The Degasperis-Procesi equation with self-consistent sources
推导了自洽源Degasperis-Procesi方程（DPESCS）。构造了DPESCS的Lax表示和守恒律。得到了DPESCS的峰子解。
2008-07-17 nlin.PS nlin.SI
Ghostpeakons and Characteristic Curves for the Camassa-Holm, Degasperis-Procesi and Novikov Equations
我们推导出明确的公式与Camassa-Holm，Degasperis-Procesi和Novikov方程的多峰解的特征曲线。这样一条曲线描绘了流体质点的路径，该质点的瞬时速度等于该点处波的高度（或在诺维科夫情况下等于高度的平方）。峰子本身遵循特征曲线，其余的特征曲线可以被视为零振幅的“鬼峰”路径;因此，它们可以作为控制多峰子解动力学的常微分方程的解来获得。以前已知的多峰的解决方案公式只涵盖的情况下，当所有的振幅是非零的，因为它们是基于逆谱方法无法检测到的鬼峰。我们展示了如何克服这个问题，采取适当的限制，在光谱数据，以迫使选定的峰振幅为零。此外，我们使用直接积分来计算Degasperis-Procesi方程的解的特征曲线，其中冲击峰子形成在峰-反峰碰撞。除了理论上的兴趣，知道的特征曲线，他们也是有用的绘制多峰的解决方案，因为我们在几个例子中说明。
2019-03-06 nlin.SI
Integrable quadratic structures in peakon models
我们提出了三个可积的$n$体峰子方程Camassa-Holm，Degasperis-Procesi和Novikov的Lax表示的Poisson结构的实现.从连续方程的可积性结构导出的泊松结构产生$r$ -矩阵表示的二次形式，户田分子经典的$r$ -矩阵起着突出的作用。我们寻找$r$ -矩阵表示的线性形式。除了结构已知的Camassa-Holm案例外，其他两个案例不允许这样的介绍，$n=2$的Novikov模型是一个明显的例外。在这三种情况下，从二次结构的规范Sklyanin迹公式得到的广义哈密顿量。
2022-03-25 math-ph math.MP nlin.SI
Dynamics of conservative peakons in a system of Popowicz
我们考虑一个两个组件的Hamilton系统的二次非线性偏微分方程Popowicz介绍，它的形式之间的耦合Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程。尽管这两个可积的偏微分方程有了简化，但Popowicz系统本身是不可积的。然而，正如作者之一所示，与伊尔，它承认分布解决方案的峰值孤子（peakon）型，与动态的$N$峰被确定的一个哈密顿系统的相空间尺寸$3N$。除了单个峰子（$N=1$）的平凡情形外，$N=2$的情形也是刘维尔可积的。我们给出了双峰子动力学的显式解，并描述了Popowicz系统中峰子相互作用的一些新特征。
2018-11-08 math-ph math.AP math.MP
R-matrix for a geodesic flow associated with a new integrable peakon equation
我们使用的r-矩阵制定显示$N$维空间上的测地线流的可积性与坐标$q_k$，与$k=1,...,N$，配备了co-metric $g^{ij}=e^{-|q_i-q_j|}\big(2-e^{-|q_i-q_j|}\big)$。该流动由可积偏微分方程（pde）$m_t+um_x+3mu_x=0, m=u-α^2u_{xx}$（$\al $是常数）的对称性产生。这个方程--称为Degasperis-Procesi（DP）方程--最近被Degasperis，Holm和Hone证明是完全可积的并且具有峰子解（DHH[2002]）。利用与可积DP方程相关的等谱特征值问题，为测地线动力流找到了一个新的$L$ -矩阵，称为Lax矩阵。利用这个Lax矩阵，我们得到了可积测地线流的$r$ -矩阵.
2023-03-06 nlin.PS nlin.SI
On solutions for the b-family of peakon equations
本文研究一族峰子方程，用两个参数$b$和$κ$表示，它们都以统一的形式存在单峰子解.从b族峰子方程出发，分别选取$b=2$和3，导出了著名的Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程.对于$b$的所有值，它们的两个峰型解以差形式和弱意义给出。同时，在不同的情况下，如峰值波弹性碰撞的情况下$b=2$，而在其他情况下，峰值波非弹性碰撞的动力学行为显示。
2016-08-05 nlin.SI
On Isospectral flows related to (dual) cubic strings: Novikov, DP peakons and B, C-Toda lattices
本研究探究DP方程、Novikov方程分别对应的三次弦、对偶三次弦等谱系统的内在关联，揭示二者纯峰子轨迹的双射关系并推导Novikov峰子运动常数显式，建立离散边值问题对应关系，还提出关联B、C-Toda格点的新可积格点。
2025-09-05 math-ph math.CA math.MP
Data-driven peakon and periodic peakon travelling wave solutions of some nonlinear dispersive equations via deep learning
Chinese Academy of Sciences（中国科学院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
在数学物理领域中，存在着许多物理上有趣的非线性色散方程的峰态解，它们是在波峰处一阶导数不连续的孤立波。本文应用多层物理信息神经网络（PINNs）深度学习成功地研究了一些著名的具有初边值条件的非线性色散方程的数据驱动的峰态和周期峰态解，这些方程包括Camassa-Holm（CH）方程、Degasperis-Procesi方程、具有立方非线性的修正CH方程、具有立方非线性的Novikov方程、mCH-Novikov方程、具有四次非线性项的b族方程、具有五次非线性项的广义修正CH方程等，这些结果将有助于进一步研究非线性色散方程的峰子解和相应的实验设计。
2021-01-12 cs.LG math-ph math.MP
Integrable and non-integrable equations with peakons
考虑一类单参数非演化偏微分方程，其中包括可积的Camassa-Holm方程和Degasperis和Procesi首次分离出的一个新方程.一个拉格朗日和哈密顿制定的整个家庭的方程，我们讨论了如何适合到一个双哈密顿框架中的可积的情况。峰子的哈密顿动力学和其他一些特殊的有限维约化也被描述。
2002-09-03 nlin.SI
New solutions with peakon creation in the Camassa-Holm and Novikov equations
在这篇文章中，我们研究一类新的无界解的Novikov方程，发现通过李对称性分析。这些解决方案展示了峰值产生，即，这些解是平滑的，直到某个有限的时间，在该时间处产生峰值。我们表明，这些功能仍然是弱的解决方案的峰值生活的那些时候。我们也发现类似的无界解决方案与峰创建相关的Camassa-Holm方程，通过启发的Novikov解决方案的一个analogue。最后，我们看到Degasperis-Procesi方程的相同的解析式产生无界解，其中峰子始终存在。
2014-05-27 math.AP nlin.SI
Similarity reductions of peakon equations: the $b$-family
$b$ -族是在浅水波理论中出现的一类单参数非发展型Hamilton偏微分方程。它承认各种各样的解决方案，包括著名的峰值，这是弱的解决方案的形式与一个不连续的一阶导数的峰值孤子，以及其他有趣的解决方案，已获得的精确形式和/或数值。在每个特殊情况下$b=2,3$（分别是Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程），方程是完全可积的，在这个意义上，它允许一个拉克斯对和一个无限族的交换局部对称，但对于其他值的参数$b$，它是不可积的。在讨论行波通过使用倒数变换，这减少到速端图变换的水平上的常微分方程满足这些解决方案，我们应用相同的技术的$b$ -家庭的缩放相似性解决方案，并表明，当$b=2$或$3$这种相似性减少是由速端图变换有关的Painlevé III方程的特定情况下，而对于$b$的所有其他选择，所得到的常微分方程不是Painlevé型的。
2022-05-21 math-ph math.CA math.MP
A New Integrable Equation with Peakon Solutions
我们考虑一个新的偏微分方程，一个类似的形式的Camassa-Holm浅水波方程，这是最近得到的Degasperis和Procesi使用的方法的渐近可积性。通过构造新方程的拉克斯对，我们证明了新方程的精确可积性，并通过一个倒易变换解释了它与Kaup-Kupershirt族中的一个负流的关系.导出了守恒量的无穷序列，并提出了双哈密顿结构。该方程承认多峰子的叠加形式的精确解，我们描述了可积的有限维峰子动力学和比较它与Camassa-Holm峰子的类似结果。
2002-05-12 nlin.CD nlin.SI
An integrable pseudospherical equation with pseudo-peakon solutions
本文研究了一个可积伪球面方程，通过守恒量和“拼贴”方法构造了更光滑的伪尖峰解，并利用Miura变换与Degasperis-Procesi方程关联，恢复其尖峰解。
2024-09-09 math-ph math.AP math.MP
Integrable peakon equations with cubic nonlinearity
本文给出了由Vladimir Novikov发现的一个新的可积偏微分方程。像Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程一样，这个新方程允许峰值孤子（peakon）解，但它有三次非线性项，而不是二次。我们给V. Novikov方程的一个矩阵拉克斯对，并说明它是如何通过一个相互变换到Sawada-Kotera层次中的一个负流。不可避免地发现了许多守恒量，以及一个双哈密顿结构。后者用于获得$N$峰子相互作用的有限维系统的Hamilton形式，并显式积分两体动力学（N=2）。最后，与乔志军导出的另一个三次峰子方程的类似结果进行了比较。
2008-05-28 nlin.PS nlin.SI
Similarity reductions of peakon equations: integrable cubic equations
本文研究了两个具有峰值孤子解的可积三次非线性偏微分方程（Modified Camassa-Holm（mCH）方程和Novikov方程）的标度相似解.通过利用适当的倒数变换，将mCH方程和Novikov方程分别映射到负mKdV流和负Sawada-Kotera流，我们证明了这些尺度相似性降低中的每一个都通过速端图变换与Painlevé型方程相关：对于mCH方程，其约化是二阶和二次的，而对于Novikov方程，约化是Painlevé V的特殊情况。此外，我们表明，这两个不同的Painlevé型方程的每一个都与Painlevé III的特殊情况有关，Painlevé III的特殊情况分别来自Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的相似性约化。对于每一个考虑的立方非线性偏微分方程，我们也给出了明确的参数形式的椭圆函数的周期行波解。我们提出了一些参数图的后者，并通过使用显式的代数解Painlevé III，我们做同样的一些最简单的例子的缩放相似的解决方案，连同描述其领先的顺序渐近行为。
2022-05-29 math-ph math.AP math.CA
On the non-integrability of the Popowicz peakon system
我们考虑耦合系统的哈密顿偏微分方程介绍Popowicz，它有一个两个领域之间的耦合Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的外观。后者的方程都是已知的可积，并承认峰值孤子（峰）的解决方案与不连续的衍生物的峰值。结合Painlevé分析的倒易变换提供了强有力的证据，证明Popowicz系统是不可积的。尽管如此，我们能够构造精确的行波解的椭圆积分，连同一个退化的行波对应于一个单一的峰。我们还描述了N峰解的动力学，该动力学是根据3 N维相空间上的汉密尔顿系统给出的。
2008-08-19 nlin.PS nlin.SI
The N-soliton solution of the Degasperis-Procesi equation
本文推广了文献Ⅰ的结果，得到了Degasperis-Procesi（DP）方程的单孤子解和双孤子解，并考虑了它们的峰子极限。本文给出了DP方程的一般N孤子解，并研究了它的性质。我们表明，它有一个新的结构表示的参数表示的BKP tau函数。一个纯粹的代数证明的解决方案是通过建立各种身份之间的tau功能。解的大时间渐近性恢复了在I中用不同方法导出的相移公式。最后，通过与Camassa-Holm浅水波方程的比较，讨论了N孤子解的结构.
2005-11-15 nlin.SI
The Stability of the $b$-family of Peakon Equations
在目前的工作中，我们重新$b$族模型的峰子方程，包含作为特殊情况的$b=2$（Camassa-霍尔姆）和$b=3$（Degasperis-Procesi）可积的例子。我们建立了点谱的峰子解决方案的信息，并特别发现，适当的光滑扰动存在点谱的半平面呈现峰不稳定的$b<1$。我们探讨这些想法在数值领域的不动点迭代，谱稳定性分析和时间步长的模型为不同的参数制度。特别是，我们确定精确的，固定的（光谱稳定）lefton解决方案$b<-1$，和$-1<b<1$，我们动态地确定斜坡悬崖解决方案在这个政权的主导地位。我们补充我们的分析，通过检查分裂成稳定的峰值$b>1$的平滑的初始数据。虽然许多上述动力学特征已在早期的研究中进行了探索，在目前的工作中，我们补充他们，只要有可能，光谱稳定性计算。
2020-12-23 math.DS nlin.PS nlin.SI
A class of equations with peakon and pulson solutions (with an Appendix by Harry Braden and John Byatt-Smith)
我们考虑一类依赖于参数$b$和对称积分核$g(x)$的积分微分方程。当$b=2$和$g$是峰子核（即$g(x)=\exp(-|x|)$直到重新标度）时，无色散的Camassa-Holm方程产生，而Degasperis-Procesi方程从具有$b=3$的峰子核获得。虽然这两种情况都是可积的，但一般来说，相应的积分偏微分方程是不可积的。然而，对于$b=2$的家庭限制到脉冲家庭的Fringer & Holm，这是哈密尔顿和数字显示弹性散射的脉冲。另一方面，对于任意的$b$，它仍然是可能的，以构建一个非局部的哈密顿结构，只要$g$是峰子内核或其退化之一：我们提出了一个证明这一事实，使用相关的函数方程的反对称反导数的$g$。对于任何$b\neq 1$值，非局部括号都可化为峰子动力系统的非正则泊松括号。
2004-12-10 nlin.PS nlin.SI
The algebro-geometric solutions for Degasperis-Procesi hierarchy
完全可积的Camassa-Holm（CH）方程和Degasperis-Procesi（DP）方程虽然属于同一个峰子族，但它们分别具有二阶和三阶Lax算子.从代数几何研究的角度来看，这种差异在于超椭圆曲线和非超椭圆曲线。非超椭圆曲线给DP方程的代数几何解的构造带来了很大的困难。在本文中，我们借助Lenard递归运算符推导出DP谱系。基于DP族Lax矩阵的特征多项式，引入亏格为$r-2$的三阶代数曲线$\mathcal{K}_{r-2}$，由此建立相应的Baker-Akhiezer函数、亚纯函数和Dubrovin型方程.此外，代数曲线的理论被应用到推导的Baker-Akhiezer函数和亚纯函数的theta函数的显式表示。特别地，得到了整个DP族中所有方程的代数几何解。
2012-11-25 nlin.SI
Spectral and linear stability of peakons in the Novikov equation
本文研究完全可积三次非线性Novikov方程的peakon解，通过扩展线性化算子分析其在不同函数空间中的谱与线性稳定性，证明其在$L^2$和$W^{1,\infty}$中谱不稳定、在$H^1$中线性且谱稳定。
2024-04-07 math.AP nlin.SI
An inverse spectral problem related to the Geng-Xue two-component peakon equation
我们解决了一个频谱和反频谱的问题所产生的峰值解决方案的两个组件的PDE由耿和薛作为一个推广的Novikov和Degasperis-Procesi方程的计算。像那些方程的谱问题一样，这个问题是“离散立方弦”类型的--经典非齐次弦的非自伴推广--但呈现出一些有趣的新特征：存在两个Lax对，这两个Lax对都有助于正确的完整光谱数据，并且逆问题的解可以使用与具有两个不同谱测度的柯西双正交多项式相关的量来表示。后者扩展了柯西双正交多项式以前的应用范围的peakons，其特点是两个相同的，或两个密切相关的措施。该方法用于解决频谱问题的铰链上隐藏的存在的振荡内核的Schumacher-Krein型这意味着频谱的边值问题是积极的和简单的。逆谱问题的解决方法，推广到非自伴的情况下，M。G. Krein的Stieltjes弦的逆问题的解决方案。
2013-04-03 math.SP nlin.SI
Smooth multisoliton solutions and their peakon limit of Novikov's Camassa-Holm type equation with cubic nonlinearity
本文考虑具有立方非线性项的Novikov Camassa-Holm型方程。特别是，我们提出了一个紧凑的参数表示的光滑明亮的多解的解决方案，在一个恒定的背景和调查他们的结构。我们发现，与解决方案的tau函数是密切相关的模型方程的浅水波（SWW）介绍广田和萨摩。这个新的功能是通过应用倒易变换诺维科夫方程。我们还表明，通过指定一个复杂的相位参数，光滑孤子转换成一个新的奇异孤子的单尖和双峰。我们表明，光滑和奇异孤子收敛到一个峰值的背景场趋于零，从而我们采用了一种方法，已开发的多孤子解决方案的Camassa-Holm方程进行类似的限制程序。在随后的两个和$N$ -孤子解的渐近分析中，我们证实了它们的孤子行为。值得注意的是，孤子的相移公式以及它们的峰子极限与Degasperis-Procesi方程的公式在形式上一致。最后，利用Novikov方程解与SWW方程解之间的关系，得到了Novikov方程的无穷多个守恒律。在附录中，我们证明了与SWW方程多孤子解的τ-函数相关的各种双线性恒等式。
2013-08-22 nlin.SI
Explicit multipeakon solutions of Novikov's cubically nonlinear integrable Camassa-Holm type equation
最近弗拉基米尔诺维科夫发现了一个新的可积模拟Camassa-Holm方程，承认峰值孤子（peakon）的解决方案，其中有非线性项是三次，而不是二次。本文利用Hone和Wang建立的矩阵拉克斯对，计算了Novikov方程的多峰子解的显式表达式。通过Liouville型变换，相关的谱问题与立方弦方程相关，立方弦方程与Lundmark和Szmigielski在Degasperis-Procesi方程的多峰工作中发现的立方弦是对偶的。
2009-03-21 nlin.SI
On the dynamics of zero-speed solutions for Camassa-Holm type equations
本文考虑Camassa-Holm（CH）型方程在非零速度峰态区域外的整体解。这些方程包括标准的CH和Degasperis-Procesi（DP）方程，以及不可积的推广，如$b$族、弹性杆和BBM方程。有了这些模型的全局定义的解决方案，我们引入了\emph{zero-speed and breather solutions}的概念，即，在空间的紧致区间上不衰减为零的解，如$t\to +\infty$。我们证明，在适当的衰减假设，这样的解决方案不存在，因为相同的零解决方案是全球吸引的动态，至少在空间间隔的大小$|x|\lesssim t^{1/2-}$为$t\to+\infty$。因此，我们还显示了散射和衰减的CH型方程的长程非线性。我们的证明依赖于引入合适的维里泛函à la Martel-Merle在我们和Ponce之一的作品的精神，和Kowalczyk-Martel适应CH，DP和BBM型动力学，其中一个放置在$L^1_x$，第二个在能量空间$H^1_x$。这两个泛函的结合导致局部空间衰减为零的$|x|\lesssim t^{1/2-}$作为$t\to+\infty$。我们的方法不依赖于方程的可积性，适用于其他不可积的CH型方程。
2018-10-22 math-ph math.AP math.MP
