The Cheeger constant of simply connected, solvable Lie groups
Norbert Peyerimhoff, Evangelia Samiou
证明了可解单连通李群$G$与李代数$\G$的Cheeger等周常数为$h(G)=\max_{H\in\G,||H||=1} \tr(\ad (H))$ .
We show that the Cheeger isoperimetric constant of a solvable simply connected Lie group $G$ with Lie algebra $\G$ is $h(G)=\max_{H\in\G,||H||=1} \tr(\ad (H))$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cheeger constant and algebraic entropy of linear groups
我们证明了一个统一版本的山雀替代。从而获得了任意特征的有限生成非虚可解线性群的凯莱图的Cheeger常数的一致下界。我们还证明了一个给定的李群的离散子群的代数熵是一致有界的。
Let $ω_\mathfrak{g}$ be a Lie algebra valued differential $1$-form on a manifold $M$ satisfying the structure equations $d ω_\mathfrak{g} + \frac{1}{2} ω_\mathfrak{g}\wedge ω_\mathfrak{g}=0$ where $\mathfrak{g}$ is solvable. We show that the problem of finding a smooth map $ρ:M\to G$, where $G$ is an $n$-dimensional solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and left invariant Maurer-Cartan form $τ$, such that $ρ^* τ= ω_\mathfrak{g}$ can be solved by quadratures and the matrix exponential. In the process we give a closed form formula for the vector fields in Lie's third theorem for sol…
The Bach flow is a fourth order geometric flow defined on four manifolds. For a compact manifold, it is a conformally modified gradient flow for the $L^2$-norm of the Weyl curvature. In this paper we study the Bach flow on four-dimensional simply connected nilmanifolds whose Lie algebra is indecomposable. We show that the Bach flow beginning at an arbitrary left invariant metric exists for all positive times and after rescaling converges in the pointed Cheeger-Gromov sense to an expanding Bach soliton which is non-gradient. Combining our results with previous results of Helliwell gives a compl…
Cheeger manifolds and the classification of biquotients
一个闭流形称为双商，如果对具有闭子群K和H的紧致李群G，它同构于K \G /H，使得K自由作用在G/H上.双曲率是具有非负截面曲率的黎曼流形的主要例子。我们证明了双商的几个分类结果：（1）我们对所有与双商微分同胚的单连通有理同调球面进行了分类。例如，Gromoll-Meyer奇异球是唯一的奇异球的任何维度，这是一个双商。(2)我们确切地确定哪些Cheeger流形，两个秩一对称空间的连通和，是双元同胚的。例如，CP^2 # CP^2是双商，但CP^4 # HP^2不是。(3)在每个维上，2-连通双连通元的同构类只有1000个。
Cheeger constants of surfaces and isoperimetric inequalities
我们证明了紧致曲面的Cheeger常数是有界的面积的函数。我们将此应用于有界亏格非紧曲面的等周轮廓，以表明如果它们的等周轮廓比$\sqrt t$增长得更快，则它至少与线性函数一样快。这推广了Gromov关于单连通曲面的一个结果。研究了三维空间中的等周问题。我们证明了如果填充体积函数在2维是欧几里德的，而在3维是亚欧几里德的，并且存在一个$g$使得极小在3维最多有亏格$g$，那么填充函数在3维是“几乎”线性的。
In this paper we try to generalize the Haefliger theorem on completly solvable Lie foliations. We prove that: every completely solvable Lie foliation on a compact manifold is the inverse image of a homogenus foliation. Every manifold in this paper is compact and our Lie group G is connexe and simply connexe.
We show that for any solvable Lie group of real type, any homogeneous Ricci flow solution converges in Cheeger-Gromov topology to a unique non-flat solvsoliton, which is independent of the initial left-invariant metric. As an application, we obtain results on the isometry groups of non-flat solvsoliton metrics and Einstein solvmanifolds.
Isometry groups of simply connected unimodular 4-dimensional Lie groups
本文刻画四维单连通幺模幂零或可解 $(R)$ 型李群上任意左不变黎曼度量的完整等距群。
Every simply connected and connected solvable Lie group $G$ admits a simply transitive action on a nilpotent Lie group $H$ via affine transformations. Although the existence is guaranteed, not much is known about which Lie groups $G$ can act simply transitive on which Lie groups $H$. So far the focus was mainly on the case where $G$ is also nilpotent, leading to a characterization depending only on the corresponding Lie algebras and related to the notion of post-Lie algebra structures. This paper studies two different aspects of this problem. First, we give a method to check whether a given ac…
Let $M$ be a simply connected pseudo-Riemannian homogeneous space of finite volume with isometry group $G$. We show that $M$ is compact and that the solvable radical of $G$ is abelian and the Levi factor is a compact semisimple Lie group acting transitively on $M$. For metric index less than three, we find that the isometry group of $M$ is compact itself. Examples demonstrate that $G$ is not necessarily compact for higher indices. To prepare these results, we study Lie algebras with abelian solvable radical and a nil-invariant symmetric bilinear form. For these, we derive an orthogonal decompo…
Solvable Lie algebras obtained by quivers and Einstein metrics
本文从无圈有限箭图构造可解李代数，扩展先前利用箭图构造幂零李代数的方法，证明相应单连通李群有左不变里奇孤立子，且当箭图为定向多树时，这些李群是刚性的，即由平坦流形与爱因斯坦流形直积而成。
Recently, Jablonski proved that, to a large extent, a simply connected solvable Lie group endowed with a left-invariant Ricci soliton metric can be isometrically embedded into the solvable Iwasawa group of a non-compact symmetric space. Motivated by this result, we classify codimension one subgroups of the solvable Iwasawa groups of irreducible symmetric spaces of non-compact type whose induced metrics are Ricci solitons. We also obtain the classifications of codimension one Ricci soliton subgroups of Damek-Ricci spaces and generalized Heisenberg groups.
Harmonic morphisms from solvable Lie groups
本文介绍了从可解李群构造调和态射的两种新方法。第一种方法从任意单连通幂零李群和任意非紧型和秩的黎曼对称空间$r\ge 3$得到整体解。第二种方法给出了任意Damek-Ricci空间和许多非紧黎曼对称空间的整体解。然后，我们给一个连续的家庭的3维可解李群不承认任何复杂的价值调和态射，甚至没有本地。
Locally conformally product structures on solvmanifolds
本文研究单连通李群上的左不变局部共形乘积结构，给出了可解幺模情形的完整描述，并获得了维数不超过5且带有LCP结构的可解幺模李代数完整列表及格的存在性。
In this paper, we show that for any closed 4-dimensional simply-connected Riemannian manifold $M$ with Ricci curvature $|Ric|\leq 3$, volume $vol(M)>v>0$, and diameter $diam(M)<D$, the length of a shortest closed geodesic is bounded by a function $F(v,D)$ which only depends on $v$ and $D$. The proofs of our result are based on a recent theorem of diffeomorphism finiteness of the manifolds satisfying the above conditions proven by J. Cheeger and A. Naber.
On the de Rham cohomology of solvmanifolds
利用D. Witte关于可解李群中格的超性的一个新结果得到了另一种证明。Guan关于紧致可解流形的de Rham上同调，即连通和单连通可解李群$G$与格$Γ$的商.这一结果可用于计算紧致可解流形$G/Γ$的贝蒂数，即使在可解李群$G$和格$Γ$不满足Mostow条件的情况下也是如此.
Harmonic manifolds with some specific volume densities
证明了具有体积密度$Θ_{p}(r) =\sinh ^{n-1} r$的非紧单连通调和流形与实双曲空间等距，具有体积密度$Θ_{p}(r) =\sinh ^{2n-1} r \cosh r$的非紧单连通Kähler调和流形与复双曲空间等距.对于四元数Kähler流形也证明了类似的结果。使用我们的方法，我们得到一个替代的证明，没有呼吁强大的Cheeger-Gromoll分裂定理，事实上，每一个Ricci平坦的调和流形等距的欧氏空间。最后给出了实双曲空间的一个刚性结果。
Strongly solvable spaces
这项工作的基础上奠定了戈登和威尔逊在研究等距群的solvmanifold，即黎曼流形承认一个传递可解群的等距。我们把自己限制在一个自然类的可解李群称为几乎完全可解;这类包括完全可解李群。当换位子代数包含中心时，我们仅利用度量李代数的信息就得到了任意左不变度量的等距群的完整刻画。利用我们在这类空间的等距群上的工作，我们研究了解流形的等价性。我们的第一个应用是齐次Ricci孤子度量的分类。我们证明了广义Alekseevsky猜想的验证归结为简单连通的情况。我们的第二个应用是Heintze关于某些齐性空间的紧映射存在刚性的一个结果的推广。Heintze的结果适用于具有负曲率的空间。我们删除所有的几何要求，代之以代数要求的同质结构。
We consider all connected and simply connected 7-dimensional Lie groups whose Lie algebras have nilradical $\g_{5,2} = \s \{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5 \colon [X_1, X_2] = X_4, [X_1, X_3] = X_5\}$ of Dixmier. First, we give a geometric description of the maximal-dimensional orbits in the coadjoint representation of all considered Lie groups. Next, we prove that, for each considered group, the family of the generic coadjoint orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes. Finally, the topological classification of all these foliations is also provided.
On the Chern-Ricci flow and its solitons for Lie groups
本文研究了李群上左不变埃尔米特结构的陈-里奇流演化。我们研究的解决方案的行为，因为t是接近第一次奇点，通过重新标度，以防止崩溃，并获得收敛的点（或Cheeger-Gromov）意义上的Chern-Ricci孤子。本文给出了点极限的Chern-Ricci形式和李群结构的一些结果，作为应用，我们得到了具有余维1正规交换子群的可解李群的完整图象.我们还发现了一个Chern-Ricci孤子厄密度量的大多数复杂的表面，这是solvmanifold，包括一个意想不到的收缩孤子的例子。
A solvmanifold with a left-invariant complex structure whose universal cover is not Stein
构造单连通可解李群\(G\)及其左不变复结构\(J\)，使其不是斯坦因流形，为长谷川关于单连通幺模可解李群斯坦因性质的猜想提供反例。
Geometric Diffeomorphism Finiteness in Low Dimensions and Homotopy Group Finiteness
我们的主要结果是：对于任意给定的数C和D，m<7维单连通闭光滑流形类只包含2/3个单同态类型，其中m<7维单连通闭光滑流形类的截面曲率以C为绝对值有界，直径以D为上一致有界.因此，在这些维度中，Cheeger定理中的体积的正下界可以被一个纯粹的拓扑条件--单连通性所取代。在4维中，这里只需要非零的欧拉示性数而不是单连通性。作为一个拓扑推论，我们得到：当k+l<7时，在给定的光滑闭l-流形上，只有1/2个主$T^k$丛具有单连通的非同构全空间.此外，对于任意给定的数C和D以及任意维数m，证明了对于任意自然数i，对于一个单连通闭m-流形的第i个同伦群，对于每个自然数i，总是有至多至多1/2个同构的可能性，该闭m-流形允许一个度量，其截面曲率以C为绝对值，直径以D为上界.
Complete LR-structures on solvable Lie algebras
李代数上的LR-结构是满足一定交换关系的双线性积，它与李积相容。LR-结构产生于对李群上的单传递仿射作用的研究。特别是人们感兴趣的问题，李代数承认一个完整的LR-结构。本文证明了一个李代数允许一个完备LR-结构当且仅当它允许任何LR-结构。
Heintze-Kobayashi-Wolf theory for negatively curved homogeneous Finsler manifolds
该研究将Heintze-Kobayashi-Wolf理论推广至齐性Finsler几何，证明连通负曲率齐性Finsler流形等距于单连通可解李群的左不变度量空间，且Heintze判别准则是实可解李代数生成对应李群的充要条件。
Deformations and rigidity of lattices in solvable Lie groups
设$G$是单连通可解李群，$Γ$是$G$中的格.变形空间$\mathcal{D}(Γ,G)$是与$\Aut(G)$在$Γ$的所有晶格嵌入到$G$中的空间$\mathcal{X}(Γ,G)$上的作用相关联的轨道空间。我们的主要结果推广了Mal'tsev和Saito关于幂零李群和实型可解李群中格的经典刚性定理.证明了在$G$的极大幂零正规子群连通的条件下，$G$中的每个Zynski-稠格$Γ$的变形空间是有限的Hausdorff空间.这意味着可解李群中的每个格实际上嵌入为具有有限变形空间的Zenki-稠格。本文给出了可解李群$G$的例子，它允许Zomki-稠格$Γ$，使得$\mathcal{D}(Γ,G)$是可数无限的，以及$G$的极大幂零正规子群是连通的，同时$G$具有不可数变形空间的格.
Weyl-Einstein structures on conformal solvmanifolds
该文研究共形可解李群及其紧商上的Weyl-Einstein结构，证明紧共形可解流形带该结构则为Einstein流形，非交换幂零共形李群无左不变该结构，还分类了几乎交换情形及3维单连通可解李群的左不变度量。
In this paper, we consider exponential, connected and simply connected Lie groups which are corresponding to Lie algebras of dimension 7 such that the nilradical of them is 5-dimensional nilpotent Lie algebra $\mathfrak{g}_{5,2}$ in Table 1. In particular, we give a description of the geometry of the generic orbits in the coadjoint representation of some considered Lie groups. We prove that, for each considered group, the family of the generic coadjoint orbits forms a measurable foliation in the sense of Connes. The topological classification of these foliations is also provided.
Three-dimensional solvsolitons and the minimality of the corresponding submanifolds
本文定义了李群上的左不变黎曼度量所对应的子流形，并研究了李群上的区别左不变黎曼度量是否对应于区别子流形？证明了三维单连通可解李群上的解孤子完全由相应子流形的极小性刻画。
Volume entropy of a family of rank one, split-solvable Lie groups of Abelian type
本文研究推广SOL群与双曲空间对数模型的Euclid空间度量族，推导了Abel型Heintze群的体积熵公式，并解决了关于SOL群与双曲空间间插值3-流形族的猜想。
On the limit of simply connected manifolds with discrete isometric cocompact group actions
本文研究带离散等距群作用且 Ricci 曲率有下界的单连通流形在等变 GH 收敛下的极限，证明极限群单位分支幂零，且模极大环面后的极限空间单连通。
Isoperimetric domains of large volume in homogeneous three-manifolds
给定一个非紧的单连通齐次三流形$X$和$X$中体积趋于无穷大的等周域序列$\{Ω_n\}_n$，我们证明了：$n\to \infty $：1. $Ω_n$的半径趋于无穷大。2.比率$\{Area} (\partial Ω_n)/\{Vol}(Ω_n)$收敛到Cheeger常数Ch $(X)$，我们还证明了它等于$2H(X)$，其中$H(X)$是$X$的临界平均曲率。3.边界表面$\partial Ω_n$的恒定平均曲率$H_n$的值收敛到$\frac{1}{2}\{Ch}(X)$。此外，当Ch $(X)$是积极的，我们证明了，对于$n$大，$\partial Ω_n$是很好的近似在自然意义上的叶的某一叶理的$X$，其中每一个叶的叶理是一个表面的常数平均曲率$H(X)$。
Maxwell Strata in the sub-Riemannian problem on solvable, nonnilpotent regular three-dimensional Lie groups
本文研究了可解、非 nilpotent、正则三维李群的子黎曼问题，通过分析哈密顿系统的垂直分量，证明了 Maxwell 集合与摆周期的关系，并给出了切时间的显式上界。
Cyclic metric Lie groups
循环度量李群是具有左不变度量的李群，该左不变度量在某种程度上远非双不变的，这在Tricerri和Vanhecke的齐次结构中是明确的。研究了半单可解情形。我们推广到一般情况下，Kowalski-Tricerri和Bieszk的分类的连通和单连通幺模循环度量李群的维数小于或等于五。
On Low-Dimensional Solvmanifolds
本文研究六维及以下可解李群中格的存在性，并系统分类相应可解流形的形式性、辛、Kähler 及（Hard）Lefschetz 性质。
We study the existence of cocompact lattices in Lie groups with bi-invariant metric of signature $(2,n-2)$. We assume in addition that the Lie groups under consideration are simply-connected, indecomposable and solvable. Then their centre is one- or two-dimensional. In both cases, a parametrisation of the set of such Lie groups is known. We give a necessary and sufficient condition for the existence of a lattice in terms of these parameters. For groups with one-dimensional centre this problem is related to Salem numbers.
Complex, symplectic and Kaehler structures on four dimensional Lie groups
本文研究了单连通四维可解实李群上的左不变复和辛结构。我们搜索这种结构的一般形式，当它们存在时，我们利用这些信息来确定所有的左不变Kaehler结构。最后，作为附录，我们显式地计算了相应的李代数的实上同调。
Lattices in contact Lie groups and 5-dimensional contact solvmanifolds
本文研究了由切触李群一致化的紧切触流形的几何，即，紧流形，是具有左不变切触结构和一致格子群的李群G的商。我们重新审视亚历山大的标准存在格的可解李群和应用它们，以及其他一些众所周知的工具，并使用这些结果来证明，在5维，正好有7个连接和单连接接触李群的一致格，所有这些都是可解的。辛边界的问题进行了探讨，以及。证明了特殊的仿射群没有一致格。
On post-Lie algebras structures coming from simply transitive NIL-affine actions
本文证明了单连通可解 Lie 群在幂零 Lie 群上的单传递 NIL-仿射作用可诱导 post-Lie 代数结构，并在 2 步幂零情形下确立了单传递作用与完备 post-Lie 代数结构的精确对应。
On the Lie Foliation structure of Walker Manifolds
本文研究Walker流形的结构，证明其null平行分布可积分为G-Lie流形，并探讨Ricci曲率与流形维度的关系，提出局部分类和刚性定理。
Ricci soliton solvmanifolds
所有已知的非平凡齐次里奇孤子的例子都是单连通可解李群上的左不变度量，其里奇算子是单位模导子的倍数（称为孤子，在幂零情况下称为零孤子）。几何不变量理论中用来研究爱因斯坦解流形的工具，在孤子的研究中也被证明是有用的。我们证明了，直到等距，任何孤子可以通过一个非常简单的构造从一个零孤子连同其度量李代数的对称导子的任何交换李代数。得到了如下唯一性结果：在等距和标度条件下，一个给定的可解李群最多只能容纳一个孤子。作为应用，对维数不超过4的孤子进行了分类。
On simple compact Lie skew braces
本文从全局和微分视角研究李斜 brace 的简单性，证明紧致连通简单李斜 brace 的结构特性，并构造非紧致例子展示其非刚性。
$k$-symplectic manifolds are a convenient framework to study classical field theories and they are a generalization of polarized symplectic manifolds. This paper focus on the existence and the properties of left invariant $k$-symplectic structures on Lie groups having a bi-invariant pseudo-Riemannian metric. We show that compact semi-simple Lie groups and a large class of Lie groups having a bi-invariant pseudo-Riemannian metric does not carry any left invariant $k$-symplectic structure. This class contains the oscillator Lie groups which are the only solvable non abelian Lie groups having a b…
Abelian subgroups of the fundamental group of a space with no conjugate points
本文证明无共轭点紧致长度空间基本群的阿贝尔子群同构于整数格，并由此推出可解子群为 Bieberbach 群，黎曼情形借助渐近范数新性质证明。
D-modules and Solvable Lie Foliations
本文从D-模理论出发研究紧致流形上的可解李叶状结构，通过计算三类叶状结构的D-不规则度，证明和乐群非多循环性等价于导出环高阶上同调非消失，建立几何与D-模不变量的新联系。
There are five unimodular simply connected three dimensional unimodular non abelian Lie groups: the nilpotent Lie group $\mathrm{Nil}$, the special unitary group $\mathrm{SU}(2)$, the universal covering group $\widetilde{\mathrm{PSL}}(2,\mathbb{R})$ of the special linear group, the solvable Lie group $\mathrm{Sol}$ and the universal covering group $\widetilde{\mathrm{E}_0}(2)$ of the connected component of the Euclidean group. For each $G$ among these Lie groups, we give explicitly the list of all Lorentzian left invariant metrics on $G$, up to un automorphism of $G$. Moreover, for any Lorentz…
Geometry of Locally Compact Groups of Polynomial Growth and Shape of Large Balls
得到了任意局部紧群G中大球体积的渐近性质。这是通过研究G的几何和P.Pansu的论文的推广来完成的。特别地，我们证明了任何这样的G都弱可分解到某个单连通可解李群S，即G的Lie影子。我们还证明了G中的大球具有渐近形状，即经过适当的重正化后，它们收敛到一个极限紧集，这个极限紧集可以用几何方法来解释。然后我们讨论了收敛速度，处理一些例子，并给出了应用遍历论。我们还回答了Burago关于左不变度量的一个问题，并恢复了Stoll关于幂零群增长序列的非理性的一些结果.
Homogeneous Non Symmetric Special Kähler Geometries as Broken Isometry Metrics on Symmetric CV {K}ähler Manifolds:a new tool for $r=2$ CaNNs
本文证明齐性非对称特殊Kähler流形L(-1,p)与对称CV流形可解群同构，其等距群为CV等距群的破缺子群，为r=2 Cartan神经网络提供增强表达力的新工具。
An index theorem for families invariant with respect to a bundle of Lie groups
定义了一类椭圆算子族的等变族指数，该椭圆算子族关于李群的丛$\GR$的自由作用是不变的。如果$\GR \to B$的纤维是单连通可解的，则我们计算（等变族）指标的Chern特征，结果由Atiyah-Singer型公式给出.我们还研究了相应的伪微分算子代数上的迹，并利用Fedosov积得到了这类不变算子族的局部指数公式。对于拓扑非平凡丛，我们必须使用非交换几何的方法。然后，我们讨论作为一个应用程序的建设“高-eta不变量”，这是态射$K_n(\PsS {\infty}Y) \to \CC$。我们所研究的不变伪微分算子代数$\Psm {\infty}Y$和$\PsS {\infty}Y$是伪微分算子的"参数依赖“代数（参数在$\RR^q$中）的推广，因此我们的结果也提供了椭圆型参数依赖伪微分算子的一个指标定理.
Classification of 6-dimensional splittable flat solvmanifolds
本文研究6维可分裂平坦可解流形的分类，通过分析4维和5维有限阶整数矩阵的共轭类，获得了此类由格分解构造的流形的完整分类。
Lie bialgebras of complex type and associated Poisson Lie groups
在这项工作中，我们研究了一类特殊的李双代数所产生的埃尔米特结构的李代数，使度量是ad-不变的。我们称它们为复型李双代数。这就产生了泊松李群G，其对应的群G* 是复李群。证明了李代数$\mathfrak{g}$上具有ad-不变度量的厄米特结构在双李代数${\mathcal D}\mathfrak{g}= \mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g}^*$上诱导出一个与${\mathcal D}\mathfrak{g}$上中性签名的标准ad-不变度量相同的厄米特结构.我们给出了如何从一个2（n-2）维的李双代数开始构造一个2n维的复型李双代数。这使我们能够确定所有的可解李代数的维数$\leq 6$承认一个埃尔米特结构与ad不变度量。我们展示了一些例子，在4和6维，包括两个单参数的家庭，在那里我们确定相关的单连通李群上的李泊松结构，也得到他们的辛叶。
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