf代数上Nichols代数的反射理论，证明了有限维不可约Yetter-Drinfeld模块生成半Cartan图，并展示了秩三Nichols代数为仿射Nichols代数。
A Lie-theoretic construction of spherical symplectic reflection algebras
我们提出了一个构造球面子代数的辛反射代数的任意秩对应的星形仿射Dynkin图。即它是由某个半单李代数的泛包络代数通过量子哈密顿约化过程得到的。作为一个应用，我们提出了球面子代数的有限维表示的构造。
Twists of representations of complex reflection groups and rational Cherednik algebras
该研究证明代数分解与诱导表示的上循环扭的一般性结果，将其应用于反射群与有理Cherednik代数，刻画相关模的扭并证明非交换代数的Chevalley定理类似结论。
BGP-Reflection Functors and Lusztig's Symmetries of Modified Quantized Enveloping Algebras
设$\mathbf{U}$为量子化包络代数，$\dot{\mathbf{U}}$为量子化包络代数的修正形式. Lusztig给出了$\mathbf{U}$和$\dot{\mathbf{U}}$的一些对称性。由于$\mathbf{U}$是由Ringel-Hall代数的约化Drinfeld二重代数实现的，因此可以将BGP-反射函子应用于二重Ringel-Hall代数，得到$\mathbf{U}$上的Lusztig对称及其重要性质，如辫子关系.本文定义了Ringel-Hall代数的一种修正形式$\dot{\mathcal{H}}$，并通过对$\dot{\mathcal{H}}$应用BGP-反射函子实现了$\dot{\mathbf{U}}$上的Lusztig对称性.
Symplectic reflection algebras and affine Lie algebras
本文的目的是提出一些结果和（更重要的是）状态的一些示意图表明，表示理论的辛反射代数圈积分类某些结构的表示论的仿射李代数（即，分解的限制的基本表示有限维和仿射子代数）。这些见解源于R. Bezrukavnikov和A. Okounkov关于量子连接之间的联系希尔伯特计划的决议克莱因奇点和表示辛反射代数。
The Representations of the Brauer-Chen Algebra
本文确定了 Chen 于2011年定义的与复反射群相关联的 Brauer-Chen 代数的结构和表示理论，证明了其半单性，构造了一般参数下的单模，计算了不可约复反射群情形下的代数维数，并给出了统一定义的基及自由模判定。
The number of independent Traces and Supertraces on Symplectic Reflection Algebras
证明了辛反射代数$A:=H_{1,η}(G)$具有$T_G$独立迹，其中$T_G$是辛反射代数系统生成的有限群$G$中不含特征值1的元素的共轭类数.同时，我们证明了代数$A$作为一个具有自然宇称的超代数，具有$S_G$独立的超迹，其中$S_G$是属于$G$的不含特征值-1的元素的共轭类的个数.我们还考虑$A$作为李代数$A^L$和作为李超代数$A^S$。证明了若$A$是单结合代数，则超交换$[A^{S},A^{S}]$是至少具有$S_G$独立超对称不变非退化双线性型的单李超代数，商$[A^L,A^L]/([A^L,A^L]\cap\mathbb C)$是至少具有$T_G$独立对称不变非退化双线性型的单李代数.
Generalized nil-Coxeter algebras over discrete complex reflection groups
定义并研究了与Coxeter群相关的广义nil-Coxeter代数。受Coxeter（1957）的一个问题的启发，我们构造了这种有限维代数的第一个例子，它们不是“通常的”nil-Coxeter代数：一个新的2参数型$A$族，我们称之为$NC_A(n,d)$。研究了$NC_A(n,d)$的Coxeter字基、长度函数和Hilbert-Poincare级数等组合性质，证明了相应的广义Coxeter群不是$NC_A(n,d)$的平坦变形.这些代数产生对称半群模范畴，不一定是monoidal;我们写下他们的Tannaka-Krein对偶。进一步激发了Broue-Malle-Rouquier（BMR）自由度猜想[J. reine angew. math.1998]中，我们定义了所有离散实或复反射群$W$（有限或无限）上的广义nil-Coxeter代数。我们提供了一个完整的分类所有这样的代数是有限维的。值得注意的是，它们要么是通常的nil-Coxeter代数，要么是代数$NC_A(n,d)$。这证明了一个特殊的情况下-和加强-缺乏等维的零Coxeter类似物有限复杂的反射群。特别地，一般Hecke代数不是$NC_W$对$W$复形的平坦变形。
Monoidality of Kato's Reflection Functors
Kato构造了KLR代数的反射函子，它利用代数自同构对量子群上的辫群作用进行了分类。我们证明了这些反射函子是monoidal的。
Representation theory of the reflection equation algebra III: Classification of irreducible representations
本文发展最高权理论，分类反射方程代数（由 $GL(N,\mathbb{C})$ 的 $q$-变形 $R$-矩阵构造）的不可约有界 $*$-表示。
Modular Invariants for Some Finite Pseudo-Reflection Groups
本文确定了有限一般线性群$ \text{GL}_n(q) $作用于对称代数$ S^{\bullet}(V) $与自然$ V $-模$ \text{GL}_n(q) $的外代数$ \wedge^{\bullet}(V) $的张量积上的有限模伪反射子群的模不变量.我们特别感兴趣的情况下，$ G $是一个子群的抛物子群的$ \text{GL}_n(q) $，这是一个推广的Weyl群的Cartan型李代数。
On representation theory of partition algebras for complex reflection groups
本文定义了复反射群$G(r,p,n)$作用于$k$ -折叠张量积$(\mathbb{C}^n)^{\otimes k}$的分划代数，其中$\mathbb{C}^n$是$G(r,p,n)$的反射表示. Tanabe给出了$G(r,p,n)$的这种作用的中心化子代数的基，Orellana研究了$p =1$的相应的分划代数.我们还建立了一个子代数作为$G(r,p,n)$的一个子群作用在$(\mathbb{C}^n)^{\otimes k}$上的分划代数。我们称这些代数为Tanabe代数。本文主要研究Tanabe代数的表示论：不可约模的参数化，Tanabe代数塔的Bratteli图的构造.最后，我们给出了Tanabe代数的Jucys-Murphy元及其在不可约模的Gelfand-Tsetlin基上的作用。
Invariants of reflection groups, arrangements, and normality of decomposition classes in Lie algebras
假设W是作用在复向量空间V上的有限酉反射群，X是V的子空间，定义N为X在W中的集态稳定子，Z为点态稳定子，C=N/Z。然后，限制定义了从V上的W-不变多项式函数代数到X上的C-不变函数代数的同态。本文考虑了W是Coxeter群，V是W的复化反射表示，X在W的排列格中的特殊情况，并给出了限制映射用W和C的指数满射的一个简单的组合刻划.作为结果的应用，当W是半单复李代数的外尔群时，我们完成了Richardson在1987年开始的计算，得到了闭包为正规簇的正则分解类的一个简单的组合刻画.
Diagonal reduction algebra and reflection equation
我们用R-矩阵形式描述了李代数gl（n）的对角约化代数D（gl（n））.作为副产品，我们提出了两个家庭的中心元素和辫子双代数结构D（gl（n））。
Rigid reflections and Kac--Moody algebras
给定任何Coxeter群，我们定义刚性反射和刚性根使用非自相交曲线的黎曼曲面上的标记曲线。当Coxeter群由非循环群产生时，它们与群的刚性表示有关。对于一类秩为3的Coxeter群，证明了秩为2的Kac-Moody代数的约化正根集到刚性反射集上的满射.我们猜想这个映射是双射的。
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