齐性非对称特殊Kähler几何作为对称CV Kähler流形上的破缺等距度量：$r=2$ CaNNs的新工具
Homogeneous Non Symmetric Special Kähler Geometries as Broken Isometry Metrics on Symmetric CV {K}ähler Manifolds:a new tool for $r=2$ CaNNs
- Università di Torino（都灵大学）
- Additati&Partners Consulting s.r.l（Additi&Partners咨询公司）
- Politecnico di Torino（都灵理工大学）
- INFN, Sezione di Torino（意大利国家核物理研究所都灵分部）
- KU Leuven, Institute for Theoretical Physics and Leuven Gravity Institute（荷语鲁汶大学理论物理与鲁汶引力研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明齐性非对称特殊Kähler流形L(-1,p)与对称CV流形可解群同构，其等距群为CV等距群的破缺子群，为r=2 Cartan神经网络提供增强表达力的新工具。
AI中文摘要：
在本文中，我们完整详细地证明了可解群 $\mathcal{S}_{2,2+p}$（度规等价于Calabi-Vesentini对称空间 $\mathrm{SO(2,2+p)/SO(2)\times SO(2+p)}$）与可解群 $\mathcal{S}_{\mathrm{L}(-1,p)}$（承载齐性非对称特殊流形L$(-1,p)$的Kähler度量）之间的同构。从Alekseevskyan观点来看，这两个空间仅对应于同一可解李代数上的两个不同的二次型，我们对此进行了详细展示和比较。此外，考虑L$(-1,p)$的全等距群 $\mathrm{Iso}_{\mathrm{L}(-1,p)}$，我们证明 $\mathrm{Iso_{L(-1,p)}}\subset \mathrm{SO}(2,2+p)$ 是Calabi-Vesentini流形的简单等距群的一个非半单子群。总之，特殊Kähler流形L$(-1,p)$可视为陪集流形 $\mathrm{Iso_{L(-1,p)}}/\mathrm{H}$，其中 $\mathrm{H}=\mathrm{U(1)}_L\times \mathrm{SO(p)}$，$\mathrm{U(1)}_L$ 的生成元在 $\so(2,2+p)$ 中，但不在标准的 $\so(2)\oplus\so(2+p)$ 子代数中。$\mathrm{Iso}_{\mathrm{L}(-1,p)}$ 在CV流形的可解坐标上的作用可直接构造。这一识别为Cartan神经网络提供了有价值的工具，在基于CV Tits Satake普适类的$r=2$神经网络的每一层到下一层的映射中引入额外的非线性变换；从长远来看，这一新工具增强了表达力。
英文摘要：
In this paper we prove in full detail the isomorphism between the solvable group $\mathcal{S}_{2,2+p}$, metric equivalent to the Calabi Vesentini symmetric space $\mathrm{SO(2,2+p)/SO(2)\times SO(2+p)}$, and the solvable group $\mathcal{S}_{\mathrm{L}(-1,p)}$ supporting the Kähler metric of the homogeneous non symmetric special manifold L$(-1,p)$. From an Alekseevskyan point of view the two spaces simply correspond to two different quadratic forms on the same solvable Lie algebra that we present and compare in detail. Furthermore considering the full group of isometries $\mathrm{Iso}_{\mathrm{L}(-1,p)}$ of L$(-1,p)$ we show that $\mathrm{Iso_{L(-1,p)}}\subset \mathrm{SO}(2,2+p)$ is a non-semisimple subgroup of the simple isometry group of Calabi-Vesentini manifolds. Altogether the Special Kähler manifold L$(-1,p)$ can be seen as a coset manifold $\mathrm{Iso_{L(-1,p)}}/\mathrm{H}$ where $\mathrm{H}=\mathrm{U(1)}_L\times \mathrm{SO(p)}$, the generator of $\mathrm{U(1)}_L$ being in $\so(2,2+p)$, yet not in the canonical $\so(2)\oplus\so(2+p)$ subalgebra. The action of $\mathrm{Iso}_{\mathrm{L}(-1,p)}$ on the solvable coordinates of the CV manifold can be constructed directly. This identification provides a valuable tool for Cartan Neural Networks, introducing additional non linear transformations in every map from one layer to the next one of an $r=2$ Neural Network based on the CV Tits Satake universality class; in perspective, this new tool increases expressivity.
