On the peakon inverse problem for the Degasperis-Procesi equation
Keivan Mohajer
Degasperis-Procesi方程的峰值反问题直接在实数线上求解，使用Cauchy双正交多项式，而不需要任何额外的变换到先前工作中已知的“弦”型边值问题。
The peakon inverse problem for the Degasperis-Procesi equation is solved directly on the real line, using Cauchy biorthogonal polynomials, without any additional transformation to a "string" type boundary value problem known from prior works.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multi-peakon solutions of the Degasperis-Procesi equation
我们提出了一种计算Degasperis-Procesi方程（Camassa-Holm（CH）浅水方程的修改）的n峰解的逆散射方法。相关联的非自伴谱问题是服从于分析使用的等谱变形引起的n-峰的解决方案，和逆问题的解决方法推广的峰的CH方程的扇区的连分数的解决方案。
Dressing Method for the Degasperis-Procesi Equation
利用Dressing方法构造了Degasperis-Procesi方程的孤子解。单孤子解和双孤子解的形式与Hirota方法得到的形式一致。
A 2 - Component Generalization of the Degasperis - Procesi Equation
本文给出了Degasperis-Procesi方程到两分量方程的两种不同的哈密顿推广.该构造基于Degasperis-Procesi方程的第二Hamilton算子可以看作Boussinesq方程的第二Hamilton算子的Dirac约化Poisson张量的观察。第一个推广是由广义但退化的Boussinesq方程的第二个Hamilton算子的Dirac约化的Hamilton算子生成的。第二种方法是通过N=2超对称推广得到的。作为这一过程的副产品，我们得到了包含Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程的相互作用的Hamilton方程组。
On peaked solitary waves of Degasperis - Procesi equation
描述浅水波传播的Degasperis-Procesi（DP）方程含有一个物理参数$ω$，当$ω= 0$满足时，DP方程允许有波峰的孤立波。在这篇文章中，我们说明，第一次，DP方程承认峰值孤立波，即使当$ω\neq 0$。这有助于丰富我们对DP方程峰值孤波的认识和加深对它的理解。
An integrable semi-discrete Degasperis-Procesi equation
基于我们之前对Degasperis-Procesi方程（J. Phys. A 46 045205）及其短波极限的可积半离散模拟（J. Phys. A 48 135203）的工作，我们利用Hirota的双线性方法推导出了可积半离散Degasperis-Procesi方程。同时给出并证明了半离散Degasperis-Procesi方程的$N$ -孤子解。证明了半离散Degasperis-Procesi方程及其$N$ -孤子解在连续极限下收敛于原Degasperis-Procesi方程的解.
The Degasperis-Procesi equation with self-consistent sources
推导了自洽源Degasperis-Procesi方程（DPESCS）。构造了DPESCS的Lax表示和守恒律。得到了DPESCS的峰子解。
The N-soliton solution of the Degasperis-Procesi equation
本文推广了文献Ⅰ的结果，得到了Degasperis-Procesi（DP）方程的单孤子解和双孤子解，并考虑了它们的峰子极限。本文给出了DP方程的一般N孤子解，并研究了它的性质。我们表明，它有一个新的结构表示的参数表示的BKP tau函数。一个纯粹的代数证明的解决方案是通过建立各种身份之间的tau功能。解的大时间渐近性恢复了在I中用不同方法导出的相移公式。最后，通过与Camassa-Holm浅水波方程的比较，讨论了N孤子解的结构.
Soliton, kink and antikink solutions of a 2-component of the Degasperis-Procesi equation
本文利用平面动力系统的分支理论研究了Degasperis-Procesi方程的二分量行波解。得到了光滑孤子解、扭结解和反扭结解的表达式。
Degasperis-Procesi peakons and the discrete cubic string
我们使用逆散射方法研究Degasperis-Procesi（DP）方程的多峰解，这是一个类似于Camassa-Holm浅水方程的可积偏微分方程。与DP方程相关的谱问题在变量变化下等价于我们称之为立方弦问题，立方弦问题是描述两端连接的非均匀弦的振动模式的著名方程的三阶非自伴推广。我们给出了两个证明，立方弦的本征值是积极的和简单的，一个使用DP峰子的散射性质，另一个使用的振荡内核的Mumacher-Krein理论。对于离散立方弦（类似于一个字符串由n个点质量），我们明确解决的逆谱问题重建的质量分布从合适的光谱数据，这导致显式公式的DP方程的一般n-peakon解决方案。我们研究反问题的核心是一种特殊类型的同时合理逼近的两个外尔函数的立方弦，类似于经典的帕德-厄米近似，但较低的近似阶数和一个额外的对称条件。所得到的结果是有趣的和平凡的推广经典的事实从理论的Stieltjes连分数和正交多项式。
Ghostpeakons and Characteristic Curves for the Camassa-Holm, Degasperis-Procesi and Novikov Equations
我们推导出明确的公式与Camassa-Holm，Degasperis-Procesi和Novikov方程的多峰解的特征曲线。这样一条曲线描绘了流体质点的路径，该质点的瞬时速度等于该点处波的高度（或在诺维科夫情况下等于高度的平方）。峰子本身遵循特征曲线，其余的特征曲线可以被视为零振幅的“鬼峰”路径;因此，它们可以作为控制多峰子解动力学的常微分方程的解来获得。以前已知的多峰的解决方案公式只涵盖的情况下，当所有的振幅是非零的，因为它们是基于逆谱方法无法检测到的鬼峰。我们展示了如何克服这个问题，采取适当的限制，在光谱数据，以迫使选定的峰振幅为零。此外，我们使用直接积分来计算Degasperis-Procesi方程的解的特征曲线，其中冲击峰子形成在峰-反峰碰撞。除了理论上的兴趣，知道的特征曲线，他们也是有用的绘制多峰的解决方案，因为我们在几个例子中说明。
The Degasperis-Procesi equation on the half-line
研究了半直线上Degasperis-Procesi方程的一类初边值问题。假设解$u(x,t)$存在，我们证明了它可以通过复谱参数$k$的平面上的Riemann-Hilbert问题的解从其初始值和边界值恢复。
Long-time asymptotics for the Degasperis-Procesi equation on the half-line
分析了Degasperis-Procesi方程在射线上的长时间渐近性。利用非线性最速下降技巧，对一个相关的$3 \times 3$ -矩阵值黎曼-希尔伯特问题，得到了解在相似区域内关于初值和边值的首阶渐近性的显式表达式.
Inverse Scattering Transform for the Degasperis-Procesi Equation
我们发展了解Degasperis-Procesi方程的逆散射变换（IST）方法。谱问题是一个具有常边界条件和有限约化群的$\mathfrak{sl}(3)$ Zakharov-Shabat问题。IST的基本方面，如基本的解析解的建设，制定的Riemann-Hilbert问题，和实施的敷料方法。
The algebro-geometric solutions for Degasperis-Procesi hierarchy
完全可积的Camassa-Holm（CH）方程和Degasperis-Procesi（DP）方程虽然属于同一个峰子族，但它们分别具有二阶和三阶Lax算子.从代数几何研究的角度来看，这种差异在于超椭圆曲线和非超椭圆曲线。非超椭圆曲线给DP方程的代数几何解的构造带来了很大的困难。在本文中，我们借助Lenard递归运算符推导出DP谱系。基于DP族Lax矩阵的特征多项式，引入亏格为$r-2$的三阶代数曲线$\mathcal{K}_{r-2}$，由此建立相应的Baker-Akhiezer函数、亚纯函数和Dubrovin型方程.此外，代数曲线的理论被应用到推导的Baker-Akhiezer函数和亚纯函数的theta函数的显式表示。特别地，得到了整个DP族中所有方程的代数几何解。
Solitons, peakons, and periodic cuspons of a generalized Degasperis-Procesi equation
利用平面动力系统的分支理论研究了一类广义Degasperis-Procesi方程的精确行波解。给出了光滑孤子解的隐式表达式。得到了峰值孤子解和周期尖点解的显式表达式。进一步，我们给出了光滑孤子解、峰值孤子解和周期尖点孤子解之间的关系。文中还给出了所求得解的物理意义以及这些解存在的理由。
Unfamiliar Aspects of Bäcklund Transformations and an Associated Degasperis-Procesi Equation
本文总结了我们最近在贝克隆变换（BTs）方面的工作，特别着重于BTs与无穷小对称性的关系。我们提出了一个BT相关联的Degasperis-Procesi（aDP）方程及其叠加原理，并调查的解决方案产生的应用此BT。按照我们的一般方法，我们使用BT的叠加原理来生成ADP方程的无穷小对称性。
Peakon-antipeakon interactions in the Degasperis-Procesi Equation
峰是非线性波方程的奇异类孤子解，其动力学可以用常微分方程（ODE）来研究。Degasperis-Procesi方程（DP）是可积偏微分方程的一个重要例子，它在峰子区表现出波的破碎，从而将波的破碎解释为粒子的机械碰撞。本文建立了一个研究DP峰子碰撞的一般形式，并以三个碰撞峰子为例进行了详细的研究。结果表明，峰子只能成对碰撞，不允许三重碰撞，碰撞时产生激波峰子。我们还表明，峰子-反峰子对的初始配置与伴随的非自伴边值问题的光谱性质是非平凡相关的。特别是，如果峰子或反峰子在相对于剩余的反峰子或峰子的一侧聚成一束，则频谱是真实的和简单的。即使频谱是在一般复杂的存在性，在任何一个时间方向的动态的整体解决方案是暗示现实的边值问题的频谱。
Shock creation and Painlevé property of colliding peakons in the Degasperis-Procesi Equation
Degasperis-Procesi方程（DP）是已知的几个方程之一，用于模拟重要的非线性效应，如波浪破碎和激波产生。然而，DP方程的一个特殊性质是，这两种效应可以在多峰子分析的帮助下以显式的方式进行研究。从本质上讲，这种分析允许人们将波的破碎模拟为假想粒子（峰子和反峰子）的碰撞，此后统称为多峰子。它表明，DP多峰子Painlevé属性，这意味着一个普遍的波破碎行为，多峰子只能在对碰撞，并没有多个碰撞以外，可能同时，碰撞的峰-反峰对在不同的位置。此外，它表明，每个峰-反峰子碰撞的结果，在创建一个冲击，从而使可能的多冲击现象。
Liouville Correspondences between Integrable Hierarchies
本文研究了可积的Novikov族与Sawada-Kotera族以及Degasperis-Procesi族与Kaup-Kupershirt族之间的显式对应关系。我们展示了如何对刘维变换之间的等谱问题的诺维科夫和泽田-Kotera方程，和等谱问题的Degasperis-Procesi和Kaup-Kupershirt方程涉及相应的层次，在积极和消极的方向，以及他们相关的守恒律。将这些结果与Sawada-Kotera方程和Kaup-Kupershirt方程的Miura变换相结合，进一步构造了Novikov方程和Degasperis-Procesi方程之间的隐式关系.
A Riemann-Hilbert approach for the Degasperis-Procesi equation
本文提出了一种用逆散射变换方法求解Degasperis-Procesi方程$u_t-u_{txx}+3ωu_x+4uu_x=3u_xu_{xx}+uu_{xxx}$的线上Cauchy问题的相应Riemann-Hilbert问题.这种方法使我们能够给出柯西问题的解的表示，这可以有效地用于研究其长时间行为。
Multi loop soliton solutions and their interactions in the Degasperis-Procesi equation
本文构造了Degasperis-Procesi方程的圈孤子解和混合孤子-圈孤子解。为了探索这些解决方案，我们采用Matsuno给出的程序。通过适当地修改上述文献中给出的$τ$ -函数，我们得到了这些解.给出了单圈孤子解、双圈孤子解以及混合孤子-圈孤子解的显式形式，并详细研究了不同参量区的双圈孤子解和一个圈孤子与一个常规孤子之间的相互作用.
On the tau-functions of the Degasperis-Procesi equation
本文从行列式恒等式的角度研究DP方程。利用Degasperis-Procesi（DP）方程与$C_{\infty}$二维Toda系统的伪3-约化之间的相互联系构造DP方程的N-孤子解.通过速度图（倒数）变换，DP方程的N-孤子解以pf形式给出。通过对$C_{\infty}$二维Toda系统的伪3-约化，得到了DP方程的双线性方程、行列式与行列式之间的恒等式以及$τ$ -函数.
Degasperis-Procesi peakon dynamical system and finite Toda lattice of CKP type
在本文中，我们提出了一个有限的Toda格的CKP型（C-Toda）连同一个拉克斯对。我们的动机是基于Camassa-Holm（CH）峰子动力学系统和有限Toda晶格在某种意义上可以被看作是相反的流动。作为CH方程的一个有趣的类似物，Degasperis-Procesi（DP）方程也支持峰子解的存在。注意到DP方程的峰子解是用与柯西核相关的双矩行列式表示的，我们对这些矩施加了相反的时间演化，并导出了相应的双线性方程。相应的四次表示是离散CKP方程的一个连续极限，我们称之为有限CKP型Toda格.然后，一个非线性版本的C-Toda晶格连同一个拉克斯对推导。结果表明，DP峰子晶格和有限C-Toda晶格在一定的变换下形成相反的流动。
A new 3-component Degasperis-Procesi hierarchy
研究Degasperis-Procesi（3-DP）方程的3分量推广族的双Hamilton结构.我们证明了该族中所有的Hamilton泛函都是齐次的，并且该族在负方向上的Hamilton泛函是局部的。通过构造一个互逆变换，构造了两个不同的Liouville变换.第一个相关的系统是一个减少的负流在修改后的矢岛-Oikawa层次结构。第二个系统的关联系统和另一个三分量CH型系统的关联系统在等价变换下是一个负广义mKdV方程的不同约化，并讨论了3-DP方程在Liouville变换下的Hamilton结构.此外，我们考虑了3-DP方程的一个极限。
On solutions for the b-family of peakon equations
本文研究一族峰子方程，用两个参数$b$和$κ$表示，它们都以统一的形式存在单峰子解.从b族峰子方程出发，分别选取$b=2$和3，导出了著名的Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程.对于$b$的所有值，它们的两个峰型解以差形式和弱意义给出。同时，在不同的情况下，如峰值波弹性碰撞的情况下$b=2$，而在其他情况下，峰值波非弹性碰撞的动力学行为显示。
Integrable and non-integrable equations with peakons
考虑一类单参数非演化偏微分方程，其中包括可积的Camassa-Holm方程和Degasperis和Procesi首次分离出的一个新方程.一个拉格朗日和哈密顿制定的整个家庭的方程，我们讨论了如何适合到一个双哈密顿框架中的可积的情况。峰子的哈密顿动力学和其他一些特殊的有限维约化也被描述。
Stability of smooth periodic traveling waves in the Degasperis-Procesi equation
本文导出了Degasperis-Procesi（DP）方程光滑周期波的精确能量稳定性判据.与Camassa-Holm（CH）方程相比，在光滑周期波存在区域内，相应的Hessian算子的负特征值的个数发生了变化。利用周期函数关于两个参数的性质，得到了固定周期的光滑周期波族的光滑存在曲线。的能量稳定性条件推导出的部分存在曲线对应于一个或两个负的Hessian算子的特征值。我们数值计算表明，能量稳定性条件满足的曲线的任何一部分，并证明解析，它持有的光滑周期波的存在区域的边界附近。
Local isometric immersions and breakdown of manifolds determined by Cauchy problems of the Degasperis-Procesi equation
本研究证明Degasperis-Procesi方程的局部与非局部形式均具伪球面性质，明确了其柯西问题解定义的伪球面度量正交余标架、第二基本形式的局部存在性，给出波破碎时曲面坍缩的结论与余标架在上半平面有定义的条件，并探究相关可积结构。
Soliton resolution and asymptotic stability of $N$-solitons to the Degasperis-Procesi equation on the line
本文利用 Deift-Zhou 非线性最速下降法的 $\bar \partial$-推广，研究了直线上 Degasperis-Procesi 方程 Cauchy 问题在一般初始数据下的孤子分辨率与长时间渐近行为，验证了其孤子分辨率猜想及 $N$-孤子解的渐近稳定性。
R-matrix for a geodesic flow associated with a new integrable peakon equation
我们使用的r-矩阵制定显示$N$维空间上的测地线流的可积性与坐标$q_k$，与$k=1,...,N$，配备了co-metric $g^{ij}=e^{-|q_i-q_j|}\big(2-e^{-|q_i-q_j|}\big)$。该流动由可积偏微分方程（pde）$m_t+um_x+3mu_x=0, m=u-α^2u_{xx}$（$\al $是常数）的对称性产生。这个方程--称为Degasperis-Procesi（DP）方程--最近被Degasperis，Holm和Hone证明是完全可积的并且具有峰子解（DHH[2002]）。利用与可积DP方程相关的等谱特征值问题，为测地线动力流找到了一个新的$L$ -矩阵，称为Lax矩阵。利用这个Lax矩阵，我们得到了可积测地线流的$r$ -矩阵.
New solutions with peakon creation in the Camassa-Holm and Novikov equations
在这篇文章中，我们研究一类新的无界解的Novikov方程，发现通过李对称性分析。这些解决方案展示了峰值产生，即，这些解是平滑的，直到某个有限的时间，在该时间处产生峰值。我们表明，这些功能仍然是弱的解决方案的峰值生活的那些时候。我们也发现类似的无界解决方案与峰创建相关的Camassa-Holm方程，通过启发的Novikov解决方案的一个analogue。最后，我们看到Degasperis-Procesi方程的相同的解析式产生无界解，其中峰子始终存在。
A New Integrable Equation with Peakon Solutions
我们考虑一个新的偏微分方程，一个类似的形式的Camassa-Holm浅水波方程，这是最近得到的Degasperis和Procesi使用的方法的渐近可积性。通过构造新方程的拉克斯对，我们证明了新方程的精确可积性，并通过一个倒易变换解释了它与Kaup-Kupershirt族中的一个负流的关系.导出了守恒量的无穷序列，并提出了双哈密顿结构。该方程承认多峰子的叠加形式的精确解，我们描述了可积的有限维峰子动力学和比较它与Camassa-Holm峰子的类似结果。
Integrable peakon equations with cubic nonlinearity
本文给出了由Vladimir Novikov发现的一个新的可积偏微分方程。像Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程一样，这个新方程允许峰值孤子（peakon）解，但它有三次非线性项，而不是二次。我们给V. Novikov方程的一个矩阵拉克斯对，并说明它是如何通过一个相互变换到Sawada-Kotera层次中的一个负流。不可避免地发现了许多守恒量，以及一个双哈密顿结构。后者用于获得$N$峰子相互作用的有限维系统的Hamilton形式，并显式积分两体动力学（N=2）。最后，与乔志军导出的另一个三次峰子方程的类似结果进行了比较。
On the non-integrability of the Popowicz peakon system
我们考虑耦合系统的哈密顿偏微分方程介绍Popowicz，它有一个两个领域之间的耦合Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的外观。后者的方程都是已知的可积，并承认峰值孤子（峰）的解决方案与不连续的衍生物的峰值。结合Painlevé分析的倒易变换提供了强有力的证据，证明Popowicz系统是不可积的。尽管如此，我们能够构造精确的行波解的椭圆积分，连同一个退化的行波对应于一个单一的峰。我们还描述了N峰解的动力学，该动力学是根据3 N维相空间上的汉密尔顿系统给出的。
Integrable quadratic structures in peakon models
我们提出了三个可积的$n$体峰子方程Camassa-Holm，Degasperis-Procesi和Novikov的Lax表示的Poisson结构的实现.从连续方程的可积性结构导出的泊松结构产生$r$ -矩阵表示的二次形式，户田分子经典的$r$ -矩阵起着突出的作用。我们寻找$r$ -矩阵表示的线性形式。除了结构已知的Camassa-Holm案例外，其他两个案例不允许这样的介绍，$n=2$的Novikov模型是一个明显的例外。在这三种情况下，从二次结构的规范Sklyanin迹公式得到的广义哈密顿量。
Dynamics of conservative peakons in a system of Popowicz
我们考虑一个两个组件的Hamilton系统的二次非线性偏微分方程Popowicz介绍，它的形式之间的耦合Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程。尽管这两个可积的偏微分方程有了简化，但Popowicz系统本身是不可积的。然而，正如作者之一所示，与伊尔，它承认分布解决方案的峰值孤子（peakon）型，与动态的$N$峰被确定的一个哈密顿系统的相空间尺寸$3N$。除了单个峰子（$N=1$）的平凡情形外，$N=2$的情形也是刘维尔可积的。我们给出了双峰子动力学的显式解，并描述了Popowicz系统中峰子相互作用的一些新特征。
Data-driven peakon and periodic peakon travelling wave solutions of some nonlinear dispersive equations via deep learning
在数学物理领域中，存在着许多物理上有趣的非线性色散方程的峰态解，它们是在波峰处一阶导数不连续的孤立波。本文应用多层物理信息神经网络（PINNs）深度学习成功地研究了一些著名的具有初边值条件的非线性色散方程的数据驱动的峰态和周期峰态解，这些方程包括Camassa-Holm（CH）方程、Degasperis-Procesi方程、具有立方非线性的修正CH方程、具有立方非线性的Novikov方程、mCH-Novikov方程、具有四次非线性项的b族方程、具有五次非线性项的广义修正CH方程等，这些结果将有助于进一步研究非线性色散方程的峰子解和相应的实验设计。
Smooth multisoliton solutions and their peakon limit of Novikov's Camassa-Holm type equation with cubic nonlinearity
本文考虑具有立方非线性项的Novikov Camassa-Holm型方程。特别是，我们提出了一个紧凑的参数表示的光滑明亮的多解的解决方案，在一个恒定的背景和调查他们的结构。我们发现，与解决方案的tau函数是密切相关的模型方程的浅水波（SWW）介绍广田和萨摩。这个新的功能是通过应用倒易变换诺维科夫方程。我们还表明，通过指定一个复杂的相位参数，光滑孤子转换成一个新的奇异孤子的单尖和双峰。我们表明，光滑和奇异孤子收敛到一个峰值的背景场趋于零，从而我们采用了一种方法，已开发的多孤子解决方案的Camassa-Holm方程进行类似的限制程序。在随后的两个和$N$ -孤子解的渐近分析中，我们证实了它们的孤子行为。值得注意的是，孤子的相移公式以及它们的峰子极限与Degasperis-Procesi方程的公式在形式上一致。最后，利用Novikov方程解与SWW方程解之间的关系，得到了Novikov方程的无穷多个守恒律。在附录中，我们证明了与SWW方程多孤子解的τ-函数相关的各种双线性恒等式。
A class of equations with peakon and pulson solutions (with an Appendix by Harry Braden and John Byatt-Smith)
我们考虑一类依赖于参数$b$和对称积分核$g(x)$的积分微分方程。当$b=2$和$g$是峰子核（即$g(x)=\exp(-|x|)$直到重新标度）时，无色散的Camassa-Holm方程产生，而Degasperis-Procesi方程从具有$b=3$的峰子核获得。虽然这两种情况都是可积的，但一般来说，相应的积分偏微分方程是不可积的。然而，对于$b=2$的家庭限制到脉冲家庭的Fringer & Holm，这是哈密尔顿和数字显示弹性散射的脉冲。另一方面，对于任意的$b$，它仍然是可能的，以构建一个非局部的哈密顿结构，只要$g$是峰子内核或其退化之一：我们提出了一个证明这一事实，使用相关的函数方程的反对称反导数的$g$。对于任何$b\neq 1$值，非局部括号都可化为峰子动力系统的非正则泊松括号。
The Stability of the $b$-family of Peakon Equations
在目前的工作中，我们重新$b$族模型的峰子方程，包含作为特殊情况的$b=2$（Camassa-霍尔姆）和$b=3$（Degasperis-Procesi）可积的例子。我们建立了点谱的峰子解决方案的信息，并特别发现，适当的光滑扰动存在点谱的半平面呈现峰不稳定的$b<1$。我们探讨这些想法在数值领域的不动点迭代，谱稳定性分析和时间步长的模型为不同的参数制度。特别是，我们确定精确的，固定的（光谱稳定）lefton解决方案$b<-1$，和$-1<b<1$，我们动态地确定斜坡悬崖解决方案在这个政权的主导地位。我们补充我们的分析，通过检查分裂成稳定的峰值$b>1$的平滑的初始数据。虽然许多上述动力学特征已在早期的研究中进行了探索，在目前的工作中，我们补充他们，只要有可能，光谱稳定性计算。
The inverse spectral problem for the discrete cubic string
给定实数直线上或有限区间上的测度$m$，“三次弦”是三阶常微分方程$-ϕ'''=zmϕ$，其中$z$是谱参数。如果配备狄利克雷样边界条件，这是一个nonselfadjoint边值问题，最近已被证明有一个连接到Degasperis-Procesi非线性水波方程。本文研究了Degasperis-Procesi方程在高频极限下的Neumann-like边界条件的谱和逆谱问题。我们解决了$m$是有限正离散测度的情况下的谱和逆谱问题。特别地，给出了测度$m$的显式行列式公式.这些公式推广了Krein在研究相应的二阶常微分方程$-ϕ''=zmϕ$时所使用的Stieltjes公式.
Spectral and linear stability of peakons in the Novikov equation
本文研究完全可积三次非线性Novikov方程的peakon解，通过扩展线性化算子分析其在不同函数空间中的谱与线性稳定性，证明其在$L^2$和$W^{1,\infty}$中谱不稳定、在$H^1$中线性且谱稳定。
An inverse spectral problem related to the Geng-Xue two-component peakon equation
我们解决了一个频谱和反频谱的问题所产生的峰值解决方案的两个组件的PDE由耿和薛作为一个推广的Novikov和Degasperis-Procesi方程的计算。像那些方程的谱问题一样，这个问题是“离散立方弦”类型的--经典非齐次弦的非自伴推广--但呈现出一些有趣的新特征：存在两个Lax对，这两个Lax对都有助于正确的完整光谱数据，并且逆问题的解可以使用与具有两个不同谱测度的柯西双正交多项式相关的量来表示。后者扩展了柯西双正交多项式以前的应用范围的peakons，其特点是两个相同的，或两个密切相关的措施。该方法用于解决频谱问题的铰链上隐藏的存在的振荡内核的Schumacher-Krein型这意味着频谱的边值问题是积极的和简单的。逆谱问题的解决方法，推广到非自伴的情况下，M。G. Krein的Stieltjes弦的逆问题的解决方案。
The Ostrovsky-Vakhnenko equation on the half-line: a Riemann-Hilbert approach
研究了半直线上Ostrovsky-Vakhnenko方程的初边值问题。该方程可以看作Degasperis-Procesi（DP）方程的短波模型。我们表明，解决方案u（x，t）可以恢复从它的初始值和边界值，通过解决3 \times 3矢量Riemann-Hilbert问题，制定在复平面上的谱参数z。
An integrable pseudospherical equation with pseudo-peakon solutions
本文研究了一个可积伪球面方程，通过守恒量和“拼贴”方法构造了更光滑的伪尖峰解，并利用Miura变换与Degasperis-Procesi方程关联，恢复其尖峰解。
On Isospectral flows related to (dual) cubic strings: Novikov, DP peakons and B, C-Toda lattices
本研究探究DP方程、Novikov方程分别对应的三次弦、对偶三次弦等谱系统的内在关联，揭示二者纯峰子轨迹的双射关系并推导Novikov峰子运动常数显式，建立离散边值问题对应关系，还提出关联B、C-Toda格点的新可积格点。
Similarity reductions of peakon equations: the $b$-family
$b$ -族是在浅水波理论中出现的一类单参数非发展型Hamilton偏微分方程。它承认各种各样的解决方案，包括著名的峰值，这是弱的解决方案的形式与一个不连续的一阶导数的峰值孤子，以及其他有趣的解决方案，已获得的精确形式和/或数值。在每个特殊情况下$b=2,3$（分别是Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程），方程是完全可积的，在这个意义上，它允许一个拉克斯对和一个无限族的交换局部对称，但对于其他值的参数$b$，它是不可积的。在讨论行波通过使用倒数变换，这减少到速端图变换的水平上的常微分方程满足这些解决方案，我们应用相同的技术的$b$ -家庭的缩放相似性解决方案，并表明，当$b=2$或$3$这种相似性减少是由速端图变换有关的Painlevé III方程的特定情况下，而对于$b$的所有其他选择，所得到的常微分方程不是Painlevé型的。
Similarity reductions of peakon equations: integrable cubic equations
本文研究了两个具有峰值孤子解的可积三次非线性偏微分方程（Modified Camassa-Holm（mCH）方程和Novikov方程）的标度相似解.通过利用适当的倒数变换，将mCH方程和Novikov方程分别映射到负mKdV流和负Sawada-Kotera流，我们证明了这些尺度相似性降低中的每一个都通过速端图变换与Painlevé型方程相关：对于mCH方程，其约化是二阶和二次的，而对于Novikov方程，约化是Painlevé V的特殊情况。此外，我们表明，这两个不同的Painlevé型方程的每一个都与Painlevé III的特殊情况有关，Painlevé III的特殊情况分别来自Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的相似性约化。对于每一个考虑的立方非线性偏微分方程，我们也给出了明确的参数形式的椭圆函数的周期行波解。我们提出了一些参数图的后者，并通过使用显式的代数解Painlevé III，我们做同样的一些最简单的例子的缩放相似的解决方案，连同描述其领先的顺序渐近行为。
Cubic String Boundary Value Problems and Cauchy Biorthogonal Polynomials
柯西双正交多项式出现在被称为Degasperis-Procesi（DP）方程的色散非线性偏微分方程的特解的研究中，以及某些双矩阵随机矩阵模型中。此类双正交多项式发挥作用的另一个背景是三次弦;三阶ODE边值问题-f '=zg f，这是MG研究的非齐次弦问题的推广克莱恩一类一般的这样的边值问题超出了原来的立方弦问题与DP方程的假设下，讨论的不均匀性g的源是一个离散的措施。结果表明，通过适当地选择与这些边值问题相关联的广义傅里叶变换，可以建立一个Parseval型恒等式，该恒等式将Cauchy双正交多项式与L^2_g上的某些自然正交系对齐。
The Ostrovsky-Vakhnenko equation by a Riemann-Hilbert approach
提出了一种求解方程$u_{txx}-3u_x+3u_xu_{xx}+uu_{xxx}=0$的逆散射变换方法。该方程可以看作Degasperis-Procesi方程或微分Ostrovsky-Vakhnenko方程的短波模型。该方法是基于一个相关的Riemann-Hilbert问题，这使我们能够给出一个代表的经典（光滑）的解决方案，以获得其长时间渐近的主项，也可以描述环孤子解决方案。
A Riemann-Hilbert Approach for the Novikov Equation
在背景为非零常数的情况下，我们发展了线$x\in(-\infty,\infty)$上Novikov方程$u_t-u_{txx}+4u^2u_x=3u u_xu_{xx}+u^2u_{xxx}$的逆散射变换方法。该方法是基于一个相关的黎曼-希尔伯特（RH）问题，在这种情况下，这是一个$3\times 3$矩阵问题的分析。该RH问题的结构与具有二次非线性项的Degasperis-Procesi（DP）方程的情况（参见[Boutet de Monvel A.，Shepelsky D. Nonlinearity 26（2013），2081-2107，arXiv：1107.5995]），因此Novikov方程可以被视为“修改的DP方程”，类似于Korteweg-de Vries（KdV）方程和修改的Korteweg-de Vries（mKdV）方程之间的关系。我们提出的参数公式给出的诺维科夫方程的柯西问题的解决方案的RH问题的解决方案，并讨论了可能性，使用开发的形式主义，进一步研究的诺维科夫方程。
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