Completions of symplectic reflection algebras
Ivan Losev
本文研究了辛反射代数的补的结构。我们的结果提供了一个减少到更小的代数。我们将这一约化应用于双边理想和Harish-Chandra双模的研究。
In this paper we study the structure of completions of symplectic reflection algebras. Our results provides a reduction to smaller algebras. We apply this reduction to the study of two-sided ideals and Harish-Chandra bimodules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Reflection functors and representations for continuous wreath-product symplectic reflection algebras
我们引入了“连续变形预投射代数”，它依附于A_{\infty}，A_{+\infty}，D_{\infty}型的无限仿射Dynkin箭图.定义了一个对称群与这些代数的环积的单参数变形族，并利用SL（2，C）的无限约化子群的广义McKay对应，建立了相应的圈积型连续辛反射代数的Morita等价.我们给出了Morita等价在连续圈积辛反射代数的表示论中的应用。特别地，我们利用Crawley-Boevey和Holland关于变形预投射代数表示论的结果，得到了秩为1的连续圈积辛反射代数的有限维不可约表示的一个完全分类.在更高的秩，我们延长GAN的定义的反射函子的连续的情况下，我们使用这样的函子找到一个有趣的类的有限维表示。
Hecke algebras and symplectic reflection algebras
目前的文章是一个简短的调查理论的Hecke代数，特别是Kazhdan-Lusztig理论，并在理论的辛反射代数，特别是合理的Cherednik代数。重点是Hecke代数和合理的Cherednik代数之间的连接，可以让我们获得一个广义Kazhdan-Lusztig理论，或至少其应用，所有复杂的反射群。
Symplectic reflection algebras
这些课堂讲稿是基于作者在2012年6月MSRI暑期学校“非交换代数几何”的介绍课程。整个重点是例子来说明辛反射代数的许多不同方面。练习包括在每个讲座结束时，为了让学生得到这些代数更好的感觉。
On Two Theorems About Symplectic Reflection Algebras
本文对J.Alev，M.A. Farinati，T. Lambre和A.L. Solotar：第一个关于Weyl代数W的某些扭双模的Hochschild上同调空间，第二个关于Smash积G * W的Hochschild上同调空间（G是SP（2n）的有限子群），作为应用，给出了P.Etingof和V.Ginzburg的一个定理的新证明，这表明辛反射代数是G * W的变形（事实上，所有可能的变形）。
We define uniformly the notions of Dirac operators and Dirac cohomology in the framework of the Hecke algebras introduced by Drinfeld. We generalize in this way the Dirac cohomology theory for Lusztig's graded affine Hecke algebras. We apply these constructions to the case of symplectic reflection algebras defined by Etingof-Ginzburg, particularly to rational Cherednik algebras for real or complex reflection groups with parameters t,c. As applications, we give criteria for unitarity of modules in category O and we show that the 0-fiber of the Calogero-Moser space admits a description in terms …
Reflection functors and symplectic reflection algebras for wreath products
本文构造了模范畴上的反射函子，这些模范畴是模的预投射代数的变形圈积上的模。这些函子给出了与在外尔群作用下处于同一轨道的类属参数相关联的范畴的等价性。给出了圈积群的辛反射代数的表示论的应用。
Representations of symplectic reflection algebras and resolutions of deformations of symplectic quotient singularities
本文给出了与圈积（参数t=0）相关联的辛反射代数的生成表示的导出范畴与相干层的导出范畴在这些代数的中心谱的一个credant分解上的三角范畴的等价性.
Twisted symplectic reflection algebras
本文引入了扭辛反射代数的概念，并利用G的忠实作用描述了扭辛反射代数与非忠实G-作用相联系的表示范畴。
Using Cohen's classification of symplectic reflection groups, we prove that the parabolic subgroups, that is, stabilizer subgroups, of a finite symplectic reflection group are themselves symplectic reflection groups. This is the symplectic analogue of Steinberg's Theorem for complex reflection groups. Using computational results required in the proof, we show the non-existence of symplectic resolutions for symplectic quotient singularities corresponding to three exceptional symplectic reflection groups, thus reducing further the number of cases for which the existence question remains open. An…
Atiyah-Segal completion for the Hermitian K-theory of Symplectic Groups
本文研究了辛群（特别是$\mathrm{SL}_2$）表示的等变埃尔米特K-理论，并利用所得结果建立了埃尔米特K-理论与辛群的Atiyah-Segal完备化定理。
Harish-Chandra homomorphisms and symplectic reflection algebras for wreath-products
本文的主要结果是在扩展Dynkin算子的表示空间上，利用微分算子代数的量子哈密尔顿约化，自然地构造了与环积相关的辛反射代数中的球面子代数.这样一种结构的存在已在[EG]中得到证实。本文还对与圈积相关的广义预投射代数和辛反射代数的反射函子和移位函子给出了一种新的研究方法。
In this paper we study derived equivalences for Symplectic reflection algebras. We establish a version of the derived localization theorem between categories of modules over Symplectic reflection algebras and categories of coherent sheaves over quantizations of Q-factorial terminalizations of the symplectic quotient singularities. To do this we construct a Procesi sheaf on the terminalization and show that the quantizations of the terminalization are simple sheaves of algebras. We will also sketch some applications: to the generalized Bernstein inequality and to perversity of wall crossing fun…
Symplectic reflection algebras
本文综述了辛反射代数的表示论的最新研究成果，特别关注与辛商奇点及其分解的关系，箭图的表示空间以及O范畴。
Symplectic reflection algebras in positive characteristic
给出了正特征代数闭域k上辛反射代数的基本性质。这些代数总是在其中心上的有限模，与特征0的情况相反。对于有理数Cherednik代数的子类，我们确定了PI度和Goldie秩，并证明了中心的Azumaya轨迹和光滑轨迹重合。
On the (non)existence of symplectic resolutions for imprimitive symplectic reflection groups
研究了商奇点V/G的辛分解的存在性，其中V是辛向量空间，G是辛作用的。也就是说，我们分类辛不可约和非本原群，不包括那些形式为$K \rtimes S_2$的群，其中$K < \SL_2(\C)$，相应的商奇点允许一个投影辛分解。因此，对于$\dim V \neq 4$，我们分类所有的商奇点$V/G$承认一个投影辛决议，不分解为产品的较小的维商奇点，除了最多四个明确的奇点，发生在维度最多10，为谁的存在问题仍然是开放的。
The number of independent Traces and Supertraces on Symplectic Reflection Algebras
证明了辛反射代数$A:=H_{1,η}(G)$具有$T_G$独立迹，其中$T_G$是辛反射代数系统生成的有限群$G$中不含特征值1的元素的共轭类数.同时，我们证明了代数$A$作为一个具有自然宇称的超代数，具有$S_G$独立的超迹，其中$S_G$是属于$G$的不含特征值-1的元素的共轭类的个数.我们还考虑$A$作为李代数$A^L$和作为李超代数$A^S$。证明了若$A$是单结合代数，则超交换$[A^{S},A^{S}]$是至少具有$S_G$独立超对称不变非退化双线性型的单李超代数，商$[A^L,A^L]/([A^L,A^L]\cap\mathbb C)$是至少具有$T_G$独立对称不变非退化双线性型的单李代数.
In this survey we describe an interplay between Procesi bundles on symplectic resolutions of quotient singularities and Symplectic reflection algebras. Procesi bundles were constructed by Haiman and, in a greater generality, by Bezrukavnikov and Kaledin. Symplectic reflection algebras are deformations of skew-group algebras defined in complete generality by Etingof and Ginzburg. We construct and classify Procesi bundles, prove an isomorphism between spherical Symplectic reflection algebras, give a proof of wreath Macdonald positivity and of localization theorems for cyclotomic Rational Cheredn…
Gelfand-Kirillov conjecture for symplectic reflection algebras
利用双导子的形式构造了一类代数的函子.这些代数扩展到更高维度的Crawley-Boevey和Holland的变形预投射代数的构造，并包含与圈积相关的辛反射代数。我们用这个结构来证明辛反射代数的商域是“有理的”，从而证实了Etingof和Ginzburg的一对代数。
A Lie-theoretic construction of spherical symplectic reflection algebras
我们提出了一个构造球面子代数的辛反射代数的任意秩对应的星形仿射Dynkin图。即它是由某个半单李代数的泛包络代数通过量子哈密顿约化过程得到的。作为一个应用，我们提出了球面子代数的有限维表示的构造。
Poisson orders, symplectic reflection algebras and representation theory
我们引入一类新的代数称为泊松序。这类代数包括Etingof和Ginzburg的辛反射代数，单位根上的量子群，正特征限制李代数的包络代数。通常，我们从泊松几何的角度研究这类代数，展示它们的表示论和一些著名的尺规作图法之间的联系。作为一个应用程序，我们采用我们的研究结果辛反射代数，完成工作的Etingof和金兹伯格时，这些代数是有限的中心，并提供了一个框架，研究他们的表示论在后一种情况下。
On some finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products
设G是SL（2，C）的有限子群.设S_N#G^N是G与N次对称群的圈积，该对称群辛地作用在2N维复向量空间V上，其辛基{x_i，y_i} i=1，.，N.本文对S_N#G^N的所有不可约表示进行了分类，这些不可约表示可推广为相应的辛反射代数H（k，c，N，G）（其中k是复数，c是G的非平凡元上的类函数）的表示，其中k为非零值，生成元x_i，y_i \in H（k，c，N，G）具有平凡作用.
Morita equivalence problem for symplectic reflection algebras
本文利用大素数模约化，完全刻画了 $SL_2(\mathbb{C})$ 有限子群直积对应辛反射代数的 Morita 等价，并推进了 A 型有理 Cherednik 代数的分类。
Deformed preprojective algebras and symplectic reflection algebras for wreath products
本文确定了一个对称群与一个仿射Dynkin群的变形预投射代数的圈积的PBW变形。特别是，我们表明，有一个参数，这不是来自变形的预投射代数。证明了PBW变形与相应的圈积的辛反射代数是Morita等价的。
Symplectic reflection algebras and affine Lie algebras
本文的目的是提出一些结果和（更重要的是）状态的一些示意图表明，表示理论的辛反射代数圈积分类某些结构的表示论的仿射李代数（即，分解的限制的基本表示有限维和仿射子代数）。这些见解源于R. Bezrukavnikov和A. Okounkov关于量子连接之间的联系希尔伯特计划的决议克莱因奇点和表示辛反射代数。
Symplectic reflection algebra $ H_{1, \,ν}(G)$ has a $T(G)$-dimensional space of traces whereas, when considered as a superalgebra with a natural parity, it has an $S(G)$-dimensional space of supertraces. The values of $T(G)$ and $S(G)$ depend on the symplectic reflection group $G$ and do not depend on the parameter $ν$. In this paper, the values $T(G)$ and $S(G)$ are explicitly calculated for the groups $G= Γ\wr S_N$, where $Γ$ is a finite subgroup of $Sp(2,\mathbb C)$.
Finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products II
本文推广了前一篇文章（math.RT/0403250）中关于秩为N的圈积辛反射代数H（k，c，N，G）的有限维表示的一些结果.具体地，令N '=（N_1，...，N_r）是N的一个划分。考虑W=W_1 \otimes >. \otimes W_r是S_N '= S_{N_1} \times的不可约表示. \times S_{N_r} \subset S_N s.t. W_i对任意i都有矩形Young图，设{Y_i}，i=1，.，r是秩为1的代数B=H（c_0，1，G）s.t. Ext^1_B（Y_i，Y_j）=0对于任何i \neq j。考虑模M '= W \otimes Y，其中Y=Y_1^{N_1} \otimes. \otimes Y_r^{N_r}，在子代数S_N '#B^N \subset S_N#B^N= H（0，c_0，N，G）上，并形成H（0，c_0，N，G）上的诱导模M.我们证明了M可以沿着参数（k，c）通过c_0的空间中余维为r的线性子空间唯一变形。这个结果暗示了数学的主要结果。RT/0403250作为一个特殊情况，平凡划分N ′ =（N）的情况。
Finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products
本文构造了附在SL（2，C）的有限子群G上的秩为N的圈积辛反射代数H（k，c，N，G）的有限维表示（这里k是一个数，c是G的非平凡元集上的类函数）.具体地说，我们证明了：如果W是SN的不可约表示，且其Young图是矩形，Y是H（c，1，G）的不可约有限维表示，则H（0，c_0，N，G）的表示M=W \otimes Y^N可沿参数（k，c）空间中通过c_0的超平面变形.另一方面，如果Y是1维的，W的杨氏图不是矩形，则不存在这样的变形。
Baby Verma modules for rational Cherednik algebras
辛反射代数出现在许多不同的数学学科中：可积系统，李理论，表示论，微分算子，辛几何。本文引入参数t=0的复反射群的辛反射代数（即所谓的参数t=0的有理Cherednik代数）的婴儿韦尔马模，并给出它们的基本性质.通过与正特征约化李代数的表示论类比，我们相信这些模对于理解参数t=0的有理切雷德尼克代数的表示论和相关几何是基础性的.作为一个例子，我们利用婴儿韦尔马模回答了Etingof和Ginzburg提出的几个问题，并给出了Finkelberg和Ginzburg的一个定理的初等证明.
Symplectic Reflection Algebras in Positive Characteristic as Ore Extensions
研究了k[x，y]#G的PBW变形H，其中G是p阶循环群，k也有特征p，在这些变形中，[x，y]取kG的值.这些代数是辛反射代数的版本，只存在于正特征中。它们也碰巧拥有交换子环R上的Ore扩张的表示，并通过定义扩张的推导，与组合学中出现的某些多项式有有趣的联系，并与交替排列（安德烈多项式）有关。我们找到了这些代数的中心，它们的韦尔马模，它们的单模，以及单之间的Ext群。韦尔马模与Mod H ->> Spec R的纤维一致，并且Mod H在Smith和Zhang的意义下是韦尔马模的不交并。与非定义性特征一样，t=0和t=1情况之间存在一些区别。当G被初等交换p-群E取代时，我们也得到了一些结果：特别地，当[x，y]在k[E]中时，我们找到了中心和单模.
For each complex number $ν$, an associative symplectic reflection algebra $\mathcal H:= H_{1,ν}(I_2(2m+1))$, based on the group generated by root system $I_2(2m+1)$, has an $m$-dimensional space of traces and an $(m+1)$-dimensional space of supertraces. A (super)trace $sp$ is said to be degenerate if the corresponding bilinear (super)symmetric form $B_{sp}(x,y)=sp(xy)$ is degenerate. We find all values of the parameter $ν$ for which either the space of traces contains a degenerate nonzero trace or the space of supertraces contains a degenerate nonzero supertrace and, as a consequence, the alge…
Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism
对于辛向量空间V的自同构的任何有限群G，我们将G的Smash积与V上的多项式代数的一个新的多参数变形H_k联系起来。若G是向量空间h中根系的外尔群，且V=h \oplus h^*，则代数H_k是Cherednik双仿射Hecke代数的“有理”退化.设G= Sn，g=gl_n的外尔群.我们构造了从gl_n上的不变多项式微分算子代数D（g）^g到C^n上的具有有理系数的Sn-不变微分算子代数的Harish-Chandra同态的一个单参数变形. g上的二阶Laplacian算子在变形同态的作用下，成为具有有理位势的Calogero-Moser微分算子.我们的关键思想是将变形同态重新解释为一个同态：D（g）^g \to {H_k中的球面子代数}，其中H_k是与S_n相关的辛反射代数。这样，变形的哈里什-钱德拉同态就只不过是用“量子”哈密顿约化来描述球面子代数。在经典极限k -> \infty中，我们构造了H_ \infty中的球面子代数与Calogero-Moser空间的坐标环之间的同构.证明了所有的单H_ \infty -模都有维数n！，并且由Calogero-Moser空间的点参数化。代数H_ \infty同构于特殊秩n的自同态代数！空间上的向量丛。
In this paper we show that the Poisson analogue of the Noether's Problem has a positive solution for essentially all finite symplectic reflection groups - the analogue of complex reflection groups in the symplectic world. Our proofs are constructive, and generalize and refines previously known results. As an interesting consequence of the solution of this problem for complex reflection groups, we obtain the Poisson rationality of the Calogero-Moser spaces associated to any complex reflection group. The results of this paper can be thought as analogues of the Noncommutative Noether Problem and …
Isomorphisms of quantizations via quantization of resolutions
在本文中，我们证明了存在的同构之间的某些非交换代数是有趣的表示论的角度来看，并产生某些Poisson代数的量子化。我们证明了由三种不同构造得到的Kleinian分解的量子化是同构的。构造是通过辛反射代数，量子哈密顿约化，W-代数。其次，我们证明了A型抛物W-代数同构于与A型箭图相关的量子Hamilton约化。最后，我们证明了对称群和Kleinian群的环积的辛反射代数同构于某些量子Hamilton约化。我们的结果涉及W-代数是新的，而对于那些处理辛反射代数，我们只是给出了新的证明。在我们的证明中的一个关键因素是适当的泊松品种的辛决议的量化的研究。
Stratifications of Marsden-Weinstein reductions for representations of quivers and deformations of symplectic quotient singularities
本文研究了与空间的余切丛有关的矩映射的Marsden-Weinstein约化的Poisson几何。我们表明，分层表示类型等于分层辛叶。变形辛商奇点-频谱的辛反射代数的中心与一个圈积-被证明是同构的减少一定的环。这建立了一种方法来计算这些变形何时是平滑的。此外，同构标识辛叶，因此可以用根的形式来描述它们的辛叶。
Generalized graded Hecke algebra for complex reflection group of type G(r,1,n)
研究了Ram和Shepler定义的G（r，1，n）型复反射群上的广义分次Hecke代数的表示论.我们利用这个代数在相应的辛反射代数中的一个实现来证明一个PBW定理。定义了主列模，并证明了它们的不可约准则.
The algebra $\mathcal H:= H_{1,ν}(I_2(2m+1))$ of observables of the Calogero model based on the root system $I_2(2m+1)$ has an $m$-dimensional space of traces and an $(m+1)$-dimensional space of supertraces. In the preceding paper we found all values of the parameter $ν$ for which either the space of traces contains a~degenerate nonzero trace $tr_ν$ or the space of supertraces contains a~degenerate nonzero supertrace $str_ν$ and, as a~consequence, the algebra $\mathcal H$ has two-sided ideals: one consisting of all vectors in the kernel of the form $B_{tr_ν}(x,y)=tr_ν(xy)$ or another consistin…
We study the hyperplane arrangements associated, via the minimal model programme, to symplectic quotient singularities. We show that this hyperplane arrangement equals the arrangement of CM-hyperplanes coming from the representation theory of restricted rational Cherednik algebras. We explain some of the interesting consequences of this identification for the representation theory of restricted rational Cherednik algebras. We also show that the Calogero-Moser space is smooth if and only if the Calogero-Moser families are trivial. We describe the arrangements of CM-hyperplanes associated to sev…
We classify filtered quantizations of conical symplectic singularities and use this to show that all filtered quantizations of symplectic quotient singularities are spherical Symplectic reflection algebras of Etingof and Ginzburg. We further apply our classification and a classification of filtered Poisson deformations obtained by Namikawa to establish a version of the Orbit method for semisimple Lie algebras. Namely, we produce a natural map from the set of adjoint orbits in a semisimple Lie algebra to the set of primitive ideals in the universal enveloping algebra. We show that the map is in…
Zero fibers of quaternionic quotient singularities
本文将 Haiman 关于实反射群对角 coinvariant 环的猜想推广到四元数反射群，研究商映射零纤维的函数环，证明其在高秩情形具有来自辛反射代数不可约表示的 $(g+1)^n$ 维商，并猜想该结论普遍成立。
On the Azumaya locus of almost commutative algebras
本文证明了一个一般性命题，它包含一个代数的中心的Azumaya与光滑轨迹重合的正特征，只要它的分次代数的谱有一个大的辛叶.特别是，我们表明，辛反射代数光滑和Azumaya轨迹重合。
Bernstein inequality and holonomic modules
本文针对谱含有限辛叶的交换相伴分次滤过代数引入全纯模概念，证明广义伯恩斯坦不等式对单模成立且全纯单模取等，还证明全纯模有限长度等性质，并附合作附录阐释定义动机。
The Associated Variety of a Poisson Prime Ideal
我们证明了辛反射代数的中心的Poisson素理想在参数t=0处的伴随簇是不可约的。
We investigate the structure constants of the center $\mathcal{H}_n$ of the group algebra $Sp_{n}(q)$ over a finite field. The reflection length on the group $GL_{2n}(q)$ induces a filtration on the algebras $\mathcal{H}_n$. We prove that the structure constants of the associated filtered algebra $\mathcal{S}_n$ are independent of $n$. As a technical tool in the proof, we determine the growth of the centralizers under the embedding $Sp_m(q)\subset Sp_{m+l}(q)$ and we show that the index of the centralizer of $g\in Sp_m(q)$ in the centralizer of $g\in Sp_{m+k}$ is equal to $q^{2ld}|Sp_{r+l}(q)|…
Representation theory of the Reflection Equation Algebra II: Theory of shapes
本文研究反射方程代数的表示论，通过引入形状矩阵及其量子化版本，参数化经典极限下的辛叶，并证明每个不可约表示具有唯一形状。
On the asymptotic S_n-structure of invariant differential operators on symplectic manifolds
我们考虑了辛流形上n个函数的多微分算子空间在辛自同构下的不变性，这一研究是Mathieu于1995年开始的。输入的排列产生S_n的动作，其扩展为S_{n+1}的动作。我们研究这种结构，视n为参数，在德利涅的范畴的意义。对于2d维流形，我们证明了S_{n+1}的反射表示h=C^n的<= 2d+1次张量幂空间的同构部分被Poisson多项式张成.我们还证明了一个部分逆，并明确计算的同构部分的反射表示的<= 4次张量幂的权力。给出了只在顶行长度上不同的杨氏图的同构部分的母函数，并证明了它们是有理函数，其乘子与去掉顶行后的图的钩长有关.这也给出了从Z/（n+1）到S_{n+1}的诱导表示的相同同构部分的公式，其中n被看作是一个参数。我们将其应用于与奇点C^{2dn}/ S_{n+1}相关的泊松和霍赫希尔德同调。也就是说，C^{2d}的n阶Weyl代数的系数在整个Weyl代数中的S_{n+1} -不变量的零次Poisson同调的Brylinski谱序列退化到h的2d+1次张量幂幂和它的4次张量幂幂。此外，这个谱序列的核的维数是同调群维数的1/n^3倍。
On primitive ideals
本文将半单李代数的包络代数中的本原理想的两个著名结果，即“不可约定理”和“Duflo定理”推广到更广泛的代数类中.我们的不可约性定理的一般版本是说，如果A是一个正滤结合代数，使得gr（A）是一个交换Poisson代数，有200多个辛叶，那么A中任何本原理想的结合簇是一个单连通辛叶的闭包。我们的Duflo定理的一般版本说，如果A是一个具有“三角结构”的代数（见第2节），则A中的任何本原理想是一个简单最高权模的零化子。讨论了它在辛反射代数和Cherednik代数中的应用。
We study a class of quantized enveloping algebras, called twisted Yangians, associated with the symmetric pairs of types B, C, D in Cartan's classification. These algebras can be regarded as coideal subalgebras of the extended Yangian for orthogonal or symplectic Lie algebras. They can also be presented as quotients of a reflection algebra by additional symmetry relations. We prove an analogue of the Poincare-Birkhoff-Witt Theorem, determine their centres and also study extended reflection algebras.
Quiver Varieties with Multiplicities, Weyl Groups of Non-Symmetric Kac-Moody Algebras, and Painlevé Equations
对于每个顶点都有正整数的有限流形，我们给出了一个具有参数的全纯辛流形。这与Nakajima的无稳定性参数/框架（如果附加在顶点上的整数都等于1的话）的numerical簇一致。本文将Kac-Moody代数簇的反射函子的构造推广到我们的情形，其中这些反射函子与可对称化的、可能非对称的Kac-Moody代数的外尔群中的单反射有关.我们把黎曼球面上秩为2的平凡丛上的亚纯联络的模空间描述为流形。在我们的图中，Painlevé方程的Dynkin图列表与Okamoto的略有不同（但等价于）。
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