Toda Equations and $σ$-Functions of Genera One and Two
Shigeki Matsutani
利用椭圆和超椭圆$σ$和$ψ$函数研究了连续、离散和超离散Toda方程.超离散Toda方程表现为$ψ$函数递归关系的离散赋值。
We study the Toda equations in the continuous level, discrete level and ultradiscrete level in terms of elliptic and hyperelliptic $σ$ and $ψ$ functions of genera one and two. The ultradiscrete Toda equation appears as a discrete-valuation of recursion relations of $ψ$ functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Solution of the genaralized periodic discrete Toda equation
利用广义周期离散Toda方程（pdToda eq.）得到了含有多种球的箱球系统。从代数几何的角度研究了pd Toda方程。研究了pd Toda方程的时间演化。在代数簇上线性化，得到了θ函数解。
Integrability on generalized $q$-Toda equation and hierarchy
本文构造了一个新的可积方程，它是$q$ -Toda方程的推广.同时构造了它的孤子解，证明了它的可积性。进一步构造了广义$q$ -Toda方程的拉克斯对和整个可积的广义$q$ -Toda族.为了证明可积性，给出了广义$q$ -Toda族的双哈密顿结构和τ对称性，并由此得到了τ函数.
Ultradiscretization of the solution of periodic Toda equation
通过对周期离散Toda方程（pd Toda eq.）进行超离散化，得到周期箱球系统（pBBS）.给出了pBBS的杨氏图和pd Toda方程的谱曲线之间的关系。作为一个推论，得到了pBBS的基本周期公式.
Solution of Baxter equation for the $q$-Toda and Toda$_2$ chains by NLIE
利用辅助非线性积分方程，构造了描述$q$ -Toda链和Toda $_2$链谱的标量$\boldsymbol{ \texttt{t} }- \boldsymbol{ \texttt{Q} }$方程的解的基.我们的建设使我们能够提供这些模型的光谱的形式的热力学贝特Ansatz方程的量化条件。
The parametrix problem for Toda equation with steplike initial data
本文是arXiv：17.01.02867的延续。我们在这里给出了Toda稀疏问题的参数化问题的严格解和完整的渐近分析，证明了arXiv：17.01.02867中获得的渐近性。
Dispersionless Pfaff-Toda hierarchy and elliptic Löwner equation
我们表明，一个变量减少的Pfaff-Toda可积族的色散极限描述的耦合椭圆Löwner（Komatu-Goluzin）方程的系统。
Triangular reductions of 2D Toda hierarchy
提出了与低三角差分算子相关的二维Toda方程的新约化。得到了它们的显式哈密顿描述。
Multivariate hypergeometric functions as tau functions of Toda lattice and Kadomtsev-Petviashvili equation
我们提出的q-变形多元超几何函数Schur多项式的KP和二维Toda格族的tau函数。超几何函数的变量是这些层次的高阶次。离散Toda格变量移动超几何函数的参数。额外的对称性在生成超几何τ函数的作用进行了解释。
Toda equations for Hurwitz numbers
我们考虑了P^1的在0和无穷大上具有任意分支类型的分支覆盖以及在别处具有简单分支的分支覆盖，并证明了这种覆盖的个数的母函数是Ueno和Takasaki的Toda格族的τ-函数.
Toda-Schrödinger correspondence and orthogonal polynomials
已知无限制Toda链等价于正交多项式的Stieltjes函数的Riccati方程。在一定条件下，该Riccati方程可化为薛定谔方程.我们表明，这个条件是等价的Toda链的B型解决方案。我们建立了一些非平凡的后果所产生的Toda-Schrodinger对应。特别是，我们表明，KdV密度可以确定与相应的正交多项式的矩。我们建立了Toda分子的B型解与薛定谔方程的Bargmann势之间的等价性。
Delay reductions of the two-dimensional Toda lattice equation
给出了二维Toda格点方程的可积延迟模拟，并将延迟约化应用于Gram行列式解，构造了其多孤子解.
Integrability criterion in terms of coprime property for the discrete Toda equation
我们重新制定的离散Toda方程的奇异性限制。我们证明的互质性，这已经介绍了在我们以前的文件（arXiv：1311.0060）作为可积性的标准之一，离散Toda方程。本文研究了离散Toda方程的三种边界条件（半无限边界、分子边界、周期边界），证明了这三种边界条件都具有互质性。(v2：错别字更正，最终版本出现在J. Math. Phys.）
Symmetries of Toda Equations
我们发现一个序列组成的时间依赖的演化向量场的时间无关的部分对应的主对称户田方程。每个主对称性分解为一个群对称性和一个哈密顿向量场的和。在这些向量场的方向上取李导数产生无穷递归算子序列。
The discrete Toda equation revisited, dual $β$-Grothendieck polynomial, ultradiscretization and static soliton
本文研究了1977年提出的离散Toda方程$(τ_n^t)^2+τ_{n-1}^tτ_{n+1}^t=τ_n^{t-1}τ_n^{t+1}$。本文证明了离散Toda方程的代数解与对偶Grothendieck多项式（Schur多项式的$K$理论推广）自然相关。一个热带永久解决方案的ultradescrete户田方程也已推出。该方法给出了静态孤子的热带代数表示。最后，提出了超离散Toda方程的一种新的元胞自动机实现。
Hydrodynamic Equations for the Toda Lattice
1.第二章介绍。经典Toda晶格的动力学，3。静态属性，4.平均场戴森布朗运动，5.硬棒的流体动力学，6。广义流体力学方程，7。线性化流体动力学和GGE动力学相关性，8。域壁初始状态，9. 10号田田流Lieb-Liniger三角玻色气体的流体动力学，11。量子户田晶格，12.超越欧拉时间尺度。
Rarefaction Waves for the Toda Equation via Nonlinear Steepest Descent
本文应用非线性最速下降法计算了Toda格点的长时间渐近性，该格点具有阶跃初始数据，对应于一个稀疏波。
Bethe Ansatz equations for the classical $A_n^{(1)}$ affine Toda field theories
我们建立了经典$A_n^{(1)}$仿射Toda场论和$A_n$ Bethe Anterior系统之间的对应关系。我们表明，相关的经典线性问题的具体解决方案的连接系数满足功能关系的类型，出现在大规模量子可积模型的背景下。
Baxter operator and Baxter equation for $q$-Toda and Toda$_2$ chains
我们构造了$q$ -Toda链和Toda $_2$链（第二哈密顿结构中的Toda链）的Baxter算子$\boldsymbol{ \texttt{Q} }(λ)$.我们的构造建立在{ \cite{GaPa92} }中揭示的Baxter算子和贝克隆变换之间的关系上。我们构造了一系列的量子缠绕器，保证了$\boldsymbol{ \texttt{Q} }(λ)$与模型的转移矩阵和$\boldsymbol{ \texttt{Q} }$的转移矩阵之间的交换性。最重要的是，$\boldsymbol{ \texttt{Q} }(λ)$在Faddeev意义下是模不变的。我们推导出巴克斯特方程的特征值$q(λ)$的$\boldsymbol{ \texttt{Q} }(λ)$，并表明，这些是整个功能的$λ$。这最后一个属性将最终导致量化的频谱考虑户田链，在随后的出版物。
The geometry of the Toda equation
我表明，解决方案的SU（无穷大）户田场方程产生一个固定的爱因斯坦-外尔空间是由一个线性方程的爱因斯坦-外尔空间。由此发现了生成给定Einstein-Weyl空间的Toda解的存在性的障碍，并从多个方面给出了由Toda方程生成的Einstein-Weyl空间的分类。这种分类与沃德发现的一类空间相吻合，因此澄清了它们的一些性质。最后，我举几个最简单的例子。
Periodic Benjamin-Ono equation with discrete Laplacian and 2D-Toda Hierarchy
研究了具有离散拉普拉斯算子的周期Benjamin-Ono方程与二维Toda族的关系。引入周期Benjamin-Ono方程的τ-函数τ_pm（z），构造了两类运动积分{M_1，M_2，cdots}，{overline{M}_1，overline {M}_2，cdots}，并利用Hamilton结构计算了双线性方程的一些例子.我们证实，一些低躺双线性方程同意从一定的减少的二维Toda的层次。
On Z-graded loop Lie algebras, loop groups, and Toda equations
Toda方程与扭环群被认为是。这类方程由相应的扭圈李代数的Z-阶化来指定。讨论了与具有可积Z-阶的扭圈李代数相关的Toda方程的分类。
Hirota equations for the extended bigraded Toda hierarchy and the total descendent potential of CP^1 orbifolds
证明了Milanov和Tseng的Hirota二次方程定义了一个可积族，它等价于推广的双阶Toda族.特别是这证明了一个猜想的Milanov-Tseng涉及的总下降潜力的orbifold $C_{k,m}$与tau功能的bigraded户田层次。
Noncommutative Toda Chains, Hankel Quasideterminants And Painlev'e II Equation
我们构造解决方案的无限Toda系统和一个类似的Painlev'e II方程的非交换微分除环的Hankel矩阵的拟行列式。
On the $τ$-functions of the reduced Ostrovsky equation and the $A_2^{(2)}$ two-dimensional Toda system
利用约化Ostrovsky方程与$A_2^{(2)}$二维Toda系统之间的相互联系，构造了约化Ostrovsky方程的$N$ -孤子解.通过速度图（倒数）变换，给出了约化Ostrovsky方程的$N$ -孤子解.由$B_{\infty}$或$C_{\infty}$二维Toda系统的周期3-约化得到约化Ostrovsky方程的双线性方程和$τ$ -函数，即，$A_2^{(2)}$二维Toda系统。$A_2^{(2)}$二维Toda系统的一个$τ$函数变成了一个pf函数的平方，这个pf函数也变成了约化Ostrovsky方程的解。存在另一个双线性方程，它是3-约化的扩展BKP族的成员。利用这个双线性方程，我们也可以构造出同样的pfronan解。
Toda equations associated with loop groups of complex classical Lie groups
Toda方程由李群的选择和它的李代数的$\mathbb Z$ -阶化来指定。给出了复经典李群的圈群所对应的Toda方程的显式描述，其中复经典李群的李代数被赋予可积的$\mathbb Z$ -阶化，其阶化子空间为有限维.
Tau function and Hirota bilinear equations for the Extended bigraded Toda Hierarchy
本文将Sato理论推广到扩展的双阶Toda族（EBTH）.修正了Lax方程的定义，给出了Sato方程，波算子，Hirota双线性恒等式（HBI），证明了$tau$函数$τ(t)$的存在性.同时证明了它的类Fay恒等式和Hirota双线性方程（HBE）的有效性。与通常可积系统的高次方程组不同，目前的高次方程组是包含$e^{\partial_x}$和$τ(t)$的算子乘积方程。
Coprimeness-preserving non-integrable extension to the two-dimensional discrete Toda lattice equation
我们引入了一个所谓的“互素保持不可积”的扩展（另一个术语是“准可积”的扩展）的二维Toda晶格方程。我们相信，这个方程是第一个例子，这样的离散方程定义在一个三维晶格。我们证明了方程的所有迭代都是初值的不可约Laurent多项式，并且每对迭代都是互质的，这表明方程是有界奇点的。通过将该方程约化为二维或一维格，我们得到了一维Toda格方程的保互素不可积推广和Somos-4递推式。
The rational dressing for abelian twisted loop Toda systems
本文研究了复一般线性群上的阿贝尔扭圈Toda方程。Dodd-Bullough-Mikhailov方程是所考虑的方程中最简单的特例。我们利用有理修整的方法构造了这些Toda方程的新孤子解。
Solving non-abelian loop Toda equations
我们构造了与一般线性群相关的非交换圈Toda方程的孤子解。在这里，我们只考虑未扭曲的情况下，并使用合理的敷料方法的基础上，适当的块矩阵表示建议的初始$\bbZ$ -渐变。
Higher Symmetries of Toda Equations
讨论了最简单的非交换Toda方程的对称性。给出了特征积分的集合，其Hamilton对应部分构成一个W-代数。
Quasigraded Lie Algebras and Modified Toda Field Equations
本文构造了一族与loop代数的“主”阶变形相一致的拟阶李代数，并承认了Kostant-Adler-Symes方案。利用它们，我们得到了所有经典矩阵李代数系列$\mathfrak{g}$的新的Volterra耦合系统和修正的Toda场方程.
ODE/IM correspondence and Bethe ansatz for affine Toda field equations
研究了Langlands对偶$\hat{\mathfrak{g}}^\vee$的修正仿射Toda场方程的线性问题，其中$\hat{\mathfrak{g}}$是无扭仿射李代数.线性问题的渐近解的连接系数对应于$\mathfrak{g}$型量子可积模型的$Q$函数。与$\mathfrak{g}$的基本表示相关联的解的$ψ$ -系统导致与仿射李代数$\hat{\mathfrak{g}}$相关联的贝特不等式方程。我们还详细研究了无质量极限下的$A^{(2)}_{2r}$仿射Toda场方程，得到了它的Bethe近似方程和T-Q关系。
Equations in dual variables for Whittaker functions
已知与群SL（N）相关联的Whittaker函数$w(q,λ)$是开Toda链的哈密顿算子的本征函数，因此满足Toda变量$q_i$中的一组微分方程。利用闭Toda链的$q_i$用Sklyanin变量$λ_i$表示的表达式，以及已知的开Toda链与闭Toda链之间的关系，证明了Whittaker函数在$λ_i$中也满足一组新的差分方程.
A class of solutions of the two-dimensional Toda lattice equation
提出了一种方法，系统地产生二维Toda晶格方程的解决方案，在以前已知的解决方案$ϕ\left(x,y\right)$的二维拉普拉斯方程。Nakamura [J. Phys. Soc. Jpn. \textbf{52}，380（1983）]被示出对应于$ϕ\left(x,y\right)$的一个特定选择。
Integrable Discrete Nonautonomous Quad-equations as Bäcklund Auto-transformations for Known Volterra and Toda Type Semidiscrete Equations
我们构造了可积离散非自治四元方程作为已知Volterra和Toda型半离散方程的Bäcklund自变换，其中有些方程也是非自治的.这种额外的例子被发现通过使用离散方程的转换是可逆的解决方案。通过这种方式，我们得到不同类型的可积的例子：离散类似的正弦戈登方程，刘维方程和敷料链的Shabat。对于刘维尔型方程，我们构造一般的解决方案，使用特定的线性化。对于sine-Gordon型方程，我们发现广义对称，守恒律和$L-A$对。
ODE/IM correspondence and modified affine Toda field equations
研究了仿射李代数$\hat{\mathfrak{g}}$经保角变换后的二维仿射Toda场方程及其相应的线性方程组。在共形极限下，相关的线性问题归结为一个（伪）微分方程。对于经典仿射李代数$\hat{\mathfrak{g}}$，我们得到了一个（伪）微分方程，它对应于Dorey等人在研究ODE/IM对应时发现的李代数$\mathfrak{g}$的Langlands对偶的Bethe方程.
Massive ODE/IM Correspondence and Non-linear Integral Equations for $A_r^{(1)}$-type modified Affine Toda Field Equations
大质量ODE/IM对应是修正的仿射Toda场方程的线性问题与二维大质量可积模型之间的关系。研究了$A_r^{(1)}$型修正仿射Toda场方程的大质量ODE/IM对应.基于线性问题的解所满足的$ψ$ -系统，导出了Bethe方程，并确定了Q-函数在谱参数较大时的渐近性态.从Bethe方程出发，导出了Q函数的非线性积分方程。我们计算了UV极限下的有效中心荷，当解在复平面原点附近具有平凡单值性时，该中心电荷与非酉$WA_r$极小模型中的一个中心电荷相同。
Toda and Laguerre-Freud equations for multiple discrete orthogonal polynomials with an arbitrary number of weights
本文将半经典多重离散正交多项式的研究扩展到任意数量权重的情形，并为多重广义Charlier族和多重广义Meixner II族推导出多重版本的Toda方程与Laguerre-Freud方程。
Trigonal Toda lattice Equation
本文给出了三角Toda格点方程$$ -\frac{1}{2}\frac{d^3}{d t^3} q_{\ell}(t) = e^{q_{\ell+1}(t)} +e^{q_{\ell+ζ_3}(t)} +e^{q_{\ell+ζ_3^2}(t)}-3e^{q_\ell(t)}, $$，其中格点$\ell \in \mathbb{Z}[ζ_3]$为有向6-正则图，其中$ζ_3=e^{2πi/3}$，以及曲线$y(y-s)=x^3$的椭圆解（$s\neq 0$）.
An Application of Pfaffians to multipeakons of the Novikov equation and the finite Toda lattice of BKP type
诺维科夫方程是具有三次（而不是二次）非线性项的Camassa-Holm方程的可积类似物。这两个方程都支持一个特殊的弱解族，称为多峰解。本文应用一种包含Pfumerans的方法研究了Novikov方程的多峰问题。首先，我们表明，诺维科夫峰常微分方程描述了一个等谱流的流形上切出一定的Pfirkan身份。然后，利用Pfizerans建立了Novikov峰子与BKP型有限Toda格（B-Toda格）之间的联系.最后，Novikov方程和有限的B-Toda格的某些推广提出了特殊的解决方案。据我们所知，这是第一次峰孔问题被解释的Pfavians。
Non-Abelian Toda lattice and analogs of Painlevé III equation
本文利用高对称性的稳态方程约化非阿贝尔二维 Toda 格，得到泵浦 Maxwell–Bloch 方程的非阿贝尔类似物，并通过自相似约化导出非阿贝尔 Painlevé III 方程。
Discrete-time analysis for the integrable discrete Toda equations and the discrete Lotka-Volterra system
离散自治/非自治Toda方程和离散Lotka-Volterra系统是数学物理、数学生物学和统计物理等领域中重要的可积离散系统。它们也有应用到数值线性代数。在本文中，我们首先同时得到了它们的通解。然后，我们证明了解的渐近行为的任何初始值的离散时间变量走向无穷大。我们理解不同可积系统的两个主要技术是引入两种类型的离散变量和检查限制无限序列的性质，其相关的行列式和多项式。
Nonabelian Toda equations associated with classical Lie groups
给出了经典李代数的所有非等价Z-分阶的分阶算子的分块矩阵形式。给出了相应的非交换Toda方程的显式形式。
Magnetic Impurities, Integrable Vortices and the Toda Equation
将Manton最近研究的五个可积涡旋方程推广到包含Tong-Wong型磁性杂质。在一定条件下，这些推广仍然是可积的。我们进一步建立了一个具有乘积规范群、两个复标量场和一般电荷矩阵的规范理论。第二种涡旋，当冻结时，被解释为所有五个涡旋方程的磁性杂质。然后，我们给出了一个几何相容性条件，使我们能够删除所有方程中的常数项。这类似于从Taubes方程到Liouville方程的简化。我们进一步找到一个家庭的电荷矩阵，把五个涡方程的户田方程或户田方程的相反的符号。我们发现在所有情况下的精确解析解和解决方案与相反的符号似乎是新的。
Toda Equations and Piecewise Polynomiality for Mixed Double Hurwitz Numbers
本文引入了混合双Hurwitz数，它是在Okounkov研究的经典双Hurwitz数和Goulden，Guay-Paquet和Novak最近提出的单调双Hurwitz数之间组合插值的.推广了Okounkov的一个结果，证明了混合双Hurwitz数的某个生成级数解2-Toda族的偏微分方程.证明了混合双Hurwitz数是分段多项式，从而推广了Goulden，Jackson和Vakil的一个结果.
Isoperiodic deformations of Toda curves and chains, the difference Korteweg - de Vries equation, and $SU(N)$ Seiberg-Witten theories
本文研究了Toda曲线和链的等周期变形，差分Korteweg-de Vries方程，以及SU(N)塞伯格-威滕理论的奇异情形，并给出了受约束的Schlesinger系统的显式解。
Quasideterminant solutions of NC Painlevé II equation with the Toda solution at $ n=1 $ as a seed solution in its Darboux transformation
在本文中，我构造的达布变换的非交换Toda解在$ n=1 $的线性系统的帮助下，其兼容性条件产生零曲率表示的相关的非线性微分方程组。通过将$ n=1 $上的Toda解作为达布变换的种子解，得到了非对易Painlevé II方程的拟行列式解.进一步通过迭代，将种子解的达布变换推广到$ N$ -th形式.最后给出了量子Painlevé II方程的零曲率表示，它明确地包含了普朗克常量$ \hbar $，当$ \hbar \rightarrow 0 $时，系统退化为经典Painlevé II。
Bispectral dual difference equations for the quantum Toda chain with boundary perturbations
我们表明，超八面体Whittaker功能-对角化的开放量子Toda链与单边边界势的Morse型-满足差分方程的光谱变量的对偶系统。这扩展了非微扰开放量子Toda链与有理Macdonald-Ruijsenaars差分算子的强耦合极限之间的著名双谱对偶性。从所讨论的差分方程中可以看出，超八面体惠特克函数作为光谱变量的函数是整函数。
Supersymmetric Quenching of the Toda Lattice Equation
在QCD的$ε$ -区域中Dirac算子的谱行列式的幂比的平均值满足Toda格点方程。利用超对称方法得到了Toda晶格方程的猝灭极限。这种超对称的方法，然后被证明是等价的Toda晶格方程的副本限制。其中，量子色动力学狄拉克算子的微观光谱关联函数的因式分解为费米子和玻色子配分函数自然遵循这两种方法。虽然副本的方法依赖于在口味的数量的解析延续没有这样的假设，在本方法中的Toda晶格方程中的口味的数量是严格的整数。
Dispersionless version of the constrained Toda hierarchy and symmetric radial Löwner equation
我们研究最近推出的约束户田层次的分散版本。像户田格本身一样，它承认三个等价的公式：Lax方程的公式，Zakharov-Shabat型的公式和通过生成方程的τ函数对数的无色散极限的公式。我们发现，色散约束户田层次结构描述的反射对称平面域的单位盘外部的共形映射。我们还发现有限维减少的层次，并表明他们的特点是由一个微分方程的Löwner型，我们称之为对称径向Löwner方程。它还表明，对称径向Löwner方程的解是单位圆的外部与两个对称狭缝的单位圆的外部的共形映射。
On the Integrable Generalization of the 1D Toda Lattice
考虑了一个推广的Toda格方程。对于N=3的简单情形，给出了$τ$ -函数Hirota形式，它允许构造1DGTL方程的exast解.讨论了相应的族及其与非线性薛定谔方程和Hersenberg铁磁方程的关系。
Frenet frames and Toda systems
证明了复Grassmann流形上与全纯曲线相关联的局部Frenet框架所满足的方程的可积性条件与一类特殊的非交换Toda方程一致.构造了Riemann曲面到复Grassmann流形的全纯浸入的局部活动标架，并计算了相应的连接系数.
Riccati-type equations, generalised WZNW equations, and multidimensional Toda systems
我们将李群的李代数的任意$\mathbb Z$ -阶化与一个Riccati型一阶微分方程组联系起来。考虑的特殊情况是普通的Riccati和矩阵Riccati方程。给出了这些方程的多维延拓。相关的Redheffer-里德微分系统的概括出现在一个自然的方式。建立了Toda系统与低维和高维Riccati型方程之间的联系。在这方面的可积性问题，这些方程进行了研究。作为例证，给出了与极大非交换Toda系统相关的可积多维Riccati型方程的一些例子。
Degasperis-Procesi peakon dynamical system and finite Toda lattice of CKP type
在本文中，我们提出了一个有限的Toda格的CKP型（C-Toda）连同一个拉克斯对。我们的动机是基于Camassa-Holm（CH）峰子动力学系统和有限Toda晶格在某种意义上可以被看作是相反的流动。作为CH方程的一个有趣的类似物，Degasperis-Procesi（DP）方程也支持峰子解的存在。注意到DP方程的峰子解是用与柯西核相关的双矩行列式表示的，我们对这些矩施加了相反的时间演化，并导出了相应的双线性方程。相应的四次表示是离散CKP方程的一个连续极限，我们称之为有限CKP型Toda格.然后，一个非线性版本的C-Toda晶格连同一个拉克斯对推导。结果表明，DP峰子晶格和有限C-Toda晶格在一定的变换下形成相反的流动。
Graphs emerging from the solutions to the periodic discrete Toda equation over finite fields
研究了有限域上的周期离散Toda方程。我们得到了由状态网络构成的有限图结构，其中边表示可能的时间演化。我们通过引入一个等价类的循环置换的初始值的图简化。我们证明了这些图是双向的，并且它们是由若干个完全图的阵列在它们的一个顶点处连接而成的。
The multicomponent 2D Toda hierarchy: Discrete flows and string equations
多组分的2D Toda层次分析通过一个因子分解问题相关联的一个无限维组。一组新的离散流被认为是相应的Lax和Zakharov-Shabat方程的特点。提出并研究了块Toeplitz和Hankel双无限矩阵类型的约化。Orlov-Schulman算子，弦方程和额外的对称性（离散和连续）被认为是。连续-离散Lax方程被证明是等价于一个因式分解问题以及一组弦方程。一个同余法推导网站独立的方程，并用于推导方程的离散多组分KP部门（及其修改）的理论以及色散Whitham方程。
Dihedrally Symmetric Monopoles and Affine Toda Equations
本文证明了具有二面体对称性的$SU(2)$ BPS单极子在不同电荷下规范等价于特定类型的仿射Toda方程导出的Nahm数据。
The geometric Toda equations for noncompact symmetric spaces
本文分类了非复非紧单实李群G对应的齐性空间G/T上τ-本原调和映射所满足的Toda方程版本，解释了其几何意义，并确定了可通过稳定性准则证解存在的完全非紧Toda对，还关联了G-Higgs丛构造。
Connection formulae for the radial Toda equations II
本文是前作的续篇，计算了径向 Toda 方程的“伴随”方程所有解在无穷远处的渐近行为，指出两方程的 monodromy data 构成同一流形的连通分量，并分析了伴随方程的无穷多奇点如何使 Riemann-Hilbert 非线性最速下降法更加复杂。
On the Stokes matrices of the $tt^*$-Toda equation
我们推导出了$tt^*$ -Toda方程的对称化Stokes矩阵$\cal{S}+\cal{S}^\mathrm{T}$的签名公式。作为推论，我们验证了Cecotti和Vafa关于当$\cal{S}+\cal{S}^\mathrm{T}$正定时的一个猜想，使人想起Beukers和Heckmann关于广义超几何方程的一个公式. $\cal{S}+\cal{S}^\mathrm{T}$是正定的条件是突出的工作Cecotti和Vafa的$tt^*$方程，我们表明，斯托克斯矩阵$\cal{S}$满足这一条件的参数化点的一个开放的凸多面体。
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